滬教版六年級下冊數(shù)學(xué)知識點歸納梳理

滬教版六年級下冊數(shù)學(xué)知識點梳理

第五章有理數(shù)

第1節(jié)有理數(shù)

5.1有理數(shù)的意義

數(shù)的概念是隨著生產(chǎn)和生活的需要而不斷發(fā)展的。在現(xiàn)實生活中，我們常常遇到一些■,它

們具有相反意義，比如：盈利與虧損,收人與支出，增加與減少，上升與下降，等等。

正數(shù)和負(fù)數(shù)可以表示具有相反意義的量，像6,2.5,34,1.2%等數(shù)叫做正數(shù)；在正數(shù)前加上

“一”號的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，如-4,-1.2,-3,-2%等。有時為了強(qiáng)調(diào)符號，在正數(shù)前加上號,

如+6,+2.5,+1等。

零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。零和正數(shù)又可以稱為非負(fù)數(shù)。

零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界。

零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。

正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零都是整數(shù)。正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)都是分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)是由正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)組成的.

百分?jǐn)?shù)、有限小數(shù)和無限循小數(shù)都能化為分?jǐn)?shù)，所以它們都是有理數(shù)。

無限不循環(huán)小數(shù)不能化為分?jǐn)?shù)，所以它不是有理數(shù)。

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

r正整數(shù)

,整數(shù)零

<負(fù)整數(shù)

有理數(shù)

Ir正分?jǐn)?shù)

\分?jǐn)?shù)

〔負(fù)分?jǐn)?shù)

正整

數(shù)r-

正有理數(shù)

<正分

數(shù)r

有理數(shù)I*

I負(fù)整

數(shù)

負(fù)有理數(shù)

負(fù)分

數(shù)

如果我們把整數(shù)看成是分母為1的分?jǐn)?shù)，那么在這個意義下，所有的有理數(shù)都是分?jǐn)?shù)。

52數(shù)軸

數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。

-22

任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示。

只有符號不同的兩個數(shù)，我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱為這兩個數(shù)互為相反

數(shù)，零的相反數(shù)是零。

在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點位于原點兩側(cè)，并且與原點的距離相等。

在數(shù)軸上，右邊的點所表示的數(shù)比左邊的點所表示的數(shù)大。

5.3絕對值

一個數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點與原點的距離，叫做這個數(shù)的絕對值。用符號匕1表示數(shù)a的絕

對值。

數(shù)a的絕對值在數(shù)軸上表示數(shù)a所對應(yīng)的點與原點的距離。

一個正數(shù)的絕對值是它本身。當(dāng)(a>0)lal=a

一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).當(dāng)(a<0)lal=-a

零的絕對值是零。當(dāng)(a=0)la1=0

任何一個有理數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)。

互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值是相警的。

正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

一個數(shù)所表示的點與原點的距離越遠(yuǎn)，其絕對值越大，與原點的距離越近，其絕對值越小。

兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的那個數(shù)反而小。

非負(fù)數(shù)的絕對值是它的本身，非正數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。

第2節(jié)有理數(shù)的運算

5.4有理數(shù)的加法

有理數(shù)加法法則：

同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把絕對值相加。

異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為零；絕對值不相等時，其和的絕對值為較大絕對值減

去較小的絕對值所得的差，其和的符號取絕對值較大的加數(shù)的符號。

一個數(shù)同零相加，仍得這個數(shù)。

有理數(shù)加法的運算律：

兩個有理數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，其和不變。加法交換律：a+b=b+a

三個有理數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加再與第三個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加再與第一

個數(shù)相加，其和不變。加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

5.5有理數(shù)的減法

有理數(shù)的減法法則：

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)a?b=a+(?b)

5.6有理數(shù)的乘法

兩數(shù)相乘的符號法則：

正乘正得正，正乘負(fù)得負(fù)，負(fù)乘正得正，負(fù)乘負(fù)得正。

一個數(shù)乘以1等于這個數(shù)本身.一個正數(shù)乘以(-1)等于這個數(shù)的相反數(shù)。

有理數(shù)的乘法法則：

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。

任何數(shù)與零相乘，都得零。

幾個不等于零的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定。當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)

負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；幾個數(shù)相乘，有因數(shù)為零，積就為零。

也就是說：在積的各個因數(shù)中，只有一個負(fù)號，積為負(fù)；

有兩個負(fù)號，積為正；

有三個負(fù)號，積為負(fù);

有四個負(fù)號，積為正;

有零時積就是零。

乘法交換律：ab=ba

乘法結(jié)合律：(ab)c=a(be)

乘法分配律：a(b+c)=ab+ac

在有理數(shù)乘法中，必須先確定積的符號，把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)。

兩個有理數(shù)相乘，把其中的一個因數(shù)換成它的相反數(shù)，所得的積是原來的相反數(shù)。

5.7有理數(shù)的除法

有理數(shù)除法法則：

兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。

零除以任何一個不為零的數(shù)，都得零。

-a的倒數(shù)是-工(a=#0),的倒數(shù)是(p#=0,q#=0)

aqP

甲數(shù)除以乙數(shù)(零除外)等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。

5.8有理數(shù)的乘方

axaxax-xa也可以記為a,a?a....a,即a?a?a.....,a=an

n個a

一般地，我們講n個相同因數(shù)a相乘，記作短，即?:a?a?????.

n卞a

n<——一"一指數(shù)

底數(shù)------

t

塞

求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方。乘法的結(jié)果叫做幕。

在d中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，球讀作a的n次方。a'看做是a的n次方結(jié)果時，讀

作a的n次幕。

特別電0=)(n為正整數(shù))

正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇數(shù)次塞是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次幕是正數(shù)。

計算磊上育網(wǎng)個鍵國和—?分別用來計算一

個數(shù)的平方和立方.如：

計算工4.322.

陽1次按鍵：旬日巨|叵亙目

可得結(jié)果為：18.6624.

計尊：5.1尸

順次按鍵：回［3EE巨］團(tuán)目

可得結(jié)果為：133.432831.

一般地.用囪鍵時以1十算--懺數(shù)的乘方.如：

計算：1.02”.

順次按鍵J”T［o］團(tuán)叵mEEES

可彳導(dǎo)/吉貝:為：1.243374308.

5.9有理數(shù)的混合運算

有理數(shù)混合運算的順序：

先乘方，后乘除,再加減；同級運算從左到右；如果有括號，先算小括號，后算中括號，

再算大括號。

括號前帶負(fù)號，去掉括號后括號內(nèi)各項要變號，即-(a+b)=-a-b,-(a-b)=-a+b

r7-r使用計算器進(jìn)行有理數(shù)的混自運算?只需按照所

給出的算式幀次輸入數(shù)字和符號，最后按等號，就

可以得到結(jié)果.女U：

計算：(3.2x5.l-2.4)x3-2.1+5?

順次按鍵：B］國臼圖因巨曰四臼叵］EZ113I3］因

囪臼囪(ZIIU團(tuán)國區(qū)

可得結(jié)果為：41.34.

5.10科學(xué)記數(shù)法

把一個數(shù)寫成2*10。(其中1?匕1<10,n是正整數(shù))，這種形式的記數(shù)方法叫做科學(xué)計數(shù)法。

本章小結(jié)

本阜的知識結(jié)構(gòu)框圖如下:

數(shù)軸有理數(shù)比較大小

相反數(shù)

有理數(shù)

絕對值

科學(xué)記數(shù)法

加法減法--------乘法

減

加

加

乘

乘

乘

除

法

法

法

法

方

法

法

法

運

法

法

法

運

則

算

則

則

則

算

律

律

做

閱讀材料用“數(shù)學(xué)”書寫的人生格言

一、用數(shù)書寫的格言

王菊珍關(guān)于百分?jǐn)?shù)的格言

我國科學(xué)家王菊珍對待實驗失敗有句格言，叫做：

干下去還方50%成功的希里,不F便是100%的失敗.

托爾斯泰關(guān)于分?jǐn)?shù)的格言

俄國大文豪托爾斯泰在談到對人的評價時，把人比作一個分?jǐn)?shù)：

一個人就好像一個分?jǐn)?shù)，他的'實際才能好比分子，而他對自己的估價好比分

用.分母越大，則分?jǐn)?shù)的值就越小.

由巴柯夫關(guān)于常數(shù)與變數(shù)的格言

俄國歷史學(xué)家雷巴柯夫在利用時間方面星這樣說的：

時間是個楮數(shù),但對勤奮桿來說,是個“變數(shù)”.用“分”來計算時間的人比用“小

時”來計算時間的人時間多59倍.

二、用運算符號書寫的格言

華羅庚關(guān)于減號的格音

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在談到學(xué)習(xí)與探索時指出：

在學(xué)習(xí)中要敢「做喊法，就是減去前人已經(jīng)解決的部分，看看還有哪些同胸

沒有解決.相要我們?nèi)ヌ剿鹘鉀Q.

愛迪生關(guān)于加號的格吉

大發(fā)明家愛迪生在談天才時用一個加號來描述：

天才=1%的靈感+99%的血汗.

三、用公式書耳的法育

愛因斯坦關(guān)于公式的棒由

近彳弋卻H箝大的科學(xué)家麥?zhǔn)账固乖谠湥旯Φ拿卦E日八弓K------鏟公式：

.4+)?+=.

乂中人代表成功…代我艱:彳的勞動.x代我上班的方法.N代表少說空話.

數(shù)學(xué)游戲24點游戲

(3-l)x(7+5>24.

5x5-；i=24.

3A

534-5-1=24

典型題目結(jié)晶：

1、觀察下列一組算式:

4444444

⑴請你找出規(guī)律，并計算下式的值：

1.2.3^^80^8180^.3.2.1

---+——+——+■?■+----+——+----+??■+——+——+——

8181818181818]8181

(2)』你岸找到的規(guī)A寫出一個算式(與上面不同的算式)，并求出它的值。

(3)你能否把它推廣到更一般的情況？(提示：用正整數(shù)n表示分母)

短，八14.24.34.4.80/1/0,321

;(1)---+----+----+?,,+----+----+----+???+----+----+x----

818181818181818181

-，?,80、上，2,79、上，3,78、,上81,,，78,3、,，79,2、°，80°I、

81818181818181818181818181

=1x81

=81

⑵！+2+3+W+2+L-L5

555555555

12+3++n-ln+n-]J

nnnnnnnnn

=(—+-----)+(—+-------)+(—+-------)+???+-+???+(-------+—)+)-------+—)+(------+—)

nnnnnnnnnnnnn

=1xn

2、1+—+—+±+±+±+±的和。

261220304256

1lll±±±±

解:+++++++

261220304256

=1+(1--

2233445566778

=2-1

8

7

8

3、計算:(1+-)x(1+-)x(1+-)x-x(1+—)x(1--)x(1-1)x???x(1--)

2461()359

解:(1+-)Xd+l)X(1+1)X-X(1+—)X(1-1)X(1-2)X-X(1-1)

24610359

"To

4、計算：(-2)201+(-2)200

解：(-2)初+(-2)政

=(-2)200x(-2)+(-2)200

=(-2)200x[(-2)+1]

=-2200

5.2018減去它的g,再臧去余下的;，再減去余下的《，?以此類推,直到減去余下的募

那么最后的得數(shù)而多少？

解：2018x(1-1)x(1-1)x(1-1)x…x(1-—!—)x(1--!—)x(1-—!—)

234201620172018

0》。123201520162017

=2018X—X—X—x-x-------x-------x-------

234201620172018

=2018x—!—

2018

=1

6、觀察下面的式子：

1+3=4=?

1+3+5=9=32

1+3+5+7+9=25=52

貝IJ:(1)1+3+5+7+9+11=6”

(2)1+3+5+7+―+9999=50002

(3)1+3—+7+…+(2n+1)=(n+1)「(其中n是自然數(shù))

解：⑴1+3+5+7+9+11=2=62

2

iiogog

(2)1+3+5+7+…+9999=()2=50002

2

1+(2n+1)

1+3+5+7+-+(2n+1)=()2=(n+1)

2

7()19

7、已知x=21，求lxl+lx-1l+lx-2l+lx-3l+lx-4l+lx-5l的值。

2020

解：:x=2—

2020

???lxl+lx-1l+lx-2l+lx-3l+lx-4l+lx-5l

=x+(x-1)+(x-2)+(3-x)+(4-x)+(5-x)

=3x-3x-3+12

=9

8、計算：(+1)+(-2)+(+3)+(-4)+???+(+99)+(-100)

解：(+1)+(-2)+(+3)+(-4)+???+(+99)+(-100)

=(1+3+5+■?■+95+97+99)+[(-2)+(-4)+(-6)+■?■+(-50)+,,?+(-98)+(-100)]

=(100x25)+[(-100)x24+(-50)+(-100)]

=(100x25)+[(-100)x25+(-50)]

=2500-2500-50

=-50

9、對2020進(jìn)行如下操作：第一次減去它的第二次減去第一次剩下的;，第三次減去第二

次剩下的……,一直減到前一次剩下的擊，求最后的數(shù)是多少？

解：2020x(1-1)x(1-1)x()()()

(1--)xx1--!—x1--!—x1--!—

234201820192020

123201720182019

=2020x1x±X—X???X----------

234201820192020

=2020x—

2020

=1

11

10、計算：I--11+I-I+I—l+,**+l

2324320182017

解：?—-1i+i-i+i---?+,,,+!―!——一!—i

2324320182017

41,11,11,11

2233420172018

=1--!—

2018

2017

2018

11、把99拆分成四部分,使所得的四個數(shù)中，第一個數(shù)加上2,第二個數(shù)減去2,第三個數(shù)

乘以2,第四個數(shù)除以2,得到的四個運算結(jié)果都相等，應(yīng)該怎樣拆？

如果設(shè)得到的運算結(jié)果等于x,可列方程(x-2)+(x+2)+1x+2x=99

乙_____

第六章一次方程(組)及一次不等式(組)

第1節(jié)方程與方程的解

6.1列方程

用字母x、y、…等表示所要求的未知的數(shù)量，這些字母稱為未知數(shù)。

含有未知數(shù)的等式叫做方程。在方程中，所含的未知數(shù)又稱為元。

為了求得未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立一種等?關(guān)系式，就是列方程。

在方程中，在一項中，數(shù)字或表示已知數(shù)的字母因數(shù)叫做未知數(shù)的系數(shù)。

在方程中，在一項中，所含有的未知數(shù)的指數(shù)和稱為這一項的次數(shù)。

不含未知數(shù)的項，稱為常數(shù)項。

如：在方程5x+2.3=0中,未知數(shù)是x,未知數(shù)的系數(shù)是5,未知數(shù)x的次數(shù)是1,常數(shù)項是+2.3。

在方程4xy-5=0中，未知數(shù)是x和y,未知數(shù)的系數(shù)是4,次數(shù)是x的指數(shù)是1,y的指

數(shù)是1,則未知數(shù)的指數(shù)是1+仁2,常數(shù)項是-5。

6.2方程的解

如果未知數(shù)所取的某個值能使方程左右兩邊的值相等看，那么這個未知數(shù)的值叫做方程的解。

把方程的解代入方程，使方程左右兩邊的值相等，這個過程叫做檢驗。

如果這個解不能使方程左右兩邊的值相等，則它就不是原方程的解。

第2節(jié)一元一次方程

6.3一元一次方程及其解法

只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程叫做一元一次方程。

等式性質(zhì)1：等式兩邊同時加上：或減去）同一個數(shù)或一個含有字母的式子，說得結(jié)果仍是等

式Q

等式性質(zhì)2：等式兩邊同時乘以同一個數(shù)（或除以同一個不為零的數(shù)），所得結(jié)果仍是等式。

運用等式性質(zhì)和運算性質(zhì)可以求方程的解。

方程中的某一個數(shù)改變符號后從等號的一邊移到另一邊，這種變形過程叫做移項。

求方程的解的過程叫解方程。

去括號的法則是：（特別注意哦?。?/p>

括號前帶號，去掉括號時括號內(nèi)各項都不變符號。

括號前帶“一”號，去掉括號時括號內(nèi)各項都改變符號。

解一元一次方程的一般步驟是：

T去分母T去括號T移項T化成ax=b（a#=0）的形式T兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方

程的解x=b/a

（特別強(qiáng)調(diào)：去分母時，等式的每一項都要乘以分母的最小公倍數(shù)，要注意把分子上的式

子當(dāng)成一個數(shù)；去括號時，要注意去括號的法則；移項時，要注意移到等號的另一邊要變號;

等式兩邊同除以（乘以）未知數(shù)的系數(shù)時，要注意ax=b（a手0）中的系數(shù)不能為0。）

6.4一元一次方程的應(yīng)用

列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：

T設(shè)未知數(shù)（元）一列方程一解方程T檢驗并作答。

許多實際問題中的已知量與未知量之間存在著一種等量關(guān)系，把這種等量關(guān)系式寫出來,

得到方程，求出方程的解，通過檢驗獲得實際問題的解，稱這樣解決問題的方法為方程的思

想方法。

藥方后解應(yīng)用題要千萬注意找好應(yīng)用題中的等?關(guān)系：

?按比例分配問題

已知兩個量之比為a:b,則設(shè)這兩個量分別為ax和bx.

?利率問題

利息二本金x利率x期數(shù)

稅前本利和二本金+利息:本金x（1+利率x期數(shù)）

稅后本利和二本金+稅后利息

稅后利息二利息-利息稅

利息稅二利息x稅率

?折扣問題

利潤額二成本價x利潤率

售價二成本價+利潤額

新售價二原售價X折扣

?行程問題

路程二速度X時間

相遇路程二速度和X相遇時間

追及路程二速度差X追及時間

?工程問題

工作效率X工作時間二1（工作總?）

第3節(jié)一元一次不等式（組）

6.5不等式及其性質(zhì)

用不等號“V”“W”表示的關(guān)系式，叫做“不等式”。

不等式性質(zhì)1:不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號

的方向不變，即：如果a>b,那么a+fn>b》如果aVb,那么a+mVb+m

不等式性質(zhì)2：不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，

即：如果a>b,且m>0,那么am>bm（或一>—）

mm

q卜

如果aVb,且m>0,那么amVbm（或一V—）

mm

不等式性質(zhì)3；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，

即：如果a>b,且mVO,那么amVbm（或一V—）

mm

ah

如果aVb,且mVO,那么am>bm（或一>—）

mm

6.6—元一次不等式的解法

在含有未知數(shù)的不等式中，能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

一般情況下，一元一次方程的解只有一個，一元一次不等式的解可以有無數(shù)個。

不等式的解的全體叫做不等式的解集。

只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式叫做一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步驟與解一元一次方程類似，可概括為：

T去分母；T去括號；T移項；T化成ax>b（或axVb）的形式（其中a豐0）

T兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集。

（特別強(qiáng)調(diào)：去分母時，不等式的每一項都要乘以分母的最小公倍數(shù)，要注意把分子上的

式子當(dāng)成一個數(shù)；去括號時，要注意去括號的法則；移項時，要注意移到等號的另一邊要變

號；等式兩邊同除以（乘以）未知數(shù)的系數(shù)時，要遵循不等式性質(zhì)2和3的原則。）

不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，但“2”時，用實心圈表示；“V”

時，用空心圈表示。

不等式上v4的佛在數(shù)軌］上白勺表示如F：

???：????一｝

-5-4—3—2—IOI23.4'"2

不呼大wA-5在勺訐庠柒體數(shù)軸上的表示女口下：

6.7一元一次不等式組

由幾個含有同一個未知數(shù)的一次不等式組成的不等式組，叫僦一元一次不等式組。

不等式組中所有不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集。

求不等式組的解集的過程叫做解不等式組。

如果各個不等式的解集沒有公共部分，那么這個不等式組無解。

解一元一次不等式組的一般步驟是：

T求出不等式組中各個不等式的解集；T在數(shù)軸上表示各個不等式的解集；

T確定各個不等式解集的公共部分,就得到這個不等式組的解集。

第4節(jié)二元一次方程組

6.8二元一次方程

含有兩個未知數(shù)的一次方程叫做二元一次方程。

6.9二元一次方程組及其解法

使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程的解有無數(shù)個，二元一次的解的全體叫做這個二元一次方程的解集。

由幾個方程組成的一組方程叫做方程組。如果方程組中含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的

次數(shù)都是一次，那么這樣的方程組叫做二元一次方程組。

在二元一次方程組中，使每個方程都適合的解，叫做二元一次方程組的解。

通過“代入”消去一個未知數(shù)，將方程式轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這種解法叫做代入消元法，

簡稱代入法。

通過將兩個方程相加（或相減）消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這種解法

叫做加減消元法。

6.10三元一次方程組及其解法

如果方程組中有三個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次，這樣的方程組叫做三元一

次方程組。

解三元一次方程組的思想方法是：

三元一次方程組消元＞|二元一次方程組|消弓一元一次方程

6.11一次方程組的應(yīng)用

列方程解應(yīng)用題時要靈活選擇未知數(shù)的個數(shù)。對于含有兩個未知數(shù)的應(yīng)用題一般采用列二元

一次方程組求解；對于含有三個未知數(shù)的應(yīng)用題一般采用列三元一次方程組求解。

本章小結(jié)

我們可以從以下三個方面進(jìn)一步理解本章的內(nèi)涵:

1.方程、不等式的慨念及解法，以及它們的區(qū)別與聯(lián)系.

2.化歸思想.

三元一次方程組——迫三一二元?次方程組——偵_A

一元一次方程

多元.元

3.方程意識.

實際問SS-------------------------------＞方程

以解方程

獲得同法的解

1----------------檢驗.-----------

探究活動行程問題探究

小明、小杰分別站在邊長為12米的正方形道路〃的頂點D、C處.他們開始各以能秒

1米和用秒1.2米的速度沿正方形道路按順時針方向勻速行走.

經(jīng)過多少秒?小明第二次到達(dá)點卻處,且小杰第二次到達(dá)點C處？有什么規(guī)律？

(2)經(jīng)過名少秒,小明和小杰第一次都處在正方形的頂點處？有什么規(guī)律？

(3)經(jīng)過多少秒.小明和小杰第一次都在正方形的同一頂點處？有什么規(guī)律？

(4)小明和小杰能同時出現(xiàn)在正方形的同一］＞點〃處叫？為什么？可能出現(xiàn)小明在點〃而

小杰住點H處的情況叫？

閱讀材料中國古代的方程兩例

中國古代的方程兩例

《孫子鐮經(jīng)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)著作，成書大約在公元400年前后,但并不

是孫夕所作?作者不詳.《孫r算經(jīng)》中有一個問題「今有婦人河上蕩楂.津吏問

日：‘柄何以多？‘婦人閂「家有客?‘津史H：‘客幾何？’婦人日「二人共飯?三

人共羹.四人共肉,凡用柄六十五,不知客幾何？'”將問題翻譯成現(xiàn)代語宮的意思

是：有一位婦女在河里洗盤f,有人問：為什么洗這么多址子？婦女問答：家里有客

人.那人又問，客人有多少？婦女說：一.人合用一個盛飯的盤子?三人合用一個盛湯

的盤子,四人合用一個盛肉的盤子，一共用了六十五個盤子?，不知客人有多少位？

你能解決這個問題嗎？

可以設(shè)'客人的人數(shù)為4?根據(jù)SS意

列出方程：

X-+X——+X—=65.

234

解得x=60.

所以客人有60人.

在中國占代的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九

章算術(shù)》的方程這一章中有一題：今

有五羊、四犬、三雞、二兔，直錢一千

四百九十六?四羊、二犬、六對、三兔.

百錢一千?百七十五?三羊、一犬、七四、五兔.克錢九百五十八.二羊、三犬、五雞、

一兔,直錢八百六卜一.問：羊.犬、雞、兔價各幾何？

答日,羊價一百七十七,犬價一百二十一，雞價二十三,兔價二十九.

這里的直與值意思相同,你看懂古文的意思「嗎？這可是一個解四元一次方

程組的問題.

清用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識檢驗古人的答案是否正確.

從以上的例子可知.中國古代早已知道方程（組）和它的解法.只是古人將方程

組用算號排列成方陣?然后通過移動算號來解方程（組），與我們現(xiàn)在解方程的方

法有所不同.

典型題目結(jié)晶：

1、如果關(guān)于x的不等式2二與上V2的解集完全相同，求a的值。

32a

解：^^.>--14x-2a>3a-64x>3a-6+2a4x>5a-6

324

V-<2當(dāng)a>0時，x<2a，，與土二>2-1的解x>且豈不相符

a324

V-<2當(dāng)aVO時，x>2a，，與空二>2-1的解x>包/相符，且同解

a324

??.現(xiàn)、=2a5a-6=8aa=-2a的值為-2。

4

2、一個三角形的三條邊分別為4a+5、2a-1、20-a(其中a為整數(shù))，試求滿足條件a的值以

及此時三角形的周長。

解：?二三角形的任意兩邊之和大于第三邊

,(4a+5)+(2a-1)>20-a①

(4a+5)+(20-a)>2a-1②

-(2a-1)+(20-a)>4a+5③

由①得a>與由②得a>-26,由③得aV????不等式組的解為與<aV￡

Ta為整數(shù)???不等式組的整數(shù)解為3和4,

當(dāng)a=3時，

三角形的周長為(4a+5)+(2a-1)+(20-a)=(4x3+5)+(2x3-1)+(20-3)=39

當(dāng)a=4時，

三角形的周長為(4a+5)+(2a-1)+(20-a)=(4x4+5)+(2x4-1)+(20-4)=44

???滿足條件a的值是3和4,此時三角形的周長分別是39和440

3、k取什么整數(shù)時，方程2kx?6=(k+2)x有正整數(shù)解？

解：2kx-6=(k+2)x的解為X=-^-

k-2

???X二二是正整數(shù)解，即二>0,且k與二均為整數(shù)，

k—2k—2k—2

二'6的因數(shù)有6、3、2、1,則k-2的值為6、3、2、1,

貝U：當(dāng)k-2=6時，k=8；當(dāng)k-2=3時，k=5；當(dāng)k-2=2時，k=4；當(dāng)k-2=1時，k=3。

Jk取3、4、5、8整數(shù)時，方程2kx-6=(k+2)x有正整數(shù)解。

4、如果不等式2x-aW0的正整數(shù)解為x=1,2,3,那么a的取值范圍是什么？

解：不等式2x-aW0解為xW2,

2

???不等式2x-aW0的正整數(shù)解為x=1,2,3,/.x<4

又xW；其中的最大正整數(shù)是3,???3W；V4則6WaV8

22

5、已知3xa-2+2y3-2b=i是關(guān)于X、y的二元一次方程，則a=3_,b;上。

解：a-2=la=33-2b=lb=l

第七章線段與角的畫法

第1節(jié)線段的相等與和、差、倍

7.1線段的大小的比較

1.線段可以表示端點的兩個字母A、B表示，記作線段AB。也可以用一個小寫英文字母，如a,

表示一條線段，記作線段a。

2.線段大小的比較方法：

①疊合法：比較兩條線段AB、CD的長短，可把它們移到同一條直線上，使一個端點A和

C重合，另一端點B和D落在直線上A和C的同側(cè)。若B與D重合，則AB二CD;若D在AB

上，則AB>CD;若D在AB延長線上，則AB<CD。

②度?法：分別■出每條線段的長度，再比較。

3.線段的性質(zhì)：

兩點之間的所有連線中，線段最短。

4.兩點之間的距離：

聯(lián)結(jié)兩點的線段的長度叫做兩點之間的距離。

7.2畫線段的和、差、倍

1.兩條線段可以相加（或相減），它們的和（或差）也是一條線段，其長度等于這兩條線段

的長度的和（或差）。

2.兩條線段的和、差

兩條線段可以相加（或相減），它們的和（或差）也是一條線段，其長度等于這兩條線段的和（或

差）.

3.線段的倍、分

線段的倍：na（n>1為正整數(shù)，a是一條線段）就是求n條線段a相加所得和的意義。na也可理

解為：線段a的n倍，

4.線段的中點；將一條線段分成兩條相等線段的店叫做這條線段的中點。

☆n條直線兩兩相交有山且個交點。（n，2）

2

☆在一個線段中，添加n（n^1）個點，共有（n+2）jn+D條線段。

第2節(jié)角

7.3角的概念與表示

1?角的概念

角的定義：①有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角；（頂點，邊）

②一條射線繞著其端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。（始邊，終邊）

2.角是具有公共端點的兩條射線組成的圖形。公共端點叫做角的頂點，兩條射線叫做角的邊。

3.角是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。處于初始位置的那條射線叫

做角的始邊，終止位置的那條射線叫做角的終邊。

4.角的始邊轉(zhuǎn)動到角的終邊所經(jīng)過的平面部分，叫做角的內(nèi)部，簡稱角內(nèi)。通常角的內(nèi)部用

不帶箭頭或帶箭頭的弧線表示，如下左圖、下中圖、下右圖所示，在下中圖、下右圖中，涂

色部分是角的外部,簡稱角外。

5.本書中所說的角，除了周角外,未加說明的角是指小于平角的角。

6.角的表示

角一般用三個大寫英文字母表示，如下左圖所示的角，記作N408。其中表示頂點的字母

"0〃必須放在三個字母的中間。

如果以0為頂點的角只有一個，那么這個角可以用表示頂點的字母表示。下左圖中，NAOB

可以記作如果以點。為頂點的角有多個（如下中圖所示），那么其中任何一個角必須用三個

大寫英文字母表示,面不能記作N0。

有時為了方便，在角的內(nèi)部標(biāo)上一個小寫的希臘字母，如a（讀alpha）、（3（讀beua）、丫（讀

gamma）?；或者標(biāo)上一個數(shù)字，如1、2、3……如上中圖中，NAOB、ZBOC.NCOD可以分

別記作Na、NB、/丫（或6仇y）o如上右圖中，ZAOBvNBOC、NCOD也可以分別記作N

1、/2、Z3.

☆在一個大角中，引出n（n21）條射線，共有二十2：（田個角。

7.4角的大小的比較畫相等的角一

1?角的大小比較方法：

①度量法：用量角器量出角的度數(shù)來比較。

②疊合法：把一角放在另一個角上，使它們的頂點重合，并將其中一邊也重合，并使兩個角

的另一邊都放在這條邊的同側(cè)，就可以比較兩個角的大小。

2.畫相等的角

①度量法:?對中；將量角器的中心點與角的頂點重合：?對線；將■角器的零度刻線與角的

一邊重合；?讀數(shù)。

②尺規(guī)法:用直尺與圓規(guī)作圖。

7.5畫角的和、差、倍

1.兩個角可以相加（或相減），它們的和（或差）也是一個角，它的度數(shù)等于這兩個角的角

度的和（或差）。

2.從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分

線。

3.角的和、差、倍的畫法：

①度?法②尺規(guī)作圖法

4.角平分線的概念及畫法

概念：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的

平分線。

畫法：①用■角器畫圖，■一算一）畫；②用直尺與圓規(guī)作圖

7.6余角、補(bǔ)角

1.余角：

如果兩個角的度數(shù)的和是90°,那么這兩個角叫做互為余角，簡稱互余。其中一個角成為另

一個角的余角。即：Na與NB互余，Na是NB的余角，NR是Na的余角。用等式表

示是N0=90°-Na,Za=90°-zp

2.補(bǔ)角：

如果兩個角的度數(shù)的和是180。，那么這兩個角叫做互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)。其中一個角稱為另

一個角的補(bǔ)角。即：Na與N0互補(bǔ)，Na是N0的補(bǔ)角，N0是Na的補(bǔ)角。用等式表示

是/0=18O°-Na,Za=180°-Zp

3.性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角〉的補(bǔ)角相等。

4.角的度?單位、角的換算及角的分類

角的度量單位：度、分、秒；

角的換算：1三60'v11=60"

角的分類：周角360°。平角180。。大于90°的角叫鈍角。小于90。的角叫銳角。

9.同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等；

10.一個角與它的余角相等，這個角是怎樣的角？是銳角

一個角與它的補(bǔ)角相等，這個角是怎樣的角？是直角

互補(bǔ)的兩個角能否都是銳角？不能

能否都是直角？可能

能否都是鈍角？不能

11.時鐘上的分針每分鐘走360。+60=6。，

時針每分鐘走360°4-124-60=0.5°

1時為分針轉(zhuǎn)12個大格，

故分針1分鐘走360°4-60=6°

時針1分鐘走60+12=0.5°

分針比時針一分鐘多走6。-0.5°;5.5°

本章小結(jié)

七￡」水?小第

關(guān)廠線阻和m的大小比較、加減、平分等「1然nr以通過用刻度尺和量用器迸行

度里.然后通過對度械珥象的數(shù)量進(jìn)行大小比較.福加減.求一半等方法來做.但是，

我們更看甌用網(wǎng)規(guī)和沒有測度的直尺東作圖.這樣做.往往更直接，更準(zhǔn)確和向悚，無

其具右人類理性思維的帶征.

對尸已知線2和Li知用，作和它一模一樣的戰(zhàn)段利用.十分貼本面W壑.這一率

已經(jīng)令訴大本怎樣用國規(guī).直尺做到這一點.全產(chǎn)為什么這樣做足合理的.我RJa今

行的課程中還要繼續(xù)學(xué)習(xí).

用a、心

畫一條線段等尸已知線段-----------?岫一個用等于已知用

tI

線m的大小比較用的大小比較

1-度量法-----用刷度尺度用＜-A1.度量法-----用量用墻度量

2.濫令法2.俸合法

?6

a田

一---------------------------------------AaVQ

ct＞仆的

畫

和

用的和法

卷

n--------------------A空

借他

中

的

及

A點用的平分線

:一A

1.雙星g法

一

-一

2".K