2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)分層特訓(xùn)卷方法技巧專練三文

PAGEPAGE1專練(三)技法9割補(bǔ)法1．如圖所示，虛線網(wǎng)格的最小正方形的邊長為1，實(shí)線是某幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為()A．4πB．2πC.eq\f(4π,3)D．π答案：B解析：依題意可得所求的幾何體的直觀圖如圖所示，把所求的幾何體補(bǔ)成圓柱，易知該幾何體剛好是底面圓的半徑為1，高為4的圓柱的一半，可得這個(gè)幾何體的體積為V＝eq\f(1,2)×π×12×4＝2π，故選B.2．[2024·吉林白山聯(lián)考]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．6B．8C．10D．12答案：C解析：由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的上半部分為三棱柱，下半部分為正方體的簡潔組合體．可把該幾何體分割為兩部分，下半部分為正方體，棱長為2，其體積為V1＝23＝8；上半部分為直三棱柱，高為2，底面是等腰直角三角形，直角邊長為eq\r(2)，所以其體積為V2＝eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝2.所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝8＋2＝10，故選C.3．在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．10eq\r(3)πB．18πC．20πD．9eq\r(3)π答案：C解析：由題意知，該三棱錐為正六棱柱內(nèi)的一個(gè)三棱錐(如圖所示的三棱錐P－ABC)且有PA＝AB＝AC＝2，所以該三棱錐的外接球也是該正六棱柱的外接球，所以外接球的直徑2R為該正六棱柱的體對角線長，即2R＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)?R＝eq\r(5)，所以該球的表面積為4πR2＝20π.故選C.4．已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，∠BCD＝∠BCE＝eq\f(π,2)，平面ABCD⊥平面BCEG，BC＝CD＝CE＝2AD＝2BG＝2，則五面體EGBADC的體積為________．答案：eq\f(7,3)解析：如圖所示，連接DG，BD.由平面ABCD⊥平面BCEG，∠BCD＝∠BCE＝eq\f(π,2)，可知EC⊥平面ABCD，又CE∥GB，所以GB⊥平面ABCD.又BC＝CD＝CE＝2，AD＝BG＝1，所以V五面體EGBADC＝V四棱錐D－BCEG＋V三棱錐G－ABD＝eq\f(1,3)S梯形BCEG·DC＋eq\f(1,3)S△ABD·BG＝eq\f(1,3)×eq\f(2＋1,2)×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1＝eq\f(7,3).技法10整體代換法5．若函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，且對隨意的實(shí)數(shù)x都有feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fx＋\f(2,2x＋1)))＝eq\f(1,3)，則f(log22019)＝()A.eq\f(1011,1012)B.eq\f(1010,1011)C.eq\f(1009,1010)D．1答案：C解析：假設(shè)f(x0)＝eq\f(1,3)，則f(x)＋eq\f(2,2x＋1)＝x0，進(jìn)而f(x)＝x0－eq\f(2,2x＋1)，從而f(x0)＝x0－eq\f(2,2x0＋1)，當(dāng)x0＝1時(shí)，f(1)＝eq\f(1,3)，因?yàn)閒(x)是單調(diào)函數(shù)，所以由f(x0)＝eq\f(1,3)，可得x0＝1，所以f(x)＝1－eq\f(2,2x＋1)，所以f(log22019)＝1－eq\f(2,2log22019＋1)＝eq\f(1009,1010)，故選C.6．等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，則a9＋a11＋a13＋a15的值為()A．1B．2C．3D．5答案：C解析：解法一設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a5＝a1q4，a7＝a3q4，所以q4＝eq\f(a5＋a7,a1＋a3)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝2，a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝1，所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.解法二因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以a5＋a7是a1＋a3與a9＋a11的等比中項(xiàng)，所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，故a9＋a11＝eq\f(a5＋a72,a1＋a3)＝eq\f(42,8)＝2.同理，a9＋a11是a5＋a7與a13＋a15的等比中項(xiàng)，所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝eq\f(a9＋a112,a5＋a7)＝eq\f(22,4)＝1.所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.7．已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2019)＝k，則f(－2019)＝()A．kB．－kC．1－kD．2－k答案：D解析：∵f(2019)＝a·20193＋b·2019＋1＝k，∴a·20193＋b·2019＝k－1，則f(－2019)＝a(－2019)3＋b·(－2019)＋1＝－[a·20193＋b·2019]＋1＝2－k.8．已知三點(diǎn)A(1，－2)，B(a，－1)，C(－b,0)共線，則eq\f(1＋2a,a)＋eq\f(2＋b,b)(a>0，b>0)的最小值為()A．11B．10C．6D．4答案：A解析：由A(1，－2)，B(a，－1)，C(－b,0)共線得eq\f(－2,1＋b)＝eq\f(－1＋2,a－1)，整理得2a＋b所以eq\f(1＋2a,a)＋eq\f(2＋b,b)＝eq\f(4a＋b,a)＋eq\f(4a＋3b,b)＝7＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥7＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝11，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)且2a＋b＝1即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立，故選A.技法11分別參數(shù)法9．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx＋2,x)，若不等式f(x)≤kx對隨意的x>0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________________________________________________________________________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e3,2)，＋∞))解析：不等式f(x)≤kx對隨意的x>0恒成立，即k≥eq\f(lnx＋2,x2)對隨意的x>0恒成立．令g(x)＝eq\f(lnx＋2,x2)，則g′(x)＝eq\f(1－2lnx＋2,x3)＝eq\f(－2lnx－3,x3)，令g′(x)＝0，得x＝e，且當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，g′(x)<0，故當(dāng)x＝e時(shí)，g(x)取得最大值g(e－eq\f(3,2))＝eq\f(\f(1,2),e－3)＝eq\f(e3,2)，所以k≥eq\f(e3,2)，即k的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e3,2)，＋∞)).10．已知關(guān)于x的方程(t＋1)cosx－tsinx＝t＋2在(0，π)上有實(shí)根，則實(shí)數(shù)t的最大值是________．答案：－1解析：由題意可得，－eq\f(1,t)＝eq\f(1－cosx＋sinx,2－cosx)＝1－eq\f(1－sinx,2－cosx)，如圖，令P(cosx，sinx)，A(2,1)，則kPA＝eq\f(1－sinx,2－cosx)，因?yàn)閤∈(0，π)，所以－1＜cosx＜1,0＜sinx≤1，令a＝cosx，b＝sinx，則點(diǎn)P是上半圓a2＋b2＝1(－1＜a＜1,0＜b≤1)上隨意一點(diǎn)，可知0≤kPA＜1，所以0＜1－eq\f(1－sinx,2－cosx)≤1，即0＜－eq\f(1,t)≤1，所以t≤－1，故實(shí)數(shù)t的最大值是－1.11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2a－x2,ex)(a∈R)．若?x∈[1，＋∞)，不等式f(x)＞－1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－e,2)，＋∞))解析：∵f(x)＞－1?eq\f(2a－x2,ex)＞－1?2a＞x2－ex，∴由條件知，2a＞x2－ex對于隨意x令g(x)＝x2－ex，h(x)＝g′(x)＝2x－ex，則h′(x)＝2－ex，當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，h′(x)＝2－ex≤2－e＜0，∴h(x)＝g′(x)＝2x－ex在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴h(x)＝2x－ex≤2－e＜0，即g′(x)＜0，∴g(x)＝x2－ex在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴g(x)＝x2－ex≤g(1)＝1－e，故f(x)＞－1在[1，＋∞)上恒成立，只需2a＞g(x)max∴a＞eq\f(1－e,2)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－e,2)，＋∞)).技法12估算法12．[2024·山東濟(jì)南部分學(xué)校聯(lián)考]設(shè)a＝2，b＝log35，c＝log45，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜b＜cB．a(chǎn)＜c＜bC．b＜c＜aD．c＜b＜a答案：B解析：因?yàn)閍＝2＜1，b＝log35＞c＝log45＞1，所以a＜c＜b，故選B.13．[2024·濟(jì)南市高考模擬考試]如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為()A.eq\f(9,2)B．5C．6D.eq\f(15,2)答案：D解析：連接BE，CE，四棱錐E－ABCD的體積為VE－ABCD＝eq\f(1,3)×3×3×2＝6，又多面體ABCDEF的體積大于四棱錐E－ABCD的體積，即所求幾何體的體積V>VE－ABCD＝6，而四個(gè)選項(xiàng)里面大于6的只有eq\f(15,2)，故選D.技法13等體積轉(zhuǎn)化法14．如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，AA1＝AB＝2，則三棱錐C1－AB1DA.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(3\r(2),3)答案：C解析：依題意，得V三棱錐C1－AB1D＝V三棱錐A－B1DC1＝eq\f(1,3)S△B1DC1×AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(22－12)＝eq\f(2\r(3),3).15．如圖，已知三棱錐P－ABC，底面ABC是邊長為2的正三角形，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB＝eq\r(2)，D為BC的中點(diǎn)．(1)求證：AB⊥PC；(2)求三棱錐B－PAD的體積．解析：(1)證明：如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE.因?yàn)镻B＝PA，所以AB⊥PE.因?yàn)锳C＝BC，所以AB⊥CE.又PE∩CE＝E，所以AB⊥平面PEC.又PC?平面PEC，所以AB⊥PC.(2)因