北師大版九年級(jí)下冊數(shù)學(xué) 第一章 直角三角形的邊角關(guān)系 教案

3．能運(yùn)用正切、坡度解決問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入某體育館為了方便不同需求的觀眾，設(shè)計(jì)了不同坡度的臺(tái)階．問題2：如何描述圖②中臺(tái)階的傾斜程度？除了用∠A的大小來描述，還可以用什么方方法一：通過測量BC與AC的長度算出它們的比，來說明臺(tái)階的傾斜程度；方法二：在臺(tái)階斜坡上另找一點(diǎn)B，測出BC明臺(tái)階的傾斜程度．二、合作探究探究點(diǎn)一：正切【類型一】根據(jù)正切的概念求正切值由上面的例子可以得出結(jié)論：直角三角形的兩個(gè)銳角的正切值互為________．解析：根據(jù)勾股定理求出需要的邊長，然后利用正切的定義解答即可．EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(16),12)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(4),3)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(12),16)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(3),4)48484848因而直角三角形的兩個(gè)銳角的正切值互為倒數(shù)．方法總結(jié)：求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用勾股定理求出需要的邊長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出對應(yīng)三角函數(shù)值即可．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第1題【類型二】在網(wǎng)格中求正切值已知：如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E都正方形的頂點(diǎn)上，求tan∠ADC的值．EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),3)方法總結(jié)：三角函數(shù)值的大小是由角度的大小確定的，因此可以把求一個(gè)角的三角函數(shù)值的問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與其相等的角的三角函數(shù)值．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第3題【類型三】構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值質(zhì)，可得DE與AE的長，根據(jù)線段的和差，可得BE的長，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義，可AC中點(diǎn)，得AD＝a.由∠A=∠ABC＝45°,又DE⊥AB，得△ADE是等腰直角三角形，∴方法總結(jié)：求三角函數(shù)值必須在直角三角形中解答，當(dāng)所求的角不在直角三角形內(nèi)時(shí)，可作輔助線構(gòu)造直角三角形進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題探究點(diǎn)二：坡度【類型一】利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比)堤的橫斷面如圖．堤高BC是5米，迎水斜坡AB坡度是()方法總結(jié)：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題【類型二】利用坡度解決實(shí)際問題645°,∴∠DCF＝45°,∴∠CDF＝45645°,∴∠DCF＝45°,∴∠CDF＝45°.∵CD＝44=43(m)，∴AE23.1(m)．所以，它的上底的長約為3.1m.構(gòu)造直角三角形．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題三、板書設(shè)計(jì)正切與坡度在直角三角形ABC中坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度的比，也就是坡角的正切值．在教學(xué)中，要注重對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有一些學(xué)生往往不注重基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)，認(rèn)為只要會(huì)做題就可以了，結(jié)果往往失分于選擇題、填空題等一些概念性較強(qiáng)的題目．通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理，教會(huì)學(xué)生如何進(jìn)行知識(shí)的歸納、總結(jié)，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解和掌握基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)目標(biāo):1、理解并掌握正切的含義，會(huì)在直角三角形中求出某個(gè)銳角的正切值。2、了解計(jì)算一個(gè)銳角的正切值的方法。理解并掌握正切的含義，會(huì)在直角三角形中求出某個(gè)銳角的正切值。計(jì)算一個(gè)銳角的正切值的方法。一、觀察回答：如圖某體育館，為了方便不同需求的觀眾設(shè)計(jì)了多種形式的臺(tái)階。下列圖中[點(diǎn)撥]可將這兩個(gè)臺(tái)階抽象地看成兩個(gè)三角形答：圖——的臺(tái)階更陡，理由二、探索活動(dòng)1、思考與探索一：除了用臺(tái)階的傾斜角度大小外，還可以如何描述②再算出它們的比，來說明臺(tái)階的傾斜程度。（思考：BC與AC長度的比與臺(tái)？）（1）如圖，一般地，如果銳角A的大小已確定，我們可以作出無數(shù)個(gè)相似的RtAB1C1，RtAB2C2，RtAB3C3……，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____……得：_________＝_________=……BAA（2）由上可知：如果直角三角形的一個(gè)銳角的大小已確定，那么這個(gè)銳角的對邊與這個(gè)角的鄰邊的比值也_________。3、正切的定義ABC鄰邊b的比叫做∠A_______，記作______。（你能寫出∠B的正切表達(dá)式嗎？）試試看.4、牛刀小試根據(jù)下列圖中所給條件分別求出下列圖中∠A、∠B的正切值。AAB1BC33（1）例如，根據(jù)書本P39圖7—5，我們可以這樣來確定tan65°的近似值：當(dāng)一個(gè)點(diǎn)從點(diǎn)O出發(fā)沿著65°線移動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)，這個(gè)點(diǎn)向右水平方向前進(jìn)了1個(gè)單位，那么在垂直方向上升了約2.14個(gè)單位。于是可知，tan65°的近似值為2.14。（2）請用同樣的方法，寫出下表中各角正切的近似值。θθ2.14（3）利用計(jì)算器我們可以更快、更精確地求得各個(gè)銳角的正切值。三、隨堂練習(xí)2、如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),連結(jié)EB，設(shè)∠EBA=α,則tanα=_________。六、拓寬與提高根據(jù)圖中的尺寸，請你通過計(jì)算判斷2、在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A4,1B1，3C4,31．理解正弦與余弦的概念；(重點(diǎn))2．能用正弦、余弦的知識(shí)，根據(jù)三角形中已知的邊和角求出未知的邊和角．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m，他的相對位置升高了5m.如果他沿著該斜坡行走了20m，那么他的相對位置升高了多少？行走了am呢？在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分別移動(dòng)了多少？根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，當(dāng)直角三角形的一個(gè)銳角的大小確定時(shí)，它的對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也就確定了．二、合作探究探究點(diǎn)：正弦和余弦【類型一】直接利用定義求正弦和余弦值解析：利用勾股定理求出AC，然后根據(jù)正弦和余弦的定義計(jì)算即可．EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(BC),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(5),13)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(AC),AB)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(12),13)方法總結(jié)：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，熟記三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第1題【類型二】已知一個(gè)三角函數(shù)值求另一個(gè)三角函數(shù)值5如圖，在△ABC中，∠C＝90°,點(diǎn)D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝3，求53535函數(shù)的定義解答．EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(3),5)＋52方法總結(jié)：在不同的直角三角形中，要根據(jù)三角函數(shù)的定義，分清它們的邊角關(guān)系，結(jié)合勾股定理是解答此類問題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題【類型三】比較三角函數(shù)的大小A．tan70°<cos70°<sin70°B．cos70°<tan70°<sin70°C．sin70°<cos70°<tan70°D．cos70°<sin70°<tan70°銳角的正弦值隨著角的增大而增大，∴sin70°>sin20°=cos70°.故選D.90°間變化時(shí)，tanA＞1.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第10題【類型四】與三角函數(shù)有關(guān)的探究性問題在Rt△ABC中，∠C＝90°,D為BC邊(除端點(diǎn)外)上的一點(diǎn)，設(shè)∠ADC=α,∠B=β.(2)試證明你的結(jié)論．sinβ；(2)利用三角函數(shù)的定義可求出sinα,si解：(1)猜想：sinα>sinβ;ACACACACACACACAC方法總結(jié)：利用三角函數(shù)的定義把兩角的正弦值表示成線段的比，然后進(jìn)行比較是解題【類型五】三角函數(shù)的綜合應(yīng)用解析：(1)根據(jù)高的定義得到∠ADB=∠ADC＝90°,再分別利用正切和余弦的定義得到ADADADADEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(AD),AC)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(12),13)所以AD＝24.AD(1)證明：∵AD是BC上的高，∴∠ADB=∠ADC＝90°.ADADAD變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第10題三、板書設(shè)計(jì)正弦與余弦3．利用正、余弦解決問題本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)以直角三角形為主線，力求體現(xiàn)生活化課堂的理念，讓學(xué)生在經(jīng)歷“問題情境——形成概念——應(yīng)用拓展——反思提高”的基本過程中，體驗(yàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生感受探究的樂趣，使學(xué)生在學(xué)中思，在思中學(xué)．在教學(xué)過程中，重視過程，深化理解，通過學(xué)生的主動(dòng)探究來體現(xiàn)他們的主體地位，教師是通過對學(xué)生參與學(xué)習(xí)的啟發(fā)、調(diào)勵(lì)來體現(xiàn)自己的引導(dǎo)作用，對學(xué)生的主體意識(shí)和合作交流的能力起著積極作用.［教學(xué)目標(biāo)］1、理解并掌握正弦、余弦的含義，會(huì)在直角三角形中求出某個(gè)銳角的正弦和余弦值。2、能用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切。［教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)］在直角三角形中求出某個(gè)銳角的正弦和余弦值。［教學(xué)過程］一、情景創(chuàng)設(shè)1、問題1：如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m后，他的相對位置升高了5m，如果他沿著該斜坡行走了20m，那么他的相對位置升高了多少？行走了am呢？20m20m2、問題2：在上述問題中，他在水平方向又分別前進(jìn)了多遠(yuǎn)？二、探索活動(dòng)1、思考：從上面的兩個(gè)問題可以看出：當(dāng)直角三角形的一個(gè)銳角的大小已確定時(shí)，它的對我們把銳角∠A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的______，記作________，即：sinA＝________=________.3、余弦的定義如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我們把銳角∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的______，記作=_________，？）4、牛刀小試根據(jù)如圖中條件，分別求出下列直角三角形中銳角的正弦、余弦值。5、思考與探索（1）如圖，當(dāng)小明沿著15°的斜坡行走了1個(gè)單位長度時(shí)，他的位置升高了約0.26個(gè)單位長度，在水平方向前進(jìn)了約0.97個(gè)單位長度。根據(jù)正弦、余弦的定義，可以知道：sin15°=0.26，cos15°=0.97sin30°=_____，cos30°=_____.sin75°=_____，cos75°=_____.（3）利用計(jì)算器我們可以更快、更精確地求得各個(gè)銳角的正弦值和余弦值。_____________________________________________________________。_____________________________________________________________。當(dāng)銳角α越來越大時(shí)，它的正弦值是怎樣變化的？余弦值又是怎樣變化的？_____________________________________________________________。6、銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的________三、隨堂練習(xí)cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.cosB=______,sinB=_______五、拓寬和提高試求最小角的三角函數(shù)值。(重點(diǎn))一、情境導(dǎo)入在直角三角形中(利用一副三角板進(jìn)行演示)，如果有一個(gè)銳角是30°(如圖①)，那么另一個(gè)銳角是多少度？三條邊之間有什么關(guān)系？如果有一個(gè)銳角是45°呢(如圖②)？由此你二、合作探究【類型一】利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算解析：將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．2223-6×=-=-1；(2)2223-6×=-=-1；(2)原式==22－3.22222222EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up5(1),2)+22222方法總結(jié)：解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題【類型二】已知三角函數(shù)值求角的取值范圍若cosα=,則銳角α的大致范圍是()A．0°<α<30°B．30°<α<45°C．45°<α<60°D．0°<α<30°322232222222,∴cos60°<cosα<cos45°,∴銳角α的范圍是45°<α<60°.故選C.方法總結(jié)：解決此類問題要熟記特殊角的三角函數(shù)值和三角函數(shù)的增減性．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題【類型三】已知三角函數(shù)值，求角度3(1)cos(α+10°)－2＝0；3(2)tan2α-(33＋1)tanα+33解析：(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值來求α的值；(2)用因式分解法解關(guān)于tanα的一元二次方程即可．解：(1)cos(α+10°)＝23，α+10°=30°,∴α=20°；(2)tan2α-(33＋1)tanα+33=0，(tanα-1)(tanα-33)＝0，tanα=1或tanα=33，∴α=45°或α=30°.方法總結(jié)：熟記特殊角的三角函數(shù)值以及將“tanα”看作一個(gè)未知數(shù)解方程是解決問題變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題探究點(diǎn)二：特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用【類型一】特殊角的三角函數(shù)值與其他知識(shí)的綜合解析：根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求出tanA及sinB的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A及∠B的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．∠C＝180°-45°-60°=75°,∴△ABC是銳角三角形．方法總結(jié)：一個(gè)數(shù)的絕對值和偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對值或偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題【類型二】利用特殊角的三角函數(shù)值求三角形的邊長如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°,∠B＝30°,AD是△ABC的角平分線，若解析：首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)推出∠BAC的度數(shù)，再求出∠CAD＝30°,最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出AD的長度．解：∵△ABC中，∠C＝90°,∠B＝30°,∴∠BAC＝60°.∵AD是△ABC的角平分方法總結(jié)：解決此題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化的思想，將已知和未知元素化歸到一個(gè)直角三角形中，進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第9題【類型三】構(gòu)造三角函數(shù)模型解決問題要求tan30°的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．作Rt△ABC，使∠C=90°,斜邊AB＝2，直角邊AC＝1，那么3=3.在此圖的基礎(chǔ)上，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，探究tan15°與tan75°的值．3解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及勾股定理首先求出CD的長，進(jìn)而得出tan15°23－3中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－3)2＝(1－x)2，解得x＝23－3，∴tan15°==2-33，tan75°=EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(BC),CD)＝23EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(3),－)3＝2＋3.方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造含有15°和75°的直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出15°和75°的三角函數(shù)值．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題三、板書設(shè)計(jì)1232332222132123tan2.應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值解決問題課程設(shè)計(jì)中引入非常直接，由三角板引入，直擊課題，同時(shí)也對前兩節(jié)學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行了整體的復(fù)習(xí)，效果很好．設(shè)計(jì)引題開門見山，節(jié)省了時(shí)間，為后面的教學(xué)提供了方便．在講解特殊角三角函數(shù)值時(shí)也很細(xì)，可以說前部分的教學(xué)很成功，學(xué)生理解的很好.教學(xué)目標(biāo)：1.能利用三角函數(shù)概念推導(dǎo)出特殊角的三角函數(shù)值.2.在探索特殊角的三角函數(shù)值的過程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.教學(xué)重點(diǎn)：特殊角30°、60°、45°的三角函數(shù)值.教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.一、鏈接：1.如圖，用小寫字母表示下列三角函數(shù)：仔細(xì)閱讀課本內(nèi)容后完成下面填空：三角函數(shù)值三角函數(shù)tana1.求下列各式的值（1）2sin300－cos450（2）sin600cos600（3）sin2300+cos23002.求滿足下列條件的銳角α:3.已知：如圖，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AC=2,AD=3.分別求出△ABC、△ACD、△BCD中各銳角的度數(shù).,則銳角α=________.若2cosα=1,則銳角α=_________.2．若∠A是銳角，且則cosA=_________3．若∠A=41°,則cosA的大致范圍是()A．0＜cosA＜1B.＜cosA＜C.4.計(jì)算1）tan30°sin60°+cos230°-sin245°tan45°02．初步理解仰角和俯角的概念及應(yīng)用．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖①和圖②,將一個(gè)Rt△ABC形狀的楔子從木樁的底端點(diǎn)P沿水平方向打入木樁底下，可以使木樁向上運(yùn)動(dòng)．如果楔子斜面的傾斜角為10°,楔子沿水平方向前進(jìn)5cm(如箭觀察圖②易知，當(dāng)楔子沿水平方向前進(jìn)5cm，即BN＝5cm時(shí)，木樁上升的距離為PN.PN在Rt△PBN中，∵tan10°=BN，∴PN＝BNtan10°=5tan10°(cm)．對于不是30°,45°,60°這些特殊角的三角函數(shù)值，可以利用科學(xué)計(jì)算器來求．二、合作探究探究點(diǎn)一：利用科學(xué)計(jì)算器解決含三角函數(shù)的計(jì)算問題【類型一】已知角度，用計(jì)算器求三角函數(shù)值用計(jì)算器求下列各式的值(精確到0.0001)：(3)cos25°18′；(4)sin18°+cos55°-tan59°.解析：熟練使用計(jì)算器，對計(jì)算器給出的結(jié)果，根據(jù)題目要求用四舍五入法取近似值．解：根據(jù)題意用計(jì)算器求出：(1)sin47°≈0.7314；(2)sin12°30′≈0.2164；(3)cos25°18′≈0.9041；(4)sin18°+cos55°-tan59°≈-0.7817.方法總結(jié)：解決此類問題關(guān)鍵是熟練使用計(jì)算器，使用計(jì)算器時(shí)要注意按鍵順序．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第3題【類型二】已知三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角的度數(shù)已知下列銳角三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角∠A，∠B的度數(shù)(結(jié)果精確到0.1°)：解析：熟練應(yīng)用計(jì)算器，對計(jì)算器給出的結(jié)果，根據(jù)題目要求用四舍五入取近似值．方法總結(jié)：解決此類問題關(guān)鍵是熟練使用計(jì)算器，在使用計(jì)算器時(shí)要注意按鍵順序．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題【類型三】利用計(jì)算器比較三角函數(shù)值的大小(1)通過計(jì)算(可用計(jì)算器)，比較下列各對數(shù)的大小，并提出你的猜想：②sin36°________2sin18°cos18°;③sin45°________2sin22.5°cos22.5°; 2sin30°cos30°; 2sin40°cos40°.猜想：已知0°<α<45°,則sin2α (2)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α,請根據(jù)提示，利用面積方法驗(yàn)證(1)解析：(1)利用計(jì)算器分別計(jì)算①至⑤各式中左邊與右邊的值，比較大??；(2)通過計(jì)算解：(1)①=②=③=④=⑤=猜想：=(2)已知0°<α<45°,則sin2α=2sinαcosα.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)方法總結(jié)：本題主要運(yùn)用了面積法，通過用不同的方法表示同一個(gè)三角形的面積，來得到三角函數(shù)的關(guān)系，此種方法在后面的學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到．探究點(diǎn)二：利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題【類型一】非特殊角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過C地，圖中AC＝10千米，∠CAB＝25°,∠CBA＝45°.因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．(1)求改直后的公路AB的長；(2)問公路改直后該段路程比原來縮短了多少千米(精確到0.1)?BC的長度，即可得出公路改直后該段路程比原來縮短的路程．=AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．所以，改直后的公路AB的長約為13.3千米；公路改直后該段路程比原來縮短了約2.6千米．方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)關(guān)系求出有關(guān)線段的長．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題【類型二】仰角、俯角問題團(tuán)面如圖，課外數(shù)學(xué)小組要測量小山坡上塔的高度DE，DE所在直線與水平線AN垂直．他們在A處測得塔尖D的仰角為45°,再沿著射線AN方向前進(jìn)50米到達(dá)B處，此時(shí)測得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°,小山坡坡頂E的仰角∠EBN＝25.6°活動(dòng)小組算一算塔高DE大約是多少米(結(jié)果精確到個(gè)位)．解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系表示出BF的長，進(jìn)而求出EF的長，得出答案．解：延長DE交AB延長線于點(diǎn)F，則∠DFA＝90°.∵∠A＝45°,∴AF＝DF.設(shè)EF=1.8，解得x≈31.故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．所以，塔高DE大約是81米．當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題三、板書設(shè)計(jì)三角函數(shù)的計(jì)算1．已知角度，用計(jì)算器求三角函數(shù)值2．已知三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角的度數(shù)3．仰角、俯角的意義本節(jié)課盡可能站在學(xué)生的角度上思考問題，設(shè)計(jì)好教學(xué)的每一個(gè)細(xì)節(jié)，讓學(xué)生更多地參與到課堂的教學(xué)過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)思考的過程，體驗(yàn)成功的喜悅和失敗的挫折，舍得把課堂讓給學(xué)生，盡最大可能在課堂上投入更多的情感因素，豐富課堂語言，使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結(jié)得失，不斷進(jìn)步．只有這樣，才能真正提高課堂教學(xué)效率，提高成績.對應(yīng)的銳角.顯示解在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏解在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏2．選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式解直角三角形．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖，美麗的徒駭河宛如一條玉帶穿城而過，沿河兩岸的濱河大道和風(fēng)景帶成為該市的一道新景觀．在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小亮在河西岸濱河大道一段AC上的A，B兩點(diǎn)處，利用測角儀分別對東岸的觀景臺(tái)D進(jìn)行了測量，分別測得∠DAC＝60°,∠DBC＝75°.又已知AB＝100米，根據(jù)以上條件你能求出觀景臺(tái)D到徒駭河西岸AC的距離嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：解直角三角形【類型一】利用解直角三角形求邊或角列條件解直角三角形．a(chǎn)2方法總結(jié)：解直角三角形時(shí)應(yīng)求出所有未知元素，盡可能地選擇包含所求元素與兩個(gè)已知元素的關(guān)系式求解．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題【類型二】構(gòu)造直角三角形解決長度問題∠EDF＝60°,利用解直角三角形解答即可． 在△EFD方法總結(jié)：解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題【類型三】構(gòu)造直角三角形解決面積問題形求出CD的長，最后根據(jù)三角形的面積公式解答即可．2解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵∠B＝45°,∴∠BAD＝45°,∴AD＝BD＝2AB=23方法總結(jié)：解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題三、板書設(shè)計(jì)解直角三角形2．解直角三角形的基本類型及其解法3．解直角三角形的簡單應(yīng)用本節(jié)課的設(shè)計(jì)，力求體現(xiàn)新課程理念．給學(xué)生自主探索的時(shí)間，給學(xué)生寬松和諧的氛圍，讓激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、主動(dòng)性.課題教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)用具執(zhí)教者教學(xué)內(nèi)容解直角三角形1、使學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題．2、培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．歸納直角三角形的邊、角之間的關(guān)系，利用這些關(guān)系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題．利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題．案請學(xué)生回答以上二小題，因?yàn)楸竟?jié)課主要是運(yùn)用以上關(guān)系解直角三角形，從而解決一些實(shí)際問題．第二大節(jié)“解直角三角形”，安排在銳角三角函數(shù)之后，通過計(jì)算題、證明題、應(yīng)用題和實(shí)習(xí)作業(yè)等多種形式，對概念進(jìn)行加深認(rèn)識(shí)，起到鞏固作用．同時(shí)，解直角三角形的知識(shí)可以廣泛地應(yīng)用于測量、工程技術(shù)和物理之中，主要是用來計(jì)算距離、高度和角度．其中的應(yīng)用題，內(nèi)容比較廣泛，具有綜合技術(shù)教育價(jià)值．解決這類問題需要進(jìn)行運(yùn)算，但三角的運(yùn)算與邏輯思維是密不可分的；為了便于運(yùn)算，常常先選擇公式并進(jìn)行變換．同時(shí)，解直角三角形的應(yīng)用題和實(shí)習(xí)作業(yè)也有利于培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，要求學(xué)生通過觀察，或結(jié)合文字畫出圖形，總之，解直角三角形的應(yīng)用題和實(shí)習(xí)作業(yè)可以培養(yǎng)學(xué)生的三大數(shù)學(xué)能力和分析問題、解決問題的能力．解直角三角形還有利于數(shù)形結(jié)合．通過這一章學(xué)習(xí)，學(xué)生才能對直角三角形概念有較完整認(rèn)識(shí)，才能把直角三角形的判定、性質(zhì)、作圖與直角三角形中邊、角之間的數(shù)量關(guān)系統(tǒng)一起來．另外，有些簡單的幾何圖形可分解為一些直角三角形的組合，從而也能用本章知識(shí)加以處理．基于以上分析，本節(jié)課復(fù)習(xí)解直角三角形知識(shí)主要通過幾個(gè)典型例題的教學(xué)，達(dá)到教學(xué)目標(biāo)．1、首先出示，通過一道簡單的解直角三角形問題，為以下實(shí)際應(yīng)用奠定基礎(chǔ)．根據(jù)下列條件，解直角三角形．教師分別請兩名同學(xué)上黑板板演，同時(shí)巡視檢查其余同學(xué)解題過程，對有問題的同學(xué)可單獨(dú)指導(dǎo)．待全體學(xué)生完成之后，大家共同檢查黑板上兩題的解題過程，通過學(xué)生互評，達(dá)到查漏補(bǔ)缺的目的，使全體學(xué)生掌握解直角三角形．如果班級(jí)學(xué)生對解直角三角形掌握較好，這兩個(gè)題還可以這樣處理：請二名同學(xué)板演的同時(shí)，把下面同學(xué)分為兩部分，一部分做①,另一部分做②,然后學(xué)生互評．這樣可以節(jié)約時(shí)間．在平地上一點(diǎn)C，測得山頂A的仰角為30°,向山沿直線前進(jìn)20米到D處，再測得山頂A的仰角為45°,求山高AB．此題一方面可引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)仰角、俯角的概念，如圖6-39，根據(jù)題意可得AB⊥BC，得∠ABC=90°,△ABD和△ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直線上，由∠ADB=45°,AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在Rt△ABC中，∠C=30°,可得AB與BC之間的關(guān)系，因此山高AB可求．學(xué)生在分析此題時(shí)遇到的困難是：在Rt△ABC中和Rt△ABD中，都找不出一條已知邊，而題目中的已知條件CD=20米又不會(huì)用．教學(xué)時(shí)，在這里教師應(yīng)著重引②,通過①,②兩式，可得AB長．∵∠ADB=45°,∴AB=BD，通過此題可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：有些直角三角形的已知條件中沒有一條已知邊，但已知二邊的關(guān)系，結(jié)合另一條件，運(yùn)用方程思想，也可以解決．3．例題3(出示投影片)如圖6-40，水庫的橫截面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB壩底寬AD(精確到0.1m)．坡度問題是解直角三角形的一個(gè)重要應(yīng)用，學(xué)生在解坡度問題時(shí)常遇到以下問1．對坡度概念不理解導(dǎo)致不會(huì)運(yùn)用題目中的坡度條件；2．坡度問題計(jì)算量較大，學(xué)生易出錯(cuò)；3．常需添加輔助線將圖形分割成直角三角形和矩形．因此，設(shè)計(jì)本題要求教師在教學(xué)中著重針對以上三點(diǎn)來考查學(xué)生的掌握情況．首先請學(xué)生分析：過B、C作梯形ABCD的高，將梯形分割成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形來解．教師可請一名同學(xué)上黑板板書，其他學(xué)生筆答此題．教師在巡視中為個(gè)別學(xué)生解開疑點(diǎn)，查漏補(bǔ)缺．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E、F，則BE=23m．答：斜坡AB長46m，坡角α等于30°,壩底寬AD約為68.8m．引導(dǎo)全體同學(xué)通過評價(jià)黑板上的板演，總結(jié)解坡度問題需要注意的問題：①適當(dāng)添加輔助線，將梯形分割為直角三角形和矩形．③計(jì)算中盡量選擇較簡便、直接的關(guān)系式加以計(jì)算．請學(xué)生總結(jié)：解直角三角形時(shí)，運(yùn)用直角三角形有關(guān)知識(shí)，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長度或角的大?。诜治鰡栴}時(shí)，最好畫出幾何圖形，按照圖中的邊角之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．這樣可以幫助思考、防止出錯(cuò)．板書設(shè)計(jì)教學(xué)反思小結(jié)與復(fù)習(xí)(二)二、新課講解三、課堂小結(jié)2．能夠建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入為倡導(dǎo)“低碳生活”，人們常選擇自行車作為代步工具，圖①所示的是一輛自行車的實(shí)物圖．圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm.點(diǎn)A、C、E在同一條直線上，且∠CAB=二、合作探究探究點(diǎn)：三角函數(shù)的應(yīng)用【類型一】利用方向角解決問題某船以每小時(shí)36海里的速度向正東方向航行，在點(diǎn)A測得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁．(2)若繼續(xù)向東航行有無觸礁危險(xiǎn)？請說明理由．CD是Rt△ACD和Rt△CBD的公共直角邊，可先求出CD在第(1)問已經(jīng)求出，只要進(jìn)行比較即可．EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)(2)∵CD＝3x＝93，93＜方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形中解決．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第4題【類型二】利用仰角和俯角解決問題某中學(xué)九年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)“直角三角形的邊角關(guān)系”時(shí)，組織開展測量物體高度的實(shí)踐活動(dòng)．在活動(dòng)中，某小組為了測量校園內(nèi)①號(hào)樓AB的高度(如圖)，站在②號(hào)樓的C處，測得①號(hào)樓頂部A處的仰角α=30°,底部B處的俯角β=45°.已知兩幢樓的水平距離BD為18米，求①號(hào)樓AB的高度(結(jié)果保留根號(hào))．AE＝CE·tan∠ACE＝18×tan30°=63(米)，∴AB所以，①號(hào)樓AB的高為(18＋63)米．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合仰角、俯角構(gòu)造直角三角形，然后再解直角三角形．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第1題【類型三】求河的寬度根據(jù)網(wǎng)上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計(jì)劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點(diǎn)，小張為了測量A、B之間的河寬，≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．410410410410方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計(jì)算出所要求的物體的高度或?qū)挾龋兪接?xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題【類型四】仰角、俯角和坡度的綜合應(yīng)用如圖，小麗假期在娛樂場游玩時(shí)，想要利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測量某個(gè)娛樂場地所在山坡AE的長度．她先在山腳下點(diǎn)E處測得山頂A的仰角是30°,然后，她沿著坡度是i小麗的步行速度是18米/分，圖中點(diǎn)A、B、E、D、C在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)D、E、B在同一水平直線上．求出娛樂場地所在山坡AE的長度(參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，結(jié)果精確到0.1米)．∠ECF＝30°,通過平角減去其他角從而得到∠AEF＝45°,即可求出AE的長度．∵tan∠CED＝1，∴∠CED=∠DCE＝45°.∵∠ECF＝90°-45°-15°=30°,∴EF2=1CE＝135米．∵∠CEF＝60°,∠AEB＝30°,∴∠AEF＝180°-45°-60°-30°=245°,∴AE＝2EF＝1352≈190.4(米)．所以，娛樂場地所在山坡AE的長度約為190.4米．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是能借助仰角、俯角和坡度構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．三、板書設(shè)計(jì)三角函數(shù)的應(yīng)用2．三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用本節(jié)課盡可能站在學(xué)生的角度上思考問題，設(shè)計(jì)好教學(xué)的每一個(gè)細(xì)節(jié)，上課前多揣摩．讓學(xué)把課堂讓給學(xué)生，讓學(xué)生做課堂這個(gè)小小舞臺(tái)的主角．教師盡最大可能在課堂上投入更多的不斷總結(jié)得失，不斷進(jìn)步．只有這樣，才能真正提高課堂教學(xué)效率.教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用.2.能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算，并能對結(jié)果的意義進(jìn)行說明.發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問題的能力.1.在經(jīng)歷弄清實(shí)際問題題意的過程中，畫出示意圖，培養(yǎng)獨(dú)立思考問題的習(xí)慣和克服困難的勇氣.2.選擇生活中學(xué)生感興趣的題材，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的欲望.教具重點(diǎn)1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決問題過程中的作用.2.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問題的能力.教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準(zhǔn)確地畫出示意圖.教學(xué)方法探索——發(fā)現(xiàn)法教具準(zhǔn)備多媒體演示教學(xué)過程[師]直角三角形就像一個(gè)萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個(gè)色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它使我們現(xiàn)實(shí)生活中不可能實(shí)現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應(yīng)用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.下面我們就來看一個(gè)問題(多媒體演示).海中有一個(gè)小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎?你是如何想的?與同伴進(jìn)行交流.下面就請同學(xué)們用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決此問題.(板書：船有觸礁的危險(xiǎn)嗎)[師]我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的?[生]應(yīng)該是“上北下南，左西右東”.[師]請同學(xué)們根據(jù)題意在練習(xí)本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的.方，且在A南偏東25°處.示意圖如下.[師]貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險(xiǎn)，由誰來決定?[生]根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險(xiǎn)，如果小于10海里則有觸礁的危險(xiǎn).A到BC所在直線的最短距離為過A作AD⊥BC，D為垂足，即AD的長度.我們需根據(jù)題意，計(jì)算出AD的長度，然后與10海里比較.[師]這位同學(xué)分析得很好，能將實(shí)際問題清晰條理地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.下面我們就來看AD如何求.根據(jù)題意，有哪些已知條件呢?[生]已知BC°=20海里，∠BAD＝55°,∠CAD＝25°.[師]在示意圖中，有兩個(gè)直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一個(gè)三角形中求出[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°,不能求AD.也不能求出AD.[師]那該如何是好?是不是可以將它們結(jié)合起來，站在一個(gè)更高的角度考慮?[生]我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形有聯(lián)系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個(gè)直角三角形BD與CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的對角是已知的，BD、CD和邊AD都有聯(lián)系.CD＝ADtan25°.[生]利用BC＝BD-CD就可以列出關(guān)于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°=[師]太棒了!沒想到方程在這個(gè)地方幫了我們的忙.其實(shí)，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一下面我們一起完整地將這個(gè)題做完.[師生共析]解：過A作BC的垂線，交BC于點(diǎn)D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，從而BD=ADtan55°,CD＝ADtan25°,由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°=20.AD(tan55°-tan25°)＝20，這樣AD≈20.79海里>10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險(xiǎn).[師]接下來，我們再來研究一個(gè)問題.還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度.多媒體演示如圖，小明想測量塔仰望塔頂，測得仰角為30°,再往塔的方向前進(jìn)50m至B處.測得仰角為60°.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到[師]我想請一位同學(xué)告訴我什么是仰角?在這個(gè)圖中，30°的仰角、60°的仰角分別指哪兩個(gè)角?[生]當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.[師]很好!請同學(xué)們獨(dú)立思考解決這個(gè)問題的思路，然后回答.(教師留給學(xué)生充分的思考時(shí)間，感覺有困難的學(xué)生可給以指導(dǎo))[生]首先，我們可以注意到CD是兩個(gè)直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共邊，在Rt即在Rt△BDC中即又∵AB=AC-BC＝50m，得 解得CD≈43(m)，[生]我有一個(gè)問題，小明在測角時(shí)，小明本身有一個(gè)高度，因此在測量CD的高度時(shí)應(yīng)考慮小明的身高.[師]這位同學(xué)能根據(jù)實(shí)際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞.在實(shí)際測量時(shí).的確應(yīng)該考慮小明的身高，更準(zhǔn)確一點(diǎn)應(yīng)考慮小明在測量時(shí)，眼睛離地面的距離.你能畫出示意圖嗎?右圖所示，由前面的解答過程可知CC′≈1.6＝44.6m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6m.[師]同學(xué)們的表現(xiàn)太棒了.現(xiàn)在我手里有一個(gè)樓梯改造工程問題，想請同學(xué)們幫忙解決一下.某商場準(zhǔn)備改善原來樓梯的安全性能，把已知原樓梯長為4m，調(diào)整后的樓梯會(huì)加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結(jié)果精確到0.0lm)后相互交流，討論各自的想法)中，要注意調(diào)整前后的梯樓的高度是一個(gè)不變量.根據(jù)題意可畫㈩示意圖(如右圖).其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長，BC是原樓梯的占地長度；AD是調(diào)整后的樓梯的長度，DB是調(diào)整后的樓梯的占地長度.∠ACB是原樓梯的傾角，∠ADB是調(diào)整后的樓梯的傾角.轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即為：如圖，AB⊥DB，∠ACB＝40°,∠ADB＝35°,AC＝4m.求AD-AC及DC的長度.[師]這位同學(xué)把這個(gè)實(shí)際樓梯調(diào)整問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題.大家從示意圖中不難看出這個(gè)問題是前面問題的變式.我相信同學(xué)們一定能用計(jì)算器輔助很快地解決它，開始吧![生]解：由條件可知，在Rt△ABC中即AB＝4sin40°m，原樓梯占地長BC＝4cos40°m.調(diào)整后,在Rt△ADB中則樓梯占地長∴調(diào)整后樓梯加長樓梯比原來多占DC＝DB-BC=Ⅲ.隨堂練習(xí)1.如圖，一燈柱AB被成40°夾角，且DB＝5m，另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長度為多少?BE=BC+EC＝2+5sin40°(m).所以鋼纜ED的長度為7.96m.2.如圖，水庫大壩的截面是梯形ABCD，壩頂AD=6m，坡長CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.(2)如果壩長100m.那么建筑這個(gè)大壩共需多少土石料?(結(jié)果精確到0.01m3)解：過A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F為垂足.1壩長為100m，那么建筑這個(gè)大壩共需土石料100×722≈10182.34(m3).綜上所述，∠ABC＝17°8′21″，建筑大壩共需10182.34m3土石料.Ⅳ.課時(shí)小結(jié)1．經(jīng)歷運(yùn)用儀器進(jìn)行實(shí)地測量以及撰寫活動(dòng)報(bào)告的過程，能夠?qū)λ玫降臄?shù)據(jù)進(jìn)行分析；(重點(diǎn))2．能綜合應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系的知識(shí)解決實(shí)際問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖所示，站在離旗桿BE底部10米處的D點(diǎn)，目測旗桿的頂部，視線AB與水平線的夾角∠BAC為34°,并已知目高AD為1.5米．現(xiàn)在若按1∶500的比例將△ABC畫在紙上，并記為△A′B′C′，用刻度直尺量出紙上B′C′的長度，便可以算出旗桿的實(shí)際高度．你知實(shí)際上，我們利用圖①中已知的數(shù)據(jù)就可以直接計(jì)算旗桿的高度，而這一問題涉及直角三角形中的邊角關(guān)系．我們已經(jīng)知道直角三角形的三條邊所滿足的關(guān)系(即勾股定理)，那么它的邊與角又有什么關(guān)系？這就是本節(jié)要探究的內(nèi)容．二、合作探究探究點(diǎn)：利用三角函數(shù)測高【類型一】測量底部可以到達(dá)的物體的高度如圖，在一次測量活動(dòng)中，小華站在離旗桿底部B處6米的D處，仰望旗桿頂端A，測得仰角為60°,眼睛離地面的距離ED為1.5米．試幫助小華求出旗桿AB的高度(結(jié)果精確到0.1米，3≈1.732)．AC所以，旗桿AB的高度約為11.9米．方法總結(jié)：本題借助仰角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合