高考導(dǎo)數(shù)解答題專練二（極值點(diǎn)極值問題）

高考導(dǎo)數(shù)解答題專練二(極值點(diǎn)，極值問題)

在解題中常用的有關(guān)結(jié)論(需要熟記)：

(1)曲線)，=f(x)在工=/處的切線的斜率等于八小)，切線方程為y=r(x0)(x-x0)+/(x0)

(2)若可導(dǎo)函數(shù)y=/(x)在X=X0處取得極值，則/'*0)=0。反之，不成立。

(3)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)/(?,不等式/'(幻>()(<())的解集決定函數(shù)的遞增(減)區(qū)間。

(4)函數(shù)/(外在區(qū)間I上遞增(減)的充要條件是：Vxw//。)20區(qū)0)恒成立

(5)函數(shù)/*)在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于/(x)在區(qū)間I上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程((%)=0在區(qū)間

I上有實(shí)根且為非二重根。(若廣(劃為二次函數(shù)且I=R,則有A>0)。

(6)f(x)在區(qū)間I上無極值等價(jià)于/(%)在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到尸(幻20或r(x)V0在I

上恒成立

⑺若X/XW/,f(X)>0恒成立，則f(%)min>0；若DXC/，/*)<0恒成立，則/(幻max<。

(8)若三/￡/,使得〃/)>0,則/(乩改>0；若使得7*0)<0,則/(X)min<0?

(9)

⑼設(shè)/5)與g(x)的定義域的交集為D若DXGDf(x)>80)恒成立則有[“幻_8(切*>0

(10)若對(duì)VX,G/nX2el2,f(X])>g(%)恒成立，則/(X)nin>g*)max.

若對(duì)X/X]W/I，3X2G/2，使得/(3)>以工2)，則f(X)min>g(x)min?

若對(duì)使得,則)

V%￡/],3x2GZ2,/(x,)<g(x2)f(x)max<g(%2.

(11)已知f(x)在區(qū)間，上的值域?yàn)锳,,g(x)在區(qū)間可上值域?yàn)锽,

若對(duì)V~e4，mx2￡/2,使得/(為)=8(%2)成立，則AqB。

(12)若三次函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程/'*)=0有兩個(gè)不等實(shí)根不、與，且極大值大于0,極小值

小于0.

(13)證題中常用的不等式：

①InxSx-1(x>0)②InCc+D&x(x>-l)③ex>l+x

1.已知函數(shù)/(x)=2/(欣-〃)+1.

(1)若〃=0,求曲線y=/(力在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.

(2)若證明：/(%)存在極小值.

(1)解：當(dāng)々=0時(shí)，f(x)=2exlnx+1,

所以f,(x)=2el(bix+~).

X

所以f(1)=1,f'(1)=2e.

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-l=陽.甘-1),

即2ex-y-2e+\=0.

(2)證明：i/(x)=2^(Znr-a)+l,得八x)=2^(/nx+」-a).

x

令h(x)=Inx+■!?一〃，貝?jh\x)=———y="J.

XXXXT

當(dāng)0<xv1時(shí)，hXx)<0;當(dāng)%>1時(shí)，h\x)>0.

所以力(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,位)上單調(diào)遞增，

所以力(x)的最小值為力(1)=\-a.

因?yàn)閍>l,所以/?(1)=1一々<0,h(ea)=—>0.

e"

因?yàn)榱Β窃?1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，

所以存在不€(1,產(chǎn))，使得〃(拓)=0,

在(1,%)上，h(x)<0,在($,+8)上，h(x)>0>

即在(1田)上，fr(x)<0?在(x?,+oo)上，ff(x)>0,

所以/(x)在(I,%)上單調(diào)遞減，在(與，+8)上單調(diào)遞增，

所以f(x)存在極小值.

2.己知函數(shù)/*)=江+》12,mwR?

2

(1)若m>0,函數(shù)/(x)圖象上所有點(diǎn)處的切線中，切線斜座的最小值為2,求

切線斜率取到最小值時(shí)的切線方程；

(2)若F(X)=/(X)-M有兩個(gè)極值點(diǎn)，且所有極值的和不小于3,求〃?的取

值范圍.

解：(1)f\x)=—+fnxtx>0?

X

當(dāng)m>0時(shí)，f\x)=--\-inx>14in，當(dāng)且僅當(dāng)，=加￥,即工=，日時(shí)取等號(hào)，/(幻取

xxVtn

得最小值2向,

所以2日=2,又/(1)=1,

所以〃2=1,此時(shí)切線方程y-；=2(x-l),即4x-2y—3=0;

(2)F(x)=f(x)-mx=Inx+-mxfx>0,

milg/、1/ndm]

WuF(x)=-+mx-m=--------------,

xx

2

因?yàn)槭?x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以爾-〃ir+l=0在x>0時(shí)有兩不等根，設(shè)為玉，x2,

m>0

所以

△=m2-4m>0

解得加>4,且玉+X,=1,XX2=—,

]m

F(x1)+F(x2)=//tr1+lnx2+x2)

=//l(AiX,)+y[(X1+&)2-2^A2]-m(X)+Xj)=-/w72-y-1,

令g(M=-加加一％-1,貝!J(("1)=---------<0,m>4t

22m

所以g(〃?)單調(diào)遞減且g(/)=-3-],

2

由g(m)...-^--3=g(e2)，

所以4〈甩,/.

3.已知函數(shù)/(x)=x-a(l+//u)的最小值為0.

(I)求〃：

(II)設(shè)函數(shù)x(人)="(人)，證明：8(人)有兩個(gè)極值點(diǎn)不，七，且g8)十&(七)<[.

解：(I)f(x)=x-a(l+lnx)t定義域是(0,+oo),

ax-a

f(x)=1——=----，

XX

4,0時(shí)，/")>(),/(x)在(0,+oo)遞增，無最小值，不合題意，

a>0時(shí)，令r(x)>0,解得：x>a,令r(x)<0,解得：X<af

故f(x)在(0M)遞減，在(a,+co)遞增，

故/(x)而“=/(a)=a—a-alna=-abia=0,解得：?=1?

綜上：〃=1：

(H)證明：由(I)^(x)=xf(x)=x2-x-xlnx,

則g'(x)=2x-\-\-lnx=2x-lnx-2t

g"(x)=3￡zl,令g〃(x)>o,解得：x>-,令g〃(x)<0,解得：0<x<-,

x22

故g，(x)在(0,J)遞減，在(g，+<?)遞增，

故g'(")的=g'(g)=加2—1<0，而g'(5)>0，g'(1)=0,

故g'(x)有2個(gè)零點(diǎn)芭,x2,其中%￡(0，)，巧=1,

由gG)=0,得：2xi-2=lnx},

故g(N)+g(X2)=f；+0,(,當(dāng)且僅當(dāng)內(nèi)=；時(shí)"="成立，

顯然“=”不成立，

故g(M)+g(W)

4.已知函數(shù)f(x)=eXsinx-ox(aeR),g(x)=e"cosx.

(I)當(dāng)a=。時(shí)，求函數(shù)了(用的單調(diào)區(qū)間；

(11)若函數(shù)/(外=/(幻一。)在弓，乃)上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(I)當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=sinx,

則/'(x)=，(sinx+cosx)=sin(x+—),

4

因?yàn)閑，>0,

所以當(dāng)%€(網(wǎng)+24乃，衛(wèi)+2攵初AcZ時(shí)，f\x)<0,即/(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞減，

44

當(dāng)xe(-&+2版?，包+2攵乃),2wZ時(shí)，/V)>0,即f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，

44

所以/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(/+2觀芝+24外水eZ，單調(diào)減區(qū)間為

44

,34_,7TV_,,._

(—+2k兀,——4-2kG、keZ;

44

(II)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)~g(x)=exsinx-ax-excosx=eT(sinx-cosx)-ax，

令”(x)=F\x)=2,sinx-a,

則〃(x)在(X,/r)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

2

H'(x)=2e“(sinx+cosx)=2\f2exsin(x+—),

4

故當(dāng)xw(三，包)時(shí)，H'(K)>0,則”(x)單調(diào)遞增,

24

當(dāng)xt(網(wǎng)，乃)時(shí)，H\x)<0,則"(x)單調(diào)遞減，

4

又〃⑺在小外上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),

2e2-a<0

AT3T

所以”⑸<0即<-a<0解得ae(2",&e4),

——

H(y)>0-y/ie7-a>0

故實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(2人&自).

2

5.己知aeR,/(x)=tanx-+X.

x+1

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求證：對(duì)任意xw(-l,g,/(%)..0;

(2)若x=0是函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)，求〃的取值范圍.

解：(1)證明：當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=tanx!—,

x+1

則/")=」1_(x+1)，-cos2X_(X+1+cosx)(x+1-cosx)

cos.(X+I)2COS2Mx+])2COS2X(X+1)2

當(dāng)時(shí)，x+l+cosx>0,

2

令人(X)=X+1-8SX,

則廳(x)=l+sinx>0,

所以人(幻在(―-)上單調(diào)遞增,

2

又/?(0)=0,

所以當(dāng)xe(-l,O)時(shí)，〃⑴<0,r(x)v0,/(X)單調(diào)遞減,

當(dāng)xc(0,9時(shí)，A(x)>0,/(X)單調(diào)遞增,

所以./(0)=0,

所以對(duì)任意X€(-l,g，/(X)..0,

(2)八加一十2：「

cosx(x+1)

(x+1)2-(ax2+2ax+V)cos2x

cos2x(x+\)2

X+l、2/2c八

----)-(ax'+2ax+\)

8sx

(X+l)2

令g(x)=-(ar2+2ar+l),

cosx

g(幻的正負(fù)與f(x)的單調(diào)性有關(guān)，且g(0)=0,

所以g，(x)=2(x+l)[8sx+(x：l)sinx_⑶,

COSX

令。⑶=8S'+(斗Dsi嗎

COSX

x+l+2(x+\)sin2x+—sin2x

所以(p\x)=-------------.——=------，

所以當(dāng)xe[0,新時(shí),夕3>o,

4

3

.x+14-(x+1)(1-cos2x)+—sin2x

當(dāng)X€[——，0]時(shí)，(p\x)=---------------j-------------，

4cosx

3.

_2x+2*+l)C0s2x+5sm272x+2+3x*+l)cosx5x+2-(x+1)_4.+1?。

COSAXcos4xcos4xcos4x

所以xe[」，馬時(shí),(p\x)..0,

44

所以奴x)在|-L2］上單調(diào)遞增,奴0)=1-a,

44

當(dāng)奴)0=1-a.0,即4,1時(shí),xw(0,馬時(shí),雙功>0,g'(x)>0,

4

所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，

4

又因?yàn)間(0)=0,

所以g(x)..O在(0,工)上恒成立，

4

所以八。.0在(03)上恒成立，

4

所以〃x)在(0，)上單調(diào)遞增，不合題意，

4

所以4,1舍去，

當(dāng)以0)=1-々<0時(shí)，即a>l,北，使得火彳)在(-LX。)恒為負(fù),

4

所以g<x),,0在(」，0)上成立，

4

所以g(x)在(-L0)上單調(diào)遞減，且g(0)=0,

4

所以xe(-L0)時(shí)，g(x)>o,r(x)>0，/(X)單調(diào)遞增，

4

XG((),/)時(shí),g(x)<0,f\x)<0?f(x)單調(diào)遞減，

所以/⑴在x=0處取得極大值，

所以a>l，

綜上所述，a的取值范圍為(1,18).

6.已知函數(shù)f(x)=/〃(x+l)+如r?,m>0.

(1)若/(X)在(1,f(1))處的切線斜率為葭，求函數(shù)/⑶的單調(diào)區(qū)間;

(2)g(x)=/(%)-sinx,若％=0是g(x)的極大值點(diǎn),求小的取值范圍.

解：(1)/(x)的定義域是(-1,-KXJ),f\x)=—+2mxf

x+1

:(1)=…=3

22

，/")$+6-6x2+6x+l

x+\

-3+x/3

令八*)=0,解得：X=z3-x5>_1

66

令r(x)>°，解得：-1<%〈司或人>^2,

令/'(X)<0，解得：Xx<X<X2f

故/(X)在(-1小)遞增，在(西，工2)遞減，在(七，+8)遞增，

即/a)的遞增區(qū)間是(一1,空叵)和(二史史,+00),遞減區(qū)間是(土衛(wèi),也i).

6666

(2)由題意得g(x)=/〃(x+l)+〃Ld-sinx,g(0)=0,

g<x)=」一+2tnx-cosx>g<0)=0?

\+x

令h(x)=g'(x),貝Uh'(x)=2m------~?+sinx,"(0)=2ni-1,

(1+x)-

若0</"<—,當(dāng)時(shí)，y=-----單調(diào)遞增，

22(1+x)

故廳(幻在㈠二)上單調(diào)遞增，

2

又?.?"(0)=26一1<0,1(馬=2用+1------!—>0,

2嗚了

故存在占w(o,g,使得卬(與)=0,

故當(dāng)xe(-1,X。)時(shí)，h\x)</a。)=0,

g'(x)=h(x)在上單調(diào)遞減，又g'(0)=h(0)=0,

故當(dāng)xe(-l,0)時(shí)，g<x)>0,當(dāng)x￡(0,%)時(shí)，g<x)v0,

故g(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0田)上單調(diào)遞減，符合題意，

若,當(dāng)xe(0,￡)時(shí)，/?'(x)=2m------5-r+sinx..1----------r+sinx>0,

22(1+x)2(1+x)2

故h(x)在(0,9遞增，g'(x)>g[0)=0,g(x)在(O,1)上遞增，

故x=0不可能是g(x)的極大值點(diǎn)，

綜上，當(dāng)x=0是g(x)的極大值點(diǎn)時(shí)，〃，的取值范圍是(0,；).

7.已知函數(shù)/'(%),％3+ov/ziv-(。+3工?

(1)若220,討論/*)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)aN-l時(shí)，討論函數(shù)/⑴的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：(1)f(x)的定義域?yàn)?o,+oo),/⑷+H收一;,

令且(幻=，爐+々/心」，gf(x)=x+—=x+a,

22xx

因?yàn)閍.O,所以g")>0,所以g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

又g(1)=0,所以當(dāng)x￡(O,l)時(shí),g(x)<0,即r(x)v。，當(dāng)xc(l,"o)時(shí)，g(x)>0，

即roo，

所以/⑴在(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,*o)上單調(diào)遞增.

(2)①當(dāng)&.0時(shí)，由(1)可知f(x)在(0,+oo)上有唯一極小值/(1),

所以極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).

②當(dāng)-L,a<0時(shí)，令g(t)='=0,得x=4-a?

當(dāng)X€(O,g^)時(shí),g\x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)XG,+O0)時(shí)，g'(x)>0>g(x)單

調(diào)遞增，

所以g(x)而“=g(/^)=--|+aln[4^a)-g,

令h(a)=-—+aln[\T^a)--,H(a)=-ln(-a),

222

因?yàn)?L,avO,所以〃(a),,。即力(a)在[-1,0)上單調(diào)遞減,所以〃0,皿=〃(-1)=0,

(i)當(dāng)a=-l時(shí),g{x}min=/i(-l)=0,在(0,+oo)上，g(x)..O恒成立，

即廣(處..0在((),”)上恒成立，所以/*)無極值點(diǎn)；

(ii)當(dāng)一1<々<0時(shí),0<-a<1,h(a)<0,艮Pg(x)加“<0，

日左-7--1-211士3

易矢口0ve"<\j-a,g(e")=—ea+alne1'——=—ea+—>0>

2222

2

所以存在唯一小，匚￡)使得g(F)=O,

且當(dāng)Ovxv與時(shí)，g(x)>0,當(dāng)時(shí)，g(x)<0,則/⑴在K=x0處取得極

大值；

又g(1)=0,所以當(dāng)時(shí)，g(x)<0,當(dāng)人>1時(shí)，g(x)>0,即f(x)在x=l

處取得極小值，

故此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

綜上所述，當(dāng)a=T時(shí)，/(X)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0;當(dāng)時(shí)，/(X)的極值點(diǎn)個(gè)

數(shù)為2；當(dāng)a.O時(shí)，/⑶的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

8.已知函數(shù)“￥)=/〃*+1)+?(/+%)+2(其中常數(shù)”>0).

(I)討論了(為的單調(diào)性；

(II)若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)不、x29JB.X]<x29求證：/(x1)<-2ln2+.

2

解：(/)f(x)=ln(x+1)+a(x+x)+2,則f\x)=」一+a(2x+1)=%"上3ux+"+l,x>_j,

1+xx+\

g(x)=2ax2+3ax+a+\,x>-\,△=/一8a,

①當(dāng)即0v%8時(shí),g*)..0,故所以/(x)在(T收)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)△>(),即當(dāng)a>8時(shí)，g(x)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根加舊右,

4a

-3a+>Ja2-8d

x.=-----------,

4a

又g(0)=〃+l>0,g(1)=6a+l>0,且對(duì)稱軸為x=——W(一1,0).,故玉，x,e(-l,0)，

4

所以當(dāng)-lvx<玉或%>工2時(shí)，g(x)>。，則/'(為)>0,故f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)辦vxv芍時(shí),g(x)<0,則八<)<0,故f(x)單調(diào)遞減；

綜上所述，當(dāng)0<%8時(shí)，/⑶在(-1,討)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>8時(shí)，/幻在7^二褊)和(-3〃->/7=褊收)上單調(diào)遞增,在

4a4a

C3a7a2-8a,衛(wèi)正衛(wèi))單調(diào)遞減；

4a4a

(II)證明：因?yàn)?.(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)x、4，且王<9，

所以百為/(x)的極大值點(diǎn)，

由(/)可知，一1〈不〈一3,以芭)=0,所以。=—J——，

42不+3玉+1

/(%)=/〃(&+1)+,?----；($2+苦)+2=歷(％+1)―/+2,

2x~+3芭+12xt+1

令(p(t)=ln(t+1)-j-+2(-1<t<一()，

則(p\t)=------二="4+3)>()對(duì)于恒成立，

/+1⑵+1)20+1)(2+1)24

故")在(-1,--)上單調(diào)遞增，

4

所以必)<(p(-；)=-2ln2+；,

故/(X)<-2歷2+；.

9.已知函數(shù)f(x)="-/心+1)+以,

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，求函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)ae[l,+oo)時(shí)，求證:“r)總存在唯一的極小值點(diǎn).％,fif(xo)>1.

(1)解：函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?-1,”).

當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=ex-ln(x+\),所以r(x)="--—,

x+1

易知八X)在(-1,用)上單調(diào)遞增，且r(o)=o.

則在(-1,0)上f\x)<0>在(0,-HJO)上f\x)>0,

從而了⑴在(T0)上單調(diào)遞減，在(0,心)上單調(diào)遞增.

(2)證明：f(x)=aex-ln(x+1)+Ina,所以f\x)=aex..—,且a..1.

x+1

設(shè)g(x)=f\x)，貝Ijg'(x)=aex+,I>0,

3+1)

所以g(x)在(-1,+<?)上單調(diào)遞增,即ro)在(-1,口)上單調(diào)遞增,

由r(x)=ae*-=0,得，=(%+1)武，

x+la

設(shè)獻(xiàn)x)=(x+l)e**(x)=(x+2)e*>0,則獻(xiàn)x)在[-1,+oo)上單調(diào)遞增且〃(一1)=0.

則當(dāng)aw[l,+oo)時(shí)，都恰有一個(gè)%>-1,使得-——=0,

%+1

且當(dāng)xe(-1,%)時(shí)/'(x)<0,當(dāng)xw(而,+8)時(shí)r(x)>0,

因此了(%)總有唯一的極小值點(diǎn)飛.

所以ae"=—!—，從而/=-Z?(x0+1)-同，

天+1

極<1、值/(x)=ae"-//2(x+1)+Ina=-2ln(x+1)+x

000Xo+10

由/〃a=-/〃(/+1)-40,可得當(dāng)ac[J,+oo)時(shí),一加(飛+1)-9-0,

即加(局+1)+%,0,/心。+1)+/隨%增大而增大，易得不€(-1,0].

令，=%+1,貝lJ/e(0,1],設(shè)夕⑺=一2加+1,Q(1)=13[(1)=_"；，<0,

所以口⑺在(0,1]上單調(diào)遞減，且夕(1)=1?從而如

即/(，).」.

10.已知函數(shù)/⑴=加:+3加-(4+1)%.

(1)若/(*?)在x=l處有極大值，求。的取值范圍；

(2)若/⑴的極大值為M,f(x)的極小值為N,當(dāng)^工。42時(shí)，求|M-N|的

取值范圍.

解：(1)/*(x)=—+av-(t7+l)=—————(x>0),(1分)

XX

①當(dāng)4,0時(shí)，ar-l<0,故有：當(dāng)0<xvl時(shí)，/(x)>0,/")單調(diào)遞增，

當(dāng)x>l時(shí)，ra)v。，/(x)單調(diào)遞減，此時(shí)/(X)在x=l處有極大值；(2分)

②當(dāng)0<4<1時(shí)，即■!■>].令r(x)=O,解得：x=—,x=I.故有：

aa

當(dāng)Ovxvl時(shí).f\x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)Ivxv'時(shí)，/(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

此時(shí)f(x)在x=l處有極大值：(3分)

③當(dāng)a=l時(shí)，/W..0,在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無極大值：(4分)

④當(dāng)4>1時(shí)，即令r(X)=O,解得：x=—,x=I.故有：

aa

當(dāng)Ovx〈1時(shí)，f\x)>0>/(x)單調(diào)遞增,當(dāng)，<xvi時(shí)，f\x)<D,f(x)單調(diào)遞減,

aa

當(dāng)了>1時(shí)，/*)>0，/(力單調(diào)遞增，此時(shí)/(x)在x=l處有極小值：(5分)

綜上所述，當(dāng)4V1時(shí)，/(X)在X=1處有極大值,

即4的取值范圍是(-00,1).(6分)

(2)由(1)可知，當(dāng)Ova<l時(shí)，M=f(1),N=f(-)，當(dāng)a>l時(shí)、M=f(-),N=/(I),

所以|M-N|=|/d)-/⑴R(加,------,(7分)

aa2a2a2a2

令g(x)=/〃^----+—=-Inx———+—(x>0)>

x2x22x2

mil111X2-2x4-1(X—1)~八

貝x++-—=一、?.0,

x2x~22x~2x~

所以g(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞增,(8分)

又g(1)=0,所以|g(x)|在Ovxvl單調(diào)遞減，在x>l單調(diào)遞增，(9分)

于是|M-N|=|g(a)I，

所以|M-N|=|g(a)|在a=；或a=2處取得最大值，|gg)|=(-加2,|g(2)|=(-/〃2,

(10分)

由于a>0且\M-N\=\g(a)|>g(1)=0,(11分)

所以0<|M-N|,,。-歷2,

4

即|M-N|的取值范圍是(0,--/?2].(12分)

4

11.已知函數(shù)人%)=欣+9(awR).

x

(1)若4=1,求/(X)的極值；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2

(3)若g(x)=qf(x)+x2-2x-巴有兩個(gè)極值點(diǎn)內(nèi)，x,(O<x(<Xy)>且不等式g(Xi)N

inx2恒成立，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

解：(1)々=1時(shí)，f(x)=lnx+—,定義域是(0,+oo),

1x-1

???/‘。)=一=

X7—

當(dāng)xw(O,l)時(shí)，r(x)vO,/(x)遞減，

xe(l,yo)時(shí)，八#>0,/(x)遞增，

故當(dāng)x=l時(shí)函數(shù)有極小值/(1)=1,無極大值;

(2)/3)的定義域是(0,位)，

①6,0時(shí)，x-a>0i則/G)>0,/(%)在(0,+co)遞增，

②a>0時(shí)，令/8)>0,解得：x>af令r(x)v0,解得:x<a,

故/(X)在(0,4)遞