第4節(jié)復(fù)數(shù)向量三角綜合教師版

第4節(jié)復(fù)數(shù)&三角綜合復(fù)習(xí)題型匯總：復(fù)數(shù)運(yùn)算及三角式三角和向量綜合一、知識(shí)點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的概念（1）叫虛數(shù)單位，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，．（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．=1\*GB3①?gòu)?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，叫的實(shí)部，叫的虛部；點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）．兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．=2\*GB3②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為，顯然，．2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．（3）．實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．3.復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義以復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)的向量為鄰邊作平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)表示的向量就是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量．對(duì)應(yīng)的向量是．二、題型：題型1.復(fù)數(shù)運(yùn)算例1.（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.【變式11】.（2024春·高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題得，所以.故選：C【變式12】.（2024·高一單元測(cè)試）已知為實(shí)數(shù)，且(為虛數(shù)單位)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意知，解得，所以故選：A【變式13】．（多選）已知復(fù)數(shù)，則下列敘述正確的是A．的虛部為 B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限 C． D．【解答】解：，則的虛部為2，故錯(cuò)誤，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故正確，，則，故正確，，故錯(cuò)誤．故選：．題型2.復(fù)數(shù)三角形式（1）復(fù)數(shù)的三角表示式一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線(xiàn)（射線(xiàn)）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．（2）輻角的主值任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差的整數(shù)倍．規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．（3）三角形式下的兩個(gè)復(fù)數(shù)相等兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．（4）復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算①兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即．②復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示的幾何意義復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，把向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積．（5）復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即．例2.（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）復(fù)數(shù)的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，故選：C.【變式21】.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，.故選：D.【變式22】.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)和的輻角主值分別為和，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：依題意復(fù)數(shù)和的輻角主值分別為和所以，，，所以因?yàn)?，，所以所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查輻角的概念，兩角和的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題.例3.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉被認(rèn)為是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)了歐拉公式，它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．特別是當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)令人著迷的優(yōu)美恒等式，這個(gè)恒等式將數(shù)學(xué)中五個(gè)重要的數(shù)（自然對(duì)數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位1和數(shù)字0）聯(lián)系到了一起，若表示的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則可以為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】得，當(dāng)時(shí)，，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限；當(dāng)時(shí)，，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限；當(dāng)時(shí)，，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限；故選：B．【變式31】.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）棣莫弗公式（其中為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（16671754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】由棣莫弗公式知，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限．故選：C．【變式32】．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】D【詳解】對(duì)于A，，其虛部為1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,，故的共軛復(fù)數(shù)為，D正確，故選：D題型3.三角向量綜合例4.（2024秋·湖北恩施·高一?？计谀┮阎蛄浚?，函數(shù).(1)求函數(shù)在的單調(diào)減區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若，求的值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）令，，解得：，的單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，在的單調(diào)減區(qū)間為（2）由得：

【變式41】.（2023秋·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）已知，設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)，求函數(shù)的值域；（2）當(dāng)，且，求的值．【答案】（1）f（x）=2sin（x+）+1∈[0，3]；（2）解：（1）∵=（cos2，sinx），=（2，1），∴f（x）==2cos2+sinx=1+cosx+sinx=2sin（x+）+1，∵x，可得：x+∈[﹣，]，∴sin（x+）∈[﹣，1]，可得：f（x）=2sin（x+）+1∈[0，3]．（2）∵f（α）=2sin（α+）+1=，∴解得：sin（α+）=，∵﹣，α+∈（﹣，），∴cos（α+）==，∴sin（2）=sin[2（α+）]=2sin（α+）cos（α+）=2×=．【變式42】.（2024春·湖北·高一校聯(lián)考期中）已知向量，，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.【答案】(1)(2)(1)∵，，∴，令，，得，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)當(dāng)時(shí)，，則，故，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?例5.（2023春·陜西西安·高一長(zhǎng)安一中?？计谥校┮阎蛄?，，且函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若在△ABC中，分別為角的對(duì)邊，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)橄蛄?，且函?shù)，所以，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，，由，得，所以所?【變式51】．（2023春·北京通州·高一統(tǒng)考期中）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量與垂直．(1)求A的大??；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即．由正弦定理得．因?yàn)?，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以．?）由余弦定理，得，

所以，

解得，或（舍）．

所以的面積．【變式52】．（2023春·河北張家口·高一河北省尚義縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）向量，設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得：，因?yàn)?，則，當(dāng)，即時(shí)，取到最小值；當(dāng)，即時(shí)，取到最大值；所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）由（1）可知：，即，因?yàn)椋瑒t，所以，解得，又因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，解得，又因?yàn)椋瑒t，所以，即.例6.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，令，且的周期為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1).(2)【詳解】（1），因?yàn)榈闹芷跒椋?，則，所以，所以．（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，由，得即可，所以，所以．【變?1】.（2023春·廣東肇慶·高一?？计谥校┮阎蛄浚?，函數(shù)，的最小正周期為．(1)求的解析式；(2)方程在上有且只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：，，∵的最小正周期為，∴，∴，則.（2）因?yàn)榉匠膛c在上有且僅有1個(gè)解，所以函數(shù)與在的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，∵，∴，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∵，，，若要使與只有1個(gè)交點(diǎn)，則或，解得或．【變式62】.（2023春·福建福州·高一福建省福州第八中學(xué)校考期中）已知向量，，函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式和對(duì)稱(chēng)軸方程；(2)若時(shí)，關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)根，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍及的值.【答案】(1)，對(duì)稱(chēng)軸方程是，；(2)，．【詳解】（1）由已知，，，所以對(duì)稱(chēng)軸方程是，；（2），時(shí)，遞增，時(shí)，遞減，，，，方程為，即，，或，因?yàn)?，所以時(shí)，，設(shè)，原方程有三個(gè)解，因此，即，在上有兩個(gè)解，記為，則，所以．鞏固練習(xí)1.（2023春·福建三明·高一?？茧A段練習(xí)）已知，是虛數(shù)單位.若，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因，a，，則有，所以.故選：B2.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的幅角主值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，即向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，，，則的幅角主值為即對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的幅角主值為故選：D3.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)可以寫(xiě)成，這種形式稱(chēng)為復(fù)數(shù)的三角式，其中叫復(fù)數(shù)的輻角，．若復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，則下列說(shuō)法①?gòu)?fù)數(shù)的虛部為；②；③與在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)；④復(fù)數(shù)的輻角為；其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】解：對(duì)于①，復(fù)數(shù)的虛部為，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，和在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，兩點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，所以③正確；對(duì)于④，，所以復(fù)數(shù)z的輻角為，所以④正確，故選：B4.（2023春·貴州畢節(jié)·高一校考階段練習(xí)）已知平面向量，，函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的最小正周期；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）方法一：因?yàn)橄蛄?，，可得且，，，可得函?shù)的最小正周期為.

方法二：因?yàn)橄蛄?，，，，即，可得函?shù)的最小正周期為.（2）由（1）知，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為－1.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為.所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?5.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量與向量的夾角為，其中、、是的內(nèi)角．(1)求的大??；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，，又，，化簡(jiǎn)得，（舍去）或，又，；（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，，則，．6.（2023春·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和對(duì)稱(chēng)軸；(2)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的解，記為.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：.【答案】(1)，對(duì)稱(chēng)軸為(2)①；②證明見(jiàn)解析【詳解】（1），令此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.令得，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為；（2）①，，由圖象分析得，有兩個(gè)不同的解，則，.②因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以，由圖象分析得，，.7.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，，，則________．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，，所以，所以，所以，所以，故答案為?8.（2024·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)的輻角，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限．【答案】一【詳解】解：設(shè)，，則，因?yàn)椋?，所以，則，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故答案為：一.9.（多選）（2023春·山東棗莊·高一棗莊八中校考階段練習(xí)）任何一個(gè)復(fù)數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱(chēng)之為復(fù)數(shù)的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱(chēng)這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．當(dāng)，時(shí)，C．當(dāng)，時(shí)，D．當(dāng)，時(shí)，若為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)【答案】AC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，則，可得，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，則，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，取，則為偶數(shù)，則不是純虛數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.10.（2023春·北京·高一校