2025年高考數學復習(新高考專用)第10講計數原理、概率、隨機變量及其分布(2022-2024高考真題)特訓(學生版+解析)

第10講計數原理、概率、隨機變量及其分布（2022-2024高考真題）（新高考專用）一、單項選擇題1．（2024·上海·高考真題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現從中任選一個盒子，設事件A：所選盒中有中國結，事件B：所選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則（

）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B相互獨立C．事件A與事件B∪C互斥 D．事件A與事件B∩C相互獨立2．（2024·北京·高考真題）在x?x4的展開式中，x3A．6 B．?6 C．12 D．?123．（2024·全國·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A．14 B．13 C．124．（2023·全國·高考真題）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（

）A．56 B．23 C．125．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（

）A．16 B．13 C．126．（2023·全國·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．207．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種8．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（

）．A．C40045?C200C．C40030?C2009．（2023·全國·高考真題）某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.410．（2022·全國·高考真題）分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學16周的各周課外體育運動時長（單位：h），得如下莖葉圖：則下列結論中錯誤的是（

）A．甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數為7.4B．乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數大于8C．甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4D．乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.611．（2022·全國·高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為（

）A．15 B．13 C．2512．（2022·全國·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大13．（2022·北京·高考真題）若(2x?1)4=a4xA．40 B．41 C．?40 D．?41二、多項選擇題14．（2024·廣東江蘇·高考真題）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值x=2.1，樣本方差s2=0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N1.8,0.12，假設推動出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布Nx,sA．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.815．（2023·全國·高考真題）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1?α；發(fā)送1時，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1?β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為(1?α)B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為βC．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為βD．當0<α<0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率三、填空題16．（2024·上海·高考真題）x?16展開式中x4的系數為17．（2024·上?！じ呖颊骖}）在(x+1)n的二項展開式中，若各項系數和為32，則x2項的系數為18．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記m為前兩次取出的球上數字的平均值，n為取出的三個球上數字的平均值，則m與n之差的絕對值不大于12的概率為19．（2024·全國·高考真題）13+x10的展開式中，各項系數中的最大值為20．（2024·天津·高考真題）在3x3+x321．（2024·全國·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是．22．（2024·上?！じ呖颊骖}）某校舉辦科學競技比賽，有A、B、C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫有4000道題，C題庫有3000道題．小申已完成所有題，已知小申完成A題庫的正確率是0.92，B題庫的正確率是0.86，C題庫的正確率是0.72．現他從所有的題中隨機選一題，正確率是．23．（2024·天津·高考真題）A,B,C,D,E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到A的概率為；已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為．24．（2024·廣東江蘇·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.25．（2023·天津·高考真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，三個箱子中的球數之比為5:4:6．且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%．若從每個箱子中各隨機摸出一球，則三個球都是黑球的概率為26．（2023·天津·高考真題）在2x3?1x6的展開式中，27．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數字作答）．28．（2022·全國·高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為．29．（2022·全國·高考真題）1?yx(x+y)8的展開式中x230．（2022·浙江·高考真題）已知多項式(x+2)(x?1)4=a0+a1x+a231．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為.32．（2022·浙江·高考真題）現有7張卡片，分別寫上數字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數字的最小值為ξ，則P(ξ=2)=，E(ξ)=．33．（2022·全國·高考真題）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N2,σ2，且P(2<X≤2.5)=0.36．四、解答題34．（2024·上?！じ呖颊骖}）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱．(1)隨機挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；(2)進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；(3)抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質量平均數為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單果質量平均數為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數，并預估果園中單果的質量．35．（2024·北京·高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：賠償次數01234單數800100603010假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.（i）記X為一份保單的毛利潤，估計X的數學期望EX（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中36．（2024·全國·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若p=0.4，q=0.5，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設0<p<q，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？37．（2023·北京·高考真題）為研究某種農產品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農產品連續(xù)40天的價格變化數據，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用頻率估計概率．(1)試估計該農產品價格“上漲”的概率；(2)假設該農產品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設該農產品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農產品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結論不要求證明）38．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且PXi=1=1?PXi=0=qi39．（2022·全國·高考真題）在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總人口的16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間40．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．41．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到9．50m甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）第10講計數原理、概率、隨機變量及其分布（2022-2024高考真題）（新高考專用）一、單項選擇題1．（2024·上海·高考真題）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現從中任選一個盒子，設事件A：所選盒中有中國結，事件B：所選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則（

）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B相互獨立C．事件A與事件B∪C互斥 D．事件A與事件B∩C相互獨立【解題思路】根據互斥事件和對立事件的定義，逐一判斷選項即可．【解答過程】選項A，事件A和事件B可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記事本，事件A與事件B不互斥，A錯誤；選項B，∵PA=12，∴P(A)P(B)=P(AB)，B正確；選項C，事件A與事件B∪C可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中可以既有中國結，又有記事本或筆袋，C錯誤；選項D，∵PA=12，∴P(A)P(B∩C)≠P(A∩(B∩C))，∴A與B∩C不獨立，故D錯誤．故選：B．2．（2024·北京·高考真題）在x?x4的展開式中，x3A．6 B．?6 C．12 D．?12【解題思路】寫出二項展開式，令4?r2=3【解答過程】x?x4的二項展開式為令4?r2=3故所求即為C4故選：A.3．（2024·全國·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A．14 B．13 C．12【解題思路】解法一：畫出樹狀圖，結合古典概型概率公式即可求解.解法二：分類討論甲乙的位置，結合得到符合條件的情況，然后根據古典概型計算公式進行求解.【解答過程】解法一：畫出樹狀圖，如圖，由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，故所求概率P=8解法二：當甲排在排尾，乙排第一位，丙有2種排法，丁就1種，共2種；當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1種排法，丁就1種，共2種；于是甲排在排尾共4種方法，同理乙排在排尾共4種方法，于是共8種排法符合題意；基本事件總數顯然是A4根據古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為824故選：B.4．（2023·全國·高考真題）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（

）A．56 B．23 C．12【解題思路】對6個主題編號，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結果，并求出抽到不同主題的結果，再利用古典概率求解作答.【解答過程】用1，2，3，4，5，6表示6個主題，甲、乙二人每人抽取1個主題的所有結果如下表：乙甲1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36個不同結果，它們等可能，其中甲乙抽到相同結果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6個，因此甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的結果有30個，概率P=30故選：A.5．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（

）A．16 B．13 C．12【解題思路】利用古典概率的概率公式，結合組合的知識即可得解.【解答過程】依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C4其中這2名學生來自不同年級的基本事件有C2所以這2名學生來自不同年級的概率為46故選：D.6．（2023·全國·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【解題思路】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.【解答過程】不妨記五名志愿者為a,b,c,d,e，假設a連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有A4同理：b,c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有12種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數有5×12=60種.故選：B.7．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【解題思路】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據分步乘法公式即可得到答案.【解答過程】首先確定相同得讀物，共有C6然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有A5根據分步乘法公式則共有C6故選：C.8．（2023·全國·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（

）．A．C40045?C200C．C40030?C200【解題思路】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【解答過程】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取60×400600=40根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有C400故選：D.9．（2023·全國·高考真題）某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【解題思路】先算出同時愛好兩項的概率,利用條件概率的知識求解.【解答過程】同時愛好兩項的概率為0.5+0.6?0.7=0.4，記“該同學愛好滑雪”為事件A,記“該同學愛好滑冰”為事件B，則P(A)=0.5,P(AB)=0.4，所以P(B∣A)=P(AB)故選:A.10．（2022·全國·高考真題）分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學16周的各周課外體育運動時長（單位：h），得如下莖葉圖：則下列結論中錯誤的是（

）A．甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數為7.4B．乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數大于8C．甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4D．乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6【解題思路】結合莖葉圖、中位數、平均數、古典概型等知識確定正確答案.【解答過程】對于A選項，甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數為7.3+7.52對于B選項，乙同學課外體育運動時長的樣本平均數為：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116B選項結論正確.對于C選項，甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值616C選項結論錯誤.對于D選項，乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值1316D選項結論正確.故選：C.11．（2022·全國·高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為（

）A．15 B．13 C．25【解題思路】方法一：先列舉出所有情況，再從中挑出數字之積是4的倍數的情況，由古典概型求概率即可.【解答過程】[方法一]：【最優(yōu)解】無序從6張卡片中無放回抽取2張，共有1,2,1,3,1,4,[方法二]：有序從6張卡片中無放回抽取2張，共有1,2,其中數字之積為4的倍數有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為1230故選：C.12．（2022·全國·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大【解題思路】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率p甲；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率p乙；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率【解答過程】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為12則此時連勝兩盤的概率為p則p=p記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為p乙則p記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為p則p則pp即p甲<p則該棋手在第二盤與丙比賽，p最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；p與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關.選項A判斷錯誤.故選：D.13．（2022·北京·高考真題）若(2x?1)4=a4xA．40 B．41 C．?40 D．?41【解題思路】利用賦值法可求a0【解答過程】令x=1，則a4令x=?1，則a4故a4故選：B.二、多項選擇題14．（2024·廣東江蘇·高考真題）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值x=2.1，樣本方差s2=0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N1.8,0.12，假設推動出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布Nx,sA．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8【解題思路】根據正態(tài)分布的3σ原則以及正態(tài)分布的對稱性即可解出.【解答過程】依題可知，x=2.1,s2故PY>2因為X~N1.8,0.12因為PX<1.8+0.1≈0.8413，所以而PX>2故選：BC．15．（2023·全國·高考真題）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1?α；發(fā)送1時，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1?β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為(1?α)B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為βC．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為βD．當0<α<0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【解題思路】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.【解答過程】對于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為(1?β)(1?α)(1?β)=(1?α)(1?β)對于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為(1?β)?β?(1?β)=β(1?β)對于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為C3對于D，由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率P=(1?α)單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率P′=1?α，而因此P?P′=故選：ABD.三、填空題16．（2024·上海·高考真題）x?16展開式中x4的系數為【解題思路】根據給定條件，利用二項式定理直接求出結果.【解答過程】x?16展開式中令x4的項為所以x?16展開式中x故答案為：15.17．（2024·上海·高考真題）在(x+1)n的二項展開式中，若各項系數和為32，則x2項的系數為【解題思路】令x=1，解出n=5，再利用二項式的展開式的通項合理賦值即可.【解答過程】令x=1，∴(1+1)n=32，即2所以(x+1)5的展開式通項公式為Tr+1=C5∴T故答案為：10．18．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記m為前兩次取出的球上數字的平均值，n為取出的三個球上數字的平均值，則m與n之差的絕對值不大于12的概率為715【解題思路】根據排列可求基本事件的總數，設前兩個球的號碼為a,b，第三個球的號碼為c，則a+b?3≤2c≤a+b+3，就c的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.【解答過程】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有A6設前兩個球的號碼為a,b，第三個球的號碼為c，則a+b+c3故2c?(a+b)≤3，故?3≤2c?(a+b)≤3故a+b?3≤2c≤a+b+3，若c=1，則a+b≤5，則a,b為：2,3,若c=2，則1≤a+b≤7，則a,b為：1,3,3,1,當c=3，則3≤a+b≤9，則a,b為：1,2,2,1,故有16種，當c=4，則5≤a+b≤11，同理有16種，當c=5，則7≤a+b≤13，同理有10種，當c=6，則9≤a+b≤15，同理有2種，共m與n的差的絕對值不超過12時不同的抽取方法總數為2故所求概率為56120故答案為：71519．（2024·全國·高考真題）13+x10【解題思路】先設展開式中第r+1項系數最大，則根據通項公式有C10r1【解答過程】由題展開式通項公式為Tr+1=C10r設展開式中第r+1項系數最大，則C10?r≥294r≤334，即所以展開式中系數最大的項是第9項，且該項系數為C10故答案為：5.20．（2024·天津·高考真題）在3x3+【解題思路】根據題意結合二項展開式的通項分析求解即可.【解答過程】因為3x3+令6r?3=0，可得所以常數項為30故答案為：20.21．（2024·全國·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有24種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是112．【解題思路】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結果，即可求解.【解答過程】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有4×3×2×1=24種選法；每種選法可標記為(a,b,c,d)，a,b,c,d分別表示第一、二、三、四列的數字，則所有的可能結果為：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個數之和最大，為15+21+33+43=112.故答案為：24；112.22．（2024·上?！じ呖颊骖}）某校舉辦科學競技比賽，有A、B、C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫有4000道題，C題庫有3000道題．小申已完成所有題，已知小申完成A題庫的正確率是0.92，B題庫的正確率是0.86，C題庫的正確率是0.72．現他從所有的題中隨機選一題，正確率是0.85．【解題思路】求出各題庫所占比，根據全概率公式即可得到答案.【解答過程】由題意知，A,B,C題庫的比例為：5:4:3，各占比分別為512則根據全概率公式知所求正確率p=5故答案為：0.85．23．（2024·天津·高考真題）A,B,C,D,E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到A的概率為35；已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為12【解題思路】結合列舉法或組合公式和概率公式可求甲選到A的概率；采用列舉法或者條件概率公式可求乙選了A活動，他再選擇B活動的概率.【解答過程】解法一：列舉法從五個活動中選三個的情況有：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種情況，其中甲選到A有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，則甲選到A得概率為：P=6乙選A活動有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，其中再選則B有3種可能性：ABC,ABD,ABE，故乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為36解法二：設甲、乙選到A為事件M，乙選到B為事件N，則甲選到A的概率為PM乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為P故答案為：35；124．（2024·廣東江蘇·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為12【解題思路】將每局的得分分別作為隨機變量，然后分析其和隨機變量即可.【解答過程】設甲在四輪游戲中的得分分別為X1,X對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有六種，從而甲在該輪得分的概率PXk=1從而EX記pk如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出2，4，6，8，所以p0如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出8，2，4，6，所以p3而X的所有可能取值是0，1，2，3，故p0+p所以p1+p2+112所以甲的總得分不小于2的概率為p2故答案為：1225．（2023·天津·高考真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，三個箱子中的球數之比為5:4:6．且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%．若從每個箱子中各隨機摸出一球，則三個球都是黑球的概率為0.05【解題思路】先根據題意求出各盒中白球，黑球的數量，再根據概率的乘法公式可求出第一空；根據古典概型的概率公式可求出第二個空．【解答過程】設甲、乙、丙三個盒子中的球的個數分別為5n,4n,6n，所以總數為15n，所以甲盒中黑球個數為40%×5n=2n，白球個數為乙盒中黑球個數為25%×4n=n，白球個數為丙盒中黑球個數為50%×6n=3n，白球個數為記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件A，所以，PA記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件B，黑球總共有2n+n+3n=6n個，白球共有9n個，所以，PB故答案為：0.05；3526．（2023·天津·高考真題）在2x3?1x6的展開式中，【解題思路】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式Tk+1=?1k×26?k【解答過程】展開式的通項公式Tk+1令18?4k=2可得，k=4，則x2項的系數為?1故答案為：60.27．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有64種（用數字作答）．【解題思路】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結合組合數運算求解.【解答過程】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C4（2）當從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C4②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C4綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.故答案為：64.28．（2022·全國·高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為310【解題思路】根據古典概型計算即可【解答過程】解法一：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率P=3故答案為：310解法二：從5名同學中隨機選3名的方法數為C甲、乙都入選的方法數為C31故答案為：31029．（2022·全國·高考真題）1?yx(x+y)8的展開式中【解題思路】1?yxx+y【解答過程】因為1?y所以1?yxx+y8的展開式中含1?yxx+y故答案為：-28.30．（2022·浙江·高考真題）已知多項式(x+2)(x?1)4=a0+a1x+a2【解題思路】第一空利用二項式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令x=0求出a0，再令x=1【解答過程】含x2的項為：x?C4令x=0，即2=a令x=1，即0=a∴a1故答案為：8；?2．31．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為1221；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為117【解題思路】由題意結合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.【解答過程】由題意，設第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則P(BC)=4故答案為：1221；32．（2022·浙江·高考真題）現有7張卡片，分別寫上數字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數字的最小值為ξ，則P(ξ=2)=1635，E(ξ)=127【解題思路】利用古典概型概率公式求P(ξ=2)，由條件求ξ分布列，再由期望公式求其期望.【解答過程】從寫有數字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有C73種取法，其中所抽取的卡片上的數字的最小值為2的取法有C4由已知可得ξ的取值有1，2，3，4，P(ξ=1)=C62，P

所以E(ξ)=1×15故答案為：1635，1233．（2022·全國·高考真題）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N2,σ2，且P(2<X≤2.5)=0.360.14．【解題思路】根據正態(tài)分布曲線的性質即可解出．【解答過程】因為X～N2,σ2，所以P故答案為：0.14．四、解答題34．（2024·上?！じ呖颊骖}）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱．(1)隨機挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；(2)進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；(3)抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質量平均數為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單果質量平均數為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數，并預估果園中單果的質量．【解題思路】（1）利用組合知識和超幾何分布求概率公式求出答案；（2）利用分層抽樣的定義進行求解；（3）根據公式計算出總體樣本平均質量和方差，并預估平均質量.【解答過程】（1）設A事件為恰好選到一級果和二級果各一箱，樣本空間的樣本點的個數n=CA事件的樣本點的公式m=C所以PA（2）因為一級果箱數：二級果箱數=102:34=3:1，所以8箱水果中有一級果抽取8×33+1=6（3）設一級果平均質量為x，方差為Sx2，二級果質量為y，方差為總體樣本平均質量為z，方差為S2因為x=303.45，y=240.41，Sx所以z=S2=120預估平均質量為10213635．（2024·北京·高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：賠償次數01234單數800100603010假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.（i）記X為一份保單的毛利潤，估計X的數學期望EX（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中【解題思路】（1）根據題設中的數據可求賠償次數不少2的概率;（2）（ⅰ）設ξ為賠付金額，則ξ可取0,0.8,0.1.6,2.4,3，用頻率估計概率后可求ξ的分布列及數學期望，從而可求（ⅱ）先算出下一期保費的變化情況，結合（1）的結果可求EY【解答過程】（1）設A為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，由題設中的統(tǒng)計數據可得PA（2）（ⅰ）設ξ為賠付金額，則ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3，由題設中的統(tǒng)計數據可得Pξ=0P(ξ=1.6)=601000=P(ξ=3)=10故E故EX（ⅱ）由題設保費的變化為0.4×4故EY從而EX36．（2024·全國·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若p=0.4，q=0.5，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設0<p<q，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？【解題思路】（1）根據對立事件的求法和獨立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先各自計算出P甲=1?(1?p)3q3【解答過程】（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，∴比賽成績不少于5分的概率P=1?（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為P甲若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為P乙∵0<p<q，∴=(q?p)=(p?q)=3pq(p?q)(pq?p?q)=3pq(p?q)[(1?p)(1?q)?1]>0，∴P(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績X的所有可能取值為0，5，10，15，P(X=0)=(1?p)P(X=5)=1?P(X=10)=1?P(X=15)=1?∴E(X)=15記乙先參加第一階段比賽，比賽成績Y的所有可能取值為0，5，10，15，同理E(Y)=15∴E(X)?E(Y)=15[pq(p+q)(p?q)?3pq(p?q)]=15(p?q)pq(p+q?3)，因為0<p<q，則p?q<0，p+q?3<1+1?3<0，則(p?q)pq(p+q?3)>0，∴應該由甲參加第一階段比賽.37．（2023·北京·高考真題）為研究某種農產品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農產品連續(xù)40天的價格變化數據，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用頻率估計概率．(1)試估計該農產品價格“上漲”的概率；(2)假設該農產品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設該農產品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農產品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結論不要求證明）【解題思路】（1）計算表格中的+的次數，然后根據古典概型進行計算；（2）分別計算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進行計算；（3）通過統(tǒng)計表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進行推斷第41天的情況.【解答過程】（1）根據表格數據可以看出，40天里，有16個+，也就是有16天是上漲的，根據古典概型的計算公式，農產品價格上漲的概率為：16（2）在這40天里，有16天上漲，14天下跌，10天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是0.4，0.35，0.25，于是未來任取4天，2天上漲，1天下跌，1天不變的概率是C（3）由于第40天處于上漲狀態(tài)，從前39次的15次上漲進行分析，上漲后下一次仍上漲的有4次，不變的有9次，下跌的有2次，因此估計第41次不變的概率最大.38．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人