2025年高考數(shù)學復習核心考點(新高考專用)專題7.2空間點、直線、平面之間的位置關系【八大題型】特訓(學生版+解析)

專題7.2空間點、直線、平面之間的位置關系【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】 4【題型2點共線、點（線）共面、線共點問題】 5【題型3等角定理】 6【題型4平面分空間問題】 7【題型5截面問題】 8【題型6異面直線的判定】 9【題型7異面直線所成的角】 10【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關系】 111、空間點、直線、平面之間的位置關系考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義(2)了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題2022年新高考I卷：第9題，5分2022年上海卷：第15題，5分2023年上海卷：第15題，5分空間點、直線、平面之間的位置關系是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，主要分兩方面進行考查，一是空間中點、線、面關系的命題的真假判斷；二是異面直線的判定和異面直線所成角問題；常以選擇題、填空題的形式考查，難度較易.【知識點1平面的基本事實及推論】1．四個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論(1)四個基本事實及其表示①基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.②基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).③基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.④基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(2)四個基本事實的作用

基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.

基本事實2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗平面.

基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.基本事實4：①判斷兩條直線平行.(3)基本事實1和2的三個推論推論自然語言圖形語言符號語言推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.點A?aa與A共面于平面α,且平面唯一.推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.a∩b=Pa與b共面于平面α,且平面唯一.推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.直線a//b直線a,b共面于平面α,且平面唯一.2．等角定理(1)自然語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

(2)符號語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.【知識點2共面、共線、共點問題的證明方法】1．共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.【知識點3平面分空間問題】1．平面分空間問題一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢?三個平面呢?

(1)兩個平面有兩種情形：

①當兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).(2)三個平面有五種情形：

①當三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；

④當三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).【知識點4空間點、線、面之間的位置關系】1．空間中直線與直線的位置關系(1)三種位置關系

我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關系有三種：(2)異面直線的畫法

為了表示異面直線a,b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.2．空間中直線與平面的位置關系直線與平面的位置關系有且只有三種，具體如下：位置關系圖形表示符號表示公共點直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點直線與平面相交有且只有一個公共點直線與平面平行沒有公共點3．空間中平面與平面的位置關系(1)兩種位置關系兩個平面之間的位置關系有且只有以下兩種，具體如下：位置關系圖形表示符號表示公共點兩個平面平行沒有公共點兩個平面相交有一條公共直線(2)兩種位置關系平行平面的畫法技巧

畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行.4．異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a'//a，b'//b，把a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：.【方法技巧與總結(jié)】1．證明點共線與線共點都需用到基本事實3.2．兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于異面直線所成的角，也可能等于其補角.【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】【例1】（2024·全國·模擬預測）給出下列四個結(jié)論：①經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；②經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；③經(jīng)過三點，有且只有一個平面；④經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．三點確定一個平面 B．四邊形確定一個平面C．三角形確定一個平面 D．一條直線和一個點確定一個平面【變式1-2】（23-24高三下·云南昆明·階段練習）已知α，β是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是（

）A．若α∩β=l，A∈α且A∈β，則A∈lB．若A，B，C是平面α內(nèi)不共線三點，A∈β，B∈β，則C?βC．若直線a?α，直線b?β，則a與b為異面直線D．若A，B是兩個不同的點，A∈α且B∈α，則直線AB?α【變式1-3】（23-24高一下·河南安陽·階段練習）下列命題正確的是（

）A．過三個點有且只有一個平面B．如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線不一定共面C．四邊形為平面圖形D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線【題型2點共線、點（線）共面、線共點問題】【例2】（2024·吉林·模擬預測）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，直線A1A．A,M,O三點共線 B．M,O,AC．B,B1,O,M四點共面 【變式2-1】（23-24高一下·江蘇·階段練習）下列選項中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的是（

）A． B．C． D．【變式2-2】（2024·重慶·二模）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G,H分別在BC，CD上，且BG:

①E，F(xiàn)，G，H四點共面；②EG//FH;③若直線EG與直線FH交于點P，則P，A，A．0 B．1 C．2 D．3【變式2-3】（2024·四川南充·三模）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1，E、F、G、H分別為AB、A．AB．E、F、G、H四點共面C．設BC=2，則平面EFC1D．EF、GH、AA【題型3等角定理】【例3】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）給出下列命題：①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補．其中正確的命題有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式3-1】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）已知AB//PQ，BC//QR，∠ABC=30°，則A．30° B．30°或150°C．150° D．30°或120°【變式3-2】（23-24高一·全國·課前預習）在三棱錐P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F(xiàn)分別是AB，PA，AC的中點，則∠DEF＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）兩個三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形（

）A．全等 B．相似C．僅有一個角相等 D．無法判斷【題型4平面分空間問題】【例4】（2023·廣東廣州·模擬預測）三個不互相重合的平面將空間分成n個部分，則n不可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式4-1】（23-24高二上·四川樂山·階段練習）三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（

）A．

B．

C．

D．

【變式4-2】（23-24高一下·浙江·期末）空間的4個平面最多能將空間分成（

）個區(qū)域．A．13 B．14 C．15 D．16【變式4-3】（2024·四川內(nèi)江·三模）三個不互相重合的平面將空間分成n個部分，則n的最小值與最大值之和為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【題型5截面問題】【例5】（2023·四川南充·一模）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為A．32 B．92 C．9【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱BC的中點，用過點

A．32+25 B．9 C．2【變式5-2】（2024·上海黃浦·二模）如圖，已知P,Q,R分別是正方體ABCD?A1B1C1DA．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【變式5-3】（2023·天津和平·三模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為6，點E，F(xiàn)分別在棱D1A1，D1C1上，且滿足D1ED1AA．822 B．622 C．422【題型6異面直線的判定】【例6】（2024·上海·模擬預測）如下圖，P是正方體ABCD?A1B1C1DA．直線DD1 B．直線B1C C．直線【變式6-1】（23-24高一下·河北·期中）如圖，這是一個正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線AD是異面直線的是（

）

A．FG B．EH C．EF D．BC【變式6-2】（2024·山東濰坊·模擬預測）學校手工課上同學們分組研究正方體的表面展開圖．某小組得到了如圖所示表面展開圖，則在正方體中，AB、CD、EF、GH這四條線段所在的直線中，異面直線有（

）A．1對 B．3對 C．5對 D．2對【變式6-3】（2024·四川宜賓·二模）四棱錐P?ABCD所有棱長都相等，M、N分別為PA、CD的中點，下列說法錯誤的是（

）A．MN與PD是異面直線 B．MN//平面C．MN//AC 【題型7異面直線所成的角】【例7】（2024·新疆喀什·三模）已知底面邊長為2的正四棱柱ABCD?A1B1C1DA．255 B．55 C．10【變式7-1】（2024·云南·二模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A．π6 B．π4 C．π3【變式7-2】（2024·陜西·模擬預測）如圖，在直三棱柱ABD?A1B1D1中，AB=AD=AA1,∠ABD=45°，PA．30° B．45° C．60° D．90°【變式7-3】（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=AB，點D是線段AA．510 B．1010 C．1020【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關系】【例8】（2024·上海長寧·二模）已知直線a,b和平面α，則下列判斷中正確的是（

）A．若a//α,b//α，則a//b B．若a//b,b//α，則a//αC．若a//α,b⊥α，則a⊥b D．若a⊥b,b//α，則a⊥α【變式8-1】（2024·浙江紹興·三模）設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若α⊥β，m∥α，則m⊥βB．若m⊥β，m⊥α，n∥α，則n∥βC．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α⊥βD．若α∩β=m，n∥α，n∥β，則m∥n【變式8-2】（2024·河南·三模）已知m,n為兩條不同的直線，α,β為兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（

）A．若m?α，n?α，m//β，nB．若m//α，n?αC．若n//m，m?α，n?αD．若α//β，m?α，n?β【變式8-3】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知m?n是兩條不同的直線，α?A．若m∥α,m∥β，則α∥βB．若m∥α,n∥α，則m∥nC．若α⊥β,β⊥γ，則α∥γD．若m⊥α,m⊥β,α∥γ，則β∥γ一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預測）在空間中，下列命題是真命題的是（

）A．三條直線最多可確定1個平面 B．三條直線最多可確定2個平面C．三條直線最多可確定3個平面 D．三條直線最多可確定4個平面2．（2024·上?！と＃┰诳臻g中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件3．（2024高一·全國·專題練習）平面α，β，γ不能將空間分成（）A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分4．（2024·陜西銅川·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．若直線l,m,n兩兩相交，則直線l,m,n共面B．若直線l,m與平面α所成的角相等，則直線l,m互相平行C．若平面α上有三個不共線的點到平面β的距離相等，則平面α與平面β平行D．若不共面的4個點到平面α的距離相等，則這樣的平面α有且只有7個5．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知正四棱錐P?ABCD的所有棱長均相等，E為棱PA的中點，則異面直線BE與PC所成角的余弦值為（

）A．63 B．?63 C．36．（2024·寧夏銀川·三模）A,B是兩個不同的點，α,β為兩個不同的平面，下列推理錯誤的是（

）A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=ABC．l?α,A∈l?A?αD．A∈l,l?α?A∈α7．（2024·湖南·二模）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A．E,F,G,H四點共面 B．EF//GHC．EG,FH,AA1三線共點 8．（2024·陜西銅川·三模）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F,G分別為A．62 B．63 C．122二、多選題9．（2024·吉林長春·模擬預測）下列基本事實敘述正確的是（

）A．經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面B．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面C．經(jīng)過三點，有且只有一個平面D．經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面10．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知a，b是兩條直線，α,β是兩個平面，下列結(jié)論不正確的是（

）A．若α∥β,a∥α,b∥β，則a∥bB．若α⊥β,a⊥α,b⊥β，則aC．若a?α,b?β,a∥β,b∥α，則α∥βD．若a?α,b?β,a∥β,a⊥b，則α⊥β11．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為C1D1，B

A．四點B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)B．三條直線BF，DE，CCC．直線A1C與直線D．直線A1C上存在點N使M，N，三、填空題12．（2024·全國·模擬預測）在三棱錐P?ABC中，AC=3，BC=1，PA=PB=PC=AB=2，M為AC的中點，則異面直線BM與PA所成角的余弦值是13．（2024·山東濟南·三模）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，AA1=6，M14．（2024·全國·模擬預測）已知α?β是兩個不同的平面，m?n是平面α?β外兩條不同的直線，給出四個條件：①m⊥n；②α//（1）已知②③④，則①成立（2）已知①③④，則②成立（3）已知①②④，則③成立（4）已知①②③，則④成立四、解答題15．（23-24高一·全國·課前預習）用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：(1)三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.16．（23-24高二·上?！ふn堂例題）已知直線a,b和平面α、β，判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)若a∥α，b⊥a，則b⊥α；(2)若a∥α，α⊥β，則a⊥β；(3)若a∥b，b?α，則a∥α．17．（2024·全國·模擬預測）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=3，E是PD的中點，F(xiàn),M分別在PC,PB上，且PF=1(1)證明：E,F,A,M四點共面；(2)若CD⊥AD,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD，求四棱錐P?AMFE的體積．18．（2023·上?！つM預測）在如圖所示的圓錐中，底面直徑與母線長均為4，點C是底面直徑AB所對弧的中點，點D是母線PA的中點.

(1)求該圓錐的側(cè)面積與體積；(2)求異面直線AB與CD所成角的大小.19．（2024·廣西河池·模擬預測）已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA=AD=4，BA=BC=2，M為PA中點，過C，D，M的平面截四棱錐P?ABCD所得的截面為(1)若α與棱PB交于點F，畫出截面α，保留作圖痕跡（不用說明理由），并證明PBFB(2)求多面體ABCDMF的體積．專題7.2空間點、直線、平面之間的位置關系【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】 4【題型2點共線、點（線）共面、線共點問題】 6【題型3等角定理】 11【題型4平面分空間問題】 13【題型5截面問題】 15【題型6異面直線的判定】 19【題型7異面直線所成的角】 22【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關系】 251、空間點、直線、平面之間的位置關系考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義(2)了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題2022年新高考I卷：第9題，5分2022年上海卷：第15題，5分2023年上海卷：第15題，5分空間點、直線、平面之間的位置關系是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，主要分兩方面進行考查，一是空間中點、線、面關系的命題的真假判斷；二是異面直線的判定和異面直線所成角問題；常以選擇題、填空題的形式考查，難度較易.【知識點1平面的基本事實及推論】1．四個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論(1)四個基本事實及其表示①基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.②基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).③基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.④基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(2)四個基本事實的作用

基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.

基本事實2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗平面.

基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.基本事實4：①判斷兩條直線平行.(3)基本事實1和2的三個推論推論自然語言圖形語言符號語言推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.點A?aa與A共面于平面α,且平面唯一.推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.a∩b=Pa與b共面于平面α,且平面唯一.推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.直線a//b直線a,b共面于平面α,且平面唯一.2．等角定理(1)自然語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

(2)符號語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.【知識點2共面、共線、共點問題的證明方法】1．共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.【知識點3平面分空間問題】1．平面分空間問題一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢?三個平面呢?

(1)兩個平面有兩種情形：

①當兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).(2)三個平面有五種情形：

①當三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；

④當三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).【知識點4空間點、線、面之間的位置關系】1．空間中直線與直線的位置關系(1)三種位置關系

我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關系有三種：(2)異面直線的畫法

為了表示異面直線a,b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.2．空間中直線與平面的位置關系直線與平面的位置關系有且只有三種，具體如下：位置關系圖形表示符號表示公共點直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點直線與平面相交有且只有一個公共點直線與平面平行沒有公共點3．空間中平面與平面的位置關系(1)兩種位置關系兩個平面之間的位置關系有且只有以下兩種，具體如下：位置關系圖形表示符號表示公共點兩個平面平行沒有公共點兩個平面相交有一條公共直線(2)兩種位置關系平行平面的畫法技巧

畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行.4．異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a'//a，b'//b，把a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：.【方法技巧與總結(jié)】1．證明點共線與線共點都需用到基本事實3.2．兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于異面直線所成的角，也可能等于其補角.【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】【例1】（2024·全國·模擬預測）給出下列四個結(jié)論：①經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；②經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面；③經(jīng)過三點，有且只有一個平面；④經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)點、線、面的基本事實及推論進行判斷即可.【解答過程】根據(jù)基本事實以及推論，易知①②正確.若三點共線，則經(jīng)過三點的平面有無數(shù)多個，故③錯誤.若點在直線外，則確定一個平面，若點在直線上，則可有無數(shù)個平面，故④錯誤.即正確的命題有2個，故選：B.【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．三點確定一個平面 B．四邊形確定一個平面C．三角形確定一個平面 D．一條直線和一個點確定一個平面【解題思路】利用立體幾何中的基本事實確定平面的方法求解即可.【解答過程】三個不共線的點確定一個平面，故選項A錯誤，四邊形存在空間四邊形，故選項B錯誤，三角形的頂點是三個不共線的點，確定一個平面，故選項C正確，當點在直線上時無法確定一個平面，故選項D錯誤.故選：C.【變式1-2】（23-24高三下·云南昆明·階段練習）已知α，β是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是（

）A．若α∩β=l，A∈α且A∈β，則A∈lB．若A，B，C是平面α內(nèi)不共線三點，A∈β，B∈β，則C?βC．若直線a?α，直線b?β，則a與b為異面直線D．若A，B是兩個不同的點，A∈α且B∈α，則直線AB?α【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合平面的性質(zhì)以及相關基本事實逐項分析判斷.【解答過程】對于A，因為A∈α且A∈β，則A是平面α和平面β的公共點，又因為α∩β=l，由基本事實3可得A∈l，故A正確；對于B，由基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，又因為A∈β，B∈β且A，B，C∈α，則C?β，故B正確；對于C，由于平面α和平面β位置不確定，則直線a與直線b位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故C錯誤；對于D，由基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)，故D正確．故選：C．【變式1-3】（23-24高一下·河南安陽·階段練習）下列命題正確的是（

）A．過三個點有且只有一個平面B．如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線不一定共面C．四邊形為平面圖形D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線【解題思路】根據(jù)平面的基本性質(zhì)可判斷A，D，由推論可判斷B，根據(jù)特例可判斷C.【解答過程】根據(jù)公理知，過不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；因為兩條平行直線確定一個平面，而兩個交點都在這個平面內(nèi)，故這條直線也在這個平面內(nèi)，所以三條直線共面，故B錯誤；由空間四邊形不是平面圖形可知，C錯誤；由公理知，兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，故D正確.故選：D.【題型2點共線、點（線）共面、線共點問題】【例2】（2024·吉林·模擬預測）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，直線A1A．A,M,O三點共線 B．M,O,AC．B,B1,O,M四點共面 【解題思路】由長方體性質(zhì)易知A,A1,C1,C四點共面且OM,BB1是異面直線,再根據(jù)M與A1C、面ACC【解答過程】因為AA則A,A因為M∈A則M∈平面ACC又M∈平面AB則點M在平面ACC1A同理,O、A也在平面ACC1A所以A,M,O三點共線;從而M,O,A1,A而點B不在平面ACC所以M,O,AB,B1,O,而點A不在平面BB所以直線AO與平面BB1D所以點M不在平面BB即B,B故選項C錯誤；BC∥D1A所以BCD所以CA所以B,D故選項D正確.故選:C.【變式2-1】（23-24高一下·江蘇·階段練習）下列選項中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的是（

）A． B．C． D．【解題思路】利用空間中平行關系的轉(zhuǎn)化可判斷ABC正確，根據(jù)異面直線的定義可判斷D錯誤.【解答過程】在A圖中，分別連接PS,QR,AB,CD，由正方體可得四邊形ABCD為矩形，則AB//因為P,S為中點，故PS//AB，則PS//在B圖中，設E,F為所在棱的中點，分別連接PS,SR,RF,FQ,EQ,PE，由A的討論可得PS//ER，故同理可得ER//QF，故PS//QF故F∈平面PRS，Q∈平面PRS，所以P,S,R,Q,E,F六點共面.在C圖中，由P,Q為中點可得PQ//AB，同理故PQ//RS，所以在D圖中，PQ,RS為異面直線，四點不共面.故選：D.【變式2-2】（2024·重慶·二模）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G,H分別在BC，CD上，且BG:

①E，F(xiàn)，G，H四點共面；②EG//FH;③若直線EG與直線FH交于點P，則P，A，A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】推導出EF//BD，GH//BD，從而EF//GH，由此能證明E，F(xiàn)，G，H四點共面；EF≠GH，從而直線EG與直線FH必相交，設交點為【解答過程】如圖所示，

E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴EF//BD，G,H分別在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2，∴GH//∴EF//GH，則E，F(xiàn)，G，∵GH>EF，四邊形FEGH是梯形，EG//若直線EG與直線FH交于點P，則由P∈EG，EG?平面ABC，得P∈平面ABC，同理P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD=AC，P∈AC∴則P，A，C三點共線，說法③正確；說法中正確的有2個.故選：C.【變式2-3】（2024·四川南充·三模）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1，E、F、G、H分別為AB、A．AB．E、F、G、H四點共面C．設BC=2，則平面EFC1D．EF、GH、AA【解題思路】根據(jù)線線平行及菱形對角線垂直判斷A，根據(jù)兩直線平行確定平面判斷B，作出截面四邊形，根據(jù)截面邊長的大小判斷C，利用相交平面的公共點共線得三點共線可判斷D.【解答過程】如圖，連接AC1,A1C，由由AC=BC=AA1可知，側(cè)面所以A1C⊥AC連接HE,GF，因為E、F、G、H分別為AB、BB1、CC所以HE//BC，GF//BC，所以GF//HE，所以E、延長FE交A1A的延長線于P點，連接PC1，交AC于Q點，連接設FE,FC1確定平面為α，則P,C1∈α則易知三棱柱的截面四邊形為FEQC1，在Rt△在Rt△BEF中，EF=22+1而C1Q>C由B知，GF//HE且HE≠GF，所以梯形的兩腰EF、GH所在直線必相交于一點因為P′∈平面A1ABB又平面A1ABB1∩平面A1AC即EF、GH、AA1三線共點于故選：C.【題型3等角定理】【例3】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）給出下列命題：①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補．其中正確的命題有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解題思路】對于①，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補，據(jù)此判斷；對于②，根據(jù)等角定理判斷；對于③，空間兩條直線的垂直包括異面垂直，此時兩個角有可能不相等且不互補，據(jù)此判斷.【解答過程】對于①，這兩個角也可能互補，故①錯誤；根據(jù)等角定理，②顯然正確；對于③，如圖所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個角不一定相等，也不一定互補，故③錯誤．所以正確的命題有1個．故選：B.【變式3-1】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）已知AB//PQ，BC//QR，∠ABC=30°，則A．30° B．30°或150°C．150° D．30°或120°【解題思路】根據(jù)等角定理，即可得到結(jié)論.【解答過程】∠ABC的兩邊與∠PQR的兩邊分別平行，根據(jù)等角定理易知∠PQR=30°或150°.故選：B.【變式3-2】（23-24高一·全國·課前預習）在三棱錐P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F(xiàn)分別是AB，PA，AC的中點，則∠DEF＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【解題思路】由E,D,F分別為AB,PA,AC的中點，得到DE//PB,EF//BC，結(jié)合題意得出DE⊥EF，即可求解.【解答過程】如圖所示，因為E,D,F分別為AB,PA,AC的中點，可得DE//PB,EF//BC，又因為PB⊥BC，所以DE⊥EF，所以∠DEF=90故選：D.【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）兩個三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形（

）A．全等 B．相似C．僅有一個角相等 D．無法判斷【解題思路】根據(jù)等角定理，結(jié)合題意進行判斷.【解答過程】由題意知，根據(jù)等角定理，這兩個三角形的三個角對應相等，所以這兩個三角形相似.故選：B.【題型4平面分空間問題】【例4】（2023·廣東廣州·模擬預測）三個不互相重合的平面將空間分成n個部分，則n不可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】作出圖形，可得出三個不互相重合的平面將空間所分成的部分數(shù)，即可得出n的值.【解答過程】按照三個平面中平行的個數(shù)來分類：（1）三個平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成4部分；（2）兩個平面平行，第三個平面與這兩個平行平面相交，如圖2，可將空間分成6部分；

（3）三個平面中沒有平行的平面：（i）三個平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成7部分；（ii）三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，如圖4，可將空間分成8部分.

（iii）三個平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成6部分；

綜上，可以為4、6、7、8部分，不能為5部分，故選：B.【變式4-1】（23-24高二上·四川樂山·階段練習）三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（

）A．

B．

C．

D．

【解題思路】根據(jù)空間中平面位置關系逐項判斷即可.【解答過程】對于A，三個平面將空間分成4個部分，不合題意；對于B，三個平面將空間分成6個部分，不合題意；對于C，三個平面將空間分成7個部分，符合題意；對于D，三個平面將空間分成8個部分，不合題意.故選：C.【變式4-2】（23-24高一下·浙江·期末）空間的4個平面最多能將空間分成（

）個區(qū)域．A．13 B．14 C．15 D．16【解題思路】根據(jù)平面的性質(zhì)進行歸納推理．前三個平面與第4個平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四個平面與前三個平面所分空間部分的截面，這個截面把所在空間部分一分為二，由此可得4個平面最多能將空間分成的區(qū)域數(shù)．【解答過程】一個平面把空間分成2部分，兩個平面最多把空間分面4部分，3個平面最多把空間分布8個部分，前三個平面與第4個平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個平面，最多分成7部分，這里平面的每一部分就是第四個平面與前三個平面分空間部分的截面，這個截面把所在空間部分一分為二，這樣所有空間部分的個數(shù)為8+7=15．故選：C．【變式4-3】（2024·四川內(nèi)江·三模）三個不互相重合的平面將空間分成n個部分，則n的最小值與最大值之和為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【解題思路】求出三個不同平面分空間所成的部分數(shù)即可得解.【解答過程】按照三個平面中平行的個數(shù)來分類：（1）三個平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成4部分；（2）兩個平面平行，第三個平面與這兩個平行平面相交，如圖2，可將空間分成6部分；

（3）三個平面中沒有平行的平面：（i）三個平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成7部分；（ii）三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，如圖4，可將空間分成8部分；（iii）三個平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成6部分，

所以三個不平面將空間分成4、6、7、8部分，n的最小值與最大值之和為12.故選：B.【題型5截面問題】【例5】（2023·四川南充·一模）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為A．32 B．92 C．9【解題思路】根據(jù)E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點，得到EF∥BC1，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，有AD1∥B【解答過程】由題知連接BC1，AD因為E,F分別是BC,CC1的中點，所以在正方體中AD1∥B所以A,D所以平面AEF截該正方體所得的截面為平面EFD1A所以EF=2，AD1則E到AD1的距離為等腰梯形EFD所以截面面積為S=1故選：B.【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱BC的中點，用過點

A．32+25 B．9 C．2【解題思路】作出正方體的截面圖形，求出周長即可.【解答過程】

如圖，取AB的中點G，連接GE，A1G，因為E為BC的中點，所以GE//AC，又AA1//所以四邊形ACC所以AC//A1所以A1C1所以用過點A1，E，C1的平面截正方體，所得截面為梯形其周長為22故選：A．【變式5-2】（2024·上海黃浦·二模）如圖，已知P,Q,R分別是正方體ABCD?A1B1C1DA．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【解題思路】根據(jù)題意，取A1D1的中點T，AA1的中點M，CC1【解答過程】解：如圖，取A1D1AA1的中點M，CC1的中點由正方體的性質(zhì)可知A1由中位線性質(zhì)可知PQ//AC,RT//A所以，PQ//MS//RT，所以，由點P,Q,R確定的平面β即為截面故選：D．【變式5-3】（2023·天津和平·三模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為6，點E，F(xiàn)分別在棱D1A1，D1C1上，且滿足D1ED1AA．822 B．622 C．422【解題思路】由于上下底平行，則可得平面EFO與上下底面的交線平行，則可得EF為平面EFO與上底面A1B1C1D1的交線，AC為平面EFO【解答過程】連接AC,BD，A1C1，AC與BD因為D1ED1A因為A1C1‖AC，所以EF所以E,F,O,A,C共面，所以平面EFO截正方體ABCD?A1B因為正方體ABCD?A1B所以AC=A在Rt△D1EF中，在Rt△AA1AE=A在Rt△CC1CF=C過E作EM⊥AC于M，則AM=AC?EF所以EM=A所以等腰梯形EFCA的面積為12故選：A.

【題型6異面直線的判定】【例6】（2024·上?！つM預測）如下圖，P是正方體ABCD?A1B1C1DA．直線DD1 B．直線B1C C．直線【解題思路】利用正方體的特征及異面直線的定義一一判定即可.【解答過程】當P位于A1C1中點時，易知P∈B1D1，由正方體的特征可知四邊形BB1當P與C1重合時，此時BP、B1C?當P與C1重合時，由正方體的特征可知四邊形ABC1D1由正方體的特征可知四邊形ACC而B?平面ACC1A1，P∈平面ACC1A1，AC//A故AC與BP始終異面，即D正確.故選：D.【變式6-1】（23-24高一下·河北·期中）如圖，這是一個正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線AD是異面直線的是（

）

A．FG B．EH C．EF D．BC【解題思路】根據(jù)正方體展開圖得到直觀圖，即可判斷.【解答過程】由平面展開圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，與直線AD是異面直線的是EF，其中AD//BC//EH//FG，所以AD與BC共面、AD與故選：C.【變式6-2】（2024·山東濰坊·模擬預測）學校手工課上同學們分組研究正方體的表面展開圖．某小組得到了如圖所示表面展開圖，則在正方體中，AB、CD、EF、GH這四條線段所在的直線中，異面直線有（

）A．1對 B．3對 C．5對 D．2對【解題思路】作出正方體的圖形，結(jié)合異面直線的定義判斷可得出結(jié)論.【解答過程】作出正方體的圖形如下圖所示：則AB與CD、AB與GH、EF與GH是異面直線，共3對.故選：B.【變式6-3】（2024·四川宜賓·二模）四棱錐P?ABCD所有棱長都相等，M、N分別為PA、CD的中點，下列說法錯誤的是（

）A．MN與PD是異面直線 B．MN//平面C．MN//AC 【解題思路】畫出圖形，利用異面直線以及直線與平面平行的判定定理，判斷選項A、B、C的正誤，由線線垂直可判斷選項D．【解答過程】由題意可知四棱錐P?ABCD所有棱長都相等，M、N分別為PA、CD的中點，MN與PD是異面直線，A選項正確；取PB的中點為H，連接MH、HC，四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB//CD且∵M、H分別為PA、PB的中點，則MH//AB且∵N為CD的中點，∴CN//MH且CN=MH，則四邊形∴MN//CH，且MN?平面PBC，CH?平面PBC，∴MN//若MN//AC，由于CH//MN，則∵PC=BC，H為PB的中點，∴CH⊥PB，∵MN//CH，故選：C．【題型7異面直線所成的角】【例7】（2024·新疆喀什·三模）已知底面邊長為2的正四棱柱ABCD?A1B1C1DA．255 B．55 C．10【解題思路】如圖，確定∠ACD1（或其補角）為直線AC與A1【解答過程】如圖，連接AD1,CD1，則A1B//D1所以∠ACD1（或其補角）為直線AC與又正四棱柱的體積為16，則該棱柱的高為CC又AC=22所以cos∠AC即直線AC與A1B所成角的余弦值為故選：C.【變式7-1】（2024·云南·二模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A．π6 B．π4 C．π3【解題思路】在正方體中，作出異面直線EF與MN所成的角，利用定義法求解即得.【解答過程】在正方體ABCD?A1B由A1B1//AB//CD,A由E、F、M、N分別是DD1、D1因此∠A1DC1在△A1DC1所以異面直線EF與MN所成的角是π3故選：C.【變式7-2】（2024·陜西·模擬預測）如圖，在直三棱柱ABD?A1B1D1中，AB=AD=AA1,∠ABD=45°，PA．30° B．45° C．60° D．90°【解題思路】E是BD中點，連接ED1,AE，易知∠AD1E為直線【解答過程】若E是BD中點，連接ED直三棱柱ABD?A1B1D1中所以PB//D1E，故直線PB與A令AB=AD=AA1=2，又∠ABD=45°，則∠ADB=45°且AE⊥BD又AD1=22,所以∠AD故選：A.【變式7-3】（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=AB，點D是線段AA．510 B．1010 C．1020【解題思路】利用平移法作出異面直線C1D與【解答過程】如圖所示，不妨取AA1=AB=3，分別取棱C使得C1M=C1N=CK=2所以四邊形ADC1M在△C1CB1所以故∠AMN（或其補角）為異面直線C1D與因為NK//BB1，所以NK⊥底面ABC，而AK?底面ABC，所以在△ACK中，AK=A所以AN=N在△AMN中，cos∠AMN=故異面直線C1D與B1故選：D.【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關系】【例8】（2024·上海長寧·二模）已知直線a,b和平面α，則下列判斷中正確的是（

）A．若a//α,b//α，則a//b B．若a//b,b//α，則a//αC．若a//α,b⊥α，則a⊥b D．若a⊥b,b//α，則a⊥α【解題思路】根據(jù)空間中直線，平面的位置關系分析判斷各個選項.【解答過程】對于A，由a//α，b//α，則a與b可能平行，相交，異面，故A錯誤；對于B，由a//b，b//α，則a//α或a?α，故B錯誤；對于C，由a//α，b⊥α，則a⊥b，故C正確；對于D，由a⊥b，b//α，則a//α或a?α或a⊥α，故D錯誤.故選：C.【變式8-1】（2024·浙江紹興·三模）設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若α⊥β，m∥α，則m⊥βB．若m⊥β，m⊥α，n∥α，則n∥βC．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α⊥βD．若α∩β=m，n∥α，n∥β，則m∥n【解題思路】由空間中的線線，線面，面面間的位置關系逐項分析判斷即可.【解答過程】若α⊥β，m∥α，則m∥β或m?β，所以A錯；∵m⊥β，m⊥α，∴α∥β，n∥α，∴n∥β或n?β，所以B錯；若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β，所以C錯；若α∩β=m，n∥α，n∥β，則n與兩面的交線m平行，即m∥n，故D對.故選：D.【變式8-2】（2024·河南·三模）已知m,n為兩條不同的直線，α,β為兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（

）A．若m?α，n?α，m//β，nB．若m//α，n?αC．若n//m，m?α，n?αD．若α//β，m?α，n?β【解題思路】由空間中直線與直線，直線與平面，平面平面的位置關系逐一判斷各個選項即可.【解答過程】A：由m?α,n?α,m//β,n//β，可知B：由m//α，n?α，可知m、C：由n//m，m?α，n?α，可知D：由α//β，m?α，n?β，可知m、故選：C.【變式8-3】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知m?n是兩條不同的直線，α?A．若m∥α,m∥β，則α∥βB．若m∥α,n∥α，則m∥nC．若α⊥β,β⊥γ，則α∥γD．若m⊥α,m⊥β,α∥γ，則β∥γ【解題思路】由線線，線面，面面之間的關系逐項判斷即可.【解答過程】對于選項A：若m∥α,m∥β，則α與β平行或相交，故A不正確；對于選項B：若m∥α,n∥α，則m與n可平行?異面或相交，故B不正確；對于選項C：若α⊥β,β⊥γ，則α∥γ或α∩γ=l，故C不正確；對于選項D：若m⊥α,m⊥β，則α∥β，又α∥γ，則β∥γ，即D正確.故選：D.一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預測）在空間中，下列命題是真命題的是（

）A．三條直線最多可確定1個平面 B．三條直線最多可確定2個平面C．三條直線最多可確定3個平面 D．三條直線最多可確定4個平面【解題思路】根據(jù)平面的性質(zhì)判斷即可.【解答過程】在空間中，三條直線最多可確定3個平面，例如：三棱錐S?ABC中的三個側(cè)面.故選：C.2．（2024·上?！と＃┰诳臻g中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【解題思路】利用異面直線的定義及充分條件、必要條件的定義判斷即得.【解答過程】直線a、b為異面直線，則直線a、b不相交，反之，直線a、b不相交，直線a、b可能平行，也可能是異面直線，所以在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的充分非必要條件.故選：A.3．（2024高一·全國·專題練習）平面α，β，γ不能將空間分成（）A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分【解題思路】根據(jù)三個平面的不同位置關系得出三個平面把空間分成4,6,7,8部分，判斷選項得出結(jié)果.【解答過程】三個平面平行時，將空間分成4個部分；三個平面相交于同一條直線時，將空間分成6個部分；當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成6個部分；當三個平面兩兩相交且有三條交線時，將空間分成7個部分；當有兩個平面相交，第三個平面截兩個相交平面時，可將空間分成8個部分．所以平面α，β，γ不能將空間分成5部分．故選：A．4．（2024·陜西銅川·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．若直線l,m,n兩兩相交，則直線l,m,n共面B．若直線l,m與平面α所成的角相等，則直線l,m互相平行C．若平面α上有三個不共線的點到平面β的距離相等，則平面α與平面β平行D．若不共面的4個點到平面α的距離相等，則這樣的平面α有且只有7個【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合空間中直線與平面位置關系的判定和性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【解答過程】對于A中，當直線l,m,n交于同一點時，則直線l,m,n可能不共面，所以A錯誤；對于B中，當直線l,m傾斜方向不同時，直線l,m與平面α所成的角也可能相等，所以B錯誤；對于C中，當這3個點不在平面β的同側(cè)時，平面α與平面β相交，所以C錯誤；對于D中，根據(jù)題意，顯然這4個點不可能在平面α的同側(cè)，當這4個點在平面α兩側(cè)1，3分布時，這樣的平面α有4個，當這4個點在平面α兩側(cè)2，2分布時，這樣的平面α有3個，所以這樣的平面α有且只有7個，所以D正確.故選：D．5．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知正四棱錐P?ABCD的所有棱長均相等，E為棱PA的中點，則異面直線BE與PC所成角的余弦值為（

）A．63 B．?63 C．3【解題思路】根據(jù)線線平行可得異面直線BE與PC所成角為∠BEO（或其補角），即可根據(jù)余弦定理求解.【解答過程】連接AC，取AC的中點O，連接BO,EO，由題意知，EO//PC，則異面直線BE與PC所成角為∠BEO（或其補角），在△BOE中，EO=1則cos∠BEO=則異面直線BE與PC所成角的余弦值為33故選：C．6．（2024·寧夏銀川·三模）A,B是兩個不同的點，α,β為兩個不同的平面，下列推理錯誤的是（

）A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=ABC．l?α,A∈l?A?αD．A∈l,l?α?A∈α【解題思路】A、B可由書上的公理可直接判斷；C可由l與α相交時，交點為A點的情況進行判斷；D可直接根據(jù)線面位置關系來判斷點面位置關系.【解答過程】A，直線上兩個不同點在某個平面內(nèi)，則直線在該平面內(nèi)，故正確；B，兩個不同點同時在兩個不同平面內(nèi)，則兩點所在直線為兩平面的交線，故正確；C，l?α有兩種情況，l與α相交或l//α，其中l(wèi)與α相交，且交點為A點，則C錯誤；D，直線在面內(nèi)，則直線上的點都在面內(nèi)，故結(jié)論正確；故選：C.7．（2024·湖南·二模）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A．E,F,G,H四點共面 B．EF//GHC．EG,FH,AA1三線共點 【解題思路】對于AB，利用線線平行的傳遞性與平面公理的推論即可判斷；對于C，利用平面公理判斷得EG，F(xiàn)H的交點P在AA【解答過程】對于AB，如圖，連接EF，GH，因為GH是△A1B因為B1E//C1所以EF//B1C1，所以EF對于C，如圖，延長EG，F(xiàn)H相交于點P，因為P∈EG，EG?平面ABB1A1，所以因為P∈FH，F(xiàn)H?平面ACC1A1，所以因為平面ABB1A所以P∈AA1，所以對于D，因為EB1=FC1又0<∠EGB1,∠FH故選：D.8．（2024·陜西銅川·三模）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F,G分別為A．62 B．63 C．122【解題思路】借助正方體截面的性質(zhì)可得該截面是邊長為22【解答過程】如圖，過點G作EF的平行線交BB1于點J，過點J作FG的平行線交A1過點I作EF的平行線交A1D1于點H，易知點J,I,H且都是其所在棱的中點，從而所得截面是邊長為22所求面積S=6×1故選：D.二、多選題9．（2024·吉林長春·模擬預測）下列基本事實敘述正確的是（

）A．經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面B．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面C．經(jīng)過三點，有且只有一個平面D．經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面【解題思路】根據(jù)基本事實以及推論即可逐項判斷.【解答過程】根據(jù)基本事實以及推論，易知A，B正確；對于C項，若三點共線，經(jīng)過三點的平面有無數(shù)多個，故C錯誤；對于D，若這個點在直線外，則確定一個平面，若這個點在直線上，可有無數(shù)平面，故D不正確；故選：AB.10．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知a，b是兩條直線，α,β是兩個平面，下列結(jié)論不正確的是（

）A．若α∥β,a∥α,b∥β，則a∥bB．若α⊥β,a⊥α,b⊥β，則aC．若a?α,b?β,a∥β,b∥α，則α∥βD．若a?α,b?β,a∥β,a⊥b，則α⊥β【解題思路】根據(jù)題意，由空間中的線面位置關系，對選項逐一判斷，即可求解.【解答過程】若α∥β,a∥α,b∥β，則a,b平行或相交或異面，故A錯誤；若α⊥β,a⊥α,b⊥β，則a⊥若a?α,b?β,a∥β,b∥α，則α,β平行或相交，故C錯誤；若a?α,b?β,a∥β,a⊥b，則α,β平行或相交，故D錯誤；故選：ACD.11．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為C1D1，B

A．四點B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)B．三條直線BF，DE，CCC．直線A1C與直線D．直線A1C上存在點N使M，N，【解題思路】對于A：根據(jù)平行關系可證BD//EF，即可得四點共面；對于B：根據(jù)平面的性質(zhì)分析判斷；對于C：根據(jù)異面直線的判定定理分析判斷；對于D：可知OM與A1【解答過程】作圖，如圖：

對于選項A：連接B1因為BB1//DD1又因為E，F(xiàn)分別為C1D1，B可得BD//EF，所以四點B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，故A正確；對于選項B：延長BF,DE，則BF,DE相交于點P，即P∈BF,P∈DE，又因為BF?平面BCC1B1，則P∈平面BCC1B1，且平面BCC1B1∩即三條直線BF，DE，CC對于選項C：因為A1C?平面AA1C1C所以直線A1C與直線對于選項D：因為A1,O,C,C1均在平面AA1C所以直線A1C上存在點N使M，N，故選：ABD.三、填空題12．（2024·全國·模擬預測）在三棱錐P?ABC中，AC=3，BC=1，PA=PB=PC=AB=2，M為AC的中點，則異面直線BM與PA所成角的余弦值是57【解題思路】先根據(jù)異面直線所成角的定義確定∠DMB為異面直線BM與PA所成的角或其補角；再根據(jù)勾股定理求出BM，余弦定理求出cos∠DCB.，進而得出BD2；最后在△BMD【解答過程】取PC的中點D，連接MD,BD，如圖所示：因為M為AC的中點，D為PC的中點，則根據(jù)三角形的中位線定理可得DM∥PA，且DM=1所以∠DMB為異面直線BM與PA所成的角或其補角．因為在△ABC中，AC=3，BC=1，AB=2所以AB2=B又AM=MC=12AC=又在△PBC中，BC=1，PB=PC=2,所以由余弦定理可得：cos∠DCB=又因為在△BDC中，DC=BC=1，所以由余弦定理可得：BD則在△BMD中，由余弦定理可得，cos∠DMB=所以異面直線BM與PA所成角的余弦值為57故答案為：5713．（2024·山東濟南·三模）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，