西北大學(xué)量子力學(xué) 2.9 學(xué)習(xí)課件

2.9氫原子氫原子包含原子核及核外電子，是個(gè)二體問題。它的薛定諤方程是：其中是庫侖勢(shì)。引入相對(duì)坐標(biāo)及表示體系的總質(zhì)量，表示折合質(zhì)量。2.9氫原子記及的三個(gè)分量分別為及則有：2.9氫原子同理，有得：2.9氫原子上兩式相加后得代入薛定諤方程得質(zhì)心坐標(biāo)系中的薛定諤方程為令2.9氫原子代入上式后，分離變量得：方程(2.9.1)式是描寫質(zhì)心運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程，這是能量為的自由粒子的定態(tài)薛定諤方程。由此可見，質(zhì)心按能量為的自由粒子的方式運(yùn)動(dòng)。在氫原子問題中，我們特別感興趣的是原子的內(nèi)部狀態(tài)，即電子相對(duì)于核的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而式（2.9.2）就是一個(gè)質(zhì)量為的粒子在勢(shì)能為的庫侖力場中的運(yùn)動(dòng)。2.9氫原子下面我們來討論電子在庫侖力場中的運(yùn)動(dòng)電子帶電荷，核帶電荷為，當(dāng)時(shí)這個(gè)體系就是氫原子。2.9氫原子其定態(tài)薛定諤方程為：對(duì)于有心力場的薛定諤方程，利用球極坐標(biāo)體系極為方便。在球極坐標(biāo)系中：2.9氫原子則拉普拉斯算符：在定態(tài)薛定諤方程在求坐標(biāo)中具體形式為：由于，勢(shì)能只與有關(guān)，與無關(guān)，故可用分離變量法求解2.9氫原子代入薛定諤方程中，得（2.9.3稱角向方程，（2.9.4）稱徑向方程。其中為分離常數(shù)。2.9氫原子為使在的整個(gè)區(qū)域都有限，必須（2.9.3）式的解為：其中是締合勒讓德多項(xiàng)式，是歸一化常數(shù)。2.9氫原子下面我們來討論求解徑向方程。我們先簡化它，令，代入上式2.9氫原子當(dāng)時(shí)，對(duì)于的任何值，上式都有解，即粒子的能量具有連續(xù)值，這相當(dāng)于電子可以離開原子核而運(yùn)動(dòng)到無限遠(yuǎn)處，即電離。這里，我們主要研究原子內(nèi)部機(jī)構(gòu)，所以，只考慮的情況。令同時(shí)，令2.9氫原子則徑向向方程可改寫為：首先研究它的漸進(jìn)行為，當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)樗慕鉃?，而這

與波函數(shù)的有限性相抵觸，所以?。?.9氫原子有：令則有當(dāng)時(shí)2.9氫原子與的漸進(jìn)行為相同因而在時(shí)，趨于無窮大，所以級(jí)數(shù)只能是有限項(xiàng)，令另一方面，級(jí)數(shù)是從開始的只由于，則由此得到的兩個(gè)根為：2.9氫原子設(shè)最高次項(xiàng)里，則令代入又有則有稱為徑向量子數(shù)，稱為總量子數(shù)。用表示所有系數(shù)將代入2.9氫原子由此可見，在束縛態(tài)時(shí)只有當(dāng)粒子能量取分離值時(shí)波函數(shù)才有滿足有限性的解。2.9氫原子其中是締合拉蓋爾多項(xiàng)式。其他表達(dá)式：級(jí)數(shù)表示2.9氫原子積分形式微分形式2.9氫原子性質(zhì)：遞推關(guān)系正交歸一性2.9氫原子完備性其中式中2.9氫原子由，得氫原子的能量本征值為叫做氫原子的第一玻爾軌道半徑，簡稱玻爾半徑。式中為正整數(shù)，叫主量子數(shù)，2.9氫原子與能量本征值相應(yīng)的本征函數(shù)則為式中歸一化常數(shù)2.9氫原子幾點(diǎn)討論：能級(jí)簡并度對(duì)于給定能級(jí)，其相應(yīng)角量子，磁量子數(shù)，共有個(gè)可能值，則屬于能級(jí)的量子態(tài)數(shù)為徑向位置的概率分布在定態(tài)中，電子出現(xiàn)在到的概率為式中叫做徑向概率分布函數(shù)。2.9氫原子令分布函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)等于零可得電子概率峰值，峰值位置的值稱為最概然半徑。對(duì)于的態(tài)，其所有的量子態(tài)的最概然半徑為2.9氫原子玻爾理論認(rèn)為氫原子中的電子是處于以為半徑的圓軌道上繞原子核旋轉(zhuǎn)，偏離軌道的位置上不存在原子。但量子力學(xué)中，以為半徑的球面是處于發(fā)現(xiàn)原子概率最大的位置上，而在偏離球面的位置上發(fā)現(xiàn)電子的概率要小些，所以，經(jīng)典物理學(xué)中的“軌道”概念是不能用于描述原子中電子所處的位置的。2.9氫原子角向概率分布在定態(tài)中，電子出現(xiàn)在立體角內(nèi)的概率為式中叫做角向概率分布函數(shù)。2.9氫原子電流與磁矩在定態(tài)中，電子的電流密度為由于又因?yàn)楹途鶠閷?shí)函數(shù)2.9氫原子是繞軸的環(huán)