西北大學量子力學 4.2 學習課件

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態(tài)和算符的表象表示

在量子力學中，態(tài)和力學量的具體表達方式稱為表象。假設體系的狀態(tài)在坐標表象中用波函數(shù)來描述，前面已經介紹過動量的本征函數(shù)為（4.2.1）且其中（4.2.2）（4.2.3）從前面的討論知道：是在所描述的態(tài)中在范圍內測量粒子位置的幾率；同樣是在所描述的態(tài)中在范圍內測量粒子動量的幾率。和描述同一個狀態(tài)，是這個

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態(tài)和算符的表象表示狀態(tài)在坐標表象中的波函數(shù)，是同一個狀態(tài)在動量表象中的波函數(shù)。1.態(tài)的表象表示本征函數(shù)是。量子態(tài)總可按的本征函數(shù)系展開，得以坐標算符的本征態(tài)為基底構成的表象稱為坐標表象。以一維的坐標為例。算符的本征方程是（4.2.4）（4.2.5）展開系數(shù)就是該量子態(tài)在表象的表示，即波函數(shù)。（1）坐標表象

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態(tài)和算符的表象表示（2）動量表象（4.2.6）以動量算符的本征函數(shù)為基底構成的表象稱為動量表象。其本征態(tài)為（4.2.7）將量子態(tài)按展開：展開系數(shù)就是動量表象中的波函數(shù)。

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態(tài)和算符的表象表示（4.2.8）動量表象也可以用動量為自變量表示所以，在動量表象中，粒子具有確定的動量的波函數(shù)是以動量為變量的函數(shù)。（3）任意表象設有某一線性厄米算符。假定算符具有分離本征值譜。它的本征方成為（4.2.9）（4.2.10）將波函數(shù)按算符得正交歸一本征函數(shù)系展開由此可知，是在所描述的態(tài)中，力學量具有確定值的幾率。它具有和統(tǒng)計解釋完全相同的幾率解釋。因此，我們可以用一組系數(shù)代替來描述該狀態(tài)，將系數(shù)寫一個列矩陣，則（4.2.12）（4.2.10）設和都是歸一化的，那么就有

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態(tài)和算符的表象表示式中（4.2.11）

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態(tài)和算符的表象表示在表象中的表示為（4.2.13）歸一化條件：（4.2.14）如果力學量除具有分立本征值外還具有連續(xù)本征值對應的歸一化波函數(shù)是則（4.2.15）表示在中測量力學量所得結果在之間的幾率。

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態(tài)和算符的表象表示式中歸一化條件（4.2.17）（4.2.16）若算符的本征值譜連續(xù)，則相應的表達式為（4.2.18）（4.2.19）（4.2.20）波函數(shù)在表象中用相應的連續(xù)列矩陣表示。

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態(tài)和算符的表象表示從上面的討論可知，同一個態(tài)可以在不同的表象中用波函數(shù)來描述，所取的表象不同，波函數(shù)的形式不同，物理意義不同?？偨Y上述，可以得出下列對應關系：量子態(tài)希爾伯特空間中的態(tài)矢量；波函數(shù)態(tài)矢量在特定基底中的分量，可以用列矩陣或函數(shù)表示；任意算符的本征函數(shù)系表象的基底；

不同表象不同基底，不同坐標系；本征函數(shù)基矢；厄米算符的本征函數(shù)系一組完備的基矢。

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態(tài)和算符的表象表示2.算符的表象表示前面我們討論了態(tài)在各種表象中的表示，下面我們討論算符在各種表象中的表示。設算符作用于波函數(shù)后，得出另一波函數(shù)，在坐標表象下記為：（4.2.21）我們來看這個方程在表象中的表達式。先設只有分離的本征值，對應的本征函數(shù)是將和分別按展開：

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態(tài)和算符的表象表示利用的正交歸一性（4.2.26）（4.2.22）（4.2.23）（4.2.24）將（4.2.22）和（4.2.23）代入（4.2.21）得：上式兩邊左乘再對在整個區(qū)域內積分得：（4.2.25）

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態(tài)和算符的表象表示（4.2.27）得：令則（4.2.28）（4.2.29）上式就是（4.2.21）在表象中的表達式。和分別是和在表象中的表示。是算符在表象中的表示。這一組方程用矩陣形式寫出為：（4.2.30）

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態(tài)和算符的表象表示（4.2.31）所以，算符在表象中是一個矩陣，它的矩陣元是量子力學中表示力學量的算符都是厄米算符，現(xiàn)在我們來看厄米算符在表象中的矩陣表示有什么特點。由（4.2.32）上式表明，矩陣的第列第行的矩陣元等于第列第行矩陣元的復共軛，此即厄米矩陣。所以，表示厄米算符的矩陣是厄米矩陣?，F(xiàn)在要問：算符在自身表象中的矩陣表示又取什么形式？

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態(tài)和算符的表象表示上式表明，算符在自身表象中是一個對角矩陣。是算符的本征函數(shù)，則：（4.2.33）如果只具有連續(xù)分布的本征值，上述討論仍然成立，只是、、的腳標由可數(shù)的、換成連續(xù)變化的，所有的求和要換為對的積分，算符在表象中仍舊是一個矩陣，矩陣元為：（4.2.34）例如，在坐標表象中的矩陣元為（4.2.35）