《自動(dòng)控制原理及其應(yīng)用》課件第3章

第3章時(shí)域分析法

3.1典型輸入信號(hào)和時(shí)域性能指標(biāo)

3.2一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

3.3二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

3.4高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

3.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

3.6系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

3.7應(yīng)用MATLAB進(jìn)行時(shí)域分析

小結(jié)

3.1典型輸入信號(hào)和時(shí)域性能指標(biāo)

1.典型輸入信號(hào)

通常是用控制系統(tǒng)的響應(yīng)來(lái)分析系統(tǒng)的性能?？刂葡到y(tǒng)的響應(yīng)是由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)、初始狀態(tài)和輸入信號(hào)的形式所決定的。對(duì)初始狀態(tài)可以作統(tǒng)一的規(guī)定，如規(guī)定為零初始狀態(tài)。如再將輸入信號(hào)規(guī)定為統(tǒng)一的典型形式，則系統(tǒng)的響應(yīng)將由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)來(lái)確定，因而更便于對(duì)各種系統(tǒng)進(jìn)行比較和研究。

1)單位階躍函數(shù)1(t)

單位階躍函數(shù)1(t)的定義為

(3-1)

如圖3-1所示。單位階躍函數(shù)的拉氏變換為

(3-2)

例如：指令突然轉(zhuǎn)換、合閘、負(fù)荷突變等，均可視為階躍函數(shù)信號(hào)作用。圖3-1單位階躍函數(shù)

2)單位斜坡函數(shù)t·1(t)(等速度函數(shù))

單位斜坡函數(shù)t·1(t)的定義為

(3-3)

如圖3-2所示。它等于階躍函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分，斜坡函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是階躍函數(shù)。圖3-2單位斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為

(3-4)

例如：數(shù)控機(jī)床加工斜面或錐體時(shí)的進(jìn)給指令、機(jī)械手的等速移動(dòng)指令等，均可視為斜坡函數(shù)信號(hào)作用。

3)單位拋物線函數(shù)(加速度函數(shù))

單位拋物線函數(shù)的定義為

(3-5)

如圖3-3所示。單位拋物線函數(shù)的拉氏變換為

(3-6)圖3-3單位拋物線函數(shù)

4)正弦函數(shù)sinωt

正弦函數(shù)sinωt的拉氏變換為

(3-7)

例如：在實(shí)際控制系統(tǒng)中，電源及振動(dòng)的噪聲、模擬路面不平度的指令信號(hào)以及海浪對(duì)船舶的擾動(dòng)力等，均可近似為正弦函數(shù)信號(hào)作用。

2.動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程

1)動(dòng)態(tài)過程

動(dòng)態(tài)過程又稱為過渡過程或瞬態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。由于實(shí)際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦以及其他一些原因，因此系統(tǒng)輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)選擇情況，動(dòng)態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式。顯然，一個(gè)可以實(shí)際運(yùn)行的控制系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)過程必須是衰減的，換句話說(shuō)，系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。動(dòng)態(tài)過程除提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息外，還可以提供響應(yīng)速度及阻尼情況等信息。動(dòng)態(tài)過程用動(dòng)態(tài)性能描述。

2)穩(wěn)態(tài)過程

穩(wěn)態(tài)過程是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí)，輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)態(tài)過程又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息。穩(wěn)態(tài)過程用穩(wěn)態(tài)性能描述。

由此可見，控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的性能指標(biāo)，通常由動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。

3.動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能

1)動(dòng)態(tài)性能

通常,在階躍函數(shù)作用下測(cè)定或計(jì)算控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。一般認(rèn)為，階躍輸入對(duì)控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是最嚴(yán)峻的工作狀態(tài)。如果控制系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動(dòng)態(tài)性能滿足要求，那么控制系統(tǒng)在其他形式的函數(shù)作用下，其動(dòng)態(tài)性能也是令人滿意的。描述穩(wěn)定的控制系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間t的變化情況的指標(biāo)，稱為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。為了便于分析和比較，假定控制系統(tǒng)在單位階躍輸入信號(hào)作用前處于靜止?fàn)顟B(tài)，而且輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零，即零初始狀態(tài)。對(duì)于大多數(shù)控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，這種假設(shè)是符合實(shí)際情況的。對(duì)于圖3-4所示單位階躍響應(yīng)c(t)，其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)通

常描述如下：圖3-4單位階躍響應(yīng)上升時(shí)間tr：指響應(yīng)從終值10％上升到終值90％所需的時(shí)間；對(duì)于有振蕩的系統(tǒng)，為了計(jì)算的方便，亦可定義為響應(yīng)從零第一次上升到終值所需的時(shí)間。上升時(shí)間是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。

峰值時(shí)間tp：指響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。

調(diào)節(jié)時(shí)間ts：指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值±5%或±2%內(nèi)所需的最短時(shí)間。超調(diào)量σ%：指響應(yīng)的最大峰值c(tp)與終值c(∞)的差與終值c(∞)比的百分?jǐn)?shù)，即

(3-8)

若c(tp)<c(∞)，則響應(yīng)無(wú)超調(diào)。超調(diào)量亦稱為最大超調(diào)量，或百分比超調(diào)量。

2)穩(wěn)態(tài)性能

穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下進(jìn)行測(cè)定或計(jì)算。若時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。

3.2一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)，它的典型形式是一階慣性環(huán)節(jié)，即

(3-9)

1.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，有對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，得

(3-10)

根據(jù)式(3-10)，可得出表3-1所列數(shù)據(jù)。一階慣性環(huán)節(jié)在單位階躍輸入下的響應(yīng)曲線如圖3-5所示。由此可以得出如下結(jié)論：

(1)一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，無(wú)振蕩；

(2)經(jīng)過時(shí)間T，曲線上升到0.632的高度，反過來(lái)，用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)出響應(yīng)曲線達(dá)到0.632高度點(diǎn)所用的時(shí)間，即是慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T；

(3)經(jīng)過時(shí)間3T～4T，響應(yīng)曲線已達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95%～98％，可以認(rèn)為其調(diào)整時(shí)間已經(jīng)完成，故一般取調(diào)整時(shí)間ts=(3～4)T；

(4)故在t=0處，響應(yīng)曲線的切線斜率為1/T。圖3-5一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線

2.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

當(dāng)r(t)=t時(shí)，有對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，得

(3-11)

由式(3-11)可求出其響應(yīng)曲線如圖3-6所示。其誤差為

當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，e(∞)=T,故當(dāng)輸入為單位斜坡函數(shù)時(shí)，一階慣性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)誤差為T。顯然，時(shí)間常數(shù)T越小，該環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差越小。圖3-6一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線

3.3二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。從物理上講，二階系統(tǒng)總包含兩個(gè)儲(chǔ)能元件，能量在兩個(gè)元件之間交換，從而引起系統(tǒng)具有往復(fù)的振蕩趨勢(shì)。當(dāng)阻尼不夠充分大時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出振蕩的特性，這樣的二階系統(tǒng)也稱為二階振蕩環(huán)節(jié)。二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)為

(3-12)

式中，ζ為阻尼比；ωn為無(wú)阻尼自然振蕩頻率。

若令s2+2ζωns+ω2n=0(稱為系統(tǒng)特征方程),則兩個(gè)特征根(也稱極點(diǎn))為

(3-13)

分析式(3-13)可知，當(dāng)ζ取值不同時(shí)，兩個(gè)特征根的類型也不一樣。二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)亦可寫成如下形式:

其中:

1.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

1)欠阻尼

當(dāng)0<ζ<1時(shí)，稱為欠阻尼。此時(shí)，由式(3-13)得，二階系統(tǒng)的極點(diǎn)一定是一對(duì)共扼復(fù)根，其傳遞函數(shù)可表示為

式中，稱為阻尼振蕩頻率。當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，有

則對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，得

即或

(3-14)

由式(3-14)可知，當(dāng)0<ζ<1時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是以ωd為角頻率的衰減振蕩過程，其響應(yīng)曲線如圖3-7所示，由圖可見，隨著ζ的減小，其振蕩幅度值加大。實(shí)際工程中的控制系統(tǒng)，大多數(shù)都是衰減振蕩過程。圖3-7二階振蕩環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)曲線

2)臨界阻尼

當(dāng)ζ=1時(shí)，稱為臨界阻尼。此時(shí)，二階系統(tǒng)的極點(diǎn)是兩個(gè)重根，其傳遞函數(shù)可表示為

當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，有則

對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，得

(3-15)

其響應(yīng)曲線如圖3-8所示，由圖可見，系統(tǒng)沒有超調(diào)。臨界阻尼情況工程上不常用。圖3-8臨界阻尼二階系統(tǒng)單位

3)過阻尼

當(dāng)ζ>1時(shí)，稱為過阻尼。此時(shí)，二階系統(tǒng)的極點(diǎn)是兩個(gè)負(fù)實(shí)根，其傳遞函數(shù)可表示為

當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，有則對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，得

(3-16)

其響應(yīng)曲線如圖3-9所示，系統(tǒng)沒有超調(diào)，但過渡過程時(shí)間較長(zhǎng)。過阻尼情況適合無(wú)動(dòng)態(tài)超調(diào)、慢過程的實(shí)際控制系統(tǒng)。圖3-9過阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

4)零阻尼

當(dāng)ζ=0時(shí)，稱為零阻尼。此時(shí)，二階系統(tǒng)的極點(diǎn)為一對(duì)共扼虛根，其傳遞函數(shù)可表示為

當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，有則對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，可得

(3-17)

其響應(yīng)曲線如圖3-10所示，系統(tǒng)為無(wú)阻尼等幅振蕩。該種情況實(shí)際系統(tǒng)不能用。圖3-10零阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

5)負(fù)阻尼

當(dāng)ζ<0時(shí)，稱為負(fù)阻尼。其分析方法與以上相應(yīng)的情況類似，只是其響應(yīng)表達(dá)式的各指數(shù)項(xiàng)均變?yōu)檎笖?shù)，故隨著時(shí)間t→∞，其輸出c(t)→∞，即其單位階躍響應(yīng)是發(fā)散的，如圖3-11和圖3-12所示。圖3-11負(fù)阻尼二階系統(tǒng)的發(fā)散振蕩響應(yīng)圖3-12負(fù)阻尼二階系統(tǒng)的單調(diào)發(fā)散響應(yīng)

2.二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)

二階系統(tǒng)當(dāng)阻尼ζ>1時(shí)，其極點(diǎn)為兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，利用部分分式展開，可將傳遞函數(shù)分解成兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的疊加。因此，研究二階系統(tǒng)最重要的是研究0<ζ<1，即欠阻尼的情況，該種情況也是實(shí)際控制系統(tǒng)中最常用的。對(duì)于二階系統(tǒng)，有

其極點(diǎn)為

極點(diǎn)與參數(shù)關(guān)系圖如圖3-13所示。圖3-13二階系統(tǒng)極點(diǎn)與參數(shù)關(guān)系圖極點(diǎn)的模為

且有

1)求上升時(shí)間tr

由式(3-14)可知由上升時(shí)間tr的定義知，對(duì)于有振蕩的系統(tǒng)，tr為c(t)響應(yīng)從零第一次上升到終值所需的時(shí)間。將c(tr)=1代入式(3-14)，得因?yàn)樗?/p>

即可得

(3-18)

由圖3-13可知

(3-19)

所以式(3-18)亦可寫成

(3-20)

2)求峰值時(shí)間tp

由峰值時(shí)間tp的定義知，tp為c(t)響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。

由式(3-14)和式(3-19)得

(3-21)根據(jù)數(shù)學(xué)求極值概念，令

即因?yàn)樗?/p>

由此可得,ωdtp=π,則

(3-22)

3)求最大超調(diào)量σ%

根據(jù)最大超調(diào)量σ%定義式(3-8)，將tp=π/ωd代入式

(3-21)可得

(3-23)

根據(jù)式(3-23)可得表3-2。

4)求調(diào)節(jié)時(shí)間ts

由式(3-21)知

則曲線為其包絡(luò)線，如圖3-14所示。圖3-14二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)包絡(luò)線按進(jìn)入5%誤差帶計(jì)算，有

則

(3-24)當(dāng)ζ較小時(shí)，有

(3-25)

經(jīng)過調(diào)節(jié)時(shí)間ts后，欠阻尼的二階系統(tǒng)進(jìn)入±5%的誤差范圍。同理可得，欲使欠阻尼的二階系統(tǒng)進(jìn)入±2%的誤差范圍，則

(3-26)

由式(3-24)～式(3-26)可見，當(dāng)阻尼比ζ一定時(shí)，無(wú)阻尼自然振蕩頻率ωn越大，調(diào)節(jié)時(shí)間ts越小，即系統(tǒng)響應(yīng)越快。

【例1】如圖3-15所示系統(tǒng)，在單位階躍函數(shù)輸入

下，欲使系統(tǒng)的最大超調(diào)量等于20%，峰值時(shí)間tp=1s，試確定增益K和Kh的數(shù)值，并求此時(shí)系統(tǒng)的上升時(shí)向tr和調(diào)節(jié)時(shí)

間ts。圖3-15例1系統(tǒng)方框圖

解根據(jù)題意，有解得所以

【例2】如圖3-16所示的某二階系統(tǒng)，其中ζ=0.5,

ωn=4rad/s。當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)時(shí)，試求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)。圖3-16某二階系統(tǒng)方框圖

解根據(jù)方框圖可以列出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為峰值時(shí)間為

超調(diào)量為調(diào)節(jié)時(shí)間為

3.4高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

高階系統(tǒng)的時(shí)域分析比較復(fù)雜，這里只進(jìn)行簡(jiǎn)單的定性分析。

對(duì)于三階及三階以上的系統(tǒng)，通常稱為高階系統(tǒng)。其傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為設(shè)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，則

(3-27)

如果其各極點(diǎn)互不相同，則式(3-27)可展開成經(jīng)拉氏反變換，得

(3-28)

3.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

1.系統(tǒng)穩(wěn)定性概念

研究任何自動(dòng)控制系統(tǒng)，首要的工作都是建立合理的數(shù)學(xué)模型。一旦建立了數(shù)學(xué)模型，就可以進(jìn)行自動(dòng)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析，就是分析控制系統(tǒng)能否滿足對(duì)它所提出的性能指標(biāo)要求，分析某些參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。工程上對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析的主要內(nèi)容是穩(wěn)定性分析、穩(wěn)態(tài)性能分析和動(dòng)態(tài)性能分析。系統(tǒng)的穩(wěn)定性(Stability)是指自動(dòng)控制系統(tǒng)在受到擾動(dòng)作用使平衡狀態(tài)破壞后，經(jīng)過調(diào)節(jié)，能重新達(dá)到平衡狀態(tài)的性能。當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)后(如負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化、電網(wǎng)電壓的變化等)偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，若這種偏離不斷擴(kuò)大，即使擾動(dòng)消失，系統(tǒng)也不能回到平衡狀態(tài)，如圖3-17(a)所示，這種系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的；若通過系統(tǒng)自身的調(diào)節(jié)作用，使偏差最后逐漸減小，系統(tǒng)又逐漸恢復(fù)到平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)便是穩(wěn)定的，如圖3-17(b)所示。圖3-17穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)(a)不穩(wěn)定系統(tǒng);(b)穩(wěn)定系統(tǒng)在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定的物理原因主要是：系統(tǒng)中存在慣性或延遲環(huán)節(jié)(例如機(jī)械慣性、電動(dòng)機(jī)電路的電磁慣性、晶閘管的延遲、齒輪的間隙等)，它們使系統(tǒng)中的信號(hào)產(chǎn)生時(shí)間上的滯后，使輸出信號(hào)在時(shí)間上較輸入信號(hào)滯后了τ時(shí)間。當(dāng)系統(tǒng)設(shè)有反饋環(huán)節(jié)時(shí)，又將這種在時(shí)間上滯后的信號(hào)反饋到輸入端，參見圖3-18。圖3-18造成自動(dòng)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定的物理原因系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念又分絕對(duì)穩(wěn)定性和相對(duì)穩(wěn)定性兩種。

系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)穩(wěn)定(或不穩(wěn)定)的條件,即形成如圖3-17(b)所示狀況的充要條件。系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性是指穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。例如,圖3-19(a)所示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性就明顯好于如圖3-19(b)所示的系統(tǒng)。圖3-19自動(dòng)控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性(a)相對(duì)穩(wěn)定性好;(b)相對(duì)穩(wěn)定性差

2.系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

若設(shè)系統(tǒng)的輸入量只有擾動(dòng)作用D(t),擾動(dòng)作用下的輸出為C(t),則系統(tǒng)微分方程的一般式為根據(jù)穩(wěn)定性的概念可知，研究系統(tǒng)穩(wěn)定性，就是研究系統(tǒng)在擾動(dòng)消失以后的運(yùn)動(dòng)情況。因而，可以從研究上列微分方程的等號(hào)右邊為零時(shí)的情況入手，即研究上列微分方程的齊次方程：由高等數(shù)學(xué)可知，解齊次微分方程時(shí)，首先應(yīng)求解它的特征方程(CharacteristicEquation)，即

(3-29)

當(dāng)求得了特征方程的根s1,s2,…,sn時(shí)，就可以得到齊次微分方程解的一般式，即

(3-30)

式中，C1,C2,…,Cn是積分常數(shù)。如果特征方程有一對(duì)復(fù)數(shù)根s=α±jω，則齊次微分方程相應(yīng)的解為

(3-31)

系統(tǒng)穩(wěn)定性和系統(tǒng)特征方程的根的關(guān)系見表3-3。表中，1、2屬于穩(wěn)定系統(tǒng)，3～6則屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。由以上分析還可看出，對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)，若α的值|α|愈大，即負(fù)實(shí)根或具有負(fù)實(shí)部的復(fù)根離虛軸(Im軸)愈遠(yuǎn);由式

(3-31)可見，指數(shù)曲線衰減得愈快，則系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間愈短，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性愈好，參見圖3-20。圖3-20復(fù)平面上根的位置與系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

3.代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)

下面以勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)為例來(lái)說(shuō)明代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用。

若系統(tǒng)微分方程的特征方程為

則由特征方程的系數(shù)可排成下列的行列式(稱為勞斯-赫爾維茨行列式)。此行列式的特點(diǎn)是：第一行為第二項(xiàng)、第四項(xiàng)等偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù);第二行則為第一項(xiàng)、第三項(xiàng)等奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)

；第三、四行則重復(fù)第一、二行的排列，但向右移動(dòng)一列，前一列則以0數(shù)代替；以下各行以此類推，參見式(3-32)。換句話說(shuō)，主對(duì)角線上的元素為an-1,an-2,…,a1,a0，其他列上的元素為從上至下升冪排列，不足項(xiàng)用0填補(bǔ)。式中Δ1,Δ2,Δ3，…,Δn-1代表各子行列式。

(3-32)

【例1】在圖3-21的調(diào)速系統(tǒng)方框圖中，已知Ks=40,

Keφ=0.12V/(r/min),Tm=0.1s,Td=0.02s,τ0=5ms=0.005s,α=0.01V/(r/min)，比例調(diào)節(jié)器的增益Kk為待定量。求該系統(tǒng)的穩(wěn)定條件。圖3-21具有轉(zhuǎn)速負(fù)反饋的晶閘管直流調(diào)速系統(tǒng)方框圖

解由圖3-21可得此系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(3-33)

式中，由式(3-33)可得該系統(tǒng)的特征方程(此為三階系統(tǒng))：

上式可寫成

(3-34)式(3-34)中:

(3-35)由式(3-34)可建立勞斯-赫爾維茨行列式：

(3-36)由勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)知，此系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：

(1)a3、a2、a1、a0均為正值。由式(3-35)可見，時(shí)間

常數(shù)、增益、電動(dòng)機(jī)電動(dòng)勢(shì)恒量等均為正值，因此滿足條件(1)。

(2)

由式(3-36)有Δ3=a0Δ2。由以上各式可知，若Δ2>0，即能滿足條件(2)。于是此系統(tǒng)的穩(wěn)定的充要條件變?yōu)棣?>0，即

將式(3-35)的各子式代入上式有整理上式并以具體數(shù)值代入，可得

由式(3-35)中的K=KkKsα/(Keφ),有

【例2】設(shè)某系統(tǒng)特征方程為

試判別其穩(wěn)定性。

解用勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)判別,a4=1，a3=8，

a2=17，a1=16，a0=5均大于零，且有：

所以，此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

【例3】設(shè)某單位反饋控制系統(tǒng)如圖3-22所示，試計(jì)算K為何值時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。圖3-22例3系統(tǒng)方框圖

解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

其特征方程為根據(jù)勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條

件有：

(1)a3=1，a2=3，a1=2，a0=K必須均大于零，所以有K>0。

(2)

所以當(dāng)0<K<6時(shí)，三階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3.6系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

1.穩(wěn)態(tài)誤差的概念(SteadyStateError)

自動(dòng)控制系統(tǒng)的輸出量一般都包含著兩個(gè)分量，一個(gè)是穩(wěn)態(tài)分量，另一個(gè)是暫態(tài)分量。暫態(tài)分量反映了控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，暫態(tài)分量隨著時(shí)間的推移，將逐漸減小并最終趨向于零。穩(wěn)態(tài)分量反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，即反映控制系統(tǒng)跟隨給定量和抑制擾動(dòng)量的能力和準(zhǔn)確度。穩(wěn)態(tài)性能的優(yōu)劣，一般以穩(wěn)態(tài)誤差的大小來(lái)度量。穩(wěn)態(tài)誤差始終存在于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)工作狀態(tài)之中，一般說(shuō)來(lái)，系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間的工作狀態(tài)是穩(wěn)態(tài)，因此在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，除了首先要保證系統(tǒng)能穩(wěn)定運(yùn)行外，其次就是要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差小于規(guī)定的允許值。

我們所研究的系統(tǒng)如圖3-23所示。圖3-23說(shuō)明誤差分析的閉環(huán)系統(tǒng)誤差(Error)有兩種不同的定義方法。一種是它等于給定信號(hào)r(t)與主反饋信號(hào)b(t)之間的差，用e(t)表示，即

e(t)=r(t)－b(t)

當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，此差值就是穩(wěn)態(tài)誤差，用ess表示，即

(3-37)

對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，b(t)=c(t)，所以穩(wěn)態(tài)誤差ess為

(3-38)

2.穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算

計(jì)算響應(yīng)的終值，可以直接運(yùn)用拉氏變換的終值定理，而無(wú)須解出響應(yīng)。終值可表達(dá)為

(3-39)

式中，F(xiàn)(s)為f(t)的拉氏變換。

應(yīng)用終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差，則

(3-40)由式(3-40)看出，計(jì)算ess應(yīng)首先求出誤差的拉氏變換E(s)，對(duì)圖3-23所示系統(tǒng)，如誤差定義為e(t)=r(t)－b(t)，則

E(s)=R(s)－B(s)

而E(s)又可表示為

(3-41)

式中，GBr(s)為系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的誤差傳遞函數(shù)；GBn(s)為系

統(tǒng)對(duì)干擾的誤差傳遞函數(shù)。故穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算式為

(3-42)

【例1】單位反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-24所示，參數(shù)K1、K2大于零。設(shè)輸入信號(hào)r(t)=1(t),干擾信號(hào)n(t)=1(t)，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。圖3-24例1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解

(1)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。

圖3-24所示系統(tǒng)為一階系統(tǒng)，參數(shù)K1、K2都大于零，因此系統(tǒng)必穩(wěn)定。

(2)求E(s)。

(3)求ess。

3.給定信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

在不考慮擾動(dòng)信號(hào)作用時(shí)，有

(3-43)

所以令系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

則

(3-44)

1)輸入為單位階躍函數(shù)

對(duì)單位階躍函數(shù)有R(s)=1/s,故由式(3-44)得出穩(wěn)態(tài)誤差為

令

(3-45)并稱Kp為系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)，則穩(wěn)態(tài)誤差和位置誤差系數(shù)的關(guān)系為

(3-46)根據(jù)式(3-45)和式(3-46)，可以求得對(duì)應(yīng)不同類型系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)Kp及ess為：

對(duì)于0型系統(tǒng)：Kp=K,ess=1/(1+K)；

對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng):Kp=∞,ess=0；

對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)：Kp=∞,ess=0。

2)輸入為單位斜坡函數(shù)

對(duì)單位斜坡函數(shù)有R(s)=1/s2,故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

令

(3-47)稱Kv為系統(tǒng)的速度誤差系數(shù),則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與Kv的關(guān)系為

(3-48)

對(duì)于不同類型系統(tǒng)，相應(yīng)的速度誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差為:

對(duì)于0型系統(tǒng)：Kv=0,ess=∞；

對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng):Kv=K,ess=1/K；

對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)：Ｋv=∞,ess=0。

由此可知,0型系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)正常跟蹤斜坡函數(shù)輸入。

3)輸入為單位拋物線函數(shù)

對(duì)單位拋物線函數(shù)有R(s)=1/s3，令

(3-49)

稱Ka為系統(tǒng)的加速度誤差系數(shù)。由前述推論可知，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為

(3-50)對(duì)于0型系統(tǒng)：Ka=0,ess=∞；

對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng):Ka=0,ess=∞；

對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)：Ka=K,ess=1/K。

可見，拋物線函數(shù)輸入時(shí)，0型系統(tǒng)和Ⅰ型系統(tǒng)皆無(wú)法工作，其穩(wěn)態(tài)誤差趨于無(wú)窮大?，F(xiàn)將對(duì)應(yīng)以上三種典型輸入信號(hào)作用下,0型、Ⅰ型和Ⅱ型三種類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和誤

差系數(shù)列于表3-4中。當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)r(t)=A+Bt+Ct2/2時(shí)，利用疊加原理可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

4.干擾信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

如圖3-25所示系統(tǒng)，討論其在階躍干擾下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差essn。

此時(shí)，將輸入量當(dāng)零處理，即r(t)=0,有

(3-51)圖3-25隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖設(shè)n(t)=1(t)，則N(s)=1/s。圖3-25經(jīng)結(jié)構(gòu)變換可得

代入式(3-51)得

(3-52)下面用一個(gè)特定的傳遞函數(shù)G1(s)替換圖3-25所示系統(tǒng)中的K1，進(jìn)而尋找ess=0的條件。

在式(3-52)中以G1(s)代替K1，得

(3-53)希望ess=0，則G1(s)中必須至少有一個(gè)1/s因子。若設(shè)G1(s)=K1/s，則由圖3-25可以看出，系統(tǒng)將變得不穩(wěn)定，這是不允許的。因此，還必須設(shè)置比例微分因子(τs+1)，故取

代入式(3-53)，則

3.7應(yīng)用MATLAB進(jìn)行時(shí)域分析

1.應(yīng)用MATLAB分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性

在MATLAB中，可利用pzmap函數(shù)繪制連續(xù)的零、極點(diǎn)圖，也可以利用tf2zp函數(shù)求出系統(tǒng)的零、極點(diǎn)，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

【例1】已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

要求：

(1)求出該系統(tǒng)的零、極點(diǎn)及增益；

(2)繪出其零、極點(diǎn)圖，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解可執(zhí)行如下程序：

%Thisprogramcreateatransferfunctionandthenfinds/displaysitspoles,zerosandgain

num=［3,2,5,4,6］;

den=［1,3,4,2,7,2］;

［z,p,k］=tf2zp(num,den);

disp(z)

disp(p)

disp(k)

pzmap(num,den);

title(′Polesandzerosmap′);程序執(zhí)行結(jié)果如下：

屏幕顯示：

同時(shí),屏幕上顯