專題02 特殊方法解一元二次方程及根的判別式的應(yīng)用3大題型-備戰(zhàn)2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末（河南專用）

PAGE1PAGE2專題01特殊方法解一元二次方程及根的判別式的應(yīng)用3大題型題型一十字交叉相乘法1．（23-24九年級上·河南周口·期末）如果，那么等于（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)多項式乘法去括號，進而得出p的值．【詳解】∵x2-px+q=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，∴p=-（a+b）．故選D．2．（23-24九年級上·河南南陽·期末）如果，則為（

）.A．5 B．－6 C．－5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)題意進而得出關(guān)于b的等式進而求出答案．【詳解】∵x2+（a+b）?x+5b=x2-x-30，∴5b=-30，解得：b=-6．故選B．3．（21-22九年級上·河南鶴壁·期末）多項式可分解為，則a、b的值分別是()A．10和?2 B．和2 C．10和2 D．和?2【答案】D【分析】利用多項式乘法整理多項式進而得出a，b的值.【詳解】解：∵多項式x2-3x+a可分解為（x-5）（x-b），∴x2-3x+a=（x-5）（x-b）=x2-（b+5）x+5b，故b+5=3，5b=a，解得：b=-2，a=-10．故選D.4．（23-24九年級上·河南新鄭·期末）下列因式分解結(jié)果正確的是(

)．A．10a3+5a2=5a(2a2+a)B．4x2-9=(4x+3)(4x-3)C．a(chǎn)2-2a-1=(a-1)2D．x2-5x-6=(x-6)(x+1)【答案】D【分析】A可以利用提公因式法分解因式(必須分解到不能再分解為止)，可對A作出判斷；而B符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，因此可對B作出判斷；C不符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點，因此不能分解，而D可以利用十字相乘法分解因式，綜上所述，即可得出答案.【詳解】A、原式=5a2(2a+1)，故A不符合題意；B、原式=(2x+3)(2x-3)，故B不符合題意；C、a2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C不符合題意；D、原式=(x-6)(x+1)，故D符合題意；故答案為D5．（23-24九年級上·河南林州·期末）方程的解是．【答案】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：因式分解得，，∴，，∴，，故答案為：，．6．（23-24九年級上·河南信陽·期末）已知且，則的值是．【答案】或【分析】利用因式分解法求出關(guān)于x、y的關(guān)系式，進而可求解．【詳解】解：，，，，解得：，，且，，即的值是或．故答案為：或．7．（23-24九年級上·河南漯河·期末）多項式x2+mx+15可以在整數(shù)范圍內(nèi)進行分解，則m=（寫出其中一個）【答案】8【詳解】試題分析：把15分成3和5，即原式分解為（x+3）（x+5），即可得到答案．解：當(dāng)m=8時，x2+mx+15=（x+3）（x+5），故答案為8．考點：因式分解-十字相乘法等．8．（23-24九年級上·河南安陽·期末），反過來可寫成．于是，我們得到一個關(guān)于二次三項式因式分解的新的公式通過觀察可知，公式左邊的二次項系數(shù)為兩個有理數(shù)的乘積，常數(shù)項也為兩個有理數(shù)的乘積，而一次項系數(shù)恰好為這兩對有理數(shù)交叉相乘再相加的結(jié)果，如圖①所示，這種因式分解的方法叫十字交叉相乘法．示例：因式分解：．解：由圖②可知，．請根據(jù)示例，對下列多項式進行因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)題意給出的因式分解法即可求出答案．【詳解】（1）解：由圖1可知，．；（2）解：由圖2可知，．．9．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）閱讀下面的材料：分解因式有一種很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的關(guān)鍵是“拆兩頭，湊中間”，例如，分解因式，方法如下：拆兩頭，拆為拆為，然后排列如下：交叉相乘積相加得，湊得中間項，所以．利用材料解決問題的策略解答下列問題：(1)解方程：(2)已知，求的值．【答案】(1)，(2)的值為4或【分析】（1）先用十字相乘法分解因式，然后解方程即可；（2）先將原方程變?yōu)?，得出或，求出的值?或即可．【詳解】（1）解：，因式分解得：，∴或，解得：，；（2）解：，因式分解得：，∴或，即或，∵，∴，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上分析可知，的值為4或．題型二換元法10．（23-24九年級上·河南焦作·期末）已知實數(shù)x滿足，則代數(shù)式的值是（

）A．7 B． C．7或 D．或3【答案】A【分析】本題考查了換元法解一元二次方程，代數(shù)式求值．熟練掌握換元法解一元二次方程，代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．設(shè)，，則，可求滿足要求解為，然后代值求解即可．【詳解】解：設(shè)，，∴，，解得，（舍去）或，∴，故選：A．11．（23-24九年級上·河南新密·期末）已知方程的解是，，則方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解，以及換元法求方程的解，熟練掌握換元法求方程的解是解題的關(guān)鍵．令，即可得出，，計算求解即可．【詳解】解：令，即，∵方程的解是，，∴，，∴或，解得，，故選：A．12．（23-24九年級上·河南南陽·期末）若，都是實數(shù)，且滿足，則的值為．【答案】4【分析】本題考查了換元法，因式分解法一元二次方程，根據(jù)題意，設(shè)，則原式得，根據(jù)因式分解法求解即可．【詳解】解：設(shè)，∴，整理得，，解得，，∵，∴，故答案為：4．13．（23-24九年級上·河南周口·期末）若，則的值為．【答案】2【分析】本題考查用換元法解一元二次方程，熟練掌握換元法是解題的關(guān)鍵，注意整體思想的運用．設(shè)，則有，再用因式分解法求解得，，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則有，∴，，或，∴，，∵，∴．故答案為：2．14．（23-24九年級上·河南太康·期末）已知關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，，則關(guān)于方程的兩根分別為．【答案】，【分析】本題考查了一元二次方程的同解問題，理解方程的解，掌握解法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意將關(guān)于方程變形為即可得到或，即可求解．【詳解】解：由得，一元二次方程的兩根分別為，，或，，；故答案為：，．15．（23-24九年級上·河南許昌·期末）閱讀材料，解答問題：解方程：．解：把視為一個整體，設(shè)，則原方程可化為．解得，．或．∴，．以上方法就叫換元法，達到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請仿照材料解下列方程：．【答案】，【分析】本題主要考查了換元法和因式分解法解一元二次方程，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．設(shè)，則原方程可化為．然后利用因式分解法解該方程，進而求得的值；然后再利用直接開平方法求得的值．【詳解】解：設(shè)，則原分式方程可化為，整理，得，解得，，當(dāng)時，即，解得，當(dāng)時，即，解得．綜上所述，原方程的解為，．16．（21-22九年級上·河南鄭州·期末）解方程時，我們可以將看成一個整體，設(shè)，則原方程可化為，解得，，當(dāng)時，即，解得；當(dāng)時，即，解得，所以原方程的解為，；解方程時，我們可以將看成一個整體，設(shè)，則原方程可化為，解得，，當(dāng)時，即，解得，；當(dāng)時，即，解得，；所以原方程的解為，，，；以上解法稱為換元法．請利用這種方法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，，，【分析】本題考查了換元法解特殊形式的一元二次方程，因式分解法解一元二次方程；（1）根據(jù)方程的特點，設(shè)，則原方程化為，解此方程求得y的值，再求得x的值即可；（2）根據(jù)方程的特點，設(shè)，則原方程化為，解此方程求得y的值，分別代入中，再解一元二次方程，求得x的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程化為，解得：，；當(dāng)時，即，解得；當(dāng)時，即，解得，所以原方程的解為，；（2）解：設(shè)，則原方程化為，解得：，；當(dāng)時，即，解得，；當(dāng)時，即，解得，；所以原方程的解為，，，．17．（23-24九年級上·河南滎陽·期末）閱讀材料，回答問題：材料：為解方程，可設(shè)，于是原方程可化為，解得，．當(dāng)時，不合題意舍去；當(dāng)時，，解得，．故原方程的根為，．請你參照材料給出的解題方法，解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查的是換元法解一元二次方程和分式方程，（1）設(shè)，把原方程化為一元二次方程，解方程可得答案；（2）設(shè)，把原方程化為簡單的分式方程，解方程即可；通過閱讀掌握換元法的一般步驟是解題的關(guān)鍵，注意一元二次方程和分式方程的解法．【詳解】（1）解：設(shè)，∴原方程可化為，解得：，，當(dāng)時，，即，∵，∴此時方程無實數(shù)根；當(dāng)時，，即，解得：，，∴原方程的根為，；（2）設(shè)，∴原方程可化為，解得：，，經(jīng)檢驗：，都是方程的解，當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，解得：，經(jīng)檢驗：和都是原方程的解，∴原方程的解為：，．18．（23-24九年級上·河南商丘·期末）提出問題：為解方程，我們可以令，于是原方程可轉(zhuǎn)化為，解此方程得，（不符合要求，舍去）．當(dāng)時，，．原方程的解為，．以上方法就是換元法解方程，從而達到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．解決問題：(1)運用上述換元法解方程：．(2)若實數(shù)滿足方程，則的值是_______．【答案】(1)，，，(2)13【分析】本題考查換元法解高次方程，解一元二次方程，一元二次方程的根的判別式：（1）參照材料中的方法，令，將原方程轉(zhuǎn)化為，即可求解；（2）參照材料中的方法，令，原方程可轉(zhuǎn)化為，求出的值，再利用根的判別式判斷是否有實數(shù)根，對求出的的值進行取舍，最后作為整體代入即可得出答案．【詳解】（1）解：令，原方程可轉(zhuǎn)化為，即，解得，．當(dāng)時，，解得，，當(dāng)時，，解得，，原方程的解為，，，．（2）解：令，原方程可轉(zhuǎn)化為，即，解得，（不符合要求，舍去）．當(dāng)時，，即，，該方程有解，符合題意，此時；當(dāng)時，，即，，該方程無實數(shù)解，不合題意；綜上可知，的值是13，故答案為：13．19．（23-24九年級上·河南溫縣·期末）閱讀材料，解答問題．解方程：．解：把視為一個整體，設(shè)，則原方程可化為．解得，．或．，．以上方法就叫換元法，達到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請仿照材料解下列方程：．【答案】【分析】本題考查了換元法解一元二次方程，因式分解法解方程，公式法解方程．依題意，設(shè)，則原式為，然后運用因式分解法，公式法分別進行解方程，即可作答．【詳解】解：依題意，，設(shè)，則原式為，∴，解得，則或，當(dāng)時，即：，，∴，∴；當(dāng)時，∴，∴，綜上：的解是．題型三根的判別式的應(yīng)用20．（22-23九年級上·河南南陽·期末）一元二次方程的根的情況是（

）A．無實數(shù)根 B．只有一個實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【答案】A【分析】此題主要考查了利用一元二次方程判別式判定方程的根的情況，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根；若，則方程有兩個相等的實數(shù)根；若，則方程沒有實數(shù)根．直接計算方程根的判別式進行判斷即可．【詳解】解：，該方程無實數(shù)根，故選：A21．（22-23九年級上·河南周口·期末）定義一種新運算“”，對于任意實數(shù)，，則有，如．若是關(guān)于的方程，則方程的根的情況為（

）A．只有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】C【分析】本題考查了新定義，以及根的判別式，根據(jù)題意列出的方程，再列出根的判別式，根據(jù)根的判別式大小進行判斷即可解題．【詳解】解：由題可得：，，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：C．22．（23-24九年級上·河南信陽·期末）一元二次方程的根的情況是(

)A．沒有實數(shù)根 B．只有一個實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．根據(jù)一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：D．23．（23-24九年級上·河南商丘·期末）下列一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個不相等的實數(shù)根，②，方程有兩個相等的實數(shù)根，③，方程沒有實數(shù)根；由此逐項判斷即可得出答案，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，，，，，故方程沒有實數(shù)根，此選項不符合題意；B、，，，，，故方程有兩個不相等的實數(shù)根，此選項符合題意；C、，，，，，故方程有兩個相等的實數(shù)根，此選項不符合題意；D、，，，，，故方程沒有實數(shù)根，此選項不符合題意；故選：B．24．（23-24九年級上·河南南陽·期末）對于任意實數(shù)k，關(guān)于x的方程x2﹣2（k+1）x﹣k2+2k﹣1=0的根的情況為．【答案】有兩個不相等的實數(shù)根【詳解】試題分析：首先確定a=1，b=﹣2（k+1），c=﹣k2+2k﹣1，然后求出△=b2﹣4ac的值，進而作出判斷．解：∵a=1，b=﹣2（k+1），c=﹣k2+2k﹣1，∴△=b2﹣4ac=[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（﹣k2+2k﹣1）=8+8k2＞0∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根，故答案為有兩個不相等的實數(shù)根．25．（23-24九年級上·河南鶴壁·期末）已知關(guān)于的方程．(1)若此方程的一個根為，則的值為______；(2)求證：對于任何實數(shù)，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查一元二次方程的根，一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．（1）把代入原方程求得m的值，進一步求得方程的另一個根即可；（2）只要證明即可；【詳解】（1）解：把代入得，，解得，，故答案為：．（2）證明：．因為對于任何實數(shù)，總有，所以方程總有兩個不相等的實數(shù)根．26．（22-23九年級上·河南鶴壁·期末）關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程有一個根不小于7，求的取值范圍．【答案】(1)見解析．(2)．【分析】（1）計算根的判別式的值，利用配方法得到，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）利用求根公式得到，．根據(jù)題意得到，即可求得k的取值范圍．【詳解】（1）解：，∴方程總有實數(shù)根；（2）解：∵，∴，解方程得：，，由于方程有一個根不小于7，∴，解得：．27．（21-22九年級上·河南南陽·期末）已知關(guān)于的一元二次方程，其中為實數(shù)．(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)試寫出三個的值，使一元二次方程有整數(shù)解，并簡要說明理由．【答案】(1)見解析(2)0，2，，理由見解析【分析】對于（1），先求出b2-4ac，再判斷即可；對于（2），根據(jù)求根公式求出方程的解，再根據(jù)題意判斷．【詳解】（1）證明：原方程整理，得x2-5x+4-p2=0，∴b2-4ac=（-5）2-4×（4-p2）=4p2+9＞0，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）0，2，，理由如下：原方程的解為.∵一元二次方程有整數(shù)解，∴為大于1的奇數(shù)，即3或5或7或···，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，···所以p的值為0，2，，原方程有整數(shù)解．28．（21-22九年級上·河南駐馬店·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．（1）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）等