《數(shù)字圖像處理》課件第5章

第5章頻域處理5.1頻域與頻域變換5.2傅立葉變換5.3頻域變換的一般表達(dá)式5.4離散余弦變換（DCT）5.5頻域中圖像處理的實現(xiàn)5.6小波變換簡介習(xí)題5.1頻域與頻域變換

頻域變換的理論基礎(chǔ)就是“任意波形都可以用單純的正弦波的加權(quán)和來表示”。如圖5-1(a)所示的任意波形，可分解為圖5-1(b)、5-1(c)、5-1(d)所示的不同幅值、不同頻率的正弦波的加權(quán)和。圖5-1任意波形可分解為正弦波的加權(quán)和為便于理解，將圖5-1(b)所示的正弦波取出來，如圖

5-2。如果將虛線表示的振幅為1，且初相位為0的正弦波作為基本正弦波，則實線表示的波形可由其振幅A和初相位

φ確定。圖5-2正弦波的振幅A和相位φ由此，圖5-1(b)、(c)、(d)３個不同的正弦波形可以描述為圖5-3所示的兩幅圖。其中圖5-3(a)表示振幅與頻率之間的關(guān)系，稱為幅頻特性；圖5-3(b)表示初相位與頻率之間

的關(guān)系，稱為相頻特性。圖5-3圖5-1(a)波形的頻域表示這樣便將圖5-1(a)所示的時域波形f(x)變換到圖5-3所示的頻域F(ω)。顯然，不管波形多么復(fù)雜，均可將其變換到頻域。時域和頻域之間的變換可用數(shù)學(xué)公式表示如下：

式中：A(ω)、Φ(ω)分別為幅值和相位與頻率ω之間的關(guān)系。(5-1)為能同時表示信號的振幅和相位，通常采用復(fù)數(shù)表示法。式（5-1）可用復(fù)數(shù)表示為

式中：F(ω)用復(fù)數(shù)表示幅值、相位與頻率ω之間的關(guān)系。

為完成這種變換，一般采用線性正交變換方法。(5-2)5.2傅立葉變換

5.2.1連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換

當(dāng)一個一維信號f(x)滿足狄里赫萊條件，即

（1）具有有限個間斷點；

（2）具有有限個極值點；

（3）絕對可積。

則其傅立葉變換對（傅立葉變換和逆變換）一定存在。在實際應(yīng)用中，這些條件一般總是可以滿足的。一維傅立葉變換對定義為(5-3)(5-4)以上一維傅立葉變換可以很容易推廣到二維。如果二維函數(shù)f(x，y)滿足狄里赫萊條件，則它的二維傅立葉變換對為式中：x，y為時域變量；u，v為頻域變量。(5-5)(5-6)5.2.2離散傅立葉變換

在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，還需要解決兩個問題：一是在數(shù)學(xué)中進(jìn)行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)(模擬)信號，而計算機(jī)處理的是數(shù)字信號（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)

學(xué)上采用無窮大概念，而計算機(jī)只能進(jìn)行有限次計算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換

(DFT，DiscreteFourierTransform)。定義：設(shè){f(x)|f(0)，f(1)，

f(2)，…，

f(N－1)}為一維信號f(x)的N個抽樣，其離散傅立葉變換對為(5-7)(5-８)式中：x，u=0，1，2，…，N－1。注意：式(5-8)中的系數(shù)1/N也可以放在式(5-7)中，有時也可在傅立葉正變換和逆變換前分別乘上，這是無關(guān)緊要的，只要正變換和逆變換前系數(shù)乘積等于1/N即可。

由歐拉公式可知：(5-9)將式(5-9)代入式(5-7)，并利用cos(－θ)=cos(θ)，可得：(5-10)可見，離散序列的傅立葉變換仍是一個離散的序列，對每一個u對應(yīng)的傅立葉變換結(jié)果是所有輸入序列f(x)的加權(quán)和(每一個f(x)都乘以不同頻率的正弦和余弦值)，u決定了每個傅立葉變換結(jié)果的頻率。

通常傅立葉變換為復(fù)數(shù)形式，即(5-11)式中：R(u)和I(u)分別是F(u)的實部和虛部。式(5-11)也可表示成指數(shù)形式：(5-12)式中：(5-13)(5-14)通常，稱|F(u)|為f(x)的頻譜或傅立葉幅度譜，φ(u)為f(x)的相位譜。頻譜的平方稱為能量譜或功率譜，它表示為(5-15)

考慮到兩個變量，就很容易將一維離散傅立葉變換推廣到二維。二維離散傅立葉變換對定義為(5-16)(5-17)式中：u，x=0，1，2，…，M-1；v，y=0，1，２，

…，N-1；x，y為時域變量；u，v為頻域變量。和一維離散傅立葉變換一樣，系數(shù)1/(MN)可以在正變換或逆變換中，也可以分別在正變換和逆變換前分別乘上系數(shù)，只要兩系數(shù)的乘積等于1/(MN)即可。

二維離散函數(shù)的傅立葉頻譜、相位譜和能量譜分別為(5-18)(5-19)(5-20)式中：R(u，v)和I(u，v)分別是F(u，v)的實部和虛部。5.2.3離散傅立葉變換的性質(zhì)

二維離散傅立葉變換的性質(zhì)對圖像的分析具有十分重要的作用，因此，有必要理解和掌握二維DFT的性質(zhì)。二維離散傅立葉變換的主要性質(zhì)如表5-1所示。表5-1二維DFT的性質(zhì)

續(xù)表以上具有重要意義的兩個性質(zhì)的含義如下。

1.可分離性

由可分離性可知，一個二維傅立葉變換可分解為兩步進(jìn)行，其中每一步都是一個一維傅立葉變換?？上葘(x，y)按行進(jìn)行傅立葉變換得到F(x，v)，再對F(x，v)按列進(jìn)行傅立葉變換，便可得到f(x，y)的傅立葉變換結(jié)果F(u，v)，如圖7-4所示。顯然先按列進(jìn)行傅立葉變換，再按行進(jìn)行傅立葉變換也是可行的。圖5-4用兩次一維DFT計算二維DFT同理，傅立葉變換的逆變換也具有可分離性。

利用傅立葉變換的可分離性，可以簡化傅立葉變換的軟、硬件設(shè)計，用一維傅立葉變換軟件或硬件便可實現(xiàn)二維傅立葉變換。

2.平移性質(zhì)

平移性質(zhì)表明只要將f(x，y)乘上因子(－1)x+y再進(jìn)行離散傅立葉變換，即可將圖像的頻譜原點(0，0)移動到圖像中心(M/2，N/2)處。圖5-5(a)是一簡單方塊圖像，圖(b)是其無平移的傅立葉頻譜，圖(c)是平移后的傅立葉頻譜?？梢?，利用傅立葉變換的平移性質(zhì)將圖像頻譜原點移動到圖像中心，更便于分析和處理，特別是設(shè)計濾波器時更加方便。圖5-5傅立葉頻譜平移示意圖由表5-1中性質(zhì)9可知，圖像的頻譜原點(0，0)代表的

是圖像灰度的平均值，是圖像信號中的直流分量。因此，平移后的頻譜中，圖像能量的低頻成分將集中到頻譜中心，圖像上的邊緣、線條細(xì)節(jié)信息等高頻成分將分散在圖像頻譜的邊緣。5.2.4離散傅立葉變換的OpenCV實現(xiàn)

在OpenCV中，提供了離散傅立葉變換的實現(xiàn)，相關(guān)的函數(shù)主要有g(shù)etOptimalDFTSize()、copyMakeBorder()、merge()、dft()、log()和normalize()等。

1.圖像大小優(yōu)化

為提高DFT的計算性能，OpenCV要求圖像大小是2、3、5的整數(shù)次冪，所以為了獲取最佳性能需要補全圖像以達(dá)到提高計算性能的約束條件。getOptimalDFTSize()函數(shù)能夠返回最佳大小，利用copyMakeBorder()函數(shù)可對圖像邊緣進(jìn)行擴(kuò)展。其代碼如下：

Matpadded；

//獲取最佳高度

intm=getOptimalDFTSize(I.rows)；

//獲取最佳寬度

intn=getOptimalDFTSize(I.cols)；

//擴(kuò)展圖像

copyMakeBorder(I，padded，0，m-I.rows，0，

n－I.cols，BORDER_CONSTANT，

Scalar::all(0))；

其中，I為輸入圖像。

2.實部和虛部矩陣創(chuàng)建

對每一幅圖像進(jìn)行DFT時，其輸出結(jié)果是復(fù)數(shù)，由實部和虛部構(gòu)成，且其值域范圍較大，宜采用浮點數(shù)格式進(jìn)行存儲。創(chuàng)建實部和虛部矩陣的代碼如下：

Matplanes［］={Mat_<float>(padded)，Mat∷zeros(padded.size()，CV_32F)}；

MatcomplexI；

merge(planes，2，complexI)；

3.DFT實現(xiàn)

對離散傅立葉變換，OpenCV提供了dft()函數(shù)實現(xiàn)DFT的原地操作（inplace，輸出結(jié)果直接存儲在輸入矩陣中）。其代碼為

dft(complexI，complexI)；

4.頻譜計算

根據(jù)式（5-18），為得到頻譜特性，OpenCV提供了magnitude()函數(shù)實現(xiàn)頻譜的計算。其代碼如下：

//sqrt(Re(DFT(I))^2+Im(DFT(I))^2))

split(complexI，planes)；//planes［0］=Re(DFT(I)，planes［1］=Im(DFT(I))

magnitude(planes［0］，planes［1］，planes［0］)；//planes［0］=magnitude

MatmagI=planes［0］；

5.對數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

傅立葉變換結(jié)果的動態(tài)范圍較寬，為實現(xiàn)數(shù)據(jù)的顯示，需要對其進(jìn)行對數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。代碼為

//log(1+magI)

magI+=Scalar::all(1)；

log(magI，magI)；

6.頻譜平移

為實現(xiàn)頻譜平移，可按圖5-6進(jìn)行象限調(diào)整，使頻譜的原點位于顯示中心。其代碼如下：

magI=magI(Rect(0，0，magI.cols&-2，magI.rows&-2))；

intcx=magI.cols/2；

intcy=magI.rows/2；

Matq0(magI，Rect(0，0，cx，cy))；//左上角

Matq1(magI，Rect(cx，0，cx，cy))；//右上角

Matq2(magI，Rect(0，cy，cx，cy))；//左下角

Matq3(magI，Rect(cx，cy，cx，cy))；//右下角

Mattmp；

q0.copyTo(tmp)；

q3.copyTo(q0)；

tmp.copyTo(q3)；

q1.copyTo(tmp)；

q2.copyTo(q1)；

tmp.copyTo(q2)；７.標(biāo)準(zhǔn)化

OpenCV提供了normal()函數(shù)對DFT計算結(jié)果進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，以進(jìn)行可視化顯示、分析比較等處理。其代碼為

normalize(magI，magI，0，1，CV_MINMAX)；

8.頻譜顯示

對于DFT的頻譜，可按圖像的方式進(jìn)行顯示。其代

碼為

imshow(“spectrummagnitude”，magI)；

其余完整代碼與此類似，由于篇幅所限，僅給出光盤文件名稱。計算并顯示一幅圖像頻譜的完整代碼請讀者登錄出版社網(wǎng)站下載，文件路徑：code＼src＼chapter05＼code05-01dftTransform.cpp。

5.3頻域變換的一般表達(dá)式

5.3.1可分離變換

二維傅立葉變換可用通用關(guān)系式來表示：(5-21)(5-22)式中：x，u取0，1，2，…，M－1；y，v取0，1，2，…，N－1；g(x，y，u，v)和h(x，y，u，v)分別稱為正向變換核和反向變換核。如果(5-23)(5-24)則稱正反變換核是可分離的。進(jìn)一步，如果g1和g2，h1和h2在函數(shù)形式上一樣，則稱該變換核是對稱的。

二維傅立葉變換對是式(7-21)和式(7-22)的一個特殊情況，它們的變換核為(5-25)(5-26)可見，它們均為可分離的和對稱的。如前所述，二維傅立葉變換可以利用變換核的可分離性，用兩次一維變換來實現(xiàn)，即可先對f(x，y)的每一行進(jìn)行一維變換得到F(x，v)，再沿F(x，v)每一列取一維變換得到變換結(jié)果F(u，v)。對其它的圖像變換，只要其變換核是可分離的，同樣可用兩次一維變換來實現(xiàn)二維變換。

若先對f(x，y)的每一列進(jìn)行一維變換得到F(y，u)，再沿F(y，u)每一行取一維變換得到F(u，v)，其最終結(jié)果相同。該結(jié)論對逆變換也適用。5.3.2圖像變換的矩陣表示

數(shù)字圖像都是實數(shù)矩陣，設(shè)f(x，y)為M×N的圖像灰度矩陣，通常，為了分析、推導(dǎo)方便，將可分離變換寫成矩陣的形式：(5-27)(5-28)式中：F、f是二維M×N的矩陣；P是M×M矩陣；Q是N×N矩陣。圖像變換的矩陣表達(dá)式和代數(shù)表達(dá)式其本質(zhì)相同，將式(7-27)寫成代數(shù)表達(dá)式如下：(5-29)式中：u取0，1，2，…，M－1；v取0，1，2，…，N－1。對二維離散傅立葉變換，則有：(5-30)(5-31)圖像處理實踐中，除了DFT變換之外，還可采用其它正交變換，例如離散余弦變換、沃爾什-哈達(dá)瑪變換、K-L變換等。下面對常用的變換作簡要介紹。

5.4離散余弦變換(DCT)

離散余弦變換(DiscreteCosineTransform，DCT)的變換核為余弦函數(shù)，因其變換核為實數(shù)，所以，DCT計算速度比變換核為復(fù)數(shù)的DFT要快得多。DCT除了具有一般的正交變換性質(zhì)外，它的變換陣的基向量能很好地描述人類語音信號、圖像信號的相關(guān)特征。因此，在對語音信號、圖像信號的變換中，DCT變換被認(rèn)為是一種準(zhǔn)最佳變換。近年頒布的一系列視頻壓縮編碼的國際標(biāo)準(zhǔn)中，均把DCT作為其中的一個基本處理模塊。此外，DCT也是一種可分離的變換。5.4.1一維離散余弦變換

一維DCT的變換核定義為(5-32)式中：x，u取0，1，2，…，N－1；且(5-33)設(shè){f(x)|x=0，1，…，N-1}為離散的信號列，則一維DCT定義如下：(5-34)式中：u，x取0，1，2，…，N－1。將變換式展開整理后，可以寫成矩陣形式：(5-35)其中：(5-36)一維DCT的逆變換IDCT(InverseDCT)定義為(5-37)式中：x，u取0，1，2，…，N－1?？梢娨痪SDCT的逆變換核與正變換核是相同的。5.4.2二維離散余弦變換

考慮到兩個變量，很容易將一維DCT的定義推廣到二維DCT。其正變換核為(5-38)式中：C(u)、C(v)定義同式(5-33)；x，u取0，1，2，…，M－1；y，v取0，1，2，…，N－1。設(shè)f(x，y)為M×N的二維離散信號，其二維DCT定義如下：(5-39)式中：x，u取0，1，2，…，M－1；y，v取0，1，2，…，N－1。二維DCT逆變換定義如下：(5-40)式中，x，u取0，1，2，…，M－1；y，v取0，1，2，…，N－1。類似一維矩陣形式的DCT，可以寫出二維DCT的矩陣形式如下：(5-41)同時，由式(5-40)和式(5-39)可知二維DCT的逆變換核與正變換核相同，且是可分離的，即(5-42)式中：C(u)、C(v)定義同式(5-33)；x，u取0，1，2，…，M－1；y，v取0，1，2，…，N－1。根據(jù)DCT的可分離性，二維DCT可用兩次一維DCT來完成，其算法流程與DFT類似：(5-43)離散余弦變換的計算量也相當(dāng)大，在實用中非常不方便，也需要研究相應(yīng)的快速算法。目前已有多種快速DCT(FCT)，其一是由FFT的思路發(fā)展起來的，它利用FFT和IFFT便可實現(xiàn)快速DCT(FCT)和快速IDCT算法(IFCT)。不過，由于FFT及IFFT中涉及到復(fù)數(shù)運算，所以，該FCT及IFCT算法并不是最佳的。限于篇幅，不再介紹其它的快速DCT及IDCT算法，請參考相關(guān)資料。

最后，需要注意的是二維DCT的頻譜分布與DFT相差一倍，如圖5-7所示。由圖可以看出，對于DCT而言，(0，0)點對應(yīng)于頻譜的低頻成分，(N-1，N-1)點對應(yīng)于高頻成分；而同階的DFT中，(N/2，N/2)點對應(yīng)于高頻成分(注：此頻譜圖中未作頻譜中心平移)。圖5-7DFT和DCT的頻譜分布5.5頻域中圖像處理的實現(xiàn)

5.5.1理解數(shù)字圖像的頻譜圖

在7.2.3節(jié)指出，數(shù)字圖像平移后的傅立葉頻譜中，圖像的能量將集中到頻譜中心(低頻成分)，圖像上的邊緣、線條細(xì)節(jié)信息(高頻成分)將分散在圖像頻譜的邊緣。也就是說，頻譜中低頻成分代表了圖像的概貌，高頻成分代表了圖像中的細(xì)節(jié)。例如，一幅室內(nèi)圖像，墻和地板的灰度變化平緩，它們對應(yīng)的是頻譜中靠近中心的分量，當(dāng)進(jìn)一步遠(yuǎn)離頻譜中心點時，較高的頻率分量開始對應(yīng)圖像中變化急劇的灰度級，如墻和地板的交界、噪聲等圖像成分。圖5-8是一幅圖像及其傅立葉頻譜。圖5-8(a)是一幅放大了近2500倍的集成電路電子掃描顯微鏡圖像，圖中沿大約±45°方向存在強邊緣，并且有兩個因熱感應(yīng)不足而產(chǎn)生的白色氧化物突起。圖5-8(a)的傅立葉頻譜如圖5-8(b)所示，在圖(b)中沿著±45°的亮帶對應(yīng)了圖像中的強邊緣；沿著縱軸偏左的部分存在兩個亮帶對應(yīng)氧化物突起，在此應(yīng)注意亮帶偏離縱軸的角度與白色氧化物突起的對應(yīng)關(guān)系。圖5-8圖像及其傅立葉頻譜5.5.2頻域圖像處理步驟

在頻域中進(jìn)行圖像處理的一般步驟如下：

(1)用(-1)x+y乘以輸入圖像各像素值，以將圖像頻譜原點移動到頻譜圖中心；

(2)計算圖像的DFT，得到F(u，v)；

(3)用濾波函數(shù)H(u，v)乘以F(u，v)，得到處理結(jié)果G(u，v)；

(4)計算濾波后的IDFT；

(5)取IDFT變換結(jié)果中的實部；

(6)用(-1)x+y乘以IDFT變換結(jié)果的實部，得到處理后的圖像。

H(u，v)稱為濾波器，它具有允許某些頻率成分通過，而阻止其它頻率成分通過的特性。該處理過程可表示為(5-44)

H和G的相乘是點乘運算，即H的第一個元素乘以F的第一個元素，H的第二個元素乘以F的第二個元素，依此類推。濾波后的圖像可以由IDFT得到：(5-45)圖5-9給出了頻域中圖像處理的基本步驟。圖5-9頻域處理的基本步驟5.5.3頻域濾波

1.低通濾波器

顧名思義，低通濾波器允許低頻成分通過，而抑制高頻成分。因此，它能夠去除圖像中的噪聲，實現(xiàn)圖像平滑作用。當(dāng)然，這必然會引起圖像模糊。理想低通濾波器的濾波函數(shù)為(5-46)

2.高通濾波器

與低通濾波器相反，高通濾波器允許高頻成分通過，而抑制低頻成分。因此，它能夠強化圖像中目標(biāo)的邊緣，起銳化作用。但它同時也強化了圖像中的噪聲。理想高通濾波器的濾波函數(shù)為(5-47)

3.帶通濾波器

帶通濾波器允許指定范圍的頻率成分通過，而抑制其它頻率成分。理想帶通濾波器的濾波函數(shù)為(5-48)

4.帶阻濾波器

帶阻濾波器抑制指定范圍的頻率成分，而允許其它頻率成分通過。理想帶阻濾波器的濾波函數(shù)為(5-49)式(5-46)~式(5-49)中，D0、D1、D2是指定的非負(fù)值，稱為截止頻率；D(u，v)是(u，v)點到原點的距離。四種基本類型濾波器的頻率響應(yīng)特性如圖5-10所示。圖5-10基本濾波器的頻率響應(yīng)圖5-11是分別采用D0＝10、D0＝30、D0＝60、D0＝160(以像素為單位)進(jìn)行理想低通濾波的結(jié)果。

在圖5-11(c)中，存在著嚴(yán)重的模糊現(xiàn)象，這表明圖像中多數(shù)的細(xì)節(jié)信息包含在被濾除掉的頻率成分之中。隨著濾波半徑的增加，濾除的能量越來越少，圖5-11(d)到圖5-11(f)中的模糊現(xiàn)象也就越來越輕。當(dāng)被濾除的高頻成分減少時，圖像的質(zhì)量會逐漸變好，但其平滑作用也將逐漸減弱。

一個值得注意的問題是在圖5-11(c)到圖5-11(e)中存在有明顯的振鈴現(xiàn)象，“振鈴”現(xiàn)象產(chǎn)生的原因在此不再討論，請參閱有關(guān)信號處理方面的資料。圖5-11理想低通濾波器處理結(jié)果由于理想濾波器存在明顯的“振鈴”現(xiàn)象，且其垂直的頻率響應(yīng)特性僅能用軟件方法實現(xiàn)，無法用電路實現(xiàn)。因此，研究實用的濾波器是非常有價值的。一種常用的頻域濾波器是巴特沃斯(Butterworth)濾波器。

低通巴特沃斯濾波器的濾波函數(shù)為(5-50)高通巴特沃斯濾波器的濾波函數(shù)為(5-51)式中：；n為巴特沃斯濾波器乘階數(shù)。巴特沃斯濾波器的頻率響應(yīng)特性如圖5-12所示。圖5-12巴特沃斯濾波器的頻率響應(yīng)圖5-13是對圖5-11(a)采用D0=60，n=1的低通巴特沃斯濾波器的濾波結(jié)果。可以看出巴特沃斯濾波器可以有效地抑制“振鈴”現(xiàn)象。圖5-13巴特沃斯濾波器及處理效果

注意：所有示例只是針對低通濾波而言的，對于高通濾波，其處理過程與低通濾波類似，在此不再贅述。

在頻域中，還可完成對指定頻率成分的處理。圖5-14是另一頻域濾波實例。圖5-14(a)是有條紋干擾的原圖像，在圖5-14(b)頻譜圖中，可以明顯看到圖像中存在高頻噪聲點。在頻域中去除這些高頻噪聲點后如圖5-14(c)所示，再經(jīng)過IDFT變換，便可獲得圖5-14(d)所示的去除條紋干擾的圖像。圖5-14頻域濾波實例

5.6小波變換簡介

5.6.1小波變換的理論基礎(chǔ)

信號分析是為了獲得時間和頻率之間的相互關(guān)系。傅立葉變換提供了有關(guān)頻率的信息，但有關(guān)時間的局部化信息卻基本丟失。與傅立葉變換不同，小波變換通過縮放母小波

(MotherWavelet)的寬度來獲得信號的頻率特征，通過平移母小波來獲得信號的時間信息。對母小波的縮放和平移操作是為了計算小波系數(shù)，這些小波系數(shù)反映了小波和局部信號之間的相關(guān)程度。

1.連續(xù)小波變換(CWT)

與傅立葉分析相似，小波分析就是把一個信號分解為將母小波經(jīng)過縮放和平移之后的一系列小波，因此，小波是小波變換的基函數(shù)。小波變換可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果。

圖5-15表示了正弦波和小波的區(qū)別，由此可以看出，正弦波從負(fù)無窮一直延續(xù)到正無窮，正弦波是平滑而且是可預(yù)測的；而小波是一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到0的函數(shù)，其平均值為0，小波趨于不規(guī)則、不對稱。圖5-15正弦波和小波從小波和正弦波的形狀可以看出，變化劇烈的信號，用不規(guī)則的小波進(jìn)行分析比用平滑的正弦波更好，用小波更能描述信號的局部特征。

連續(xù)小波變換(ContunuousWaveletTransform，CWT)用下式表示：

式(5-52)表示小波變換是信號f(x)與被縮放和平移的小波函數(shù)ψ之積在信號存在的整個期間里求和的結(jié)果。CWT的變換結(jié)果是許多小波系數(shù)C，這些系數(shù)是縮放因子(scale)和平移因子(positon)的函數(shù)。

(5-52)基本小波函數(shù)ψ的縮放和平移操作含義如下。

(1)縮放。

簡單地講，縮放就是壓縮或伸展基本小波，縮放系數(shù)越小，則小波越窄。如圖5-16所示。

圖5-16小波的縮放操作

(2)平移。簡單地講，平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上，函數(shù)f(t)延遲k的表達(dá)式為f(t-k)，如圖5-17所示。

圖5-17小波的平移操作

CWT計算主要有如下五個步驟：

第一步取一個小波，將其與原始信號的開始一節(jié)進(jìn)行比較。

第二步計算系數(shù)值C，C表示小波與所取一節(jié)信號的相似程度，計算結(jié)果取決于所選小波的形狀，如圖5-18

所示。圖5-18計算系數(shù)值C第三步向右移動小波，重復(fù)第一步和第二步，直至覆蓋整個信號，如圖5-19所示。

圖5-19計算平移后系數(shù)值C第四步伸展小波，重復(fù)第一步至第三步，如圖5-20所示。

圖5-20計算伸展后系數(shù)值C第五步對于所有縮放，重復(fù)第一步至第四步。

小波的縮放因子與信號頻率之間的關(guān)系是：縮放因子a越小，表示小波越窄、頻率越高，度量的是信號的細(xì)節(jié)變化；縮放因子a越大，表示小波越寬、頻率越低，度量的是信號的粗糙程度。

2.離散小波變換(DWT)

在每個可能的縮放因子和平移參數(shù)下計算小波系數(shù)，其計算量相當(dāng)大，將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量，而且有許多數(shù)據(jù)是無用的。如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為2j(j>0且為整數(shù))的

倍數(shù)，只考慮選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進(jìn)行計算，會使分析的數(shù)據(jù)量大大減少。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙尺度小波變換(DyadicWaveletTransform)，它是離散小波變換(DiscreteWaveletTransform，DWT)的一種形式。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。進(jìn)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器，該方法是Mallat于1988年提出的，稱為Mallat算法。這種方法實際上是一種信號分解的方法，在數(shù)字信號處理中常稱為雙通道子帶編碼。

用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如圖5-21所示。S表示原始的輸入信號，通過兩個互補的濾波器組，其中一個濾波器為低通濾波器，通過該濾波器可得到信號的近似值A(chǔ)

(Approximations)，另一個為高通濾波器，通過該濾波器可得到信號的細(xì)節(jié)值D(Detail)。圖5-21小波分解示意圖在小波分析中，近似值是大的縮放因子計算的系數(shù)，表示信號的低頻分量；而細(xì)節(jié)值是小的縮放因子計算的系數(shù)，表示信號的高頻分量。實際應(yīng)用中，信號的低頻分量最為重要，而高頻分量只起一種修飾作用。如同一個人的聲音一樣，把高頻分量去掉后，聽起來會覺得聲音發(fā)生了改變，但還能聽懂說的是什么內(nèi)容。但如果刪除低頻分量，就會聽不出所講的內(nèi)容。由圖5-21可以看出，離散小波變換可以表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹。原始信號經(jīng)過一對互補的濾波器組進(jìn)行的分解稱為一級分解。信號的分解過程可以不斷進(jìn)行下去，也就是說，可以進(jìn)行多級分解。如果對信號的高頻分量不再分解，而對低頻分量進(jìn)行連續(xù)分解，便可得到信號不同分辨率下的低頻分量，這稱之為信號的多分辨率分析。如此進(jìn)行下去，就會形成圖7-22所示的一棵較大的分解樹，稱其為信號的小波分解樹(Wavelet

DecompositionTree)。實際中，分解級數(shù)取決于要分析的信號的數(shù)據(jù)特征及用戶的具體需要。圖5-22多級信號分解示意圖對于一個信號，若采用圖5-21所示的方法，理論產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量將是原始數(shù)據(jù)的兩倍。根據(jù)奈奎斯特(Nyquist)采樣定理，可用以下采樣方法來減少數(shù)據(jù)量，即在每個通道內(nèi)(高通和低通)每兩個樣本數(shù)據(jù)取一個，便可得到離散小波變換的系數(shù)(Coefficient)，分別用cA和cD表示，如圖5-23所示。圖中○表示下采樣。↓圖5-23小波分解下采樣示意圖

3.小波重構(gòu)

對信號的小波分解的分量進(jìn)行處理后，一般還需利用信號的小波分解系數(shù)還原出原始信號，該過程稱為小波重構(gòu)(WaveletReconstruction)或叫做小波合成(WaveletSynthesis)。

小波合成過程的數(shù)學(xué)運算稱為逆離散小波變換(InverseDiscreteWaveletTransform，IDWT)。

合成過程是使用小波系數(shù)來進(jìn)行的。小波分解過程包括濾波與下采樣，小波重構(gòu)過程則包括上采樣與濾波，其算法如圖5-24所示。圖中○表示上采樣，上采樣的過程是在兩個樣本之間插入“0”，目的是把信號的分量加長。

(1)重構(gòu)近似信號與細(xì)節(jié)信號。由圖5-24可知，由小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原始信號。同樣，由近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可分別重構(gòu)出信號的近似值或細(xì)節(jié)值，這時只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)置為零即可?！鼒D5-24小波重構(gòu)算法示意圖圖5-25是對第一層近似信號或細(xì)節(jié)信號重構(gòu)的示意圖。

圖5-25重構(gòu)近似信號和細(xì)節(jié)信號示意

(2)多層重構(gòu)。

在圖5-25中，重構(gòu)出信號的近似值A(chǔ)1與細(xì)節(jié)值D1之后，則原信號可用A1＋D1＝S重構(gòu)出來。對應(yīng)于信號的多層小波分解，小波的多層重構(gòu)如圖5-26所示。由圖5-26可見，重構(gòu)過程為A3＋D3＝A2；A2＋D2＝A1；A1+D1＝S。圖5-26多層小波重構(gòu)示意圖信號重構(gòu)中，濾波器的選擇非常重要，關(guān)系到能否重構(gòu)出滿意的原始信號。低通分解濾波器(L)、高通分解濾波器(H)和重構(gòu)濾波器組(L′和H′)構(gòu)成一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)稱為正交鏡像濾波器(QuadratureMirrorFilters，QMF)系統(tǒng)，如圖5-27所示。圖5-27多層小波分解和重構(gòu)示意圖

4.小波包分析

小波分析將信號分解為近似與細(xì)節(jié)兩部分，近似部分又可以分解成第二層近似與細(xì)節(jié)部分，可以這樣重復(fù)下去。對于一個N層分解來說，有N+1個途徑分解信號。

而小波包分析的細(xì)節(jié)與近似部分一樣，也可以分解。對于N層分解，它產(chǎn)生2N個不同的途徑。圖5-28是一個小波包分解示意圖。圖5-28小波包分解示意圖小波包分解也可得到一個分解樹，稱其為小波包分解樹(WaveletPacketDecomposition

Tree)，這種樹是一個完整的二叉樹。小波包分解方法是小波分解的一般化，可為信號分析提供更豐富和更詳細(xì)的信息。信號S可表示為AA2＋ADA3＋DDA3＋D1，等等。

5.二維離散小波變換

二維離散小波變換是一維離散小波變換的推廣，其實質(zhì)是將二維信號在不同尺度上分解，得到原始信號的近似值和細(xì)節(jié)值。由于信號是二維的，所以分解也是二維的。分解的結(jié)果為近似分量cA、水平細(xì)節(jié)分量cH、垂直細(xì)節(jié)分量cV和對角細(xì)節(jié)分量cD。同樣，也可以利用二維小波分解的結(jié)果在不同尺度上重構(gòu)信號。二維小波分解和重構(gòu)過程如圖5-29所示。圖5-29二維小波分解和重構(gòu)示意圖以上是小波分析的基本概念和基本原理。小波分析既保持了經(jīng)典傅立葉分析的優(yōu)點，又彌補了傅立葉分析的不足，尤其是它對時變的非平衡信號的獨特處理技術(shù)，使其在許多技術(shù)領(lǐng)域受到重視，并得到了廣泛的應(yīng)用。小波分析的