當(dāng)已知A(-11,1),B(-10,4),求x軸上點P有到A,B距離和最小值

-3-已知A(-11,1),B(-10,4),求x軸上點P有到A,B距離和最小值主要內(nèi)容：本文通過解析幾何直線性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)法，介紹已知A(-11,1),B(-10,4)求x軸上點P有其到A,B距離和最小值的主要步驟。?.對稱分析法根據(jù)兩點間直線距離最短，先找出其中1個點關(guān)于x軸對稱點，再與另外一個點連成直線，則直線與x軸的交點即為所求的p點。☆.找關(guān)于A點對稱步驟：A(-11,1)B(-10,4) xP(eq\f(-54,5),0)A1(-11,-1)此時A關(guān)于x軸的對稱點為A1(-11,-1)，此時直線A1B的斜率k1為：k1=eq\f(4-(-1),-10+11)=5,則其直線方程為:y-4=5*(x+10).令y=0，代入求出x=eq\f(-54,5),所以p(eq\f(-54,5),0).☆.找關(guān)于B點對稱步驟：A(-11,1)B(-10,4) xP(eq\f(-54,5),0)B1(-10,-4)此時B關(guān)于x軸的對稱點為B1(-10,-4)，此時直線B1A的斜率k2為：k2=eq\f(1-(-4),-11+10)=-5,則其直線方程為:y-1=-5(x+11).令y=0，代入求出x=eq\f(-54,5),所以p(eq\f(-54,5),0).?.三角形分析法已知A(-11,1),B(-10,4),求x軸上點P有其到A,B距離和最小，即問題轉(zhuǎn)化為在三角形ABP中，已知邊AB的長度c=eq\r(10)為定值，求三角形另外兩邊BP和AP長度和的最小值。 P(x,0) A(-11,1)B(-10,4)由于三角形的兩邊和大于第三邊，即BP+AP>AB，可知當(dāng)BP與AP的夾角越接近180°時，AP+PB的值最小,設(shè)p點坐標(biāo)為P(x,0)，x∈(-11,-10),此時AP和PB的斜率絕對值相等。又Kap=eq\f(1,-11-x)，kbp=eq\f(4,-10-x)，所以：|eq\f(1,-11-x)|=|eq\f(4,-10-x)|，求出x=eq\f(-54,5)，其中x=-eq\f(34,3)(舍去)。?.光線最短路徑分析法思路：光線總是沿傳播所耗時間最短路程傳播。B(-10,4)A(-11,1) 90°-θθP(x,0)x所求點即為光線的入射角，光線從A點出發(fā)，在p點反射后，經(jīng)過點B,設(shè)PB與x軸的傾斜角為θ，則光線的入射角=反射角=90°-θ，此時PA的與x軸的傾斜角為180°-θ，根據(jù)斜率關(guān)系有：tanθ=kbp=eq\f(4,-10-x),tan(180°-θ)=Kap=eq\f(1,-11-x),所以：4(-11-x)=-(-10-x),即：x=eq\f(-54,5)。?.導(dǎo)數(shù)分析法設(shè)p的坐標(biāo)為p(x,0),所求距離和為d，則：d=eq\r((x+11)2+12)+eq\r((x+10)2+42),是關(guān)于x的函數(shù)，對x求導(dǎo)有d'x=eq\f(x+11,eq\r((x+11)2+12))+eq\f(x+10,eq\r((x+10)2+42)),令d'x=0，則eq\f(x+11,eq\r((x+11)2+12))=-eq\f(x+10,eq\r((x+10)2+42)),(-10-x)eq\r((x+11)2+12)=(x+11)eq\r((x+10)2+42),可知-11<x<-10,方程兩邊平方有:42(x+11)2=