考向09 冪函數(shù)與二次函數(shù)（重點）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點微專題（新高考地區(qū)專用）（解析版）

考向09冪函數(shù)與二次函數(shù)【2022·全國·高考真題（文）】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.【2022·上海·高考真題】下列冪函數(shù)中，定義域為的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)冪函數(shù)的定義域可直接判斷，偶次根式被開方式必須大于等于0才有意義，分式則必須分母不為0【詳解】對選項，則有：對選項，則有：對選項，定義域為：對選項，則有：故答案選：1、根據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小的方法冪函數(shù)的冪指數(shù)的大小，大都可通過冪函數(shù)的圖象與直線的交點縱坐標的大小反映.一般地，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近軸(簡記為“指大、圖低”)，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，圖象越遠離軸(不包括冪函數(shù)，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近軸(簡記為“指大圖低")，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離軸.2、對于函數(shù)，若是二次函數(shù)，就隱含，當題目未說明是二次函數(shù)時，就要分和兩種情況討論.在二次函數(shù)中，的正負決定拋物線開口的方向的大小決定開口大小)確定拋物線在軸上的截距，與確定頂點的橫坐標(或?qū)ΨQ軸的位置).3、根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的對稱軸與單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系，若二次函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，則該區(qū)間在對稱軸的一側(cè)，若二次函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)，則對稱軸在該區(qū)間內(nèi)（非端點），4、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點或二次函數(shù)的頂點處取得，可分別求值再比較大小，最后確定最值.1.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當時，其圖象可類似畫出；②當時，其圖象可類似畫出；③當時，其圖象可類似畫出．2．實系數(shù)一元二次方程的實根符號與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個不等正根（2）方程有兩個不等負根（3）方程有一正根和一負根，設(shè)兩根為3.一元二次方程的根的分布問題一般情況下需要從以下4個方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點的關(guān)系；（4）區(qū)間端點函數(shù)值的正負.設(shè)為實系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.根的分布圖像限定條件在區(qū)間內(nèi)沒有實根在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實根在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實根4.有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側(cè)；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側(cè)；=3\*GB3③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點的位置關(guān)系），從而對參數(shù)值的范圍進行討論.（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點函數(shù)值正負.1.冪函數(shù)的定義一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).2.冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)3.常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點4.二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：；（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標，為對稱軸方程.（3）零點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標.5．二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點坐標為.（1）單調(diào)性與最值=1\*GB3①當時，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，；=2\*GB3②當時，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當時，；.（2）與軸相交的弦長當時，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點和，.6.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點或頂點處.對二次函數(shù)，當時，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.1．（2022·湖北·黃岡中學(xué)三模）已知二次函數(shù)的值域為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由二次函數(shù)的值域可得出，可得出，則有，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】若，則函數(shù)的值域為，不合乎題意，因為二次函數(shù)的值域為，則，且，所以，，可得，則，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：B.2．（2022·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測（文））若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出當和時的取值范圍，結(jié)合值域關(guān)系建立不等式進行求解即可【詳解】當時，當時，要使的值域為則，故選：C3．（2022·山東濟南·二模）若二次函數(shù)，滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)，判斷出二次函數(shù)的對稱軸，然后再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】因為，所以二次函數(shù)的對稱軸為，又因為，所以，又，所以.故選：B.4．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知關(guān)于x的方程在區(qū)間上有實根，那么的最小值為________．【答案】5【解析】【分析】，代入，可得答案.【詳解】因為，所以，當且僅當，時取等號，所以的最小值為5．故答案為：5.5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（文））寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②當時，；③；【答案】（答案不唯一）；【解析】【分析】根據(jù)給定函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合偶數(shù)次冪函數(shù)即可寫出符合要求的解析式.【詳解】由所給性質(zhì)：在上恒正的偶函數(shù)，且，結(jié)合偶數(shù)次冪函數(shù)的性質(zhì)，如：滿足條件.故答案為：（答案不唯一）6．（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測（文））已知當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖象，結(jié)合圖象即可求解結(jié)論．【詳解】函數(shù)過定點，如圖：結(jié)合圖象可得：，即，故答案為：，．1．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）設(shè)，函數(shù)，若的最小值為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】當時，結(jié)合不等式求得其最小值為，當時，，根據(jù)函數(shù)的最小值為，列出不等式組，即可求解.【詳解】當時，，當且僅當時，等號成立；即當時，函數(shù)的最小值為，當時，，要使得函數(shù)的最小值為，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.2．（2022·北京昌平·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷區(qū)間單調(diào)性，根據(jù)解析式知恒過且，進而確定區(qū)間值域，再由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求的對應(yīng)區(qū)間值域，即可得不等式解集.【詳解】由題設(shè)，對稱軸為且圖象開口向下，則在上遞增，上遞減，由，即恒過且，所以上，上，而在上遞增，且上，上，所以的解集為.故選：C3．（2022·湖北·宜城市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．且【答案】D【解析】【分析】畫出的圖象，設(shè)切點為，求出，利用切線斜率為，整理為關(guān)于的一元二次方程在上有兩個不同的解可得答案.【詳解】作出的圖象，由圖可知，若過點可以作曲線的兩條切線，點應(yīng)在曲線外，設(shè)切點為，所以，，所以切線斜率為，整理得，即方程在上有兩個不同的解，所以，，所以且.故選：D．4．（2022·四川·宜賓市教科所三模（文））若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分別求出和時f(x)的范圍，根據(jù)兩個范圍的并集為即可求出a的范圍．【詳解】當時，f(x)=，當時，f(x)=，故要使的值域是，則0≤≤1，解得．故選：C．5．（2022·廣東佛山·二模）設(shè)且，函數(shù)，若，則下列判斷正確的是（）A．的最大值為-a B．的最小值為-aC． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，用a表示b，c，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】依題意，，因，則是奇函數(shù)，于是得，即，因此，，而，當時，的最小值為-a，當時，的最大值為-a，A，B都不正確；，，，即，，因此，C不正確，D正確.故選：D6．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）若函數(shù)的值域為R，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由時，，由題意，當時，，對分和兩種情況討論即可求解.【詳解】解：由時，，因為函數(shù)的值域為R，所以當時，，分兩種情況討論：①當時，，所以只需，解得，所以；②當時，，所以只需，顯然成立，所以.綜上，的取值范圍是.故選：D.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】，由結(jié)合函數(shù)的遞減區(qū)間可得結(jié)果.【詳解】，由得，又，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，直線過點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)a、b，根據(jù)點在直線上得，有且，進而可求的取值范圍.【詳解】由是冪函數(shù)，知：，又在上，∴，即，則且，∴.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)，再由點在線上確定m、n的數(shù)量關(guān)系，進而結(jié)合目標式，應(yīng)用分式型函數(shù)的性質(zhì)求范圍.9．（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足，若，，且，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷【答案】A【解析】利用冪函數(shù)的定義求出m，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可求解．【詳解】∵函數(shù)是冪函數(shù)，∴，解得：m=-2或m=3．∵對任意，，且，滿足，∴函數(shù)為增函數(shù)，∴，∴m=3（m=-2舍去）∴為增函數(shù)．對任意，，且，則，∴∴．故選：A【點睛】(1)由冪函數(shù)的定義求參數(shù)的值要嚴格按照解析式，x前的系數(shù)為1；(2)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)常用性質(zhì)，通常一起應(yīng)用．10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的值是（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及函數(shù)遞減再確定出a.【詳解】由冪函數(shù)定義得，解得或.當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增.故選：A二、填空題11．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最大值為，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值為，依題意可得函數(shù)的圖象與直線有三個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可得到函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：因為，所以的最大值為，易知函數(shù)有三個零點，等價于函數(shù)的圖象與直線有三個交點，因為，所以當或時，，當時，，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，又當時，；當時，，函數(shù)的圖象如下所示：結(jié)合函數(shù)圖象可知，若函數(shù)的圖象與直線有三個交點，則．故答案為：12．（2022·江蘇南通·高三期末）已知函數(shù)若，則的最大值為_________．【答案】【解析】【分析】令，作出函數(shù)以及的圖象，不妨設(shè)，則，，由表示，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)計算的最大值即可求解.【詳解】令，作出的圖象和的圖象如圖所示：由圖知：，不妨設(shè)，若求最大值，則，，所以，，所以，當即時，取得最大值為，即的最大值為，故答案為：.13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，，，當時，，且的最大值為，則_______．【答案】2【解析】【分析】易知在，上單調(diào)遞增，得到，再根據(jù)得到，進而得到，令，根據(jù)時，，由求解.【詳解】因為，所以在，上單調(diào)遞增，所以，因為當時，，所以，則，又因為，所以，則，所以，令，且對稱軸為，因為當時，，所以，則，所以，故答案為：214．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則____．【答案】或##3或1【解析】【分析】由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易知函數(shù)的最大值只能在或處取得求解.【詳解】解：函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象縱向?qū)φ圩儞Q得到的，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的最大值只能在或處取得，若時，函數(shù)取得最大值3，則，，當時，時，，滿足條件；當時，時，，不滿足條件；若時，函數(shù)取得最大值3，則，，或，當時，時，，不滿足條件；當時，時，，滿足條件；綜上所述：值為1或3；故答案為：1或3．15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)的值域為，則的最大值為__________.【答案】##1.2【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，的值域為，進而可得，將目標式化為，結(jié)合基本不等式求最大值，注意等號成立條件.【詳解】由題意知：,的值域為，∴，則，又，∴，當且僅當時取等號，故目標式最大值為.故答案為：.16．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是_______________．【答案】【解析】【分析】分，和三種情況，再根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)分析值域即可【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，分三種情況討論：①若，，其值域為，不符合題意；②若，當時，，有最大值；當時，，若函數(shù)的值域為R，則必有，即，不符合題意；③若，當時，，有最小值；當時，，若函數(shù)的值域為R，則必有，即，故有，即的范圍為故答案為：【點睛】對于題中包含參數(shù)的一二次函數(shù)，求解關(guān)于值域的問題，需要分類討論，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的二次項系數(shù)進行討論，屬于中檔題17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若在區(qū)間上的最大值是3，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】先通過取x的特殊值0，1，-1得到a≤0，然后，利用分類討論思想，分和兩個范圍分別證明a≤0時符合題意.【詳解】由題易知，即，所以，又，所以.下證時，在上最大值為3.當時，，;當，若，即，則，滿足;若，即，此時，而，滿足;因此，符合題意.【點睛】本題考查帶有絕對值的含參數(shù)的二次函數(shù)函數(shù)的最值問題，利用特值求得a≤0，然后分類討論證明a≤0時符合題意，是十分巧妙的方法，要注意體會和掌握.1．（2021·湖南·高考真題）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：C.2．（2015·山東·高考真題）關(guān)于函數(shù)，以下表達錯誤的選項是（

）A．函數(shù)的最大值是1 B．函數(shù)圖象的對稱軸是直線C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 D．函數(shù)圖象過點【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，直接進行求解即可.【詳解】，最大值是1，A正確；對稱軸是直線，B正確；單調(diào)遞減區(qū)間是，故C錯誤；令的，故在函數(shù)圖象上，故D正確，故選：C3．（2013·浙江·高考真題（文））已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f（4）>f（1），則（

）A．a(chǎn)>0，4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0，4a＋b＝0C．a(chǎn)>0，2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0，2a＋b＝0【答案】A【解析】【分析】由已知得f(x)的圖象的對稱軸為x＝2且f(x)先減后增，可得選項.【詳解】由f(0)＝f（4），得f(x)＝ax2＋bx＋c圖象的對稱軸為x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f（1），f（4）>f（1），∴f(x)先減后增，于是a>0，故選：A.【點睛】本題考查二次函數(shù)的對稱軸，單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.4．（2017·浙江·高考真題）若函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則的值A(chǔ)．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)【答案】B【解析】【詳解】因為最值在中取，所以最值之差一定與無關(guān)，選B．【名師點睛】對于二次函數(shù)的最值或值域問題，通常先判斷函數(shù)圖象對稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合圖象，當函數(shù)圖象開口向上時，若對稱軸在區(qū)間的左邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若對稱軸在區(qū)間的右邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；若對稱軸在區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)圖象頂點的縱坐標為最小值，區(qū)間端點距離對稱軸較遠的一端取得函數(shù)的最大值．5．（2014·上?！じ呖颊骖}（理））若是的最小值，則的取值范圍為.A．[-1，2] B．[-1，0] C．[1，2] D．【答案】D【解析】【詳解】由于當時，在時取得最小值，由題意當時，應(yīng)該是遞減的，則，此時最小值為，因此，解得，選D．【考點】分段函數(shù)的單調(diào)性與最值問題．6．（2022·全國·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.7．（2022·上?！じ呖颊骖}）下列冪函數(shù)中，定義域為的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)冪函數(shù)的定義域可直接判斷，偶次根式被開方式必須大于等于0才有意義，分式則必須分母不為0【詳解】對選項，則有：對選項，則有：對選項，定義域為：對選項，則有：故答案選：8．（2012·江蘇·高考真題）已知函數(shù)的值域為，若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的值為__________．【答案】9．【解析】【詳解】的值域為，，又的解集為，是方程的兩根.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，解得.9．（2017·北京·高考真題（文））已知，，且，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】【詳解】試