2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-函數(shù)與不等式251-260-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

第九章主元思想，神奇魅力當(dāng)問題中所討論的表達(dá)式含有多個(gè)變量時(shí)，不要被表面的“”所迷惑（一般都認(rèn)為是自變量），要從已知條件中分析出哪個(gè)變量為“主元”更有利于問題的解決.【例1】已知?jiǎng)t.【答案】或【解析】令則,這里是為主元由絕對(duì)值的幾何意義,即得或2.變式訓(xùn)練1.已知?jiǎng)t.2.已知?jiǎng)t.拓展提升若函數(shù)在上的最大值是，求實(shí)數(shù)的范圍.【例2】若存在使得不等式成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】令為關(guān)于的一次函數(shù),故只要或,解得或,所以變式訓(xùn)練若對(duì)任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【例3】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求的范圍.【答案】【解析】因?yàn)樵赱1,2]上有兩個(gè)極值點(diǎn),故在[1,2]上有兩個(gè)不等的實(shí)根,設(shè)為，則,而，由得，故，所以.【評(píng)注】這里分別把，在上看成主元，使問題快速獲解.變式訓(xùn)練已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求的范圍.【例4】定義已知函數(shù)求證:對(duì)任意.【解析】解法1：用最自然的方法分析,先求端點(diǎn)值，(比較端點(diǎn)的大小是一種自然的想法,即分類討論的關(guān)鍵“點(diǎn)”)當(dāng)即時(shí)，原命題等價(jià)于即,即即由,故,故原命題得證.【評(píng)注】上述方法把放縮為再進(jìn)行討論，解法巧妙精致,但難度偏高.下面用“主元”思想,思路更自然通俗.一方面，令則（這里是為主元），而，所以，另一方面，令則,，又，在上單調(diào)遞增，故綜上,原命題得證.解法即，原命題等價(jià)于,即,即令令,當(dāng)時(shí)在[0,1]上單調(diào)遞增,且故有,當(dāng)時(shí)在[0,1]上恒大,令，由于$故有綜上,原命題得證.【評(píng)注】本來是一道難題,我們用“主元思想”把問題改變?yōu)樗膫€(gè)思路和過程完全相同的小題.而且,在過程展開時(shí)沒有任何復(fù)雜的技巧，易懂易學(xué),這是“主元思想”最大的優(yōu)點(diǎn)和實(shí)用性.【例5】已知函數(shù)求證:當(dāng)時(shí),【解析】（1）時(shí)令則由得,令（為主元），則由于在[0,1]上的最小值為,所以成立.（2）時(shí)，，令則由得,令（為主元），則，由于在[0,1]上的最小值為,所以成立.綜合(1)(2)可得知待證命題成立.【例6】已知,若函數(shù)在[3,4]上至少有一個(gè)零點(diǎn),求的最小值.【解析】問題等價(jià)于在[3,4]上有解.改變主元,把看成平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離的平方的最小值.令求其最小值,再令時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為.【例7】已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意不為零的實(shí)數(shù)均有成立,則的取值范圍是?！敬鸢浮俊窘馕觥拷夥?:由得由圖知解法，即,即，令，令當(dāng)時(shí),可確保存在.故.第十章絕對(duì)函數(shù)，六類題型絕對(duì)值的基本性質(zhì)1.2.,或,推廣：或3.三角不等式||注意等號(hào)成立條件,一般地一、值域問題【例1】求函數(shù)的值域.【解析】解法1:分段去絕對(duì)值圖像如圖所示，故值域?yàn)?解法2:利用絕對(duì)值的幾何意義,如圖,得值域?yàn)?【例2】求函數(shù)的值域.【解析】解法1:分段去絕對(duì)值圖像如圖所示，故值域?yàn)榻夥?:利用絕對(duì)值的幾何意義,如圖,值域?yàn)?【例3】求函數(shù)的值域.【解析】圖象如圖所示,當(dāng)時(shí)有最小值,故值域?yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域.【解析】圖象如圖所示,由以下數(shù)軸圖及絕對(duì)值的幾何意義即得值域?yàn)?【例5】求函數(shù)的值域.【解析】由絕對(duì)值的幾何意義得值域?yàn)?【例6】求函數(shù)的值域.【解析】由絕對(duì)值的幾何意義得值域?yàn)椤纠?】若函數(shù)的最小值為3,求的值.【解析】由絕對(duì)值的幾何意義得,當(dāng)時(shí),最小值為得.【例8】若函數(shù)的最小值為求的取值范圍.【解析】由絕對(duì)值的幾何意義得,得【例9】設(shè)為不超過的最大的整數(shù),若存在最大值,求的最小值.【解析】由絕對(duì)值的幾何意義得，將的圖象向下平移,移動(dòng)幅度須不少于圖象高的一半,方能使絕對(duì)值后（即將圖象以軸為對(duì)稱軸向上翻折后)實(shí)心點(diǎn)在空心點(diǎn)的上方，如圖,故.【例10】已知函數(shù)求的取值范圍.【解析】一方面，由圖可知，另一方面,當(dāng)時(shí)故所求取值范圍為[-1,1).【例11】設(shè)函數(shù)和的定義域?yàn)?且單調(diào)遞增若對(duì)任意的不等式恒成立，試討論的單調(diào)性.【解析】設(shè)由單調(diào)增,故，即,，，則，故均為增函數(shù).拓展提升1.若不等式的解集非空,則的取值范圍為.二、恒成立問題【例1】已知恒成立,求的取值范圍.【解析】由得即【例2】已知恒成立,求的取值范圍.【解析】由得即.【例3】已知恒成立,求的取值范圍.【解析】即【例4】若不等式恒成立,求的取值范圍.【解析】由得或，即或,所以或【例5】已知.（1）解關(guān)于的不等式;（2）若恒成立,求的取值范圍.【解析】解法1:數(shù)形結(jié)合法.如圖所示,由得,即所以解法2:等價(jià)轉(zhuǎn)化法.由得即，從而有所以變式訓(xùn)練1.若關(guān)于的不等式的解集為,則的取值范圍是A. B. C. D.2.若不等式的解集不是空集,則的取值范圍是.3.若不等式的解集不是空集,則的取值范圍是.4.若不等式的解集不是空集,則的取值范圍是.5.若不等式的解集不是空集,則的取值范圍是.6.若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.7.若不等式的解集非空,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【例6)】若則.【答案】引申1:若則【答案】6,10引申2:若則【答案】【解析】則則即或得【例7】設(shè)實(shí)數(shù)使得不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則滿足條件的所組成的集合是)A. B. C. D.[-3,3]【答案】A解法1:令則有排除D.由對(duì)稱性排除從而只有正確.一般地,對(duì)令則原不等式為由此易知原不等式等價(jià)于對(duì)任意的成立.由于所以從而上述不等式等價(jià).解法2:由幾何意義得,當(dāng)時(shí)取得最小值,即即所以故選三、解集探求問題（一）單個(gè)絕對(duì)值號(hào)【例1】解不等式【解析】由得則【例2】解不等式【解析】由得或則【例3】解不等式.【解析】由得則【例4】解不等式.【解析】由得或則.【例5】解不等式.【解析】由得或,即或,得，可得解集變式訓(xùn)練不