信息必刷卷01（北京專用）-2025年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷含解析

信息必刷卷01（北京專用）-2025年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷絕密★啟用前2025年高考考前信息必刷卷01（北京卷）數(shù)學(xué)考情速遞高考·新動(dòng)向：包含高考命題趨勢變化，題目呈現(xiàn)方式的變化等如第10題，與2025年八省聯(lián)考的14題類似，凸顯代數(shù)與集合的聯(lián)系，加強(qiáng)學(xué)科知識的融合高考·新考法：對常規(guī)考點(diǎn)的新設(shè)問或知識融合，對非常規(guī)考點(diǎn)的創(chuàng)新糅合等高考·新情境：可涉及情境題目的創(chuàng)新性、實(shí)時(shí)性、開放性以及跨學(xué)科的融合性等如第7題，第8題，第14題，涉及生活情境，社會(huì)生產(chǎn)生活，加強(qiáng)學(xué)科的應(yīng)用命題·大預(yù)測：基于本卷的題目進(jìn)行具體分析，給出趨勢性預(yù)測，也可提出備考方向等深化基礎(chǔ)性考查，強(qiáng)調(diào)對學(xué)科基礎(chǔ)知識、基本方法的深刻理解，不考死記硬背、不出偏題怪題，引導(dǎo)中學(xué)把教學(xué)重點(diǎn)從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)。增加基礎(chǔ)題比例、降低初始題起點(diǎn)，增強(qiáng)試題的靈活性和開放性，使學(xué)生在考試中能夠充分展示自己的思維能力和創(chuàng)新水平.（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．3．圓的圓心到直線的距離為1，則（

）A． B． C． D．24．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（

）A． B． C． D．5．已知非零向量，，則是成立的（

）條件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要6．設(shè)函數(shù).若，且的最小正周期大于，則（

）A．. B．C． D．7．在光纖通信中，發(fā)射器發(fā)出光信號的功率傳輸后會(huì)逐漸變?nèi)酰p后的光功率（單位：W）可表示為，其中為起始光功率（單位：W），為衰減系數(shù)，為接收信號處與發(fā)射器間的距離（單位：km）.已知距離發(fā)射器處的光功率衰減為起始光功率的一半.若當(dāng)距離由km變到km時(shí)，光功率由變到，則（

）A． B． C． D．8．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何問題有著深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見．譬如“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”，其中，若，則到平面的距離為（

）

A． B． C． D．9．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．已知平面上的線段l及點(diǎn)P，任取l上的一點(diǎn)Q，線段PQ長度的最小值稱為點(diǎn)P到線段l的距離，記作，若曲線C是邊長為4的等邊三角形，則點(diǎn)集所表示的圖形面積為（

）A． B．C． D．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11．已知拋物線：的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，則．12．設(shè)都是銳角，且，則的取值范圍是.13．若直線與雙曲線始終只有一個(gè)公共點(diǎn)，則取值范圍是.14．陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一（如圖），一個(gè)倒置的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱，其中總高度為10cm，圓柱部分高度為7cm，該陀螺由密度為0.8g/cm3的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為96g，則此陀螺圓柱底面的面積．

15．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，，，前12項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第11項(xiàng)起依次成等比數(shù)列，則集合中所有元素之和為.三、解答題：本題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16．（本小題滿分13分）在中，，，從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為題目的已知條件.(1)求的值；(2)求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.17．（本小題滿分13分）如圖，已知等腰梯形中，，，現(xiàn)以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面．(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值．18．（本小題滿分14分）甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計(jì)如下：場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)從上述10場比賽中隨機(jī)選擇一場，求甲獲勝的概率；(2)在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機(jī)選擇兩場，設(shè)表示乙得分大于丙得分的場數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨(dú)立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計(jì)其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進(jìn)行6場投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場數(shù)，為乙獲勝的場數(shù)，為丙獲勝的場數(shù)，寫出方差，，的大小關(guān)系.19．（本小題滿分15分）已知橢圓：的右焦點(diǎn)在直線上，分別為的左、右頂點(diǎn)，且.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，是否存在過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，使得直線，的斜率之和等于-1?若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.20．（本小題滿分15分）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直．(1)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性．(2)證明：．參考數(shù)據(jù)：．21．（本小題滿分15分）有窮數(shù)列中，令，當(dāng)p=q時(shí)，規(guī)定.(1)已知數(shù)列，寫出所有的有序數(shù)對，且，使得；(2)已知整數(shù)列為偶數(shù)，若，滿足：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.求的最小值；(3)已知數(shù)列滿足，定義集合.若且為非空集合，求證：.2025年高考考前信息必刷卷01（北京卷）數(shù)學(xué)·參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．12345678910ACBACCABBB二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11．12.13．14．1515.1023三、解答題：本題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16．（本小題滿分13分）【解】（1）由題知，三角形為鈍角三角形選①，由余弦定理得：，解得：，所以由正弦定理得：.選②，因?yàn)?，所以，所以選③，由正弦定理得：，所以，所以.（2）選①，因?yàn)?，，所以的面積為：選②，由正弦定理得：，.選③，因?yàn)椋?，，所?17．（本小題滿分13分）【解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又平面，平面，所以平面．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又平面，平面，所以平面．又，，平面，所以平面平面．因?yàn)槠矫?，所以平面．?）由折疊知，，，且，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，易知，，兩兩垂直．以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖（2）的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，得，，，，．所以，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即,取，則，，即．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即,取，則，，即．所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為0．18．（本小題滿分14分）【解】（1）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第10場.設(shè)表示“從10場比賽中隨機(jī)選擇一場，甲獲勝”，則.（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，分別是第2場、第5場、第8場、第9場.所以的所有可能取值為0，1，2.，，.所以的分布列為012所以.（3）由題意，每場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，還需要進(jìn)行6場比賽，而甲、乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項(xiàng)分布，所以，，故.19．（本小題滿分15分）【解】（1）設(shè)右焦點(diǎn)直線與軸的交點(diǎn)為，所以橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為故在橢圓中，由題意，結(jié)合，則所以橢圓的方程為：（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，顯然不滿足條件當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)，設(shè)直線的方程為：，由，可得由題意則由化簡可得，由，即故存在滿足條件的直線，直線的方程為：

20．（本小題滿分15分）【解】（1）根據(jù)題意，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，而，因此，進(jìn)而，其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，顯然有，當(dāng)時(shí)，有，因此函數(shù)在和上均單調(diào)遞增．（2）題中不等式即，先證：，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，故成立.同理可利用導(dǎo)數(shù)證明：.因?yàn)?，故，因此命題得證．21．（本小題滿分15分）【解】（1）為時(shí)，，為時(shí)，，為時(shí)，，為時(shí)，，故，且使得的有序數(shù)對有、、、；（2）由題意可得，，又為整數(shù)，故，，則，同理可得，即有，同理可得，當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，，故；（3）對于數(shù)列，，不妨設(shè)，①首先考慮的情況，由于，，故，同理，，，故.②再考慮中有連續(xù)一段是連續(xù)的正整數(shù)的情況，此時(shí),因?yàn)椋?，故這說明此連續(xù)的項(xiàng)的和為負(fù).同理，當(dāng)含有多段的連續(xù)正整數(shù)的情況時(shí)，每段的和為負(fù)，再由①中結(jié)論，可得.③若在①②中，由于，此時(shí)去掉前項(xiàng)，則可轉(zhuǎn)化①②的情況，所以有.④若，則，所以此時(shí)有，綜上，結(jié)論成立.絕密★啟用前2025年高考考前信息必刷卷01（北京卷）數(shù)學(xué)考情速遞高考·新動(dòng)向：包含高考命題趨勢變化，題目呈現(xiàn)方式的變化等如第10題，與2025年八省聯(lián)考的14題類似，凸顯代數(shù)與集合的聯(lián)系，加強(qiáng)學(xué)科知識的融合高考·新考法：對常規(guī)考點(diǎn)的新設(shè)問或知識融合，對非常規(guī)考點(diǎn)的創(chuàng)新糅合等高考·新情境：可涉及情境題目的創(chuàng)新性、實(shí)時(shí)性、開放性以及跨學(xué)科的融合性等如第7題，第8題，第14題，涉及生活情境，社會(huì)生產(chǎn)生活，加強(qiáng)學(xué)科的應(yīng)用命題·大預(yù)測：基于本卷的題目進(jìn)行具體分析，給出趨勢性預(yù)測，也可提出備考方向等深化基礎(chǔ)性考查，強(qiáng)調(diào)對學(xué)科基礎(chǔ)知識、基本方法的深刻理解，不考死記硬背、不出偏題怪題，引導(dǎo)中學(xué)把教學(xué)重點(diǎn)從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)。增加基礎(chǔ)題比例、降低初始題起點(diǎn)，增強(qiáng)試題的靈活性和開放性，使學(xué)生在考試中能夠充分展示自己的思維能力和創(chuàng)新水平.（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）單項(xiàng)選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，故選：A.2．已知，為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，則.故選：C.3．圓的圓心到直線的距離為1，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】圓，即.圓心到直線的距離，∴.故選：B4．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題目可知，，令，解得，所以當(dāng)時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，此時(shí)，故選：A5．已知非零向量，，則是成立的（

）條件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】C【解析】，為非零向量，當(dāng)時(shí)，有，則，，有，得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，有，即，得，則有，必要性成立.所以是充要條件.故選：C.6．設(shè)函數(shù).若，且的最小正周期大于，則（

）A．. B．C． D．【答案】C【解析】由的最小正周期大于，可得，因?yàn)?，可得，則，且，所以，即，由，即，可得，，則，，且，可得，，所以，.故選：C．7．在光纖通信中，發(fā)射器發(fā)出光信號的功率傳輸后會(huì)逐漸變?nèi)?，衰減后的光功率（單位：W）可表示為，其中為起始光功率（單位：W），為衰減系數(shù)，為接收信號處與發(fā)射器間的距離（單位：km）.已知距離發(fā)射器處的光功率衰減為起始光功率的一半.若當(dāng)距離由km變到km時(shí)，光功率由變到，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，則，由、，得，所以.故選：A8．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何問題有著深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見．譬如“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”，其中，若，則到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】

取中點(diǎn)，連結(jié)，根據(jù)題意，平面，平面，所以平面平面，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面所以平面，且由題意可知，，則，即為直角三角形，，設(shè)到平面的距離為，且，即，，故選B9．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，，，，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)正確.，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B10．已知平面上的線段l及點(diǎn)P，任取l上的一點(diǎn)Q，線段PQ長度的最小值稱為點(diǎn)P到線段l的距離，記作，若曲線C是邊長為4的等邊三角形，則點(diǎn)集所表示的圖形面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，點(diǎn)集D所表示的圖形如圖，是邊長為4的正三角形，其中，，，，，，，所以扇形的面積為，，，，所以的面積為，又，所以四邊形的面積為，又四邊形的面積為，點(diǎn)集所表示的圖形面積為：.故選：B．二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11．已知拋物線：的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，則．【答案】【解析】由得，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，而，因此，解得，所以.12．設(shè)都是銳角，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】都是銳角，且，，，即的取值范圍是.13．若直線與雙曲線始終只有一個(gè)公共點(diǎn)，則取值范圍是.【答案】【解析】由，消可得，當(dāng)或，解得或，14．陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一（如圖），一個(gè)倒置的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱，其中總高度為10cm，圓柱部分高度為7cm，該陀螺由密度為0.8g/cm3的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為96g，則此陀螺圓柱底面的面積．

【答案】15【解析】依題意，該陀螺的總體積為，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，則，解得，所以此陀螺圓柱底面的面積為.15．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，，，前12項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第11項(xiàng)起依次成等比數(shù)列，則集合中所有元素之和為.【答案】1023【解析】設(shè)由前12項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，從第11項(xiàng)起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為，由，解得或，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，故，所以，所以，，所以，故集合中所有元素之和為.三、解答題：本題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16．（本小題滿分13分）在中，，，從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為題目的已知條件.(1)求的值；(2)求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解】（1）由題知，三角形為鈍角三角形選①，由余弦定理得：，解得：，所以由正弦定理得：.選②，因?yàn)椋?，所以選③，由正弦定理得：，所以，所以.（2）選①，因?yàn)?，，所以的面積為：選②，由正弦定理得：，.選③，因?yàn)椋?，，所?17．（本小題滿分13分）如圖，已知等腰梯形中，，，現(xiàn)以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面．(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值．【解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又平面，平面，所以平面．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又平面，平面，所以平面．又，，平面，所以平面平面．因?yàn)槠矫?，所以平面．?）由折疊知，，，且，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，易知，，兩兩垂直．以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖（2）的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，得，，，，．所以，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即,取，則，，即．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即,取，則，，即．所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為0．18．（本小題滿分14分）甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計(jì)如下：場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)從上述10場比賽中隨機(jī)選擇一場，求甲獲勝的概率；(2)在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機(jī)選擇兩場，設(shè)表示乙得分大于丙得分的場數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨(dú)立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計(jì)其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進(jìn)行6場投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場數(shù)，為乙獲勝的場數(shù)，為丙獲勝的場數(shù)，寫出方差，，的大小關(guān)系.【解】（1）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第10場.設(shè)表示“從10場比賽中隨機(jī)選擇一場，甲獲勝”，則.（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場，分別是第2場、第5場、第8場、第9場.所以的所有可能取值為0，1，2.，，.所以的分布列為012所以.（3）由題意，每場比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，還需要進(jìn)行6場比