江蘇專用2025版高考物理一輪復習第4章曲線運動萬有引力與航天第4節(jié)萬有引力與航天教案

PAGEPAGE1第4節(jié)萬有引力與航天一、開普勒行星運動定律1．開普勒第肯定律全部行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。2．開普勒其次定律對隨意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積。3．開普勒第三定律全部行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等，表達式：eq\f(a3,T2)＝k。二、萬有引力定律1．內容(1)自然界中任何兩個物體都相互吸引。(2)引力的方向在它們的連線上。(3)引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。2．表達式F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G為引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由卡文迪許扭秤試驗測定。3．適用條件(1)兩個質點之間的相互作用。(2)對質量分布勻稱的球體，r為兩球心間的距離。三、宇宙速度1．三種宇宙速度比較宇宙速度數(shù)值(km/s)意義第一宇宙速度7.9地球衛(wèi)星最小放射速度(環(huán)繞速度)其次宇宙速度11.2物體擺脫地球引力束縛的最小放射速度(脫離速度)第三宇宙速度16.7物體擺脫太陽引力束縛的最小放射速度(逃逸速度)2.第一宇宙速度的計算方法(1)由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R))。(2)由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)。1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)地面上的物體所受地球的引力方向肯定指向地心。 (√)(2)兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大。 (×)(3)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中k值與中心天體質量無關。 (×)(4)第一宇宙速度與地球的質量有關。 (√)(5)地球同步衛(wèi)星的運行速度大于第一宇宙速度。 (×)2．(教科版必修2P44T2改編)火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，依據(jù)開普勒行星運動定律可知()A．太陽位于木星運行軌道的中心B．火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D．相同時間內，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積C[太陽位于木星運行軌道的一個焦點上，A錯誤；不同的行星對應不同的運行軌道，運行速度大小也不相同，B錯誤；同一行星與太陽連線在相等時間內掃過的面積才能相同，D錯誤；由開普勒第三定律得eq\f(r\o\al(3,火),T\o\al(2,火))＝eq\f(r\o\al(3,木),T\o\al(2,木))，故eq\f(T\o\al(2,火),T\o\al(2,木))＝eq\f(r\o\al(3,火),r\o\al(3,木))，C正確。]3．(人教版必修2P43T2改編)若地球表面處的重力加速度為g，而物體在距地面3R(R為地球半徑)處，由于地球作用而產(chǎn)生的加速度為g′，則eq\f(g′,g)為()A．1 B．eq\f(1,9)C.eq\f(1,4) D．eq\f(1,16)[答案]D4．(人教版必修2P48T3改編)若取地球的第一宇宙速度為8km/s，某行星的質量是地球質量的6倍，半徑是地球半徑的1.5倍，這顆行星的“第一宇宙速度”約為()A．2km/s B．4km/sC．16km/s D．32km/s[答案]C開普勒定律的應用eq\o([依題組訓練])1．關于行星運動的規(guī)律，下列說法符合史實的是()A．開普勒在牛頓定律的基礎上，導出了行星運動的規(guī)律B．開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的基礎上，總結出了行星運動的規(guī)律C．開普勒總結出了行星運動的規(guī)律，找出了行星依據(jù)這些規(guī)律運動的緣由D．開普勒總結出了行星運動的規(guī)律，發(fā)覺了萬有引力定律B[開普勒在前人觀測數(shù)據(jù)的基礎上，總結出了行星運動的規(guī)律，與牛頓定律無聯(lián)系，選項A錯誤，選項B正確；開普勒總結出了行星運動的規(guī)律，但沒有找出行星依據(jù)這些規(guī)律運動的緣由，選項C錯誤；牛頓發(fā)覺了萬有引力定律，選項D錯誤。]2．(多選)(2024·撫州七校聯(lián)考)2024年7月是精彩天象集中上演的月份，“水星東大距”“火星沖日”“月全食”等天象先后扮靚夜空，可謂精彩紛呈。發(fā)生于北京時間7月28日凌晨的“月全食”，相對于2024年1月31日發(fā)生的“月全食”來說，7月的全食階段持續(xù)時間更長。已知月球繞地球的運動軌道可看成橢圓，地球始終在該橢圓軌道的一個焦點上，則相對于1月的月球而言，7月的月球()A．繞地球運動的線速度更大B．距離地球更近C．繞地球運動的線速度更小D．距離地球更遠CD[地球圍著太陽公轉，月球又圍著地球公轉，發(fā)生月食的條件是地球處于月球和太陽中間，攔住了太陽光，月全食持續(xù)的時間長短和太陽、地球、月球三者的位置關系親密相關，7月這次月全食的時間比較長是由于月球和地球的距離比較遠。依據(jù)開普勒其次定律可知此時月球繞地球運動的線速度更小，故A、B錯誤，C、D正確。]3．(2024·江蘇高考)1970年勝利放射的“東方紅一號”是我國第一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星至今仍沿橢圓軌道繞地球運動。如圖所示，設衛(wèi)星在近地點、遠地點的速度分別為v1、v2，近地點到地心的距離為r，地球質量為M，引力常量為G。則()A．v1>v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) B．v1>v2，v1>eq\r(\f(GM,r))C．v1<v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) D．v1<v2，v1>eq\r(\f(GM,r))B[“東方紅一號”從近地點到遠地點萬有引力做負功，動能減小，所以v1>v2，過近地點圓周運動的速度為v＝eq\r(\f(GM,r))，由于“東方紅一號”在橢圓上運動，所以v1>eq\r(\f(GM,r))，故B正確。]應用開普勒行星運動定律的三點留意(1)行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理。(2)開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。(3)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同。萬有引力定律的理解及應用eq\o([講典例示法])1．萬有引力與重力的關系地球對物體的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是供應物體隨地球自轉的向心力F向，如圖所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。2．星體表面上的重力加速度(1)在地球表面旁邊的重力加速度g(不考慮地球自轉)：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)。3．估算天體質量和密度的兩種方法(1)“g、R”法：已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。①由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天體質量M＝eq\f(gR2,G)。②天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(2)“T、r”法：測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。①由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)。②若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。eq\o([典例示法])(多選)(2024·湖南地質中學三模)若宇航員在月球表面旁邊高h處以初速度v0水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為L。已知月球半徑為R，引力常量為G。則下列說法正確的是()A．月球表面的重力加速度g月＝eq\f(hv\o\al(2,0),L2)B．月球的平均密度ρ＝eq\f(3hv\o\al(2,0),2πGL2R)C．月球的第一宇宙速度v＝eq\f(v0,L)eq\r(2hR)D．月球的質量m月＝eq\f(hR2v\o\al(2,0),GL2)關鍵信息：“水平拋出一個小球，測出水平射程”，可獲得月球表面的重力加速度。[解析]設月球表面的重力加速度為g月，小球在月球表面做平拋運動，依據(jù)平拋學問可知在水平方向上L＝v0t，在豎直方向上h＝eq\f(1,2)g月t2，解得g月＝eq\f(2hv\o\al(2,0),L2)，故A錯誤；在月球表面eq\f(Gm月m,R2)＝mg月，解得m月＝eq\f(2hR2v\o\al(2,0),GL2)，則月球密度為ρ＝eq\f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\f(2hR2v\o\al(2,0),GL2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3hv\o\al(2,0),2πGL2R)，故B正確，D錯誤；月球的第一宇宙速度v＝eq\r(g月R)＝eq\f(v0,L)eq\r(2hR)，故C正確。[答案]BC估算天體質量和密度的“四點”留意(1)利用萬有引力供應天體圓周運動的向心力估算天體質量時，估算的只是中心天體的質量，而非環(huán)繞天體的質量。(2)區(qū)分天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面旁邊的衛(wèi)星，才有r≈R；計算天體密度時，V＝eq\f(4,3)πR3中的“R”只能是中心天體的半徑。(3)天體質量估算中常有隱含條件，如地球的自轉周期為24h，公轉周期為365天等。(4)留意黃金代換式GM＝gR2的應用。eq\o([跟進訓練])1.(多選)如圖所示，三顆質量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上。設地球質量為M，半徑為R。下列說法正確的是()A．地球對一顆衛(wèi)星的引力大小為eq\f(GMm,r－R2)B．一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為eq\f(GMm,r2)C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為eq\f(Gm2,3r2)D．三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為eq\f(3GMm,r2)BC[由萬有引力定律知A項錯誤，B項正確；因三顆衛(wèi)星連線構成等邊三角形，圓軌道半徑為r，由數(shù)學學問易知隨意兩顆衛(wèi)星間距d＝2rcos30°＝eq\r(3)r，由萬有引力定律知C項正確；因三顆衛(wèi)星對地球的引力大小相等且互成120°，故三顆衛(wèi)星對地球引力的合力為0，則D項錯誤。]2.(多選)(2024·江蘇南京師大附中高考模擬)2024年4月10日晚，數(shù)百名科學家參加合作的“事務視界望遠鏡(EHT)”項目在全球多地同時召開新聞發(fā)布會，發(fā)布了人類拍到的首張黑洞照片。理論表明：黑洞質量M和半徑R的關系為eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，其中c為光速，G為引力常量。若視察到黑洞四周有一星體繞它做勻速圓周運動，速率為v，軌道半徑為r，則可知()A．該黑洞的質量M＝eq\f(v2r,2G)B．該黑洞的質量M＝eq\f(v2r,G)C．該黑洞的半徑R＝eq\f(2v2r,c2)D．該黑洞的半徑R＝eq\f(v2r,c2)BC[設黑洞的質量為M，環(huán)繞天體的質量為m，依據(jù)萬有引力供應環(huán)繞天體做圓周運動的向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，化簡可得黑洞的質量為M＝eq\f(v2r,G)，故B正確，A錯誤；依據(jù)黑洞的質量M和半徑R的關系eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，可得黑洞的半徑為R＝eq\f(2GM,c2)＝eq\f(2G\f(v2r,G),c2)＝eq\f(2v2r,c2)，故C正確，D錯誤。]3.如圖所示，2024年1月3日，“玉兔二號”巡察器駛抵月球表面起先科學探測。已知月球表面的重力加速度g0為地球表面重力加速度g的eq\f(1,6)，若月球半徑R0約為地球半徑R的eq\f(1,4)，則月球密度ρ0與地球密度ρ的比值約為()A．1 B．eq\f(2,3)C．6 D．2B[對于質量為m的物體，依據(jù)萬有引力定律有Geq\f(M0m,R\o\al(2,0))＝mg0、Geq\f(Mm,R2)＝mg，月球和地球質量分別為M0＝ρ0·eq\f(4,3)πReq\o\al(3,0)、M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，又g0＝eq\f(1,6)g、R0＝eq\f(1,4)R，聯(lián)立解得ρ0＝eq\f(2,3)ρ，B項正確。]宇宙速度及衛(wèi)星運行參量的分析計算eq\o([講典例示法])1．宇宙速度與運動軌跡的關系(1)v發(fā)＝7.9km/s時，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動。(2)7.9km/s<v發(fā)<11.2km/s，衛(wèi)星繞地球運動的軌跡為橢圓。(3)11.2km/s≤v發(fā)<16.7km/s，衛(wèi)星繞太陽做橢圓運動。(4)v發(fā)≥16.7km/s，衛(wèi)星將擺脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間。2．物理量隨軌道半徑改變的規(guī)律3．同步衛(wèi)星的六個“肯定”eq\o([典例示法])如圖所示，a為放在赤道上相對地球靜止的物體，隨地球自轉做勻速圓周運動，b為沿地球表面旁邊做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星(軌道半徑約等于地球半徑)，c為地球的同步衛(wèi)星。下列關于a、b、c的說法中正確的是()A．b衛(wèi)星轉動線速度大于7.9km/sB．a(chǎn)、b、c做勻速圓周運動的向心加速度大小關系為aa>ab>acC．a(chǎn)、b、c做勻速圓周運動的周期關系為Tc>Tb>TaD．在b、c中，b的速度大思路點撥：解此題抓住以下兩個環(huán)節(jié)(1)赤道上的物體與同步衛(wèi)星具有相同的角速度(周期)；(2)赤道上物體與衛(wèi)星比較物理量時，要借助同步衛(wèi)星過渡。D[b為沿地球表面旁邊做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，依據(jù)萬有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(GM,R))，代入數(shù)據(jù)得v＝7.9km/s，故A錯誤；地球赤道上的物體與同步衛(wèi)星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，依據(jù)a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，依據(jù)a＝eq\f(GM,r2)得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab>ac>aa，故B錯誤；衛(wèi)星c為同步衛(wèi)星，所以Ta＝Tc，依據(jù)T＝2πeq\r(\f(r3,GM))得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc>Tb，故C錯誤；在b、c中，依據(jù)v＝eq\r(\f(GM,r))，可知b的速度比c的速度大，故D正確。]探討衛(wèi)星運行熟識“三星一物”(1)同步衛(wèi)星的周期、軌道平面、高度、線速度的大小、角速度、繞行方向均是固定不變的，常用于無線電通信，故又稱通信衛(wèi)星。(2)極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋。(3)近地衛(wèi)星是在地球表面旁邊環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9km/s。(4)赤道上的物體隨地球自轉而做勻速圓周運動，由萬有引力和地面支持力的合力充當向心力(或者說由萬有引力的分力充當向心力)，它的運動規(guī)律不同于衛(wèi)星，但它的周期、角速度與同步衛(wèi)星相等。eq\o([跟進訓練])宇宙速度的理解1．(多選)據(jù)悉，我國的火星探測已引起各國的關注，我國將于近幾年進行第一次火星探測，向火星放射軌道探測器和火星巡察器。已知火星的質量約為地球質量的eq\f(1,9)，火星的半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)。下列關于火星探測器的說法中正確的是()A．放射速度只要大于第一宇宙速度即可B．放射速度只有達到第三宇宙速度才可以C．放射速度應大于其次宇宙速度且小于第三宇宙速度D．火星探測器環(huán)繞火星運行的最大速度約為地球的第一宇宙速度的eq\f(\r(2),3)CD[要將火星探測器放射到火星上去，必需脫離地球引力，即放射速度要大于其次宇宙速度，火星探測器仍在太陽系內運轉，因此從地球上放射時，放射速度要小于第三宇宙速度，選項A、B錯誤，C正確；由第一宇宙速度的概念，得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，得v1＝eq\r(\f(GM,R))，故火星探測器環(huán)繞火星運行的最大速度與地球的第一宇宙速度的比值約為eq\r(\f(2,9))＝eq\f(\r(2),3)，選項D正確。]衛(wèi)星的運行問題2.(2024·重慶一中月考)如圖所示，衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運動，用T、a、v、S分別表示衛(wèi)星的周期、加速度、速度、與地心連線在單位時間內掃過的面積。下列關系式正確的是()A．TA>TB B．a(chǎn)A>aBC．vA>vB D．SA＝SBA[依據(jù)萬有引力供應向心力可得eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)＝eq\f(m·4π2r,T2)＝ma，可知線速度為v＝eq\r(\f(GM,r))，周期為T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，加速度為a＝eq\f(GM,r2)，A的軌道半徑較大，則vA<vB，TA>TB，aA<aB，故A正確，B、C錯誤；由開普勒其次定律可知繞一中心天體運動的衛(wèi)星與中心天體連線在相等時間內掃過的面積相等，A、B不是同一軌道，所以A、B與地心連線在單位時間內掃過的面積不同，故D錯誤。]同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星與赤道上的物體3．(2024·北京高考)2024年5月17日，我國勝利放射第45顆北斗導航衛(wèi)星，該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)。該衛(wèi)星()A．入軌后可以位于北京正上方B．入軌后的速度大于第一宇宙速度C．放射速度大于其次宇宙速度D．若放射到近地圓軌道所需能量較少D[地球同步衛(wèi)星的軌道肯定位于赤道的正上方，而北京位于北半球，并不在赤道上，所以該衛(wèi)星入軌后不行能位于北京正上方，故A錯誤；第一宇宙速度為最大的運行速度，即只有當衛(wèi)星做近地飛行時才能近似達到的速度，所以該衛(wèi)星入軌后的速度肯定小于第一宇宙速度，故B錯誤；勝利放射人造地球衛(wèi)星的放射速度應大于第一宇宙速度而小于其次宇宙速度，故C錯誤；衛(wèi)星需加速才可從低軌道運動至高軌道，故衛(wèi)星放射到近地圓軌道所需能量較放射到同步衛(wèi)星軌道的少，故D正確。]衛(wèi)星變軌問題eq\o([講典例示法])1．衛(wèi)星放射及變軌過程概述人造衛(wèi)星的放射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達預定軌道，如圖所示。(1)為了節(jié)約能量，在赤道上順著地球自轉方向放射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上。(2)在A點點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以供應向心力，衛(wèi)星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ。(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ。2．三個運行物理量的大小比較(1)速度：設衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點速率分別為vA、vB。在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。(2)加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過B點加速度也相同。(3)周期：設衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運行的周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。eq\o([典例示法])2024年1月18日，世界首顆量子科學試驗衛(wèi)星“墨子號”在圓滿完成4個月的在軌測試任務后，正式交付用戶單位運用。如圖為“墨子號”變軌示意圖，軌道A與軌道B相切于P點，軌道B與軌道C相切于Q點，以下說法正確的是()A．“墨子號”在軌道B上由P向Q運動的過程中速率越來越大B．“墨子號”在軌道C上經(jīng)過Q點的速率大于在軌道A上經(jīng)過P點的速率C．“墨子號”在軌道B上經(jīng)過P時的向心加速度大于在軌道A上經(jīng)過P點時的向心加速度D．“墨子號”在軌道B上經(jīng)過Q點時受到的地球的引力小于經(jīng)過P點時受到的地球的引力[解析]“墨子號”在軌道B上由P向Q運動的過程中，漸漸遠離地心，速率越來越小，選項A錯誤；“墨子號”在A、C軌道上運行時，軌道半徑不同，依據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，軌道半徑越大，線速度越小，選項B錯誤；“墨子號”在A、B兩軌道上經(jīng)過P點時，離地心的距離相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，選項C錯誤；“墨子號”在軌道B上經(jīng)過Q點比經(jīng)過P點時離地心的距離要遠些，受地球的引力要小些，選項D正確。[答案]D航天器變軌問題的“三點”留意(1)航天器變軌時半徑的改變，依據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關系推斷；穩(wěn)定在新圓軌道上的運行速度改變由v＝eq\r(\f(GM,r))推斷。(2)同一航天器在一個確定的圓(橢圓)軌道上運行時機械能守恒，在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大。(3)航天器經(jīng)過不同軌道的相交點時，加速度相等，外軌道的速度大于內軌道的速度。eq\o([跟進訓練])1．(2024·臨沂2月檢測)2024年春節(jié)期間，中國科幻電影里程碑的作品《流浪地球》熱播。影片中為了讓地球逃離太陽系，人們在地球上建立特大功率發(fā)動機，使地球完成一系列變軌操作，其逃離過程如圖所示，地球在橢圓軌道Ⅰ上運行到遠日點B變軌，進入圓形軌道Ⅱ。在圓形軌道Ⅱ上運行到B點時再次加速變軌，從而最終擺脫太陽束縛。對于該過程，下列說法正確的是()A．沿軌道Ⅰ運動至B點時，需向前噴氣減速才能進入軌道ⅡB．沿軌道Ⅰ運行的周期小于沿軌道Ⅱ運行的周期C．沿軌道Ⅰ運行時，在A點的加速度小于在B點的加速度D．在軌道Ⅰ上由A點運行到B點的過程，速度漸漸增大B[沿軌道Ⅰ運動至B點時，需向后噴氣加速才能進入軌道Ⅱ，故選項A錯誤；因在軌道Ⅰ的半長軸小于軌道Ⅱ的運動半徑，依據(jù)開普勒第三定律可知，沿軌道Ⅰ運行的周期小于沿軌道Ⅱ運行的周期，故選項B正確；由Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq\f(GM,r2)，則沿軌道Ⅰ運行時，在A點的加速度大于在B點的加速度，故選項C錯誤；依據(jù)開普勒其次定律可知，在軌道Ⅰ上由A點運行到B點的過程，速度漸漸減小，選項D錯誤。]2．(多選)(2024·江蘇南京三模)“嫦娥四號”已勝利著陸月球背面，將來中國還將建立繞月軌道空間站。如圖所示，關閉動力的宇宙飛船在月球引力作用下沿地—月轉移軌道向月球靠近，并將與空間站在A處對接。已知空間站繞月軌道半徑為r，周期為T，萬有引力常量為G，月球的半徑為R，下列說法正確的是()A．宇宙飛船在A處由橢圓軌道進入空間站軌道必需點火減速B．地—月轉移軌道的周期小于TC．月球的質量為M＝eq\f(4π2r3,GT2)D．月球的第一宇宙速度為v＝eq\f(2πR,T)AC[依據(jù)圓周運動的供需平衡關系，從軌道比較高的橢圓變軌到軌道高度比較低的圓周，應減速，A正確；依據(jù)開普勒第三定律可知eq\f(a3,T2)＝k可知，地—月轉移軌道的半長軸大于空間站圓周運動的半徑，所以地—月轉移軌道周期大于T，B錯誤；以空間站為探討對象，它做勻速圓周運動的向心力來源于月球對它的萬有引力，可知eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，所以M＝eq\f(4π2r3,GT2)，C正確；月球的第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，將C選項求得的M帶入可得v＝eq\f(2πr,T)eq\r(\f(r,R))，D錯誤。]1．雙星模型(1)定義：繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖所示。(2)特點：①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力供應，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩顆星的半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L。④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)。⑤雙星的運動周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))。⑥雙星的總質量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)。[示例1]雙星系統(tǒng)中兩個星球A、B的質量都是m，A、B相距L，它們正圍繞兩者連線上某一點做勻速圓周運動。實際觀測該系統(tǒng)的周期T要小于依據(jù)力學理論計算出的周期理論值T0，且eq\f(T,T0)＝k(k<1)，于是有人揣測這可能是受到了一顆未發(fā)覺的星球C的影響，并認為C位于雙星A、B的連線正中間，相對A、B靜止，求：(1)兩個星球A、B組成的雙星系統(tǒng)周期理論值T0；(2)星球C的質量。[解析](1)兩星球的角速度相同，依據(jù)萬有引力充當向心力知：eq\f(Gmm,L2)＝mr1ωeq\o\al(2,1)＝mr2ωeq\o\al(2,1)可得：r1＝r2 ①兩星繞連線的中點轉動，則有：eq\f(Gmm,L2)＝m×eq\f(L,2)ωeq\o\al(2,1)解得ω1＝eq\r(\f(2Gm,L3)) ②所以T0＝eq\f(2π,ω1)＝2πeq\r(\f(L3,2Gm))。 ③(2)由于C的存在，雙星的向心力由兩個力的合力供應，則eq\f(Gmm,L2)＋Geq\f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2)))eq\s\up12(2))＝m·eq\f(1,2)L·ωeq\o\al(2,2) ④T＝eq\f(2π,ω2)＝kT0 ⑤聯(lián)立③④⑤式解得M＝eq\f(1－k2m,4k2)。[答案](1)2πeq\r(\f(L3,2Gm))(2)eq\f(1－k2m,4k2)2．多星模型(1)定義：所探討星體的萬有引力的合力供應做圓周運動的向心力，除中心星體外，各星體的角速度或周期相同。(2)三星模型：①三顆星體位于同始終線上，兩顆質量相等的環(huán)繞星圍繞中心星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示)。②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)。甲乙丙丁(3)四星模型：①其中一種是四顆質量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示)。②另一種是三顆質量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示)。[示例2](多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質量均為m的星位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R，忽視其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G，則()A．每顆星做圓周運動的線速度為eq\r(\f(Gm,R))B．每顆星做圓周運動的角速度為eq\r(\f(3Gm,R3))C．每顆星做圓周運動的周期為2πeq\r(\f(R3,3Gm))D．每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量無關ABC[每顆星受到的合力為F＝2Geq\f(m2,R2)sin60°＝eq\r(3)Geq\f(m2,R2)，軌道半徑為r＝eq\f