2024-2025學(xué)年高二物理 同步學(xué)與練（ 人教版2019必修第三冊）10.6 帶電粒子在電場中的曲線運動 （原卷版）

10.6帶電粒子在電場中的曲線運動

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準物理素養(yǎng)

物理觀念：會從運動和力的關(guān)系的角度分析帶電粒子在勻強電場中的加速問

題。知道帶電粒子垂直于電場線進入勻強電場的特點。了解示波管的工作原

理。

3.1.5能分析帶電粒子在科學(xué)思維：帶電粒子垂直于電場線進入勻強電場后，能對偏移距離、偏轉(zhuǎn)角

電場中的運動情況，能解度、離開電場時的速度等物理量進行分析和計算。

釋相關(guān)的物理現(xiàn)象。科學(xué)探究：通過解決帶電粒子在電場中加速和偏轉(zhuǎn)的問題，加深對牛頓運動

定律和功能關(guān)系兩個角度分析物體運動的認識，以及將勻變速曲線運動分解

為兩個方向上的簡單運動來處理的思路的認識。

科學(xué)態(tài)度與責(zé)任：體會靜電場知識對科學(xué)技術(shù)的影響。

02思維導(dǎo)圖

電場中的力、電綜合問題

1．帶電粒子在電場中的運動

(1)分析方法：先分析受力情況，再分析運動狀態(tài)和運動過程(平衡、加速或減速，軌跡是直線還是曲線)，然

后選用恰當(dāng)?shù)囊?guī)律解題。

(2)受力特點：在討論帶電粒子或其他帶電體的靜止與運動問題時，重力是否要考慮，關(guān)鍵看重力與其他力

相比較是否能忽略。一般來說，除明顯暗示外，帶電小球、液滴的重力不能忽略，電子、質(zhì)子等帶電粒子

的重力可以忽略，一般可根據(jù)微粒的運動狀態(tài)判斷是否考慮重力作用。

2．處理帶電粒子(帶電體)運動的方法

(1)結(jié)合牛頓運動定律、運動學(xué)公式、動能定理、能量守恒定律解題。

(2)用包括電勢能和內(nèi)能在內(nèi)的能量守恒定律處理思路

①利用初、末狀態(tài)的能量相等(即E1＝E2)列方程。

②利用某些能量的減少等于另一些能量的增加列方程。

(3)常用的兩個結(jié)論

①若帶電粒子只在電場力作用下運動，其動能和電勢能之和保持不變。

②若帶電粒子只在重力和電場力作用下運動，其機械能和電勢能之和保持不變。

03知識梳理

（一）課前研讀課本，梳理基礎(chǔ)知識：

一、帶電粒子在勻強電場中的偏轉(zhuǎn)

1．運動情況：帶電粒子以初速度v0垂直電場方向進入勻強電場中，則帶電粒子在電場中做類平拋運動，如

圖所示。

2．處理方法：將帶電粒子的運動分解為沿初速度方向的運動和沿電場力方向的運

動。根據(jù)運動的合成與分解的知識解決有關(guān)問題。

l

3．基本關(guān)系式：運動時間t＝，

v0

FqEqU

加速度a＝＝＝，

mmmd

1

偏轉(zhuǎn)量y＝at2＝，

2

vyat

偏轉(zhuǎn)角θ的正切值tanθ＝＝＝。

v0v0

4．兩個結(jié)論

(1)不同的帶電粒子從靜止開始經(jīng)過同一電場加速后再從同一偏轉(zhuǎn)電場射出時，偏移量和偏轉(zhuǎn)角總是相同的。

12

證明：由qU0＝mv0

2

11qU1l

y＝at2＝··()2

22mdv0

qU1l

tanθ＝

2

mdv0

2

U1lU1l

得y＝，tanθ＝

4U0d2U0d

可見y和tanθ與粒子的q、m。

(2)粒子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后射出，合速度方向的反向延長線與初速度延長線的交點O為粒子勻速位移的，

l

即O到偏轉(zhuǎn)電場邊緣的距離為。

2

5．功能關(guān)系

1212U

當(dāng)討論帶電粒子的末速度v時也可以從能量的角度進行求解：qUy＝mv－mv0，其中Uy＝y(tǒng)，指初、末

22d

位置間的電勢差。

二、帶電粒子在交變電場中的曲線運動

1．常見的交變電場

常見的產(chǎn)生交變電場的電壓波形有方形波、鋸齒波、正弦波等。

2．常見的題目類型

粒子做偏轉(zhuǎn)運動(一般根據(jù)交變電場特點分段研究)。

3．思維方法

(1)注重全面分析(分析受力特點和運動規(guī)律)：抓住粒子的運動具有周期性和在空間上具有對稱性的特征，求

解粒子運動過程中的速度、位移、做功或確定與物理過程相關(guān)的臨界條件。

(2)從兩條思路出發(fā)：一是力和運動的關(guān)系，根據(jù)牛頓第二定律及運動學(xué)規(guī)律分析；二是功能關(guān)系。

二、帶電粒子(帶電體)在電場和重力場中的曲線運動

1．等效重力場

物體在勻強電場和重力場中的運動，可以將重力場與電場合二為一，用一個全新的“復(fù)合場”來代替，可

形象稱之為“等效重力場”。

2．方法應(yīng)用

(1)求出重力與電場力的合力，將這個合力視為一個等效重力。

F合

(2)將a＝視為等效重力加速度。

m

(3)小球能自由靜止的位置，即是“等效最低點”，圓周上與該點在同一直徑的點為“等效最高點”；

注意：這里的最高點不一定是幾何最高點。

(4)將物體在重力場中的運動規(guī)律遷移到等效重力場中分析求解。

04題型精講

【題型一】類平拋、類斜拋問題

【典型例題1】如圖甲所示，熱電子由陰極飛出時的初速度忽略不計，電子發(fā)射裝置的加速電壓為U0，電

容器板長和板間距離均為L＝10cm，下極板接地，電容器右端到熒光屏的距離也是L＝10cm，在電容器兩

極板間接一交變電壓，上極板的電勢隨時間變化的圖像如圖乙所示。(每個電子穿過平行板的時間都極短，

可以認為電壓是不變的)求：

(1)在t＝0.06s時刻進入電容器的電子打在熒光屏上的何處；

(2)熒光屏上有電子打到的區(qū)間有多長。

【典型例題2】(多選)如圖所示，有一勻強電場平行于平面xOy，一個帶電粒子僅在電場力作用下從O點運

動到A點，粒子在O點時速度沿y軸正方向，經(jīng)A點時速度沿x軸正方向，且粒子在A點的動能是它在O

點時動能的3倍。關(guān)于粒子在OA段的運動情況，下列判斷正確的是()

A．該帶電粒子帶正電荷

B．帶電粒子在A點的電勢能比在O點的電勢能小

C．這段時間中間時刻粒子的動能最小

D．加速度方向與y軸正方向之間的夾角等于120°

【對點訓(xùn)練1】如圖所示，A、B兩個帶正電的粒子，所帶電荷量分別為q1與q2，質(zhì)量分別為m1和m2。它

們以相同的速度先后垂直于電場線從同一點進入平行板間的勻強電場后，A粒子打在N板上的A′點，B粒

子打在N板上的B′點，若不計重力，則()

A．q1＞q2B．m1＜m2

q1q2q1q2

C.＞D.＜

m1m2m1m2

【對點訓(xùn)練2】（多選）如圖，一帶負電荷的油滴在勻強電場中運動，其軌跡在豎直面(紙面)內(nèi)，且相對于

過軌跡最低點P的豎直線對稱。忽略空氣阻力。由此可知()

A．Q點的電勢比P點高

B．油滴在Q點的動能比它在P點的大

C．油滴在Q點的電勢能比它在P點的大

D．油滴在Q點的加速度大小比它在P點的小

【題型二】變速圓周運動中的繩模型、桿模型

【典型例題3】如圖，一光滑絕緣半圓環(huán)軌道固定在豎直平面內(nèi)，與光滑絕緣水平面相切于B點，軌道半

3mg

徑為R。整個空間存在水平向右的勻強電場E，電場強度大小為，一帶正電的小球質(zhì)量為m、電荷量為

4q

R

q，從距離B點為處的A點以某一初速度沿AB方向開始運動，經(jīng)過B點后恰能運動到軌道的最高點C。

3

重力加速度為g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：

(1)帶電小球從A點開始運動時的初速度v0；

(2)帶電小球從軌道最高點C經(jīng)過一段時間運動到光滑絕緣水平面上D點(圖中未標(biāo)出)，B點與D點的水平

距離。

【典型例題4】如圖所示，空間有一水平向右的勻強電場，半徑為r的絕緣光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，O

是圓心，AB是豎直方向的直徑。一質(zhì)量為m、電荷量為＋q(q＞0)的小球套在圓環(huán)上，并靜止在P點，OP

與豎直方向的夾角θ＝37°。不計空氣阻力，已知重力加速度為g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：

(1)電場強度E的大小；

(2)若要使小球從P點出發(fā)能做完整的圓周運動，小球初速度的大小應(yīng)滿足的條件。

【對點訓(xùn)練3】如圖所示，水平絕緣粗糙的軌道AB與處于豎直平面內(nèi)的半圓形絕緣光滑軌道BC平滑連接，

半圓形軌道的半徑R＝0.4m，在軌道所在空間存在水平向右的勻強電場，電場線與軌道所在的平面平行，

電場強度E＝1.0×104N/C?，F(xiàn)有一電荷量q＝＋1.0×10－4C，質(zhì)量m＝0.1kg的帶電體(可視為質(zhì)點)，在水

平軌道上的P點由靜止釋放，帶電體恰好能通過半圓形軌道的最高點C，然后落至水平軌道上的D點(圖中

未畫出)。取g＝10m/s2。試求：

(1)帶電體運動到圓形軌道B點時對圓形軌道的壓力大??；

(2)D點到B點的距離xDB；

(3)帶電體在從P開始運動到落至D點的過程中的最大動能(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。

mg

【對點訓(xùn)練4】如圖所示，CD左側(cè)存在場強大小為E＝，方向水平向左的勻強電場，一個質(zhì)量為m、電

q

荷量為q的光滑絕緣小球，從底邊BC長L，傾角α＝53°的直角三角形斜面頂端A點由靜止開始下滑，運動

到斜面底端C點后進入一細圓管內(nèi)(C處為一小段長度可忽略的圓弧，圓管內(nèi)徑略大于小球直徑)，恰能到達

D點，隨后從D離開后落回到斜面P點，重力加速度為g(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)。

(1)求DA兩點間的電勢差UDA；

(2)求圓管半徑r；

(3)求小球從D點運動到P點的時間t。

【題型三】交變電場、組合場中的運動

【典型例題5】如圖甲所示，A、B是兩塊水平放置的足夠長的平行金屬板，B板接地，A、B兩極板間電壓

隨時間的變化情況如圖乙所示，C、D兩平行金屬板豎直放置，中間有兩正對小孔O1′和O2，兩板間電壓

為U2?，F(xiàn)有一帶負電粒子在t＝0時刻以一定的初速度沿AB兩板間的中軸線O1O1′進入，并能從O1′沿

O1′O2進入C、D間。已知粒子的帶電荷量為－q，質(zhì)量為m，(不計粒子重力)求：

(1)粒子剛好能到達O2孔時，則該粒子進入A、B間的初速度v0為多大；

(2)在(1)的條件下，A、B兩板長度的最小值；

(3)A、B兩板間距的最小值。

【典型例題6】如圖所示，兩平行金屬板A、B長為L＝8cm，兩板間距離d＝8cm，A板比B板電勢高300

V，一帶正電的粒子電荷量為q＝1.0×10－10C、質(zhì)量為m＝1.0×10－20kg，沿電場中心線RO垂直電場線飛

6

入電場，初速度v0＝2.0×10m/s，粒子飛出電場后經(jīng)過界面MN、PS間的無電場區(qū)域，然后進入固定在O

點的點電荷Q形成的電場區(qū)域(設(shè)界面PS右側(cè)點電荷的電場分布不受界面的影響)。已知兩界面MN、PS相

距為12cm，D是中心線RO與界面PS的交點，O點在中心線上，距離界面PS為9cm，粒子穿過界面PS

做勻速圓周運動，最后垂直打在放置于中心線上的熒光屏bc上。(靜電力常量k＝9.0×109N·m2/C2，粒子的

重力不計)

(1)求粒子穿過界面MN時偏離中心線RO的距離為多遠；到達PS界面時離D點為多遠；

(2)在圖上粗略畫出粒子的運動軌跡；

(3)確定點電荷Q的電性并求其電荷量的大小。

【對點訓(xùn)練5】在圖甲所示的極板A、B間加上如圖乙所示的大小不變、方向周期性變化的交變電壓，其周

期為T，現(xiàn)有一電子以平行于極板的速度v0從兩板中央OO′射入．已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，不

計電子的重力，問：

(1)若電子從t＝0時刻射入，在半個周期內(nèi)恰好能從A板的邊緣飛出，則電子飛出時速度的大小為多少？

(2)若電子從t＝0時刻射入，恰能平行于極板飛出，則極板至少為多長？

(3)若電子恰能從OO′平行于極板飛出，電子應(yīng)從哪一時刻射入？兩極板間距至少為多大？

【對點訓(xùn)練6】如圖所示，真空中水平放置的兩平行金屬板間有一勻強電場，板長為L，一電荷量為＋q(q>0)，

質(zhì)量為m的小球從兩板中央以水平速度v0射入板間，小球離開電場后恰能垂直打在距離金屬板右端2L的

屏M上，已知重力加速度為g。求：

(1)板間電場強度E的大小和方向；

(2)板間電勢差U要滿足什么條件？

05強化訓(xùn)練

01

【基礎(chǔ)強化】

1．如圖所示，虛線a、b、c代表電場中的三個等勢面，相鄰等勢面之間的電勢差相等，即Uab＝Ubc，實線

為一帶負電的質(zhì)點僅在電場力的作用下通過該區(qū)域時的運動軌跡，P、Q是這條軌跡上的兩點，據(jù)此可知

()

A．三個等勢面中，c的電勢最高

B．帶電質(zhì)點通過P點的電勢能比Q點大

C．帶電質(zhì)點通過P點的動能比Q點大

D．帶電質(zhì)點通過P點時的加速度比Q點小

2.實驗室中探測到電子在勻強電場中的運動軌跡為一條拋物線。為研究問題方便，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

該拋物線開口向下，a、b是拋物線上的兩點。下列說法正確的是()

A．勻強電場方向可能沿x軸正方向

B．勻強電場方向可能沿y軸負方向

C．勻強電場中a點的電勢比b點高

D．電子在b點的動能比在a點的大

3.圖甲是一對長度為L的平行金屬板，板間存在如圖乙所示的隨時間周期性變化的電場，電場方向與兩板垂

直．在t＝0時刻，一帶電粒子沿板間的中線OO′垂直電場方向射入電場，2t0時刻粒子剛好沿下極板右邊

緣射出電場．不計粒子重力．則()

A．粒子帶負電

B．粒子在平行板間一直做曲線運動

L

C．粒子射入電場時的速度大小為

2t0

D．若粒子射入電場時的速度減為一半，射出電場時的速度垂直于電場方向

4.如圖所示，一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子以速度v0從MN連線上的P點水平向右射入電場強度大

小為E、方向豎直向下的勻強電場中。已知MN與水平方向成45°角，粒子的重力可以忽略，則粒子到達

MN連線上的某點時()

mv0

A．所用時間為

qE

B．速度大小為3v0

2

22mv0

C．與P點的距離為

qE

D．速度方向與豎直方向的夾角為30°

5.帶電粒子沿水平方向射入豎直向下的勻強電場中，運動軌跡如圖所示，粒子在相同的時間內(nèi)()

A．位置變化相同

B．速度變化相同

C．速度偏轉(zhuǎn)的角度相同

D．動能變化相同

6.噴墨打印機的結(jié)構(gòu)原理如圖所示，其中墨盒可以發(fā)出半徑為1×10－5m的墨汁微粒，此微粒經(jīng)過帶電室時

被帶上負電，帶電的多少由計算機按字體筆畫高低位置輸入信號加以控制。帶電后的微粒以一定的初速度

進入偏轉(zhuǎn)電場，經(jīng)過偏轉(zhuǎn)電場發(fā)生偏轉(zhuǎn)后，打到紙上，顯示出字體。無信號輸入時，墨汁微粒不帶電，沿

直線通過偏轉(zhuǎn)電場而注入回流槽流入墨盒。設(shè)偏轉(zhuǎn)極板長L1＝1.6cm，兩板間的距離d＝0.50cm，偏轉(zhuǎn)板的

右端到紙的距離L2＝

2.4cm。若一個墨汁微粒的質(zhì)量為1.6×10－10kg，所帶電荷量為1.25×10－12C，以20m/s的初速度垂直進入

偏轉(zhuǎn)電場，打到紙上的點距原入射方向的距離是

1.0mm(不計空氣阻力和墨汁微粒的重力，可以認為偏轉(zhuǎn)電場只局限在平行板電容器內(nèi)部，忽略邊緣電場的

不均勻性)()

A．墨汁從進入偏轉(zhuǎn)電場到打在紙上，做類平拋運動

B．兩偏轉(zhuǎn)板間的電壓是2.0×103V

C．兩偏轉(zhuǎn)板間的電壓是5.0×102V

D．為了使紙上的字體放大10%，可以把偏轉(zhuǎn)電壓降低10%

【素養(yǎng)提升】

123

7.具有相同質(zhì)子數(shù)和不同中子數(shù)的原子稱為同位素。讓氫的三種同位素原子核(1H、1H和1H)以相同的速度

從帶電平行板間的P點沿垂直于電場的方向射入電場，分別落在A、B、C三點，如圖所示。不計粒子的重

力，則()

A．三種粒子在電場中運動的時間相同

B．三種粒子在電場中運動的過程中電勢能的變化量相同

1

C．落在A點的是1H

D．到達負極板時，落在C點的粒子的動能大于落在A點的粒子的動能

8．(多選)如圖所示，水平放置的平行板電容器充電后與電源斷開，一帶電粒子從A點沿半圓ABC的直徑方

向以某一速度水平射入電場，恰好經(jīng)過半圓的最低點B。粒子重力不計，下列分析正確的是()

A．經(jīng)過B點時的速度方向沿半圓的半徑

B．無論射入速度多大，粒子都不可能沿著半徑方向離開半圓

C．若僅將下板下移少許，板間電壓增大

D．若僅將下板下移少許，該粒子以相同的速度從原處射入電場，仍會經(jīng)過B點

9.(多選)四個帶電粒子的電荷量和質(zhì)量分別為(＋q，m)、(＋q,2m)、(＋3q,3m)、(－q，m)，它們先后以相同

的速度從坐標(biāo)原點沿x軸正方向射入一勻強電場中，電場方向與y軸平行。不計重力，下列描繪這四個粒子

運動軌跡的圖像中，可能正確的是()

10．(多選)如圖所示，在豎直平面內(nèi)有水平向左的勻強電場，在勻強電場中有一根長為L的絕緣細線，細

線一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量為m的帶電小球。小球靜止時細線與豎直方向成θ角，此時讓小球獲得

初速度且恰能繞O點在豎直平面內(nèi)沿逆時針方向做圓周運動，重力加速度為g。下列說法正確的是()

mgtanθ

A．勻強電場的電場強度E＝

q

mgL

B．小球動能的最小值為Ek＝

2cosθ

C．小球運動至圓周軌跡的最高點時機械能最小

D．小球從初始位置開始，在豎直平面內(nèi)運動一周的過程中，其電勢能先減小后增大

11．如圖所示，粗糙程度不均勻的水平面ABC與半徑為R的豎直光滑半圓軌道CDM相切于C點，CM為

半圓的直徑，O為圓心，D點是弧CM的中點，在半圓CDM下半部分有水平向左的勻強電場，電場強度大

mg

小E＝(g為重力加速度)?，F(xiàn)把可視為質(zhì)點、質(zhì)量為2m的小物塊P置于水平面的A點，并在水平恒力F(大

q

小未知)的作用下由靜止向左運動，運動到B點撤掉水平恒力F，小物塊P恰好運動到C點靜止?，F(xiàn)把與小

物塊P材料相同、質(zhì)量是小物塊P質(zhì)量一半、帶電荷量為＋q的絕緣小物塊Q同樣置于A點，在同樣水平

恒力F作用下也從靜止開始向左運動，到B點撤掉水平恒力F，帶電小物塊Q離開水平面BC后沿著圓弧

軌道CDM運動恰好能過最高點M。求：

(1)小物塊Q經(jīng)過水平面C點時的速度大??；

(2)小物塊Q在半圓軌道CDM上運動過程中對軌道的最大壓力；

(3)小物塊Q在運動過程中所受摩擦力做的功。

12.(多選)如圖所示，可視為質(zhì)點的質(zhì)量為m且電荷量為q的帶正電小球，用一絕緣輕質(zhì)細繩懸掛于O點，

3mg

繩長為L。現(xiàn)加一水平向右的區(qū)域足夠大的勻強電場，電場強度大小為E＝，小球初始位置在最低點，

4q

若給小球一個水平向右的初速度，使小球能夠在豎直面內(nèi)做圓周運動，忽略空氣阻力，重力加速度為g。則

下列說法正確的是()

A．小球在運動過程中機械能守恒

B．小球在運動過程中機械能不守恒

C．小球在運動過程的最小速度至少為gL

5

D．小球在運動過程的最大速度至少為gL

2

13.如圖所示，在光滑的水平桌面上，粗糙直線軌道AB與光滑圓弧軌道BCD相切于B點，圓心角∠BOC＝

37°，線段OC垂直于OD，圓弧軌道半徑為R，直線軌道AB長為L＝5R。整個軌道處于電場強度為E的勻

強電場中，電場強度方向豎直向下且垂直于直線OD?，F(xiàn)有一個質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的小物塊P從A

點無初速度釋放，小物塊P與AB之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.25，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，忽略空氣阻力。

求：

(1)小物塊第一次通過C點時對軌道的壓力大小；

(2)小物塊第一次通過D點后離開D點的最大距離；

(3)小物塊在直線軌道AB上運動的總路程。

14.(多選)如圖甲所示，長為8d、間距為d的平行金屬板水平放置，O點有一粒子源，能持續(xù)水平向右發(fā)射

初速度為v0、電荷量為＋q、質(zhì)量為m的粒子。