2025高考一輪復習（人教A版）第49講 二項分布與超幾何分布（含答案）

2025高考一輪復習（人教A版）第四十九講二項分布與超幾何分布閱卷人一、選擇題得分1．設隨機變量X服從二項分布Bn,45，若PA．0.16 B．0.32 C．0.64 D．0.842．2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機抽取兩人，則男生人數(shù)的期望為（）A．35 B．34 C．543．已知離散型隨機變量X服從二項分布X~B(n，p)，且E(X)=4，D(X)=q，則1pA．2 B．52 C．944．在數(shù)學試卷的單項選擇題中，共有8道題，每道題有4個選項，其中有且僅有一個選項正確，選對得5分，選錯得0分，如果從四個選項中隨機選一個，選對的概率是0.25.某同學8道單選題都不會做，只能在每道單選題的選項中隨機選擇一個作為答案，設他的總得分為X，則X的方差D(X)=（）A．1.5 B．7.5 C．20.5 D．37.55．泊松分布是一種描述隨機現(xiàn)象的概率分布，在經濟生活、事故預測、生物學、物理學等領域有廣泛的應用，泊松分布的概率分布列為Px=k=λkk!e?λk=0,1,2,?，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，λ是泊松分布的均值．當n很大且p很小時，二項分布近似于泊松分布，其中λ=np．一般地，當A．1?1e B．1?2e C．6．下列說法中正確的是（）①設隨機變量X～B(8,12②甲?乙?丙?丁四人到4個景點游玩，每人只去一個景點，設事件A=“4個人去的景點互不相同”，事件B=“甲獨自去一個景點”，則P(A∣B)=2③已知變量X,Y,A．①② B．②③ C．①③ D．①②③7．已知隨機變量X1，X2分別滿足二項分布X1~B(n1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．設隨機變量X~B(A．E(x)=3，D(x)=2 B．E(x)=4，D(x)=2C．E(x)=2，D(x)=1 D．E(x)=3，D(x)=1閱卷人二、多項選擇題得分9．某學校有甲、乙、丙三個社團，人數(shù)分別為14、21、14，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行某項興趣調查．已知抽出的7人中有5人對此感興趣，有2人不感興趣，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的深入訪談，用X表示抽取的3人中感興趣的學生人數(shù)，則（）A．從甲、乙、丙三個社團抽取的人數(shù)分別為2人、3人、2人B．隨機變量X～BC．隨機變量X的數(shù)學期望為15D．若事件A=“抽取的3人都感興趣”，則P10．已知隨機變量X滿足：X～B4,pA．p=23 B．EX=4311．下列選項中正確的是（）A．已知隨機變量X服從二項分布B10,1B．口袋中有大小相同的7個紅球、2個藍球和1個黑球．從中任取兩個球，記其中紅球的個數(shù)為隨機變量X，則X的數(shù)學期望EC．對標有不同編號的6件正品和4件次品的產品進行檢測，從中任取2件，已知其中一件為正品，則另一件也為正品的概率是5D．某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率為0.8，則在9次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是7次12．下列說法正確的是（）A．兩位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是1B．已知隨機變量X~B(n,p)，若E(X)=30,D(X)=10，則p=C．已知An2D．從一批含有10件正品、4件次品的產品中任取3件，則取得2件次品的概率為45閱卷人三、填空題得分13．某學校有A，B兩家餐廳，經統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，某班學生第1天午餐時選擇A餐廳和選擇B餐的概率均為12.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為35；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為45，則某同學第2天去A餐廳用餐的概率為；假設班內各位同學的選擇相互獨立，隨機變量X為該班3名同學中第2天選擇B餐廳的人數(shù)，則隨機變量X的均值14．設隨機變量X~B(2,p)，且P(X=0)=116，則p=；若Y=2X?1，則Y的方差為15．設隨機變量X~B(12,p)閱卷人四、解答題得分16．某校舉辦了“我愛古詩詞”對抗賽，在每輪對抗賽中，高二年級勝高三年級的率為25，高一年級勝高三年級的概率為1（1）若高二年級與高三年級進行4輪對抗賽，求高三年級在對抗賽中至少有3輪勝出的概率；（2）若高一年級與高三年級進行對抗，高一年級勝2輪就停止，否則開始新一輪對抗，但對抗不超過5輪，求對抗賽輪數(shù)X的分布列與數(shù)學期望.夏季瀕臨，在某校舉辦的籃球挑戰(zhàn)杯上，籃球隊員們向臺下的觀眾展現(xiàn)出了一場酣暢淋漓的比賽．假定在本次挑戰(zhàn)杯上同學甲每次投籃命中的概率為2317．若該同學投籃4次，求恰好投中2次的概率；18．若該同學在每一節(jié)比賽中連續(xù)投中2次，即停止投籃，否則他將繼續(xù)投籃，投籃4次后不管有沒有連續(xù)投中，都將停止投籃，求他在每一節(jié)比賽中投籃次數(shù)X的概率分布列及數(shù)學期望．19．某校為激發(fā)學生對天文、航天、數(shù)字科技三類知識的興趣，舉行了一次知識競賽（三類題目知識題量占比分別為14，12，14）.甲回答這三類問題中每道題的正確率分別為23，（1）若甲在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率.（2）知識競賽規(guī)則：隨機從題庫中抽取2n道題目，答對題目數(shù)不少于n道，即可以獲得獎勵.若以獲得獎勵的概率為依據，甲在n=5和n=6之中選其一，則應選擇哪個？20．某單位為豐富員工的業(yè)余生活，利用周末開展趣味野外拉練，此次拉練共分A，B，C三大類，其中A類有3個項目，每項需花費2小時，B類有3個項目，每項需花費3小時，C類有2個項目，每項需花費1小時．要求每位員工從中隨機選擇3個項目，每個項目的選擇機會均等．（1）求小張在三類中各選1個項目的概率；（2）設小張所選3個項目花費的總時間為X小時，求X的分布列．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：P(X≥1)=1-P(X=0)=1-Cn0所以X~B(4,45)故答案為：C.

【分析】根據二項分布的概率計算公公式求解出n，進而求方差.2．【答案】C【解析】【解答】解：設隨機抽取兩人中男生人數(shù)為X，且X=0,1,2，PX=0=C32則EX故答案為：C.【分析】設隨機抽取兩人中男生人數(shù)為X，且X=0,1,2，再求得概率，代入期望公式求解即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵離散型隨機變量X服從二項分布X~B(n，p)，且E(X)=4，D(X)=q，

∴E(X)=np=4，D(X)=np(1-p)=q，

∴q+4p=4，即q4+p=1，

∴1p+14．【答案】D【解析】【解答】解：設答對題目個數(shù)為Y，因為某同學要么答對題目，要么答錯，

總共8道題，選對的概率是0.25，故Y～B8,0.25則D(Y)=8×0.25×0.75=1.5，又X=5Y,∴D(X)=D(5Y)=25D(Y)=37.5.故選：D

【分析】根據題意判斷出某同學答對題目個數(shù)服從n=8，q=0.25的二項分布，由二項分布的的方差公式結合方差的性質即可求解.5．【答案】B【解析】【解答】因為隨機變量X~B1000,0.001，PX≥2，所以n=1000≥20，p=0.001≤0.05，所以λ=1000×0.001=1，所以P(X=k)=1所以PX=0=1則PX≥2故答案為：B【分析】利用隨機變量X~B1000,0.001，PX≥2，當n≥20而p≤0.05時，泊松分布可作為二項分布的近似可得λ，代入公式用6．【答案】D【解析】【解答】解：①隨機變量X～B(8,12)，則E(X)=8×12=4，故①正確；

②事件A=“4個人去的景點互不相同”，事件B=“甲獨自去一個景點”，PAB=A4444=332，PB=C47．【答案】C【解析】【解答】解：因為X1~B(所以D(X所以n1>n若D(X1)>D(所以“n1>n故答案為：C.【分析】本題考查二項分布的方差，利用二項分布的方差公式D(x)=np(1-p)可求出D(X8．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知，二項式(x+p因為(x+p可得npn?1=A、若選項A成立，則E(x)=np=3D(x)=np(1?p代入上式驗證不成立，故A錯誤；B、若選項B成立，則E(x)=np=4D(x)=np(1?p代入上式驗證不成立，故B錯誤；C、若選項C成立，則E(x)=np=2D(x)=np(1?p代入上式驗證成立，C正確；D、若選項D成立，則E(x)=np=3D(x)=np(1?p故答案為：C.

【分析】利用二項式的展開式和題設條件，得到npn?1=9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：設甲、乙、丙三個社團分別需抽取x,y,z人，

則x14=y21=z14所以，從甲、乙、丙三個社團抽取的人數(shù)分別為2人、3人、2人，所以，選項A正確；隨機變量X的取值可能為1，2，3，PX=1=C51所以，隨機變量X的分布列為X123P142所以，選項B錯誤；由期望公式可得隨機變量X的數(shù)學期望為EX因為PA故選：ACD.【分析】結合分層抽樣的方法，從而求出各社團所需抽取人數(shù)，進而判斷出選項A；由題意得出隨機變量X是取值，再由組合數(shù)公式和古典概型求概率公式得出隨機變量X的分布列，從而判斷出選項B和選項D；再由隨機變量的分布列求數(shù)學期望公式判斷出選項C，從而找出正確的選項.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對于A，因為X～B4,p,EX=3對于B，由選項A可知EX對于C，因為E2X+1對于D，因為D2X+1故選：BCD．【分析】根據二項分布的期望公式和方差公式，從而列方程求出p的值，進而判斷出選項A；再由選項A結合期望公式判斷出選項B；由期望的性質判斷出選項C；由方差的性質判斷出選項D，從而找出正確的選項.11．【答案】B,C【解析】【解答】解：A中，X~B10,12，DB中，X服從超幾何分布，N=10,M=7,n=2，EXC中，根據題意，設“第一次摸出正品”為事件A，“第二次摸出正品”為事件B，則PAB=A62D中，設9次射擊擊中k次概率PX=k則C9k?0.8k?0.29?k≥故選：BC．【分析】由二項分布的方差公式、超幾何分布的均值公式分別判斷A、B，由條件概率與對立事件關系可判斷C，由二項分布的性質可判斷D．12．【答案】A,C【解析】【解答】對于A：兩位男生和兩位女生隨機排成一列共有A4兩位女生不相鄰的排法有A22A對于B：據二項分布的數(shù)學期望和方差的公式，可得E(X)=np=30,D(X)=np(1?p)=30(1?p)=10，解得p=2對于C：由An2=Cn對于D：設隨機變量X表示取得次品的個數(shù)，則X服從超幾何分布，所以P(X=2)=C故答案為：A、C.【分析】對于A，利用排列知識以及古典概型概率計算公式，即可判斷A正確；對于B，根據二項分布的期望、方差公式列方程，即可判斷B錯誤；對于C，根據排列、組合數(shù)的定義展開計算，即可判斷C正確；對于D，根據X服從超幾何分布計算概率，判斷D錯誤.13．【答案】710；【解析】【解答】解：設事件A1:第一天去A餐廳；事件A2:第二天去A餐廳；事件B1:第一天去B餐廳；由題意，可知PA1=PB1則PA所以第2天去A餐廳的概率為710由題意，可知每個人去B餐廳的概率為1?710=310故答案為：710；9【分析】根據題意設出對應的事件，以及概率，再代入全概率公式求解即可；隨機變量X服從二項分布，代入二項分布的期望公式求解即可.14．【答案】34；【解析】【解答】解：隨機變量X~B(2,p)，則P(X=0)=116=C20p0(1?p)2，解得p=34故答案為：34；3【分析】根據二項分布的概率公式求解即可；根據二項分布的方差性質求解即可.15．【答案】8【解析】【解答】解：因為X～B(12,p)，所以E(X)=12p≤4，得又因為D(X)=12p(1?p)=12(?p2+p)，且函數(shù)f(p)=?p2所以D(X)故答案為：83【分析】根據二項分布的期望公式求得0<p≤116．【答案】（1）解：由題意知，高三年級勝高二年級的概率為35，

設高三年級在4輪對抗賽中有x輪勝出，“至少有3輪勝出”的概率為P，

則P=P（2）解：由題意可知，隨機變量X=2，3，4，5，則PX=2=1PX=4PX=5故X的分布列為X2345P14416EX【解析】【分析】（1）先求得高三年級勝高二年級的概率，再根據二項分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，從而得出高三年級在對抗賽中至少有3輪勝出的概率.（2）根據題意，先確定出隨機變量X的所有可能取值，再結合獨立事件求概率公式，分別求出相應概率，從而列出隨機變量的分布列，再利用隨機變量X的分布列求數(shù)學期望公式，從而求得隨機變量X的數(shù)學期望.（1）由題意，知高三年級勝高二年級的概率為35設高三年級在4輪對抗賽中有x輪勝出，“至少有3輪勝出”的概率為P，則P=Px=3（2）由題意可知X=2，3，4，5，則PX=2=1PX=4PX=5故X的分布列為X2345P14416EX【答案】17．解：令該同學投中i次的概率為PY=i，則

P18．解：易知X的可能取值為2，3，4，PX=2PX=3PX=4則X的概率分布列為：X234P4411EX【解析】【分析】（1）根據題意，利用二項分布求解即可；（2）根據題意，易知X的可能取值為2，3，4，再分別求其概率、列出分布列，最后再求期望即可．17．解：令該同學投中i次的概率為PY=i，則

P18．解：易知X的可能取值為2，3，4，PX=2PX=3PX=4則X的概率分布列為：X234P4411EX19．【答案】（1）解：設甲所選的題目為天文、航天、數(shù)字科技相關知識的題目分別為事件A1，A2，則PB即該同學在該題庫中任選一題作答，他回答正確的概率為12（2）解：當n=5時，X為甲答對題目的數(shù)量，則X～B(10,p)，故當n=5時，甲獲獎勵的概率P1當n=6時，甲獲獎勵的情況可以分為如下情況：①前10題答對題目的數(shù)量大于等于6，②前10題答對題目的