數(shù)學表達：支持學生思維發(fā)展的核心能力

摘要：數(shù)學表達能力具有非常重要的作用，它能有效促進學生思維品質的提升。通過教學使學生學會數(shù)學表達是數(shù)學教育的一大目標?；诖?，分析數(shù)學表達的內(nèi)涵、特征，提出小學生數(shù)學表達能力的培養(yǎng)策略，具體為營造和諧氛圍，鼓勵學生敢表達；設計任務驅動，激勵學生樂表達；推進三個“讀懂”，引導學生會表達；明確思維路徑，促進學生善表達。關鍵詞：小學數(shù)學；數(shù)學表達；思維發(fā)展《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：“數(shù)學為人們提供了一種描述和交流現(xiàn)實世界的表達方式……形成數(shù)學的表達與交流能力，發(fā)展應用意識與實踐能力?！保?］6史寧中教授指出，要培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。鄭毓信教授強調(diào)必須重視“通過數(shù)學學會表達”［2］5。一、數(shù)學表達的內(nèi)涵、特征數(shù)學表達是指以文字、符號、語言、圖形、動作、問題解決等為載體，表達數(shù)學思維或表征現(xiàn)實問題的一種分享交流方式。學生在學習數(shù)學過程中產(chǎn)生的認識、觀點，以及解決問題的思路、方法等都可以通過一定的外顯形式傳遞。與日常表達相比，數(shù)學表達側重于用符號、文字、圖形、表格等形式展露學生的思維。數(shù)學表達是學生準確、簡約、有條理地運用數(shù)學語言表達數(shù)學思維的核心能力。數(shù)學表達可反映學生的數(shù)學理解水平，涵養(yǎng)內(nèi)省思維、審辯思維、創(chuàng)新思維等高階思維。數(shù)學表達的主要特征為：準確、簡約，有條理、合乎邏輯，獨創(chuàng)、深刻。第一，數(shù)學表達應準確、簡約。數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，講究“一是一，二是二”，簡約、精練、嚴謹，不拖泥帶水、模棱兩可。第二，數(shù)學表達應有條理、合乎邏輯。數(shù)學在培養(yǎng)人的理性精神、科學精神和促進個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用。數(shù)學是講道理的，突出表達內(nèi)容的合理性，強調(diào)說得有順序、有條理，講清因果關系，符合邏輯。第三，數(shù)學表達應獨創(chuàng)、深刻。直面開放性問題時，教師要引導學生獨立思考、發(fā)散思維、個性表達、自圓其說，促進獨特、原創(chuàng)的個人觀點產(chǎn)生，通過師生間多向互動，引導學生完善認知，催生高階思維［3］。二、小學生數(shù)學表達能力的培養(yǎng)策略（一）營造和諧氛圍，鼓勵學生敢表達敢表達是學生樂表達、會表達、善表達的基礎與前提。教師要有同理心，要多為學生著想，以多種方式讓敢表達成為學生的學習常態(tài)。1.構建良好的課堂生態(tài)良好的課堂生態(tài)是學生敢表達的重要前提。教師應積極構建充滿溫暖、充滿生機、充滿希望的課堂，營造和諧的教學氛圍，讓學生自然地學習。學生的學習自然了，學生就不害怕、不拘束、不急躁，自然敢于表達。輔以老師的傾心呵護、寬容、等待，學生必能更好地緩緩道來、相互補充、借鑒學習。2.提供豐富的表達機會教師要為學生創(chuàng)造敢表達的機會，如為有需求的學生提供“戰(zhàn)略支援”，鼓勵學生在表達有困難時，請求同伴或老師的支援；或先和同桌說說自己的想法，再面向全班交流；或先在小組內(nèi)試講，練習表達，再面向全班交流；等等。教師還可通過“紙短情長”的方式培養(yǎng)學生的表達能力，引導學生通過紙條傳思或傳問，教師“轉譯”后對學生進行個性化的指導和幫助，鼓勵學生自信表達。3.創(chuàng)新多元的評價方式培養(yǎng)學生敢表達的意識與習慣是個長期的過程，需要師生持之以恒、共同努力。除了尊重學生、關愛學生，讓學生感受到平等的師生關系，教師還應積極發(fā)揮教育評價功能，通過系統(tǒng)多元的評價方式，促使學生敢表達。具體來說，教師可以巧用一些創(chuàng)意小妙招，如定期評選“我是表達小能手”，組織“多彩表達匯”，通過“釘釘積分”小程序為學生的數(shù)學表達積分，等等，為學生提升數(shù)學表達能力持續(xù)助力。（二）設計任務驅動，激勵學生樂表達設計思維空間開放的學習任務可以讓更多學生有機會表達自己的真實想法。教師應精心設計學習任務，通過鼓勵預學提問、創(chuàng)設問題情境、設計創(chuàng)意練習等，激勵學生思考與表達。1.鼓勵預學提問凡事預則立，不預則廢。預學是幫助學生明確學習內(nèi)容、明晰學習目標的舉措。教師應引導學生緊扣預學，思考兩個問題：“學會了什么，和其他同學相比如何？沒學會什么，問題在哪里？”要求學生將預學所得、存在問題記錄下來，便于師生在課中聚焦關鍵問題或核心問題展開充分交流，鼓勵學生自己的問題自己說，共性的問題大家談，在對話中抽絲剝繭，逐步解決。2.創(chuàng)設問題情境設計驅動性任務必須做到低門檻、大空間、多層次。創(chuàng)設真實情境，能引發(fā)學生的好奇心與求知欲，讓“我來說”蔚然成風。如在教學“小數(shù)乘小數(shù)”一課時，教師可以從房型平面圖引入，讓學生看圖說說知道了哪些數(shù)學信息，有什么數(shù)學問題。學生的問題較多，相應的乘法算式有3×2.6、3.8×3.2、4.15×6.2等。結合房型平面圖提出數(shù)學問題，每個學生都樂意仔細算、爭著說，在表達中融通算理與算法。3.設計創(chuàng)意練習有創(chuàng)意、有層次、可選擇的練習可以鞏固新知，促進理解。在做這類練習時，學生可能會生成新的發(fā)現(xiàn)、新的感悟。如在教學“分數(shù)乘分數(shù)”一課時，筆者在基礎練習后呈現(xiàn)兩個算式—×、+，同時提出幾個要求：先計算，再比較哪個算式結果大，說說原因；根據(jù)算式編兩個實際問題；小組內(nèi)交流各自編的實際問題，互相提建議。之后，學生開始計算、編題、分享，有理有據(jù)地講清自己的思路，厘清數(shù)量與分率的關系，這能有效提升學生的思維品質和對話能力。（三）推行三個“讀懂”，引導學生會表達學習是一種對話，對話能促使學生的表達進階。對話的前提是明確問題，深入思考；對話的過程是各抒己見，完善認知。教師應促進學生實現(xiàn)三個“讀懂”—讀懂教材、讀懂同伴、讀懂自己，從而拓寬對話渠道，學會表達。1.讀懂教材，理解教材的表達教科書是重要的學習材料，教科書上的表達是經(jīng)過編者多番論證的，很多是專家的智慧、經(jīng)典的表達，是學生學習表達的好幫手。通過學習教材的表達方式，學生能習得書面表達的基本樣式。如“分數(shù)除法”單元，前兩個課時對計算法則的表述分別為“分數(shù)除以整數(shù)，等于分數(shù)乘這個整數(shù)的倒數(shù)”“整數(shù)除以分數(shù)，等于整數(shù)乘這個分數(shù)的倒數(shù)”。第三課時“分數(shù)除以分數(shù)”以問題“聯(lián)系前面學過的分數(shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分數(shù)的計算，你能說說怎樣計算分數(shù)除法嗎？”引導學生關聯(lián)思維，歸納分數(shù)除法的計算法則。學生一般會將三句話疊加，或表達為“一個數(shù)除以另一個數(shù)，等于一個數(shù)乘另一個數(shù)的倒數(shù)，除數(shù)不能為0”。教材表述為“甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”，這樣的表述最為凝練，將三次表達并列呈現(xiàn)，引導學生聚焦最具統(tǒng)領性的“通法”進行比較，自主完善。2.讀懂同伴，理解同學的表達教師要引導學生學習老師的表達，學習同伴的表達，擇其善者而從之，這樣做有利于數(shù)學表達能力弱的學生重構、優(yōu)化自身的表達話語系統(tǒng)。讓學生個體與個體、個體與群體間形成數(shù)學表達“互學場”很有必要，復述、補充、強化、評價等都是互動式表達?！跋嘤^而善之謂摩?！痹诠膭顚W生嘗試尋求÷2的結果時，教師應將不同方法分類呈現(xiàn)，組織學生多元對話。方法有：將4個平均分成2份，得到每份為；將其轉化為求的，即×=；將升先轉化為800毫升計算，再將結果轉化為升；轉化為0.8÷2=0.4=；÷2==。也有一部分學生畫圖表示。教師可先組織學生在小組內(nèi)分享，然后進行全班交流，讓學習成果惠及每個學生。3.讀懂自己，改善自己的表達引導學生與自己對話是促使學生反思內(nèi)化、改善表達的好方法。教師應經(jīng)常引導學生與自我對話，在自我對話中“悟道”，逐步提升表達能力。教師應充分利用學生的錯誤資源，促進學生反思、內(nèi)省，積極與自己對話。如，當學生計算5.6×3.8得出錯誤結果為2.124時，教師不要急于讓學生再列豎式計算一遍，而應讓學生仔細觀察兩個乘數(shù)，估算積是2.124的可能性，請學生至少用兩種方法否定自己的答案（學生可從積的末位是8判斷，從積是兩位小數(shù)判斷，從估算積大于15判斷）。當學生自覺調(diào)用已有學習經(jīng)驗辨識自己的錯誤時，他們與自己內(nèi)心對話的成效將充分得到體現(xiàn)。（四）明確思維路徑，促進學生善表達敢表達、樂表達是基礎，更多指向心情愉悅層面；會表達、善表達是根本，更多指向思維品質提升層面?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出“初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質，逐步形成理性精神”［1］6。1.明晰程序，引領學生習得表達之序熟悉表達流程，明晰表達順序，是促進學生善表達的基礎。教師必須強化基本的數(shù)學表達流程，一般可先引導學生熟悉學習素材，再經(jīng)歷“看一看”“想一想”“記一記”“說一說”“議一議”等過程，深入思考后落筆有據(jù)，有序表達，用“我們先……再……最后……”的方式有序逐層交流。如在教學“一一列舉的策略”時，當學生用小棒圍一圍、畫一畫、記一記后，教師應組織學生有序交流，引導學生從周長22想到長與寬的和為11，從和為11想到寬與長可能為1和10、2和9、3和8、4和7、5和6，再通過計算、比較得出長為6、寬為5時面積最大。2.示范引領，幫助學生理清表達邏輯在互動交流時，教師要有意識地指導學生使用“因為……所以……”以及“通過某某同學的發(fā)言，我想到……”等句式，幫助學生掌握表達的基本規(guī)范，突出表達的邏輯性、承接性。如，在教學生估算“200元買4箱單價48元的西瓜夠不夠？”時，教師必須指導學生用規(guī)范的方式表達：“我把48估大為50。因為4×50=200，所以4×48＜200。因此，200元買4箱單價48元的西瓜夠了?！庇秩纾诮虒W“倒數(shù)的認識”一課時，教師要讓學生用自己的方式說明為什么0沒有倒數(shù)。學生應有的表達為：“我們已經(jīng)知道乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。因為0乘任何數(shù)都得0，積不可能是1，所以0沒有倒數(shù)。”教師要高標準、嚴要求，引導學生規(guī)范表達，這是引領學生數(shù)學表達走向結構清晰、邏輯嚴密的必要之舉，能培養(yǎng)學生的說理習慣。3.加強比較，指引學生凝練表達內(nèi)容先計算，再觀察每組算式的得數(shù)，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）-=×=（2）-=×=你能根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律再寫幾組這樣的算式嗎？圖1教師必須用好教材中的探究性習題，讓學生自主探究，練習表達，深入內(nèi)省，提升認知。以兩組數(shù)學思考題為例（如圖1），大多數(shù)學生對規(guī)律的初始表達為：“我發(fā)現(xiàn)兩個分數(shù)的分子都是1，分母相差1，分母大的在后面。這樣兩個分數(shù)相減的差和它們相乘的積相等?！睂W生表達的意思是準確的，但表述稍長。如何引導學生簡潔、嚴謹?shù)乇磉_？教師可以用文字表述“相鄰兩個分數(shù)單位的差與它們的積相等”點撥學生，也可以用字母式“-=×=”指導學生。學生對照簡潔、規(guī)范的表達，恍然大悟，紛紛感嘆：“用字母式表示規(guī)律簡潔明了！”4.引導反思，助推學生自主回顧完善在教學中，教師應充分重視回顧與反思的作用，讓回顧與反思環(huán)節(jié)成為提高學生數(shù)學表達能力的“最后一公里”，每課應設計不少于一次的回顧與反思。教師可以讓學生先