《機(jī)械制圖與CAD》課件-第4章

第4章曲線與曲面4.1曲線4.2曲面圖4－1曲面零件

4.1曲線

4.1.1曲線的形成與分類

1．曲線的形成

點(diǎn)作連續(xù)改動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡稱為曲線，如圖4－2(a)所示。曲線也可以是平面與曲面、曲面與曲面的交線，如圖4－2(b)所示。直線是曲線的一種特殊情況。圖4－2曲線的形成

2．曲線的分類

按照動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)有無(wú)規(guī)律，曲線分為規(guī)則曲線與不規(guī)則曲線。規(guī)則曲線是指可以用曲線方程來(lái)表達(dá)的曲線，如圓錐曲線、漸開線、擺線及圓柱螺旋線等；不規(guī)則曲線是指不能用曲線方程表達(dá)的曲線，如Bézier曲線、B樣條曲線等。

按照曲線上各點(diǎn)是否在同一平面內(nèi)，曲線又可分為平面曲線和空間曲線。平面曲線是指曲線上所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)的曲線，如圓、橢圓、雙曲線、漸開線、阿基米德渦線等；空間曲線是指任意連接四個(gè)點(diǎn)不在同一平面的曲線，如螺旋線等。4.1.2曲線的投影及投影特性

1．曲線的投影

曲線是一系列連續(xù)點(diǎn)的集合。因此繪制曲線投影時(shí)，只要作出曲線上一系列點(diǎn)的投影，并把它們的同面投影依次光滑地連接起來(lái)，即得到曲線的投影，如圖4－3所示。

2．曲線的投影特性

(1)一般情況下，曲線的投影仍是曲線。如圖4－3(a)所示，由于通過曲線上的投影線形成一個(gè)垂直于投影面的曲面，該曲面與投影面的交線仍是曲線。對(duì)于空間曲線，則需要兩面和兩面以上的投影確定它的形狀。圖4－3曲線的投影

(2)特殊情況下，平面曲線的投影可能是直線段或反映實(shí)形。當(dāng)平面曲線所在的平面垂直于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影為直線段，如圖4－3(b)所示；當(dāng)平面曲線所在平面平行于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影反映實(shí)形，如圖4－3(c)所示?？臻g曲線在任何情況下的投影都不可能積聚為直線段或反映實(shí)形。

(3)曲線上某一點(diǎn)的切線，它的投影與該投影的同面投影仍相切，且切點(diǎn)不變,如圖4－4(b)所示的曲線上過M點(diǎn)的切線。圖4－4平面曲線上奇異點(diǎn)的投影

(4)平面曲線上某些特殊點(diǎn)投影后仍保持原有性質(zhì)。平面曲線上的特殊點(diǎn)可分為兩類：

①曲線本身的特殊點(diǎn)。如圖4－4所示的二重點(diǎn)L、拐點(diǎn)M、尖點(diǎn)N，這類特殊點(diǎn)是曲線固有的，與曲線對(duì)投影面的相對(duì)位置無(wú)關(guān)，其投影依然保持原有性質(zhì)。②曲線對(duì)投影面的特殊點(diǎn)。圖4－5曲線對(duì)投影面的特殊點(diǎn)這類特殊點(diǎn)是指曲線上距離投影面最遠(yuǎn)和最近的點(diǎn)，即曲線上坐標(biāo)值最大和最小的點(diǎn)。如圖4－5所示橢圓的兩面投影，它距H面最遠(yuǎn)和最近的點(diǎn)必為曲線與水平面P1、P2的切點(diǎn)，其中z值最大的點(diǎn)為最高點(diǎn)Ⅰ點(diǎn)，z值最小的點(diǎn)為最低點(diǎn)Ⅱ點(diǎn)；距W面最遠(yuǎn)和最近的點(diǎn)必為曲線與側(cè)平面S1、S2的切點(diǎn)，其中x值最大的點(diǎn)為最左點(diǎn)Ⅲ點(diǎn)，x值最小的點(diǎn)為最右點(diǎn)Ⅳ點(diǎn)；距Ⅴ面最遠(yuǎn)和最近的點(diǎn)必為曲線與正平面Q1、Q2的切點(diǎn)，其中y值最大的點(diǎn)為最前點(diǎn)Ⅴ點(diǎn)，y值最小的點(diǎn)為最后點(diǎn)Ⅵ點(diǎn)。顯然，曲線對(duì)投影面的特殊點(diǎn)在曲線上的位置不是固定的，它將隨曲線相對(duì)于投影面的位置變化而改變。繪制曲線的投影時(shí)，應(yīng)先求出這些特殊點(diǎn)的投影。圖4－5曲線對(duì)投影面的特殊點(diǎn)4.1.3螺旋線

1．圓柱螺旋線

1)圓柱螺旋線的形成

圓柱螺旋線就是圓柱表面上的一動(dòng)點(diǎn)繞圓柱的軸線作等速回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)沿圓柱的軸線方向作等速直線運(yùn)動(dòng)，此動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡便為圓柱螺旋線。如圖4－6(a)所示，點(diǎn)A的軌跡即為圓柱螺旋線，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周沿軸向移動(dòng)的距離(如AB)稱為導(dǎo)程，用S表示。由于動(dòng)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)方向不同，圓柱螺旋線分為右旋圓柱螺旋線和左旋圓柱螺旋線。當(dāng)圓柱的軸線為鉛垂線時(shí)，若螺旋線的可見部分自左向右上升，則稱為右旋圓柱螺旋線，如圖4－6(a)所示；若自右向左上升，則稱為左旋圓柱螺旋線，如圖4－6(b）所示。在圓柱形零件上車制螺紋時(shí)，零件等速轉(zhuǎn)動(dòng)，車刀等速移動(dòng)，刀尖在圓柱表面上即車出圓柱螺旋線螺紋，如圖4－6(c)所示。

圓柱的直徑、導(dǎo)程和旋向是形成圓柱螺旋線的三個(gè)基本要素。改變圓柱螺旋線的基本要素，就可以得到不同的圓柱螺旋線。圖4－6圓柱螺旋線的形成

(a)右旋螺旋線；(b)左旋螺旋線；(c)車制螺紋

2)圓柱螺旋線的投影作圖

如圖4－7(a)所示，圓柱的軸線為鉛垂線，直徑為D，導(dǎo)程為S，點(diǎn)A是起點(diǎn)的右旋圓柱螺旋線，其投影作圖步驟如下：

（1）作出直徑為D、高為S的圓柱面的兩面投影，然后將水平投影(圓)和正面投影上的導(dǎo)程分成相同的等份，圖中為12等分。

（2）由圓周上各等分點(diǎn)引豎直線，與導(dǎo)程上相應(yīng)各等分點(diǎn)所作的水平線相交，交點(diǎn)a′，a1′，a2′，…，a12′即為螺旋線上各點(diǎn)的正面投影。（3）依次將a′，a

1′，a2′

，…，a12′各點(diǎn)連成光滑曲線，即得到螺旋線的正面投影。在可見圓柱面上的螺旋線是可見的，其投影畫成粗實(shí)線，在不可見圓柱面上的螺旋線是不可見的，其投影畫成細(xì)虛線。

圓柱螺旋線的正面投影是正弦曲線，水平投影是圓。圖4－7圓柱螺旋線的投影作圖

3)圓柱螺旋線的基本性質(zhì)

（1）圖4－7(b)所示是圓柱面的展開圖，根據(jù)圓柱螺旋線的形成規(guī)律，螺旋線的展開圖是一直線，該直線為直角三角形的斜邊，底邊為圓柱面的圓周周長(zhǎng)πD，高為螺旋線的導(dǎo)程S。直角三角形斜邊與底邊的夾角λ稱為螺旋線的升角，它的余角β稱為螺旋角。對(duì)于同一條螺旋線，λ、β角是常數(shù)。且有式中，AA12是一個(gè)導(dǎo)程內(nèi)螺旋線的展開長(zhǎng)度。（2）軸線直立的圓柱螺旋線上各點(diǎn)的切線與水平面的傾角等于該螺旋線的升角λ，如圖4－8所示，且各切線的水平跡點(diǎn)的連線為一漸開線，漸開線的跡圓即該螺旋線的水平投影。圖4-8螺旋線的切線

圖4-9圓錐螺旋線

2．圓錐螺旋線

沿著圓錐表面運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，當(dāng)其軸向位移與相應(yīng)的角位移成定比時(shí)，其軌跡為圓錐螺旋線。

圖4－9為左旋圓錐螺旋線的投影圖。首先將已知導(dǎo)程分成若干份（圖中為12等份）。然后將圓錐底圓的水平投影圓分成相同等份，作出各分點(diǎn)所引素線的正面投影及水平投影。從正面投影中導(dǎo)程的各分點(diǎn)引平行于OX軸的直線與相應(yīng)素線相交得a′，b′，…各點(diǎn)，再求出其水平投影，光滑地連接同面投影點(diǎn)，則得圓錐螺旋線的兩投影。其正面投影為一條振幅逐漸減小的正弦曲線，其水平投影為一條阿基米德螺旋線。4.1.4

Bézier曲線

Bézier曲線是一種用參數(shù)曲線段逼近折線多邊形的不規(guī)則曲線，其形狀主要取決于特征點(diǎn)位置。這種曲線構(gòu)造直觀，使用方便，在產(chǎn)品造型中應(yīng)用廣泛。

1．Bézier曲線的定義

給定空間n+1個(gè)向量(或n+1個(gè)特征點(diǎn))Pi(i=0,1,2,…,n)，稱n次參數(shù)曲線段為n次Bézier曲線。其中Bi,n(t)為Bernstein基函數(shù)，其表達(dá)式為圖4－10Bézier曲線

(a)二次Bézier曲線；(b)三次Bézier曲線

2. Bézier曲線的作圖方法

如圖4－10所示，Bézier曲線總是通過第一個(gè)和最后一個(gè)控制點(diǎn)，曲線在起始點(diǎn)處與前兩個(gè)控制點(diǎn)的連線相切，曲線終點(diǎn)處與最后兩個(gè)控制點(diǎn)的連線相切。圖4－11、圖4－12分別為二次Bézier曲線和三次Bézier曲線的幾何作圖過程。

求n次Bézier曲線上參數(shù)為t的點(diǎn)P(t)，必須求相應(yīng)的n-1次Bézier曲線上參數(shù)為t的點(diǎn)；求n-1次Bézier曲線上參數(shù)為t的點(diǎn)，必須求n-2次曲線上的點(diǎn)；直到求二次曲線上的點(diǎn)必須求一次曲線上的點(diǎn)。而一次Bézier曲線就是控制多邊形的某一條邊，求一次Bézier曲線上參數(shù)為t的點(diǎn)就是求t∶(1-t)的定比分割點(diǎn)。圖4－11二次Bézier曲線的作圖過程（n=2）(a)t=1/4；(b)t=2/4；(c)t=3/4；(d)光滑連接圖4－12三次Bézier曲線的作圖過程（n=3）

（a)t=1/4；(b)t=2/4；(c)t=3/4；(d)光滑連接4.1.5

B樣條曲線

1．B樣條曲線的定義

給定m+n+1個(gè)空間向量(或m+n+1個(gè)特征點(diǎn))Pk(k=0,1,2,…,m+n+1)，稱n次參數(shù)曲線

為n次B樣條第i段曲線(i=0,1,2,…,m),它的全體稱為n次B樣條曲線。如圖4－13所示，由控制點(diǎn)P1，P2，P3，…，P7的連線構(gòu)成的折線段稱為B樣條的特征多邊形。當(dāng)m=3、n=3時(shí)，這7個(gè)控制特征點(diǎn)決定了4段(m+1)三次B樣條曲線段，它們的全體叫做三次B樣條曲線。工程中常用的是二次、三次B樣條曲線。圖4－13由4段三次B樣條曲線段構(gòu)成的B樣條曲線

2．B樣條曲線的性質(zhì)

1)連續(xù)性

n次B樣條曲線在連接處達(dá)到n-1次連續(xù)。如常用的三次B樣條在連接處達(dá)到C2連續(xù)。

2)局部性

由B樣條曲線定義可知，改動(dòng)特征多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，只影響以該點(diǎn)為中心的鄰近n+1段曲線。此性質(zhì)有利于對(duì)曲線的局部修改。

3)直觀性

B樣條曲線形狀取決于特征多邊形，且與特征多邊形逼近，因此根據(jù)特征多邊形可以推知B樣條曲線的形狀和走向。

4）凸包性

B樣條曲線落在由特征多邊形構(gòu)成的凸包之中。

5）保凸性

如果特征多邊形為凸，則B樣條曲線也為凸。

3．B樣條曲線的作圖方法

二次B樣條曲線段由圖4－14(a)所示的P0、P1、P2特征多邊形所確定，該線段的起點(diǎn)B(0)在控制多邊形P0P1邊的中點(diǎn)，B(1)在P1P2邊的中點(diǎn)，曲線分別和端點(diǎn)所在的邊相切。

三次B樣條曲線段由圖4－14(b)所示的P0、P1、P2、P3特征多邊形所確定，其起點(diǎn)B(0)在△P0P1P2的中線上，并且距P1點(diǎn)1/3處，B′(0)∥P0P2。終點(diǎn)B(1)在△P1P2P3的中線上，并且距P2點(diǎn)1/3處，B′（1）∥P1P3。

由n個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造的B樣條曲線，則是由m個(gè)B樣條曲線段構(gòu)成，即在第一個(gè)B樣條曲線段基礎(chǔ)上逐步外延頂點(diǎn)，每外延一個(gè)頂點(diǎn)，就增加一個(gè)B樣條曲線段，連接處自然達(dá)到n-1次連續(xù)。

B樣條曲線作圖簡(jiǎn)便，具體作圖過程可參考圖4－13。圖4－14

B樣條曲線段(a)二次B樣條曲線段；(b)三次B樣條曲線段 4.2曲面

4.2.1曲面的形成和分類

1．曲面的形成

曲面是一條母線（動(dòng)線）在空間連續(xù)運(yùn)動(dòng)的軌跡。母線在運(yùn)動(dòng)過程中，處于曲面上任一位置時(shí)被稱為該曲面的素線。規(guī)則曲面是指母線作規(guī)則運(yùn)動(dòng)形成的曲面。如圖4－15中，母線AA1沿曲線ABCD運(yùn)動(dòng)且始終保持與定直線MN平行，則母線AA1運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的曲面為規(guī)則曲面。在形成規(guī)則曲面的過程中，控制母線運(yùn)動(dòng)而本身不動(dòng)的點(diǎn)、線和面分別稱為導(dǎo)點(diǎn)、導(dǎo)線和導(dǎo)面，它們是形成曲面時(shí)的基本幾何元素。不規(guī)則曲面是指母線作不規(guī)則運(yùn)動(dòng)形成的曲面。

圖4－15曲面的形成

2．曲面的分類

根據(jù)母線的形狀不同，曲面分為直線面與曲線面。直線面是指母線在運(yùn)動(dòng)過程中不改變其形狀或大小而形成的定線曲面，如各種曲線回轉(zhuǎn)面和曲柱面；曲線面是指母線在運(yùn)動(dòng)中不斷按一定規(guī)律改變其形狀或大小而形成的變線曲面，如圖4－16(j)所示的羊角曲面。所有曲線面都屬于不可展曲面。圖4－16常見曲面4.2.2曲面的表示法

1．曲面邊界線表示法

除球面、環(huán)面等封閉曲面外，多數(shù)曲面都是可以無(wú)限擴(kuò)大的。為了表示曲面的有限范圍，一般利用曲面上起始和終止位置的素線及其母線端點(diǎn)的軌跡曲線，如圖4－17(b)中aa1和dd1以及abced和a1b1c1e1d1等對(duì)曲面的范圍加以限制。這些限制曲面范圍的線就是曲面本身的邊界線。在具體零件上，曲面的邊界線往往表現(xiàn)為曲面與其相鄰表面的交線，如圖4－18(a)所示。圖4－17曲面的表示法

2．曲面輪廓線的表示法

將曲面向某投影面投影時(shí)，曲面與投影線有一系列切點(diǎn)，這些切點(diǎn)的連線（直線或曲面）稱為曲面對(duì)該投影面的輪廓線。如果該輪廓線又是曲面的一條素線，則稱它為輪廓素線。畫圖時(shí)，對(duì)某一投影面的輪廓線，只需畫出它在該投影面上的投影，其余投影不必畫出。此外，曲面對(duì)某投影面的輪廓線也是曲面對(duì)該投影面的可見性分界線，如圖4－18(b)所示。圖4－18曲面的輪廓線4.2.3回轉(zhuǎn)面

1．回轉(zhuǎn)面的形成與分類

母線繞一固定軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為回轉(zhuǎn)面。當(dāng)母線為直線時(shí)，形成直線回轉(zhuǎn)面，如圖4－19所示。當(dāng)母線為曲線時(shí)，形成曲線回轉(zhuǎn)面，如球面、圓環(huán)面等，如圖4－20所示。圖4－19直線回轉(zhuǎn)面圖4－20曲線回轉(zhuǎn)面

2．回轉(zhuǎn)面的基本性質(zhì)

(1)如圖4－21(a)所示，在回轉(zhuǎn)面母線上，任意一個(gè)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)垂直于回轉(zhuǎn)軸的圓周，這個(gè)圓稱為緯圓。緯圓的半徑為母線上的點(diǎn)C到軸線的距離。在與回轉(zhuǎn)軸線垂直的投影面上，所有緯圓的投影均為圓。利用回轉(zhuǎn)面上這一特點(diǎn)，可以容易求出回轉(zhuǎn)面上點(diǎn)的投影。圖4－21回轉(zhuǎn)面的性質(zhì)（2）當(dāng)用包含軸線的平面截切回轉(zhuǎn)面時(shí)，平面與回轉(zhuǎn)面的交線是兩條素線。當(dāng)該平面平行于某投影時(shí)，這兩條素線為回轉(zhuǎn)面對(duì)該投影面的可見性分界線，如圖4－21(b)所示，即回轉(zhuǎn)面對(duì)該投影面的外形輪廓線。它在該投影面上的投影反映回轉(zhuǎn)面母線的實(shí)形以及母線與軸線的相對(duì)位置。4.2.4螺旋面

1．螺旋面的形成和分類

螺旋面以螺旋線及其軸線為導(dǎo)線，當(dāng)母線沿著這兩條導(dǎo)線移動(dòng)而同時(shí)又與該軸線相交成一定角度時(shí)形成的曲面稱為螺旋面。顯然，母線上所有點(diǎn)均作導(dǎo)程相等（半徑可能不同）的螺旋運(yùn)動(dòng)。螺旋面的母線可以是直線，也可以是曲線。若母線為直線，則形成直線螺旋面；若母線為曲線，則形成曲線螺旋面。

在直線螺旋面中，若直母線與軸線相交成90°角，所得曲面稱為正螺旋面，如圖4－22所示。若直母線始終與軸線所成的角度不等于90°，且夾角不變，則形成斜螺旋面。由于垂直于軸線的平面與斜螺旋面的交線為阿基米德渦線，故斜螺旋面又稱為阿基米德螺旋面，如圖4－23所示的梯形螺紋的工作面。若直母線始終與軸線交叉，且切于一圓柱螺旋線，則形成漸開線螺旋面（因垂直于軸線的平面與該曲面的交線為漸開線），如圖4－24所示的斜齒圓柱齒輪的齒面。圖4－22正螺旋面圖4－23斜螺旋面圖4－24漸開線螺旋面

2．螺旋面的畫法

螺旋面的畫法與圓柱螺旋線基本相同。繪制螺旋面的投影時(shí)，首先畫出母線端點(diǎn)所形成的螺旋線的投影；然后根據(jù)母線每轉(zhuǎn)過360°/n角必