任意不可約方程的根式解2018-9-2

任意不可約方程的根式解中國科學院力學研究所吳中祥

提

要突破伽羅華理論魔咒，全面、具體給出歷代數(shù)學家近500年的努力，未能實現(xiàn)的，任意n次不可約方程的根式解。指出并解決負數(shù)的各根式產(chǎn)生與實數(shù)不同的各數(shù)類的重要問題必將促進各種數(shù)學問題產(chǎn)生革命性的發(fā)展。關鍵詞：不可約方程，根式解，伽羅華理論，突破n>4

的不可約代數(shù)方程沒有根式解的“伽羅華理論”魔咒各種事物特性的變化發(fā)展規(guī)律都可由相應的方程表達。可以是1元n次的不可約代數(shù)方程，或相應的n元、n次以下的，n個不相依代數(shù)方程或微分、偏分方程。對相應方程的建立、求解、分析，是研究各種事物特性的變化發(fā)展規(guī)律的關鍵。1元n次不可約代數(shù)方程的解法，由于有其各解與各系數(shù)的n個不相依的關系式，而能用于解n元的n個不相依代數(shù)方程，和相應的微分、偏微分方程。早在公元前3世紀，就已得出2次不可約代數(shù)方程的根式解。但是，直到公元16世紀后，才先后得到3次和4次不可約代數(shù)方程的根式解。而此后的近5個世紀，雖有許多人尋求n>4的不可約代數(shù)方程的根式解。卻都沒能成功[1]、[2]、[3]。特別是，伽羅華[2]、[3]從已有的解法都引進并含有方程系數(shù)函數(shù)的2次、3次根式，分析各根式群的特點，而給出“代數(shù)方程能夠求得根式解的判據(jù)”之后，阿貝爾(Abel,N.N.1830)

據(jù)此，首先提出n>4的不可約代數(shù)方程不能根式求解，學術界就似已公認n>4

的不可約代數(shù)方程沒有根式解[1]

。因而，對于n>4

的不可約代數(shù)方程，就只能在具體分析其各“解”所在數(shù)域的基礎上，數(shù)值地逼近，或引入某些特殊函數(shù)，求解。這當然就給許多實際問題和理論工作，因沒有相應方程的公式解，而造成許多限制和不便。本人2011年的博文“任意n次不可約代數(shù)方程的根式解”/blog-226-510331.html已具體分析得到：伽羅華理論[2][3]，只是提出方程根式解的可解性是相應于將方程各系數(shù)作有理運算與逐次添加相應根式的變換群的可解性，而這種變換群的階數(shù)等于其整個求解過程中添加根式的最大指數(shù)，而當這種變換群的階數(shù)>4時，其對稱置換群，及其子群，就都是非交換群的單群，就都是不可解的?？梢?，伽羅華所證明的，實際上，只是“在求解n次不可約代數(shù)方程的整個過程中，所添加根式的指數(shù)，n*，應是小于4”，并非所解方程的次數(shù)，n，應是小于4，并非方程的次數(shù)n大于4就不能有根式解。但是，顯然，其整個求解過程中添加根式的最大指數(shù)，n*，并非所解方程的次數(shù)n，按伽羅華理論，也完全得不出其整個求解過程中添加根式的最大指數(shù)，n*，等于所解方程的次數(shù)n，或兩者有任何關系的根據(jù)。阿貝爾也未能給出n>4的不可約代數(shù)方程就沒有根式解的任何根據(jù)。因而，即使按伽羅華理論，認為“n>4的不可約代數(shù)方程沒有根式解”；本身就是混淆n*與n，而得出的錯誤結論。這就突破n>4

的不可約代數(shù)方程沒有根式解的“伽羅華理論”魔咒，突出解決了探求n>4的不可約代數(shù)方程根式解的可能性。2，指出負數(shù)的各根式產(chǎn)生與實數(shù)不同的各數(shù)類的重要問題進而，“任意n次不可約代數(shù)方程的根式解及其有解判據(jù)（簡）”/blog-226-841330.html指出：一般而言，任意負實數(shù)，-s，的j次根式，(-1)^(1/j)s^(1/j),就產(chǎn)生了以(-1)^(1/j)所標志的各自與實數(shù)不同的數(shù)類。當j=2，(-1)^(1/2)就被定義為i，標志該數(shù)是與實數(shù)不同的所謂“虛數(shù)”，并與實數(shù)組成所謂“復數(shù)”。但是，當j為>2的其它各數(shù)，則實際上都分別成為各自不同維的數(shù)類。這就表明：如果在方程的變換、求解中，出現(xiàn)j大于2的(-1)^(1/j)，就不能僅由現(xiàn)在已知的實數(shù)、虛數(shù)，或復數(shù)，而得解。因而，通常方程的解，如果引進了負數(shù)大于2次的根式，實際上，就表明：如果在方程的解，出現(xiàn)j大于2的(-1)^(s(k)/k)，s(k)是小于k，與k互質的各質數(shù)，就應由實數(shù)、虛數(shù)(j)、復數(shù)(j);j=2到k，的各數(shù)表達。其中，k是解方程中可能引進根式的各次數(shù)。按伽羅華理論，最大的k=或<4。本文，全面、逐個，具體分析各次不可約代數(shù)方程的根式解，具體表明：最大的k=或>4的伽羅華理論，與不可約代數(shù)方程是否有解？毫無關系；而且，甚至3次、4次方程的已知各解，按多項式公式，也都有，多個大于4的根式，并不存在伽羅華理論所給出的，最大的k=或<4的限制，具體糾正了“大于4次的不可約代數(shù)方程不能有根式解”對求解方程的錯誤阻擾；而已解得任意n次不可約代數(shù)方程的根式解。必將促進各種數(shù)學問題產(chǎn)生革命性的發(fā)展。3.任意n次不可約代數(shù)方程的普遍表達式任意n次不可約代數(shù)方程：{a’jx^j;j=0到n求和}=0,(1.1’)左邊是x的n次多項式,有n+1個系數(shù)：a’j;j=0,1,2,…,n,都是任意常數(shù)。總可各項除以a’n表達為：x^n+{ajx^j;j=0到n-1求和}=0,(1.1)左邊x的n次多項式有n個系數(shù)：aj=a’j/a’n;j=0,1,2,…,n-1,都是相應的任意常數(shù)，而an=1。方程(1.1)有n個根，xj；j=1,2，到n，各根與各系數(shù)有如下關系式：x1+x2+x3+…+xn=-a[n-1],(1)x1(x2+x3+…+xn)+x2(x3+x4+...+xn)+…+x[n-2](x[n-1]+xn)+x[n-1]xn=a[n-2],(2)x1x2(x3+x4+...+xn)+x2x3(x4+x5+…+xn)+…+x[n-2]x[n-1]xn)=-a[n-3],(3)………………x1x2x3…x[n-2](x[n-1]+xn)+x2x3…xn=(n為偶，則-)a1,(n-1)x1x2x3…xn=(n為奇，則-)a0,(n)分別為n個互不相依的方程。(1.1)又總可經(jīng)x的變換，y=x-a[n-1]/n，而有：x=y+a[n-1]/n，x^2=y^2-2ya[n-1]/n+(a[n-1]/n)^2，x^3=y^3-3y^2(a[n-1]/n)+3y(a[n-1]/n)^2-(a[n-1]/n)^3，………x^n=yn^n-ny^(n-1)(a[n-1]/n)+(n(n-1)/n)y^(n-2)(a[n-1]/n)^2………(j為奇數(shù)；為-，j為偶數(shù)；為+)(n(n-1)…(n-j)/(j！))y^(n-j)(a[n-1]/n)^j………(n為奇數(shù)；為-，n為偶數(shù)；為+)(a[n-1]/n)^n，而使x方程表達為：y^n+{bjy^j;j=0到n-2求和}=0,(1.1*)各系數(shù)bj均可由以上各關系式，得出，由x方程各系數(shù)的函數(shù)具體表達。而其中b[n-1]=0。方程(1.1*)有n個根，yj；j=1,2，到n，各根與各系數(shù)有如下關系式：y1+y2+y3+…+yn=0,(1)y1(y2+y3+…+yn)+y2(y3+y4+...+yn)+…+y[n-2](y[n-1]+yn)+y[n-1]yn=b[n-2],(2)y1y2(y3+y4+...+yn)+y2y3(y4+y5+…+yn)+…+y[n-2]y[n-1]yn)=-b[n-3],(3)………………y1y2y3…y[n-2](y[n-1]+yn)+y2y3…yn=(n為偶，則-)b1,(n-1)y1y2y3…yn=(n為奇，則-)b0,(n)分別為n個互不相依的方程。由此x或y的n次n個方程，逐個具體分析、各次方程，利用方程的根與系數(shù)的關系式，探求解得各次不可約代數(shù)方程的根式解的解法。4．求解任意2次不可約代數(shù)方程對于任意1次不可約代數(shù)方程：x+a0=0，僅有1個系數(shù)a0，1個根x1，方程的解，就是；x1=a0，2次不可約代數(shù)方程：x^2+a1x+a0=0，{4.1}有2個系數(shù)：a1、a0，2個根：x1、x2，并有：x1+x2=-a1，x1x2=a0，即可利用此求得：x1^2-2x1x2+x2^2=a1^2-2a0，x1-x2=+,-(a1^2-2a0)^(1/2)，分別得到2個1次方程，而解得：x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),(1)x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2)，(2){4.1}又都可由變換y=x-a1/2，x=y+a1/2，x^2=y^2+a1y+a1^2/4,而使原方程變換為：y^2+a1y+a1^2/4-a1(y+a1/2)+a0=0，1次項的系數(shù)=0，只有1個系數(shù)的如下形式：y^2+b0=0,b0=a0-a1^2/4,{4.1’}分別得到如此2個1次方程，而解得：y1=+i(b0)^(1/2),(1’)y2=-i(b0)^(1/2),(2’)也得到：x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),(1)x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2)，(2)當(a1/2)^2-a0=0，2解為相同的實數(shù)：x1=x2=-a1/2,(1*)當(a1/2)^2-a0>0，2解為不同的實數(shù)：x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),(1*”)x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2)，(2*”)當(a1/2)^2-a0<0，2解為互共軛的復數(shù)：x1=-a1/2+i((a1/2)^2-a0)^(1/2),(1*’)x2=-a1/2-i((a1/2)^2-a0)^(1/2)，(2*’)當a1=0，a0>0，2解分別為正、負虛數(shù)：x1=+ia0^(1/2),(1’)x2=-ia0^(1/2),(2’)以上2種方法、各種情況，都得到了任意2次不可約代數(shù)方程，僅由實數(shù)、虛數(shù)或復數(shù)表達的公式解。其中，無根式的實數(shù)解和虛數(shù)解的方程，實際上，并非不可約的，而無根式的實數(shù)解是重解。5．求解任意3次不可約代數(shù)方程3次不可約代數(shù)方程：x^3+a2x^2+a1x+a0=0，{5.1}有3個系數(shù)：a2、a1、a0，3個根：x1、x2、x3，并有：x1+x2+x3=-a2，x1(x2+x3)+x2x3=a1，x1x2x3=-a0，但簡單利用此，并不能得解，例如：x1=-(a2+x2+x3)，x2^2+(a2+x3)x2+x3^2+a2x3+a1=0，x2^2+(x3+a2)x2-a0/x3=0，x3^3+a2x3^2+a1x3+a0=0，仍然是原有方程，而不能如此得解。令：(x^2+a’1x+a’0)(x-x3)=x^3+a2x^2+a1x+a0,有：(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x^3+a2x^2+a1x+a0,有：(x^2+a’1x+a’0)(x-x3)=x^3+a2x^2+a1x+a0,有：a’1-x3=a2,x3=a’1-a2,a’0x-x3a’1=a1,a’0x-(a’1-a2)a’1=a1,a’0=(a1+(a’1-a2)a’1)/x,-x3a’0=a0,-(a’1-a2)((a1+(a’1-a2)a’1)/x)=a0,消去a’1、a’0，仍然回到原有方程，而不能如此得解。總之，各種方法，僅利用方程根與系數(shù)的關系，都不能得解。3次x方程有3個參變量，也都不能采用任何方法，由3個未知變量的低次x多項式乘積表達，而得解。令y=x+a2/3，使有3個參變量（系數(shù)）的x方程：x^3+a2x^2+a1x+a0=0，成為僅有2個參變量（系數(shù)）的一個y方程：y^3+b1y+b0=0,x=y-a2/3，x^2=y^2-2a2y/3+(a2/3)^2，x^3=y^3-a2y^2+(a2/3)^2y-(a2/3)^3，x^3+a2x^2+a1x+a0=y^3+(a2/3)^2y+a1y-a1a2/3+a0+2(a2/3)^3，得到：b1=a1+(a2/3)^2;b0=a0-a1a2/3+2(a2/3)^3，y=x+a2/3，y^2=x^2+2a2x/3+(a2/3)^2，y^3=x^3+a2x^2+(a2)^2x/3+(a2/3)^3，y^3+b1y+b0=x^3+a2x^2+((a2)^2/3+b1)x+(a2/3)^3+a2b1/3+b0=x^3+(a2^2/3+b1)x+a2b1/3+b0，得到：b1=a1-a2^2/3，b0=a0+a2b1/3=a0+a1a2-10(a2/3)^3，注意：b1、b0，的2種a2、a1、a0，表達，是不同的。利用此求解，必須能使方程表達為僅用2個參變量的低次多項式的乘積，且2次項為0，但是，僅滿足這些條件，也并不能得解，例如：使方程表達為：(y^2+b’0)(y-y3)=y^3+b1y+b0,有:-y3=0,(2次項不為0，此參變量實際上不起作用)b’0=b1,-y3b’0=b0=0,僅適用于b0=0，的情況。令：(y^2+b’0)(y^2+b”0)^(1/2)=y^3+b1y+b0,有(y^2+b’0)^2(y^2+b”0)=(y^3+b1y+b0)^2,2b’0+b”0=2b1,2b0=0,b’0^2+2b”0b’0=b1^2,2b1b2=0,b”0b’0^2=0,出現(xiàn)多種限制條件，僅適用于b1、b0=0，的情況，而無意義，也都不能如此得解。早在公元1700年就已得出現(xiàn)有的解法，即：以2次x方程，x^2+a1x+a0=0，的2個根：w1、w2分別表達3次y方程的3個根;由相應的定理得到相應的解，卻至今未見完整、具體的推導、證明。實際上，這是：設3次y方程的3個根的一個根為：y1=z1+z2，則由x方程變換為y方程時，另2個根y2、y3，是z1、z2，分別乘以2次x方程，x^2+a1x+a0=0，的2個根，w1=-a1/2+(a1^2/4-a0)^(1/2)、w2=-a1/2-(a1^2/4-a0)^(1/2)，之和確定;即:y1=z1+z2，y2=w1z1+w2z2，y3=w2z1+w1z2，3次y方程的3個根也可直接表達為：y1=z1+z2，y2=w1z1+w2z2=-a1(z1+z2)/2+(a1^2/4-a0)^(1/2)(z1-z2)，y3=w2z1+w1z2=-a1(z1+z2)/2-(a1^2/4-a0)^(1/2)(z1-z2)，再由：(y-(z1+z2))(y-(-a1(z1+z2)/2+(a1^2/4-a0)^(1/2)(z1-z2)))(y-(-a1(z1+z2)/2-(a1^2/4-a0)^(1/2)(z1-z2)))=y^3+b1y+b0，確定z1與z2，即有：(y-(z1+z2))(y^2+a1(z1+z2)y+a1(z1+z2)^2/4-(a1^2/4-a0)(z1-z2)^2)=y^3+(a1-1)(z1+z2)y^2+(-3a1(z1+z2)^2/4-(a1^2/4-a0)(z1-z2)^2)y+a1(z1+z2)^3/4+(a1^2/4-a0)(z1^3+z2^3-z2z1(z1+z2))=y^3+b1y+b0，而得到：(a1-1)(z1+z2)=0，z1+z2=0，(1)3a1(z1+z2)^2/4+(a1^2/4-a0)(z1-z2)^2+b1=0，(2)a1(z1+z2)^3/4+(a1^2/4-a0)(z1^3+z2^3-z2z1(z1+z2))-b0=0，(3)將(1)代入(2)、(3)，有：(a1^2/4-a0)(2z1z2)+b1=0，2z1z2=-b1/(a1^2/4-a0)，(2*)(2*)與(1)聯(lián)立，有：(z1-z2)^2=b1/(a1^2/4-a0)，z1-z2=(b1/(a1^2/4-a0))^(1/2)，z1=(b1/(a1^2/4-a0))^(1/2)/2，z2=-(b1/(a1^2/4-a0))^(1/2)/2，(4)z1^3+z2^3-b0/(a1^2/4-a0)=0，(3*)實際上，以y方程的任何一個根代入，都應滿足方程，以y=y1=z1+z2，代入，有：(z1+z2)^3+b1(z1+z2)+b0=0，即有：z1^3+z2^3+(3z1z2+b1)(z1+z2)+b0=0，z1^3=-(z2^3+(3z1z2+b1)(z1+z2)+b0)利用(1)、(2)，以及b1、b0，的a2、a1、a0，表達，上式成為：z1^3=-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)，z1=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)，并有：z2^3=-(z1^3-(3z1z2+b1)(z1+z2)+b0)=-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)，z2=(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)，即解得現(xiàn)有的結果：y1=z1+z2=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)+(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)，y2=w1z1+w2z2=w1(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)+w2(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)，y3=w2z1+w1z2=w2(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)+w1(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)，將(4)代入(3*)，有：z1^3-(b1/(a1^2/4-a0))^(3/2)/8-b0/(a1^2/4-a0)=0，z2^3+(b1/(a1^2/4-a0))^(3/2)/8-b0/(a1^2/4-a0)=0，(5)即得解：z1=((b0+(b1/2)^3/(a1^2/4-a0))^(1/2))/(a1^2/4-a0))^(1/3)，z2=((b0-(b1/2)^3/(a1^2/4-a0))^(1/2))/(a1^2/4-a0))^(1/3)，y1=z1+z2，y2=w1z1+w2z2，y3=w2z1+w1z2，(6)(6)是相當于：3次不可約代數(shù)方程現(xiàn)有解(有z1-z2=0)的又一形式。3次y方程的3個根也可直接表達為：(y-(z1+z2))(y-(w1z1+w2z2))(y-(w2z1+w1z2))=y^3+b1y+b0，確定z1與z2，即有：(y-(z1+z2))(y^2-2(w1z1+w2z2)y+w1w2(z1^2+z2^2)+(w1^2+w2^2)z1z2)=y^3-((2w1+1)z1+(2w2+1)z2))y^2+(w1w2(z1^2+z2^2)+(w1^2+w2^2+2(w2+w1))z1z2+2(w1z1^2+w2z2^2))y-w1w2(z1^3+z1^2z2+z1z2^2+z2^3)-(w1^2+w2^2)(z1^2z2+z1z2^2)=y^3+b1y+b0，即有：(2w1+1)z1+(2w2+1)z2=0，(1)w1w2(z1^2+z2^2)+(w1^2+w2^2+2(w2+w1))z1z2+2(w1z1^2+w2z2^2)=b1，(2)-w1w2(z1^3+z1^2z2+z1z2^2+z2^3)-(w1^2+w2^2)(z1^2z2+z1z2^2)=b0，(3)對于一般的2次x方程，因有：w1=-a1/2+(a1^2/4-a0)^(1/2)、w2=-a1/2-(a1^2/4-a0)^(1/2)，w1+w2=-a1，w1w2=a0，w1^2=a1^2/2-a0-a1(a1^2/4-a0)^(1/2)，w2^2=a1^2/2-a0+a1(a1^2/4-a0)^(1/2)，即有：(-a1+1+2(a1^2/4-a0)^(1/2))z1=(a1-1+2(a1^2/4-a0)^(1/2))z2，(1*)(-2a1+(a1^2-4a0)^(1/2))z1^2+(-2a1-(a1^2-4a0)^(1/2))z2^2+(a1^2-2a1-2a0)z1z2-b1=0，(2*)a0(z1^3+z2^3)+(a1^2-a0)(z1^2z2+z1z2^2)+b0=0，(3*)由(1*)、(2*)、(3*)，即可解得3次不可約代數(shù)方程現(xiàn)有解的又一形式。以上3種不同形式的解，都可按相應的條件彼此互換。各種解，按多項式公式，都不僅有2次、3次的根式，而且還有6次、5倍6次的根式，就已具體表明：伽羅華關于根式變換群的理論，認為：解方程引進根式k=或>4，就使方程無解，的論斷是錯誤的，而且：當a1^2/4-a0<0，w1、w2，有(-1)^(1/2)的虛數(shù)項，是通常的復數(shù)；當b1^2/4+b0^2/9<0，z1、z2，有3次根號內(-1)^(1/2)的虛數(shù)項的復數(shù)；當-b1/2+(b1^2/4+b0^2/9)^(1/2)<0，z1是有(-1)^(1/3)的另一類數(shù)；當-b1/2-(b1^2/4+b0^2/9)^(1/2)<0，z2是有(-1)^(1/3)的另一類數(shù)；因而，就會出現(xiàn)有(-1)^(1/2)和(-1)^(1/3)、(-1)^(1/6)、(-1)^(5/6)，4維數(shù)軸的復數(shù)；并因不同的條件，簡化為僅有低維的復數(shù)或虛數(shù)，或實數(shù)。其實，3次y方程的3個根與系數(shù)的關系為：y0+y1+y2=0，y0=-(y1+y2)，(0*)y0(y1+y2)+y1y2=b1,-y0^2+y1y2=b1,(1*)y0y1y2=-b0,(2*)由(1*)/(2*)，得到：：-y0+1/y0=-b1/b0，y0^2-b1y0/b0+1=0，即得y方程的3個解：y0=b1/(2b0)+或-(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)(a)y1+y2=-b1/(2b0)-或+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)，(y1+y2)^2=(b1/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)，y1y2=b1+y0^2=b1+(b1/(2b0)+或-(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2=b1+(b1^2/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2+1)^(1/2)，(y1-y2)^2=(b1/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)-4(b1+(b1^2/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))=(b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)，y1-y2=((b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2)，y1=(-b1/(2b0)-或+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)+((b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2))/2，(b)y2=(-b1/(2b0)-或+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)-((b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2))/2，(c)而3次x方程，的解為：xj=yj+a2/3;j=0,1,2,(1*)各根中，按多項式公式，不僅有2次的根式，還有4次、3倍的4次，8次、3倍、5倍、7倍的8次的根式，對于負數(shù)的根式，就有(-1)^(1/2),(-1)^(1/4),(-1)^(3/4),(-1)^(1/8),(-1)^(3/8),(-1)^(5/8),(-1)^(7/8),等7個數(shù)軸的數(shù)，而且，在各相應條件下，簡化為各低維的復數(shù)、虛數(shù)、和實數(shù)。而且，由于2種解法，分別得到的各解是可以彼此互換的，可見，這2種不同的數(shù)軸系，也是可以彼此互換的。6．求解任意4次不可約代數(shù)方程4次不可約代數(shù)方程：x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0，{6.1}有4個系數(shù)：a3、a2、a1、a0，4個根：x1、x2、x3、x4，并有：x1+x2+x3+x4=-a3，x1(x2+x3+x4)+x2(x3+x4)+x3x4=a2，x1x2(x3+x4)+x2x3x4=-a1，x1x2x3x4=a0，與前節(jié)類似，僅簡單、直接地利用此，不能得解?，F(xiàn)有的解法也是在公元17世紀，采取將4次方程的4次多項式拼湊為2個2次多項式乘積，的方法而得到，也未見完整、具體的推導證明。實際上，對于4次x方程：x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0，(1)引入函數(shù)y，并取:(x^2+a3x/2+y/2)^2=x^4+a3x^3+(a3^2/4+y)x^2+a3yx/2+y^2/4可將原方程改寫為：(x^2+a3x/2+y/2)^2+(a2-a3^2/4-y)x^2+(a1-a3y/2)x+a0-y^2/4=0,而有：(x^2+a3x/2+y/2)^2=(a3^2/4-a2+y)x^2+(a3y/2-a1)x-a0+y^2/4,設當上式右邊成為x函數(shù)的完全平方：(a3^2/4-a2+y)x^2+(a3y/2-a1)x-a0+y^2/4=(c1x+c0)^2由(c1x+c0)^2=c1^2x^2+2c1c0x+c0^2,有：c1^2=(a3^2/4-a2+y),2c1c0=a3y/2-a1,c0^2=y^2/4-a0,c1x+c0=(a3^2/4-a2+y)^(1/2)x+(y^2/4-a0)^(1/2)，(a3^2-4a2+4y)(y^2/4-a0)=(a3y/2-a1)^2，亦即得到：y^3-a2y^2+(a1a3-4a0)y-a0a3^2+4a0a2-a1^2=0，(2)當令：s=y-a2/3,y=s+a2/3,y^2=(s+a2/3)^2=s^2+2a2s/3+a2^2/9，y^3=(s+a2/3)^3=s^3+a2s^2+a2^2/3s+a2^3/27，(3)(3)代入方程(2)，即將它簡化為s^2的系數(shù)=0的形式，即：s^3+(a1a3-a2^2/3-4a0)s-2a2^3/27-a3^2a0+a3a2a1/3+8a2a0/3-a1^2=0，s^3+b1s+b0=0，b1=a1a3-a2^2/3-4a0，b0=-2a2^3/27-a3^2a0+a3a2a1/3+8a2a0/3-a1^2，(4)此方程的3個根與系數(shù)的關系為：s0+s1+s2=0，s0=-(s1+s2)，(0*)s0(s1+s2)+s1s2=b1,-s0^2+s1s2=b1,(1*)s0s1s2=-b0,s0s1s2=-b0,(2*)由(1*)/(2*)，得到：：-s0+1/s0=-b1/b0，s0^2-b1s0/b0+1=0，即得方程(4)的3個解：s0=b1/(2b0)+或-(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)(a)s1+s2=-b1/(2b0)-或+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)，(s1+s2)^2=(b1/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)，s1s2=b1+s0^2=b1+(b1/(2b0)+或-(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2=b1+(b1^2/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2+1)^(1/2)，(s1-s2)^2=(b1/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)-4(b1+(b1^2/b0)^2/2-1+或-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))=(b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)，s1-s2=((b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2)，s1=(-b1/(2b0)-或+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)+((b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2))/2，(b)s2=(-b1/(2b0)-或+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)-((b1/b0)^2/2-4b1+3-或+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2))/2，(c)而3次y方程，(2)，的解為：yj=sj+a2/3;j=0,1,2,(1*)而原方程可表達為兩個x的2次方程：(x^2+y/2)^2-(c1x+c0)^2=0，即：x^2+y/2+(a3^2/4-a2+y)^(1/2)x+(y^2/4-a0)^(1/2)=0,(2*1)x^2+y/2-(a3^2/4-a2+y)^(1/2)x+(y^2/4-a0)^(1/2)=0,(2*2)以(1*)解得的，y的解代入方程(2*)，(由于各解代入的結果相同，僅需以y0=b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)代入)，即：x^2+(a3^2/4-2a2/3+b1/(2b0)+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2)x+(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2+((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2)=0,(2*1)x^2-(a3^2/4-2a2/3+b1/(2b0)+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2)x+(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2+((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2)=0,(2*2)分別求解這兩個x的2次方程，即得4次x方程(1)的4個根:x1=-(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2))^(1/2)+(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2)-(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2-((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2))^(1/2),(3*1)x2=-(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2))^(1/2)-(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2)-(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2-((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2))^(1/2),(3*2)x3=+(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2))^(1/2)+(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2)-(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2-((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2))^(1/2),(3*3)x4=+(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2))^(1/2)-(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2)-(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2-((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2))^(1/2),(3*4)各根中，按多項式公式，不僅有2次的根式，還有4次、3倍的4次，8次、3倍、5倍、7倍的8次的根式，對于負數(shù)的根式，就有(-1)^(1/2),(-1)^(1/4),(-1)^(3/4),(-1)^(1/8),(-1)^(3/8),(-1)^(5/8),(-1)^(7/8),等7個數(shù)軸的數(shù)，而且，在各相應條件下，簡化為各低維的復數(shù)、虛數(shù)、和實數(shù)。其中3次y函數(shù)方程，也可由其各根，表達為：y1=z1+z2，y2=w1z1+w2z2，y3=w2z1+w1z2，的方法求解，得到：各解，按多項式公式，都不僅有2次、3次的根式，而且還有6次、5倍6次的根式，對于負數(shù)的根式，就會出現(xiàn)有(-1)^(1/2)和(-1)^(1/3)、(-1)^(1/6)、(-1)^(5/6)，4維數(shù)軸的復數(shù)；并因不同的條件，簡化為僅有低維的復數(shù)或虛數(shù)，或實數(shù)。而且，由于2種解法，分別得到的各解是可以彼此互換的，可見，這2種不同的數(shù)軸系，也是可以彼此互換的。對于4次的y方程：可直接采用：(y^2+a’0)^2-(a”1y+a”0)^2=y^4+b2y^2+b1y+b0=0，即得：y^4+(2a’0-a”1^2)y^2+a’0^2y-2a”1a”0-a”0^2=y^4+b2y^2+b1y+b0，有：2a’0-a”1^2=b2，a’0^2=b1，-2a”1a”0-a”0^2=b0，即得：a’0=b1^(1/2)，a”1=(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)，a”0^2+2(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)a”0+b0=0，a”0=-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+或-(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)，即得如下的2個2次的方程：y^2+(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)y+b1^(1/2)-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)=0，y^2-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)y+b1^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)=0，由此解得4次以下方程的4個根：y1=-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)/2+(-b1^(1/2)/2-b2/4+(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)^(1/2)y2=-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)/2-(-b1^(1/2)/2-b2/4+(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)^(1/2)y3=(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)/2+(-b1^(1/2)/2+b2/4-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)^(1/2)y4=(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)/2-(-b1^(1/2)/2+b2/4-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)^(1/2)y方程的解與x方程的解，可以互換，實際上，是同一的解。各根中，按多項式公式，同樣，不僅有2次的根式，還有4次、3倍的4次，8次、3倍、5倍、7倍的8次的根式，對于負數(shù)的根式，就有(-1)^(1/2),(-1)^(1/4),(-1)^(3/4),(-1)^(1/8),(-1)^(3/8),(-1)^(5/8),(-1)^(7/8),等7個數(shù)軸的數(shù)，而且，在各相應條件下，簡化為各低維的復數(shù)、虛數(shù)、和實數(shù)。7.求解任意5次不可約代數(shù)方程5次不可約代數(shù)方程：x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0，{7.1}有5個系數(shù)：a4、a3、a2、a1、a0，5個根：x1、x2、x3、x4，x5，并有：x1+x2+x3+x4+x5=-a4，x1(x2+x3+x4+x5)+x2(x3+x4+x5)+x3(x4+x5)+x4x5=a3，x1x2(x3+x4+x5)+x2x3(x4+x5)+x3x4x5=-a2，x1x2x3(x4+x5)=a1，x1x2x3x4x5=-a0,與前節(jié)類似，僅簡單、直接地利用此，不能得解。有了4次方程的2種解，和3次y方程的解法，就也可類似地，令：y=x-a4/4，使原x變量的方程，成為y^4項的系數(shù)b4=0，的如下y方程：y^5+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0,5次y方程,僅由其5個根與系數(shù)的關系，也不能得解。采用z1、z2、z3、z4，共4個參量，當取y方程的一個根：y1=z1+z2+z3+z4，則因由4次x方程變換為y方程，的另4個根，由w1、w2，w3、w4，表達為：y2=z1w1+z2w2+z3w3+z4w4，y3=z1w2+z2w1+z3w3+z4w4，y4=z1w1+z2w2+z3w4+z4w3，y5=z1w2+z2w1+z3w4+z4w3，其中，w1、w2，w3、w4，分別是相應的2個2次方程的2個根。而由方程各根與各系數(shù)的關系式，得到z1、z2、z3、z4與各系數(shù)相應的5個關系式，確定z1、z2、z3、z4。實際上，以y方程的任何一個根代入，都應滿足方程，以y=y1=z1+z2+z3+z4，代入，有：(z1+z2+z3+z4)^5+b3(z1+z2+z3+z4)^3+b2(z1+z2+z3+z4)^2+b1(z1+z2+z3+z4)+b0，即有：利用z1、z2、z3、z4與各系數(shù)相應的5個關系式，以及b3、b2、b1、b0，的a4、a3、a2、a1、a0，表達，將w1、w2，表達為，y^3+b’1y+b’0=0，的2個根；w3、w4，表達為，y^3+b”1y+b”0=0，的2個根，上式成為：z1^5=(-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))(z2^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))(z3^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z4^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))，z1=((-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)(z2^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))(z3^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z4^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2)))^(1/5)，并有：z2^5=(-b0’/2-((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))(z1^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)(z3^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z4^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))，z2=((-b’0/2-((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))(z1^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)(z3^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z4^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2)))^(1/5)，z3^5=(-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z4^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z1^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)(z2^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)，z3=((-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z4^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z1^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)(z2^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))^(1/5)，并有：z4^5=(-b”0/2-((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))

(z3^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z1^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)(z2^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)，z4=((-b”0/2-((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z3^4-b”0/2+((b”0/2)^2+(b”1/3)^2)^(1/2))(z1^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2)(z2^4-b’0/2+((b’0/2)^2+(b’1/3)^2)^(1/2))^(1/5)，即得解：y1=z1+z2+z3+z4，y2=z1w1+z2w2+z3w3+z4w4，y3=z1w2+z2w1+z3w3+z4w4，y4=z1w1+z2w2+z3w4+z4w3，y5=z1w2+z2w1+z3w4+z4w3，也還有相應的其他幾種可互換的表達形式。按多項式公式，5次y方程的解可有：2次、4次、5次，2倍、3倍、4倍5次，10次、3倍、7倍、9倍10次，20次，3倍、7倍、9倍、11倍、13倍、17倍、19倍，的根式，因而，就會出現(xiàn)有(-1)^(1/2)、(-1)^(1/4)、(-1)^(1/5)、(-1)^(2/5)，(-1)^(3/5)、(-1)^(4/5)、(-1)^(1/10)、(-1)^(3/10)、(-1)^(7/10)、(-1)^(9/10)、(-1)^(1/20)、(-1)^(3/20)、(-1)^(7/20)、(-1)^(9/20)、(-1)^(11/20)、(-1)^(13/20)、(-1)^(17/20)、(-1)^(19/20)，,18維數(shù)軸的復數(shù)；并因不同的條件，簡化為僅有低維的復數(shù)或虛數(shù)，或實數(shù)。8.求解任意6次不可約代數(shù)方程6次不可約代數(shù)方程：x^6+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0，{8.1}有6個系數(shù)：a5、a4、a3、a2、a1、a0，6個根：x1、x2、x3、x4、x5、x6，與x方程變換為y方程，：y^6+b4y^4+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0，有5個系數(shù)：b4、b3、b2、b1、b0，6個根：y1、y2、y3、y4、y5、y6，對6次x和y方程，都不能僅由根與系數(shù)的關系式得解。但可以類似4次x方程那樣拼湊成為2個方程得解，即引進一個y函數(shù)，并令：(x^3+a5x^2/2+y)^2=x^6+a5^2x^4/4+y^2+a5x^5+2yx^3+a5yx^2，x^6+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0-(x^3+a5x^2/2+y)^2=(a4-a5^2/4)x^4+(a3-2y)x^3+(a2-a5y)x^2+a1x-y^2+a0=(c1x^2+c2x+c3)^2=c1^2x^4+2c2c1x^3+(c2^2+2c3c1)x^2+2c3c2x+c3^2，使6次x方程{8.1}成為：(x^3+a5x^2/2+y)^2-(c1x^2+c2x+c3)^2=0，并有：c1^2=a4-a5^2/4，c1=(a4-a5^2/4)^(1/2)，(1)2c2c1=a3-2y，c2=(a3-2y)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2))，(2)c2^2+2c3c1=a2-a5y，c3=(a2-a5y-((a3-2y)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2)))^2)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2))=(a2-a5y)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2))-(a3-2y)^2/(2(a4-a5^2/4)^(1/2)))^3)，(3)2c3c2=a1，c3=a1/(2((a3-2y)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2))))=a1/(4((a3-2y)(a4-a5^2/4)^(1/2))，(4)c3^2=-y^2+a0，(5)(3)代入(5)，有：((a2-a5y)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2))-(a3-2y)^2/(2(a4-a5^2/4)^(1/2)))^3))^2+y^2-a0=0，為y的4次方程，(6)(4)代入(5)，有：(a1/(4((a3-2y)(a4-a5^2/4)^(1/2)))^2+y^2-a0=0，即：a1^2+(4a4-a5^2)(a3-2y)^2(y^2-a0)=0，為另一形式y(tǒng)的4次方程，(7)分別以c1、c2、c3的表達式，(1)、(2)、(3)，和(6)與(7)4次方程解得的各一個y的根值分別代入如下2個3次方程：x^3+(a5/2+c1)x^2+c2x+y+c3=0，(8.1)x^3+(a5/2-c1)x^2-c2x+y-c3=0，(8.2)由此，即分別解得6次方程的6個根。其中，分別以(6)和(7)的y根值代入得到的解，有不同的數(shù)軸，但都是可彼此互換的同一結果。9.任意的n次不可約代數(shù)方程的解考慮到任意的n次不可約代數(shù)方程，都可分別歸屬于2m次和次的兩類，9.1.對于n=2m+1的方程可采用，m=1、2，的類似方法，即：采用zj1、zj2;j=1,2,…,m，共2m個參量，當取y方程的一個根：y1={zj1+zj2;j=1,2,…,m}，，則因由2m+1次x方程變換為y方程，的另2m個根分別成為：yj1=zj1wj1+zj2wj2+{zk1wk1+zk2wk2,k=j+1,j+2,…,m}，yj2=zj1wj2+zj2wj1+{zk1wk1+zk2wk2,k=j+1,j+2,…,m}，j=1,2,…,m，k={j+1,j+2,…,m，j=1到m循環(huán)}，其中wj1、wj2，分別為相應的2個2次方程的2個根。而由2m+1次y方程方程各根與各系數(shù)的關系式，得到zj1、zj2;j=1,2,…,m，與各系數(shù)相應的2m+1個關系式，即：將wj1、wj2，表達為，y^3+bj1y+bj0=0，j=1,2,…,m，的2個根；wk1、wk2，表達為