北京市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

北京市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.函數(shù)=絆的圖象大致為()

2.已知雙曲線「：￡一￡=1(。＞0,〃＞0)的一條漸近線為/,圓C:(x—cf+)，2=4與/相切于點(diǎn)A,若的

a-b~

面積為2道，則雙曲線「的離心率為()

A.2D.

3

3.已知函數(shù)f(x)=〃?(x—l)—(x-2)/-'(e為自然對(duì)數(shù)底數(shù))，若關(guān)于x的不等式〃x)＞。有且只有一個(gè)正整數(shù)解,

則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為()

/+?+e八/-ce2-e

A,?B?CD?

2222

4.正AABC的邊長(zhǎng)為2,將它沿邊上的高翻折，使點(diǎn)8與點(diǎn)C間的距離為6,此時(shí)四面體A-BC力的外

接球表面積為()

5.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且4+4+即=2萬，則sin(%+%)=的值為()

V3

,~T

6.已知雙曲線C：*■-親■=1（。>0乃>°）的焦距為2。，焦點(diǎn)到雙曲線C的漸近線的距離為等c,則雙曲線的漸

近線方程為（）

A.y=±x/3xB.y=土五xC.,'=出D.y=±2x

x-y>Q

7.已知x,）,滿足約束條件,x+y42,則z=2x+y的最大值為

），20

A.1B.2C.3D.4

8.已知4,B,C,。是球。的球面上四個(gè)不同的點(diǎn)，若A3=AC=O3=QC=3c=2,且平面Z）3CJ_平面A8C,

則球。的表面積為（）

9.關(guān)于圓周率祝數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可

以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)萬的值：先請(qǐng)全校用名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)口,），）；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)

能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（樂J）的個(gè)數(shù)。;最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)。估計(jì)冗的值，那么可以估計(jì)兀的值約為（）

。+2a+2m4ci+2m

C.-----

mtntn

10.已知函數(shù)"x）=sin（2x+0）,其中0￡（0,力，若佟恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)

2

間為（）

,71,2乃

A.k7T——，々乃十一（kGz）B.K7T---,k7TH---(kez)

_3633

7T24-八

C.kTC+—、k兀+——（kGz）D.k兀、kjv+——（kGZ）

_33JL3_

11.設(shè)方,X2為〃x）=6sin<yx—cos①M(fèi)">°）的兩個(gè)零點(diǎn)，且|再一百的最小值為1，則啰=（）

717171

A.兀B.—C.—D.—

234

22221

12.已知橢圓二十與=1（心力>0）與雙曲線「一與」（。>0">0）的焦點(diǎn)相同，則雙曲線漸近線方程為（）

a7Fa7b12

A.B.y-±\/3x

』D.y=±y/2x

y?2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知f（x）=x|x|,則滿足f（2x-1）+/（x）N0的x的取值范圍為

14.在正方體ABC?！狝4GQ中，￡為棱AA的中點(diǎn)，尸是棱AA上的點(diǎn)，且4/二;尸耳，則異面直線￡產(chǎn)與

所成角的余弦值為

15.已知實(shí)數(shù)滿足Q+方?=嚴(yán)19G為虛數(shù)單位），則。+力的值為

16.己知〃x）=e'+*是偶函數(shù)，則的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

a

17.（12分）已知凸〃邊形4“的面積為1,邊長(zhǎng)=4。=1,2,,//-1）,4A=n，其內(nèi)部一點(diǎn)P到邊

AA+i=&（i=i,2,，〃一i）的距離分別為4,4,4，4.求證：學(xué)■+與++學(xué)之（〃加瓦一乙尸.

a\al%

112

18.（12分）已知在等比數(shù)列｛q｝中，。〃>0嗎=4,

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式;

1

（2）若以=,求數(shù)列出｝前〃項(xiàng)的和.

1。8241。824+1

19.（12分）已知在多面體A8cOE廠中，平面CZ）尸￡上平面ABC。，且四邊形ECOb為正方形，且DC〃AB,

AB=3DC=6tAD=BC=5,點(diǎn)P,Q分別是BE,的中點(diǎn).

（1）求證：PQ//平面FECD；

（2）求平面A"與平面PCD所成的銳二面角的余弦值.

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=（2-x）e'+K

（I）已知x=2是"x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求曲線/（工）在（（）,/（（）））處的切線方程

（II）討論關(guān)于X的方程/（力=出口.?！陮櫍└膫€(gè)數(shù).

21.（12分）已知函數(shù)/（為）=|柒+1|-2卜一々|,。＞0.

（1）當(dāng)。=1時(shí),求不等式八幻＞1的解集；

（2）若/（幻的圖象與工軸圍成的三角形面積大于6,求〃的取值范圍.

22.（10分）金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學(xué)生.新生接待其實(shí)也是和社會(huì)溝通的一個(gè)平臺(tái).校

團(tuán)委、學(xué)生會(huì)從在校學(xué)生中隨機(jī)抽取了160名學(xué)生，對(duì)是否愿意投入到新生接待工作進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

愿意不愿意

男生6020

女士4040

（1）根據(jù)上表說明，能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)；

（2）現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取10人.若從這10人中

隨機(jī)選取3人到火車站迎接新生，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為X,寫出X的分布列，并求E（X）.

n(ad-bc)2

附：K2=,其中〃=a+〃+c+d.

(a+〃)(c+d)(a+c)3+d)

尸（片洛）0.050.010.001

3.8416.63510.828

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(X)的奇偶性和單調(diào)性，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而得出正確選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)?-x)=/(x),所以/(x)是偶函數(shù)，排除C和D.

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x-竽，1,

令尸(x)vO,得Ovxvl,即/(x)在(0,1)上遞減；令/(力>0,得x>l,即/(x)在(1，皿)上遞增.所以/(')

在X=1處取得極小值，排除B.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題.

2、D

【解析】

由圓C:(x-c)2+y2=4與/相切可知，圓心C(c,O)到/的距離為2,即人=2,又5&唱「2=2S八"=，由

此求出。的值，利用離心率公式，求出e.

【詳解】

由題意得〃=2,S〉A(chǔ)FF2=ab=2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，離心率的求法，屬于中檔題.

3、A

【解析】

若不等式/(x)>。有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則y=帆(x-1)的圖象在y=g(x)圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值，利用導(dǎo)

數(shù)求出g(x)的最小值，分別畫出y=g(女)與)，=加。-1)的圖象，結(jié)合圖象可得.

【詳解】

x

解：f(A)=m(x-1)-(x-2)e-e>0r

/.m(x-1)>(x-2)ex+e，

x

^y=g[x)=(x-2)e-^-et

，g'O)=(xT)，，

當(dāng)x>l時(shí)，g，(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xvl時(shí),g'(x)vO,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

.??g(x)>g(i)=Ot

當(dāng)x—>~KX)時(shí)，/(X)—>+oo,當(dāng)x->-8,e,

函數(shù)V=m(xT)恒過點(diǎn)(1,0)，

分別畫出y=g("與y=6(x—1)的圖象，如圖所示，

若不等式/(x)>0有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則>=相(X-1)的圖象在y=g(x)圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值,

，〃7(3-1)工(3-2)/+6且m(2-1)>(2-2)/+6,即2機(jī)Wg(3)=/+e,且，

故實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為二丫，

2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學(xué)

運(yùn)算能力.

4、D

【解析】

如圖所示，設(shè)A。的中點(diǎn)為。2，ABCD的外接圓的圓心為。四面體A-區(qū)。。的外接球的球心為。，連接

OR,。。2,。。，利用正弦定理可得。。=1,利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形Od。。為平行四邊形,

最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.

【詳解】

如圖所示，設(shè)AO的中點(diǎn)為。2，ABCD外接圓的圓心為。…四面體A—BC。的外接球的球心為。，連接

。01,。。2,0。，則。q_L平面8C。，OO2IAD.

因?yàn)镃D=BD=l、BC=y/i,故cosNBDC=二一］.,

2x1x12

2乃

因?yàn)镹BOCw(0,7r),故N8OC=3-.

由正弦定理可得2°a=「3=2,故。?=i,又因?yàn)锳O=G，故。。，=蟲.

s,nT-2

因?yàn)锳D上DB，AD上CD,DBcCD二D,故AO_L平面8C。，所以0。/偌。,

因?yàn)锳D_L平面8c。，。9<=平面5?！?gt;,故AO_LOg,故OOJDO、,

所以四邊形。。2。01為平行四邊形，所以O(shè)O\=DO?=與,

所以0D=舊二二故外接球的半徑為弓，外接球的表面積為44、1=7乃.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計(jì)算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問題注意翻折前后的變

量與不變量，外接球問題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計(jì)算，本題有一

定的難度.

5、B

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得練=斗，即可得到為+q=手，代入由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.

【詳解】

解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得4+4+4=34=2萬，解得&二*

_44

丹+2=2延=7

n,71V3

sin(%+%)=sin—=sin乃+―=-sin—=------

33J32

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

利用雙曲線C：￡=1（。＞0.〃〉0）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為當(dāng)C,求出。，人的關(guān)系式，然后求解雙曲線的

漸近線方程.

【詳解】

雙曲線C：忘一5=1（。＞°力＞°）的焦點(diǎn)（4°）到漸近線版+-=（）的距離為￥~

可得：/￡=與,可得2-*,1=則。的漸近線方程為），=±瓜.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考杳雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)建出4,〃的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

7、D

【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【詳解】

作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,

2=2工+)，等價(jià)于y二-2工+2,作直線y=-2x,向上平移,

易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(2,0)時(shí)Z最大，所以Zma、=2x2+0=4,故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法.

8、A

【解析】

由題意畫出圖形，求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案.

【詳解】

如圖，

取BC中點(diǎn)G,連接AG,DG,則AGJLBC,DGJLBC,

分別取ABC與.DBC的外心E,F,分別過E,F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O,

則O為四面體A—BCD的球心，

由AB=AC=DB=DC=BC=2,得正方形OEGF的邊長(zhǎng)為且，則OG二逅,

3

二?四面體A-BCD的外接球的半徑R=VOG2+BG2=

20兀

??.球O的表面積為4兀

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.

9、D

【解析】

0<x<1

由試驗(yàn)結(jié)果知相對(duì)o?1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x，y,滿足I，面積為l,再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)8，），）’

滿足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)萬的

值.

【詳解】

0<x<1

解：根據(jù)題意知，〃?名同學(xué)取〃?對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)（式,y）,即，

0<y<1'

對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，其面積為1,

X2+y2<1

x+y>I

若兩個(gè)正實(shí)數(shù)X，）'能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有）

0<x<1

0<y<1

其面積則有鬲弓，解得，=4。+2m

tn

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以

直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)

變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.

10、A

【解析】

,￡凡/*）?/聞=/（兒,=卜閨=1，從而可得9吟/（x）=sin（2x+3再解不等式

2k1<2x+—<2k九ez）即可.

262

【詳解】

由己知，/（用11m

sin(e+q卜

>所以。=—?

6

f(x)=sin|2x+—,由2%萬一工71W2x+工71W2%左+2冗(左wz),

I6J226622

解得，k/r--<x<k/r+—(k,ez).

36

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，涉及到恒成立問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.

11、A

【解析】

7T

先化簡(jiǎn)已知得/(x)=2sin(wx-7),再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1x2,再求出s的值.

6

【詳解】

_71

由題得/(x)=2sin(vvx--),

6

設(shè)xi,xz為f(x)=2sin(wx-g)(co>0)的兩個(gè)零點(diǎn)，且-七|的最小值為1,

6

J=l，解得T=2；

2

?2乃一

??---=2，

CO

解得(0=7T.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

由題意可得2a2一2〃=/+〃，即/=3/，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.

【詳解】

x""y"

2209_

依題意橢圓］+與=l(a〉b>())與雙曲線廠)廣=，(@>()2>0)即牙一萬=16>°，3>°,)的焦點(diǎn)相同，可

a~h~/b22

22

得：八八宗+9,

b

雙曲線的漸近線方程為：y=±朱二±冬,

正'

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、［§,+8)

【解析】

將/(X)寫成分段函數(shù)形式，分析得/(X)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.

【詳解】

ggg-fX2,X>0

根據(jù)題意，f(x)=x|x|=〈,,

則/(X)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，

則f(2x-1)4/(x)>0^(2x-1)>-f(x)對(duì)(2x?1)y(-x)=>2x-1>-x,

解可得忘:，即x的取值范圍為［工，也)；

33

故答案為：［§,+8).

【點(diǎn)睛】

本題考杳分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，注意分析/(X)的奇偶性與單調(diào)性.

14、巫

5

【解析】

根據(jù)題意畫出幾何題，建立空間直角坐標(biāo)系，寫個(gè)各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得EE8G?由空間向量的夾角求法即可求得異

面直線EF與B3所成角的余弦值.

【詳解】

根據(jù)題意畫出幾何圖形，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系;

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則E（0,0,11以1,0,0）,。］（LI,）

所以EF=（；,O,￡|,3G=（0,1,1）.

閉邛,g卜

EF?BC[

所以cos<E￡8G>=

EF?8G正x正

4

所以異面直線EF與BG所成角的余弦值為粵,

故答案為：叵.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了異面直線夾角的求法，利用空間向量求異面直線夾角，屬于中檔題.

15、-1

【解析】

由虛數(shù)單位i的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件列式求得。，方的值，則答案可求.

【詳解】

解：由/"=i,i2=-1,尸=—i，z4=1

所以〃+6=產(chǎn)2=(廣產(chǎn)?r=一"

得〃=(),/?=—1.

:.a+b=-\.

故答案為：一1.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查虛數(shù)單位i的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16、2

【解析】

由偶函數(shù)性質(zhì)可得=解得〃=—1,再結(jié)合基本不等式即可求解

【詳解】

令/⑴=/(—1)得〃=—1,所以/")=爐+"珪2&\"'=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

考查函數(shù)的奇偶性、基本不等式，屬于基礎(chǔ)題

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、證明見解析

【解析】

由己知，易得+…+《4=2,所以

?+春慨并..+撲(如……+可.用利用柯西不等式和基本不等式即

可證明.

【詳解】

因?yàn)橥埂ㄟ呅蔚拿娣e為h所以《4+q4+…+4。”=2,

所以即L+也+...+%=2匡+幺+…+&

444144dn)

(。|4+%4++。.,)幺+生++%

信+向^后尸

(由柯西不等式得)

=(4+生+…+凡)

.?。他.（由均值不等式得）

【點(diǎn)睛】

本題考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式的問題，考查學(xué)生對(duì)不等式靈活運(yùn)用的能力，是一道容易題.

18、(1)凡=2川(2)」一

2〃+4

【解析】

（1）由基本量法，求出公比q后可得通項(xiàng)公式;

（2）求出a，用裂項(xiàng)相消法求和.

【詳解】

解：（1）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為以4>0）

,112112

又因?yàn)?=4,-「所以而一彳二萬

qa.

解得4=-1（舍）或4=2

所以4=4X2”T=2"|,即勺=2向

（2）據(jù)（1）求解知，氏=2向，

]

所以包=

10g24ZwX10g2^+|

(〃+1)(〃+2)

11

=-----------

〃+172+2

所以7；=4+%+白+…+白

__1_

-2-^+2

n

~2/7+4

【點(diǎn)睛】

本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列

的基本方法，務(wù)必掌握.

17

19、(1)證明見解析；(2)..

【解析】

(D構(gòu)造直線PQ所在平面由面面平行推證線面平行；

(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的

余弦值.

【詳解】

(1)過APH工BC交BC于H點(diǎn),連接Q",如下圖所示：

因?yàn)槠矫鍯3在_L平面43CD,且交線為C。，

又四邊形CW芯為正方形，故可得CE_LC力，

故可得CEJ_平面ABC。，又CBu平面ABC。，

故可得CEJ_C8.

在三角形C8E中，因?yàn)橄?E中點(diǎn)，PHICB,CE1CB,

故可得PH〃CE,H為CB中點(diǎn);

又因?yàn)樗倪呅蜛3CO為等腰梯形，月,。是。氏4。的中點(diǎn)，

故可得HQ〃CD；

又PHcHQ=H,CDcCE=C,

且丹7,〃。匚平面產(chǎn)〃。，。。,?！?lt;=平面。胴。，

故面PHQ〃面EFDC,

又因?yàn)槭琎u平面PHQ,

故PQ//面在。.即證.

(2)連接AE,AC,作。M_LAB交A8于M點(diǎn),

由(1)可知CEJL平面又因?yàn)镈F〃CE,故可得_L平面A9a>,

又因?yàn)锳B〃CD,DMLAB>故可得力MJ_力C

即DM，DC,。尸兩兩垂直，

則分別以DW，DC,DF為x,丫，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-pz,

￡>(0,0,0),尸(0,0,2),石(0,2,2),

4后,一2,0),P當(dāng)-31,C(0,2,0)

設(shè)面AEb的法向量為加=(x，V，z),則產(chǎn)E=(0,2,0),A“=(-JW,2,2),

?nFE=02y=0

則n<,

歷?"=()-^/2\x+2y+2z=0

可取〃z=(2,0,721),

［學(xué)3』

設(shè)平面POC的法向量為〃=(x,y,z),則。6=(0,2,0),DP=

2

2y=0

n-DC=0

則'V21o八，

n-DP=0-^-x+3y-\-z-0

可取〃=(2,0,-⑸)，

可知平面與平面PCQ所成的銳二面角的余弦值為

|2x2-21|_17

cosO=

22+21-25

【點(diǎn)睛】

本題考查由面面平行推證線面平行，涉及用向量法求二面角的大小，屬綜合基礎(chǔ)題.

20、(I)(/+1卜-y+2=0；(II)見解析

【解析】

(I)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用x=2是/(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，得/⑵=0建立方程求出a的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求

解即可；

(II)利用參數(shù)法分離法得到〃==①亞，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用數(shù)形

結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

(I)因?yàn)椤▁)=(2-R)e*+公，則［'(x)=(l-x)e*+a,

因?yàn)檗?2是/(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以尸(2)=0,即(1—2)/+.=o,

所以Ine，

因?yàn)?0)=2,尸(0)=/+1,

則直線方程為>-2=(/+1)%，即(/+1)工一丁+2=0；

(II)因?yàn)?(x)=alnx,所以(x-2)e、+alnx-aY=0,

所以(x_2)/=_〃(lnx_x),設(shè)g(R)=lnx_x(x>0),則

所以g(”在(0,1)上是增函數(shù)，在(1，位)上是減函數(shù)，

故g(x)<g(l)=T<0，

(I”

所以a=//(x)=,所以/?，")=

x-lnx

2,、2II

設(shè),〃(x)=x+——lnx-1,貝!1"(x)=l一—v——=—(x-2)(x+l),

?XJCXX

所以根(耳在(0,2)上是減函數(shù)，(2,M)上是增函數(shù),

所以>〃7(2)=2-ln2>0,

所以當(dāng)Ovxvl時(shí)，/z'(x)<0,函數(shù)力(力在(0,1)是減函數(shù)，

當(dāng)x>l時(shí)，力。)>0,函數(shù)力⑺在(1,+8)是增函數(shù)，

因?yàn)镺vxvl時(shí)，/z(x)<0,h(\)=-et/?(2)=0,

所以當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，

當(dāng)一eva<0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，

當(dāng)。二一?；颉Ｖ?時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)中由極值點(diǎn)求參，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考