高考數(shù)學(xué)重難點培優(yōu)全攻略(新高考專用)第09講　數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用(2大考點+強化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

第09講數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用（2大考點+強化訓(xùn)練）[考情分析]1.數(shù)列求和重點考查分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消三種求和方法.2.數(shù)列的綜合問題，一般以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，與函數(shù)、不等式相結(jié)合，考查最值、范圍以及證明不等式等.3.主要以選擇題、填空題及解答題的形式出現(xiàn)，難度中等．知識導(dǎo)圖考點分類講解考點一：數(shù)列求和1．裂項相消法就是把數(shù)列的每一項分解，使得相加后項與項之間能夠相互抵消，但在抵消的過程中，有的是相鄰項抵消，有的是間隔項抵消．常見的裂項方式有：eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；eq\f(1,4n2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).2．錯位相減法求和，主要用于求{anbn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列．規(guī)律方法(1)分組轉(zhuǎn)化法求和的關(guān)鍵是將數(shù)列通項轉(zhuǎn)化為若干個可求和的數(shù)列通項的和或差．(2)裂項相消法的基本思路是將通項拆分，可以產(chǎn)生相互抵消的項．(3)用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：①等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；②在寫出“Sn”和“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達式．考向1分組轉(zhuǎn)化法【例1】（2024·河南南陽·一模）已知等比數(shù)列的公比與等差數(shù)列的公差均為2，且，設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前20項的和為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·甘肅·一模）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底），，記為從小到大的第個極值點，數(shù)列的前項和為，且滿足，則（

）A． B．C． D．【變式2】2024·四川宜賓·二模）數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，已知，數(shù)列為等差數(shù)列，則.【變式3】(2023·棗莊模擬)已知數(shù)列{an}的首項a1＝3，且滿足an＋1＋2an＝2n＋2.(1)證明：{an－2n}為等比數(shù)列；(2)已知bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an，n為奇數(shù)，,log2an，n為偶數(shù)，))Tn為{bn}的前n項和，求T10.考向2裂項相消法【例2】（2024·廣東·模擬預(yù)測）令．則的最大值在如下哪個區(qū)間中（

）A． B．C． D．【變式1】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且，若首項為的數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2024項和為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則（

）

A． B． C． D．【變式3】(2023·沈陽質(zhì)檢)設(shè)n∈N*，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(n－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(n－1,4n－1)，an＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)令bn＝an＋1－an，求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；(2)求證：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<eq\f(3,4).考向3錯位相減法【例3】（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，設(shè)為前項和，，若數(shù)列的前項和，則若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1】（多選）（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）函數(shù)滿足、，都有，且，則（

）A． B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減C． D．【變式2】（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）記數(shù)列的前n項和為，且，設(shè)m為整數(shù)，且對任意，，則m的最小值為．【變式3】(2023·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a2＝1,2Sn＝nan.(1)求{an}的通項公式；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,2n)))的前n項和Tn.考點二：數(shù)列的綜合問題數(shù)列與函數(shù)、不等式，以及數(shù)列新定義的綜合問題，是高考命題的一個方向，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．解決此類問題，一是把數(shù)列看成特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解；二是將新數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，利用特殊數(shù)列的概念、公式、性質(zhì)，結(jié)合不等式的相關(guān)知識求解．規(guī)律方法數(shù)列的“新定義問題”，主要是指定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算等，關(guān)鍵是將新數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，或者找到新數(shù)列的遞推關(guān)系，主要考查的還是數(shù)列的基礎(chǔ)知識．【例4】（2024高三·上海·專題練習(xí)）數(shù)列各項均為實數(shù)，對任意滿足，定義:行列式且行列式為定值，則下列選項中不可能的是（

）A．， B．， C．， D．，【變式1】（2024·河南·模擬預(yù)測）對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“加權(quán)和”．設(shè)數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·江蘇徐州·一模）已知數(shù)列的前n項和為，且，．若，則正整數(shù)k的最小值為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【變式3】(2023·武漢模擬)將1,2，…，n按照某種順序排成一列得到數(shù)列{an}，對任意1≤i<j≤n，如果ai>aj，那么稱數(shù)對(ai，aj)構(gòu)成數(shù)列{an}的一個逆序?qū)Γ鬾＝4，則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列{an}的個數(shù)為()A．4B．5C．6D．7【變式4】(2023·鄭州模擬)“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”．“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運算，最終回到1.對任意正整數(shù)a0，按照上述規(guī)則實施第n次運算的結(jié)果為an(n∈N)，若a5＝1，且ai(i＝1,2,3,4)均不為1，則a0等于()A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或4強化訓(xùn)練單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）數(shù)列的前n項和為（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）楊輝是我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家和教育家，一生著作頗豐，如《詳解九章算法》和《算法通變本末》等，書中給出了若干二階等差級數(shù)求和公式，如三角垛、四隅垛、方垛等．如圖是某同學(xué)模仿“垛積術(shù)”設(shè)計的一種程序框圖，則輸出的值為（

）

A． B．C． D．3．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，則正整數(shù)的最小值為（

）．A． B． C． D．4．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯誤，如法國數(shù)學(xué)家費馬于1640年提出了以下猜想：是質(zhì)數(shù)．直到1732年才被善于計算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出，不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)，數(shù)列的前項和為，則使不等式成立的正整數(shù)的最大值為（

）A．11 B．10 C．9 D．85．（2024·陜西·一模）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則數(shù)列的前2024項和為（

）A． B． C． D．6．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）拋一枚硬幣，若拋到正面則停止，拋到反面則繼續(xù)拋，已知該硬幣拋到正反兩面是等可能的，則以上操作硬幣反面朝上的次數(shù)期望為（

）A． B．1 C． D．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）若數(shù)列，對于，都有（為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．已知數(shù)列的通項公式為，且具有性質(zhì)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2023·山東青島·二模）設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（例如：，），則（

）A． B． C． D．多選題1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（

）A．為遞減數(shù)列B．C．若，，則的取值范圍為D．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選題）數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，是意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契在他寫的算盤全數(shù)中提出的，所以它常被稱作斐波那契數(shù)列該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它的前面兩個數(shù)的和．記斐波那契數(shù)列為，其前n項和為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．不一定是偶數(shù) B．C． D．3．（2024·山東煙臺·一模）給定數(shù)列，定義差分運算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對任意，總存在，使得D．對任意，總存在，使得填空題1．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，，和的等差中項為，設(shè)，則數(shù)列的前項和為2．（2024·廣西南寧·一模）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是，接下來的兩項是，再接下來的三項是，依此類推，若該數(shù)列的前項和為，若，則稱為“好數(shù)對”，如，，則都是“好數(shù)對”，當(dāng)時，第一次出現(xiàn)的“好數(shù)對”是．3．（2024·河北·一模）已知等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比相等，且，，，則；若數(shù)列和的所有項合在一起，從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則使得成立的的最小值為．四、解答題1．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，，．(1)求的通項公式及；(2)設(shè)______，求數(shù)列的前n項和．在①；②；③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解．注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．2．（2024·吉林白山·二模）已知數(shù)列的前項和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項數(shù)有限為；②；③，則稱數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.(1)若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項公式；(2)若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項公式；(3)已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請給出證明過程；若不能，請說明理由.3．（2024·遼寧·二模）如果數(shù)列，其中，對任意正整數(shù)都有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”．已知數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”．(1)若，求的值；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)若數(shù)列滿足，且，記數(shù)列的前項和分別為，試判斷是否存在正整數(shù)，使得？若存在，請求出正整數(shù)的最小值；若不存在，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）4．（2024·天津·一模）記是等差數(shù)列的前項和，數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，（?。┣蟮那绊椀暮?；（ⅱ）求.5．（2024·湖南·二模）已知數(shù)列的前項和為，滿足；數(shù)列滿足，其中.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)對于給定的正整數(shù)，在和之間插入個數(shù)，使，成等差數(shù)列.（i）求；（ii）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.第09講數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用（2大考點+強化訓(xùn)練）[考情分析]1.數(shù)列求和重點考查分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消三種求和方法.2.數(shù)列的綜合問題，一般以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，與函數(shù)、不等式相結(jié)合，考查最值、范圍以及證明不等式等.3.主要以選擇題、填空題及解答題的形式出現(xiàn)，難度中等．知識導(dǎo)圖考點分類講解考點一：數(shù)列求和1．裂項相消法就是把數(shù)列的每一項分解，使得相加后項與項之間能夠相互抵消，但在抵消的過程中，有的是相鄰項抵消，有的是間隔項抵消．常見的裂項方式有：eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；eq\f(1,4n2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).2．錯位相減法求和，主要用于求{anbn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列．規(guī)律方法(1)分組轉(zhuǎn)化法求和的關(guān)鍵是將數(shù)列通項轉(zhuǎn)化為若干個可求和的數(shù)列通項的和或差．(2)裂項相消法的基本思路是將通項拆分，可以產(chǎn)生相互抵消的項．(3)用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：①等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；②在寫出“Sn”和“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達式．考向1分組轉(zhuǎn)化法【例1】（2024·河南南陽·一模）已知等比數(shù)列的公比與等差數(shù)列的公差均為2，且，設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前20項的和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及求和公式計算即可.【詳解】因為，所以，則，根據(jù)題意，，所以.故選：B.【變式1】（2024·甘肅·一模）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底），，記為從小到大的第個極值點，數(shù)列的前項和為，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意求導(dǎo)并令，結(jié)合題意可求得，對是奇數(shù)還是偶數(shù)進行分類討論，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式、分組求和法即可得解.【詳解】由題意，令，則，即，所以，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是在得到之和還要對分類討論，得，由此即可順利得解【變式2】2024·四川宜賓·二模）數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，已知，數(shù)列為等差數(shù)列，則.【答案】57【分析】根據(jù)題意，求出數(shù)列的通項，進而求得，利用分組求和得解.【詳解】令，，，，又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，所以公差，，即，，.故答案為：57.【變式3】(2023·棗莊模擬)已知數(shù)列{an}的首項a1＝3，且滿足an＋1＋2an＝2n＋2.(1)證明：{an－2n}為等比數(shù)列；(2)已知bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an，n為奇數(shù)，,log2an，n為偶數(shù)，))Tn為{bn}的前n項和，求T10.【解析】(1)證明由an＋1＋2an＝2n＋2可得an＋1－2n＋1＝2n＋1－2an＝－2(an－2n)．又a1－21＝1≠0，所以{an－2n}是以1為首項，－2為公比的等比數(shù)列．(2)解由(1)可得an－2n＝(－2)n－1，即an＝2n＋(－2)n－1.當(dāng)n為奇數(shù)時，bn＝an＝2n＋(－2)n－1＝3×2n－1；當(dāng)n為偶數(shù)時，bn＝log2an＝log2[2n＋(－2)n－1]＝log22n－1＝n－1.所以T10＝(b1＋b3＋b5＋b7＋b9)＋(b2＋b4＋b6＋b8＋b10)＝(3＋3×22＋3×24＋3×26＋3×28)＋(1＋3＋5＋7＋9)＝eq\f(3×1－45,1－4)＋eq\f(1＋9×5,2)＝1048.考向2裂項相消法【例2】（2024·廣東·模擬預(yù)測）令．則的最大值在如下哪個區(qū)間中（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先通過，利用裂項相消法求出，觀察得其最大值可取，然后計算其范圍即可.【詳解】由于根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)或時，取最大值，不妨取，則,又，因為當(dāng)時，所以要比較與的大小，即比較與的大小，故.所以.故選：B.證明：當(dāng)時，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用對式子進行放縮，可以將三角運算轉(zhuǎn)化為非三角運算.【變式1】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且，若首項為的數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2024項和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】已知數(shù)列的前n項和為，做差法計算數(shù)列的通項公式，代入，累加法求出數(shù)列的通項公式，裂項相消即可求出數(shù)列的前2024項和.【詳解】解：，，當(dāng)時，，符合，所以數(shù)列的通項公式為.，，即，，……，又，累加法可得：，即，設(shè)數(shù)列的前項和為，則.故選：D【變式2】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得，后由裂項求和法可得答案.【詳解】注意到，則.則.故選：B【變式3】(2023·沈陽質(zhì)檢)設(shè)n∈N*，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(n－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(n－1,4n－1)，an＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)令bn＝an＋1－an，求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；(2)求證：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<eq\f(3,4).證明(1)由題意可得an＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(n－1)2＋4n－1＝n2＋2n，則bn＝an＋1－an＝[(n＋1)2＋2(n＋1)]－(n2＋2n)＝2n＋3，可得bn＋1－bn＝(2n＋5)－(2n＋3)＝2，故數(shù)列{bn}是首項b1＝5，公差d＝2的等差數(shù)列．(2)由(1)可得eq\f(1,an)＝eq\f(1,n2＋2n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))，∵eq\f(1,n＋1)>0，eq\f(1,n＋2)>0，故eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))<eq\f(3,4).考向3錯位相減法【例3】（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，設(shè)為前項和，，若數(shù)列的前項和，則若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，推得時，可得，利用累乘法，求得數(shù)列的通項公式為，得到，結(jié)合錯位相減法求和，求得，得到，進而求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由為前項和，且，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，則，可得，當(dāng)時，可得，所以，當(dāng)或時，，適合上式，所以數(shù)列的通項公式為，可得，所以，則，可得，所以，因為，所以，又因為對任意的，不等式恒成立，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【變式1】（多選）（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）函數(shù)滿足、，都有，且，則（

）A． B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減C． D．【答案】BCD【分析】令，推導(dǎo)出，令可判斷A選項；分析可知數(shù)列為等比數(shù)列，求出該數(shù)列的通項公式，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷B選項；利用基本不等式可判斷C選項；利用錯位相減法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)滿足、，都有，令，則，即，則，所以，，A錯；對于B選項，令，，可得，所以，，且，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，所以，，即，故數(shù)列單調(diào)遞減，B對；對于C選項，對任意的，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C對；對于D選項，令，①則，②①②可得，因此，，D對.故選：BCD.【變式2】（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）記數(shù)列的前n項和為，且，設(shè)m為整數(shù)，且對任意，，則m的最小值為．【答案】7【分析】利用可證明當(dāng)時數(shù)列是等比數(shù)列，可得，利用錯位相減法可求得，即可求得m的最小值為7.【詳解】因為，所以，當(dāng)時，，故，且不滿足上式，故數(shù)列的通項公式為設(shè)，則，當(dāng)時，，故，于是．整理可得，所以，又，所以符合題設(shè)條件的m的最小值為7．故答案為：7【變式3】(2023·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a2＝1,2Sn＝nan.(1)求{an}的通項公式；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,2n)))的前n項和Tn.【解析】解(1)因為2Sn＝nan，當(dāng)n＝1時，2a1＝a1，即a1＝0；當(dāng)n＝3時，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2，當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝(n－1)an－1，所以2Sn－2Sn－1＝nan－(n－1)an－1＝2an，化簡得(n－2)an＝(n－1)an－1，則當(dāng)n≥3時，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n－2)，則eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a3,a2)＝eq\f(n－1,n－2)·eq\f(n－2,n－3)·…·eq\f(2,1)，即eq\f(an,a2)＝n－1，又因為a2＝1，所以an＝n－1，當(dāng)n＝1,2時都滿足上式，所以an＝n－1，n∈N*.(2)令bn＝eq\f(an＋1,2n)＝eq\f(n,2n)，則Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋…＋eq\f(n－1,2n－1)＋eq\f(n,2n)，①eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋…＋eq\f(n－1,2n)＋eq\f(n,2n＋1)，②由①－②得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))－eq\f(n,2n＋1)＝1－eq\f(2＋n,2n＋1)，即Tn＝2－eq\f(2＋n,2n).考點二：數(shù)列的綜合問題數(shù)列與函數(shù)、不等式，以及數(shù)列新定義的綜合問題，是高考命題的一個方向，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．解決此類問題，一是把數(shù)列看成特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解；二是將新數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，利用特殊數(shù)列的概念、公式、性質(zhì)，結(jié)合不等式的相關(guān)知識求解．規(guī)律方法數(shù)列的“新定義問題”，主要是指定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算等，關(guān)鍵是將新數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，或者找到新數(shù)列的遞推關(guān)系，主要考查的還是數(shù)列的基礎(chǔ)知識．【例4】（2024高三·上海·專題練習(xí)）數(shù)列各項均為實數(shù)，對任意滿足，定義:行列式且行列式為定值，則下列選項中不可能的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】由行列式和得到，故，或，分兩種情況，結(jié)合根的判別式得到答案.【詳解】行列式，對任意滿足，①，即，故②，式子①-②得，故，或，當(dāng)時，數(shù)列為常數(shù)列，此時，D選項可能，當(dāng)，則及，方程有兩個實根，，，A選項，，時，滿足，滿足要求，A選項可能；B選項，，時，，不合要求，舍去；C選項，，時，，滿足要求.故選：B【點睛】新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.【變式1】（2024·河南·模擬預(yù)測）對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“加權(quán)和”．設(shè)數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助與的關(guān)系可計算出數(shù)列的解析式，即可得，則分及兩種情況分類討論，當(dāng)時，為有特殊定義域的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，解出即可得.【詳解】當(dāng)時，，則，即，故，當(dāng)時，，符合上式，故，則，故，因為對任意的恒成立，當(dāng)時，有，即，不符合要求，當(dāng)時，則有，解得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在得到后，可知當(dāng)時，為有特殊定義域的二次函數(shù)，即可結(jié)合二次的函數(shù)的性質(zhì)解題.【變式2】（2024·江蘇徐州·一模）已知數(shù)列的前n項和為，且，．若，則正整數(shù)k的最小值為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】根據(jù)給定的遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列求出，再求解不等式即得.【詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時，，則，整理得，即，而，即，因此數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，，則，由，知為奇數(shù)，此時是遞增的，而，，所以正整數(shù)k的最小值為13.故選：C【變式3】(2023·武漢模擬)將1,2，…，n按照某種順序排成一列得到數(shù)列{an}，對任意1≤i<j≤n，如果ai>aj，那么稱數(shù)對(ai，aj)構(gòu)成數(shù)列{an}的一個逆序?qū)Γ鬾＝4，則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列{an}的個數(shù)為()A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】若n＝4，則1≤i<j≤4，由1,2,3,4構(gòu)成的逆序?qū)τ?4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，若數(shù)列{an}的第一個數(shù)為4，則至少有3個逆序?qū)?；若?shù)列{an}的第二個數(shù)為4，則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列{an}為{1,4,2,3}；若數(shù)列{an}的第三個數(shù)為4，則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列{an}為{1,3,4,2}或{2,1,4,3}；若數(shù)列{an}的第四個數(shù)為4，則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列{an}為{2,3,1,4}或{3,1,2,4}，綜上，恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列{an}的個數(shù)為5.【變式4】(2023·鄭州模擬)“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”．“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運算，最終回到1.對任意正整數(shù)a0，按照上述規(guī)則實施第n次運算的結(jié)果為an(n∈N)，若a5＝1，且ai(i＝1,2,3,4)均不為1，則a0等于()A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或4【答案】B【解析】由題知an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3an＋1，an為奇數(shù)，,\f(an,2)，an為偶數(shù)，))因為a5＝1，則有，若a4為奇數(shù)，則a5＝3a4＋1＝1，得a4＝0，不合題意，所以a4為偶數(shù)，且a4＝2a5＝2；若a3為奇數(shù)，則a4＝3a3＋1＝2，得a3＝eq\f(1,3)，不合題意，所以a3為偶數(shù)，且a3＝2a4＝4；若a2為奇數(shù)，則a3＝3a2＋1＝4，得a2＝1，不合題意，所以a2為偶數(shù)，且a2＝2a3＝8；若a1為奇數(shù)，則a2＝3a1＋1＝8，得a1＝eq\f(7,3)，不合題意，所以a1為偶數(shù)，且a1＝2a2＝16；若a0為奇數(shù)，則a1＝3a0＋1＝16，可得a0＝5；若a0為偶數(shù)，則a0＝2a1＝32.綜上所述，a0＝5或a0＝32.強化訓(xùn)練單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）數(shù)列的前n項和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用數(shù)列分組求和法即得.【詳解】由題意得，所以.故選：C2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）楊輝是我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家和教育家，一生著作頗豐，如《詳解九章算法》和《算法通變本末》等，書中給出了若干二階等差級數(shù)求和公式，如三角垛、四隅垛、方垛等．如圖是某同學(xué)模仿“垛積術(shù)”設(shè)計的一種程序框圖，則輸出的值為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】按照程序框圖中的程序從開始對進行賦值，對進行累加，直至?xí)r條件不再滿足，輸出，即得和的展開式，運用裂項相消法求出即得.【詳解】執(zhí)行題中的程序框圖，得:．故選：C．3．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，則正整數(shù)的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差數(shù)列定義即可得，可得，利用作差法可得為遞減數(shù)列，可得，可得正整數(shù)的最小值為.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，公差，則，可得，所以，則，可知數(shù)列（）是遞減數(shù)列，最大項為，因此，，又是正整數(shù)，即的最小值為，故選：C．4．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯誤，如法國數(shù)學(xué)家費馬于1640年提出了以下猜想：是質(zhì)數(shù)．直到1732年才被善于計算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出，不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)，數(shù)列的前項和為，則使不等式成立的正整數(shù)的最大值為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】結(jié)合已知條件求出的通項公式，并求出，然后利用裂項相消法即可求解.【詳解】依題意，，，則，則，即，而，解得，所以滿足條件的正整數(shù)的最大值為.故選：B【點睛】易錯點睛：使用裂項法求和時，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．5．（2024·陜西·一模）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則數(shù)列的前2024項和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件求出數(shù)列的首項與公差，得到數(shù)列通項，裂項相消求數(shù)列的前2024項和.【詳解】設(shè)的公差為d，由得解得，所以.則數(shù)列的前2024項和為．故選：C6．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）拋一枚硬幣，若拋到正面則停止，拋到反面則繼續(xù)拋，已知該硬幣拋到正反兩面是等可能的，則以上操作硬幣反面朝上的次數(shù)期望為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)獨立事件的概率乘法公式以及錯位相減法求解.【詳解】設(shè)硬幣反面朝上的次數(shù)為，由題可知，每次拋正面朝上的概率為，反面朝上概率為，則所以兩式相減可得，，即，整理得，，因為，所以硬幣反面朝上的次數(shù)期望為1，故選:B.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）若數(shù)列，對于，都有（為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．已知數(shù)列的通項公式為，且具有性質(zhì)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，先將成立變形為時成立，將通項公式代入，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，研究新數(shù)列的單調(diào)性即可解決問題．【詳解】依題意，得，故只需考慮時，，．因為，只需要，即，整理得．令，則，所以對任意的恒成立，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，則，所以，即的取值范圍為．故選：C．8．（2023·山東青島·二模）設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（例如：，），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)時，，即，共有個.又，故，令，利用錯位相減法即可求解.【詳解】當(dāng)時，，即，共有個.因為，故，設(shè)，①則，②①-②,得，所以.所以.故選:B.多選題1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（

）A．為遞減數(shù)列B．C．若，，則的取值范圍為D．【答案】BD【分析】由于為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，求出首項和公差，可得、的表達式，即可判斷B；結(jié)合，判斷A；求出、的表達式，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性，即可判斷C，D.【詳解】由題意知為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由，，得，解得，，則，，則，B正確，由，得不為遞減數(shù)列，A錯誤，因為，由于，故，由于，，故的取值范圍為，C錯誤，由于，故，故D正確，故選：BD2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選題）數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，是意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契在他寫的算盤全數(shù)中提出的，所以它常被稱作斐波那契數(shù)列該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它的前面兩個數(shù)的和．記斐波那契數(shù)列為，其前n項和為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．不一定是偶數(shù) B．C． D．【答案】BCD【分析】對于A，先由特殊值進行歸納、猜想，可得答案；對于B，由題意，根據(jù)求和定義和數(shù)列特點，直接求和；對于C，先求前面幾個式子成立，可得規(guī)律，解得答案；對于D，由題意，根據(jù)裂項相消的原理，可得答案.【詳解】對于A選項，為奇數(shù)，，為偶數(shù)，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，…，以此類推，觀察分析發(fā)現(xiàn)，這個數(shù)列的數(shù)字是按照奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)這三個一組循環(huán)排列的，故A不正確；對于B選項，又，，故B正確；對于C選項，，，以此類推，故C正確；對于D選項，，所以，故D正確．故選：BCD.3．（2024·山東煙臺·一模）給定數(shù)列，定義差分運算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對任意，總存在，使得D．對任意，總存在，使得【答案】BC【分析】由已知求出及范圍判斷AB；利用累加法結(jié)合錯位相減法求和求出及范圍判斷C；求出及的范圍判斷D.【詳解】對于A，由，得，顯然有最小值4，無最大值，因此不存在，使得恒成立，A錯誤；對于B，由選項A知，，則，顯然當(dāng)時，恒成立，B正確；對于C，由，得，當(dāng)時，即，于是，兩式相減得，因此，顯然滿足上式，則，由，得數(shù)列是遞增數(shù)列，有最小值1，無最大值，從而對任意，總存在，使得，C正確；對于D，，由選項C得，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，因此對任意，不存在，使得成立，D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.填空題1．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，，和的等差中項為，設(shè)，則數(shù)列的前項和為【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義、求和公式性質(zhì)，等差中項求，再化簡得，最后利用錯位相減法計算求和即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，則，所以，故①②①－②，得，所以．故答案為：.2．（2024·廣西南寧·一模）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是，接下來的兩項是，再接下來的三項是，依此類推，若該數(shù)列的前項和為，若，則稱為“好數(shù)對”，如，，則都是“好數(shù)對”，當(dāng)時，第一次出現(xiàn)的“好數(shù)對”是．【答案】【分析】結(jié)合數(shù)列的項的規(guī)律求出該數(shù)列前項的和為，令，求出k的范圍，即可確定當(dāng)時，滿足為2的整數(shù)冪的n的最小值，即可求得答案.【詳解】若，則為2的整數(shù)冪，將數(shù)列排成如下形式：……第k行為，第k行的和為，該數(shù)列前項的和為，令，則，此時可用以2為底的整數(shù)冪表示，當(dāng)時，有，此時共有項，不滿足總項數(shù)；當(dāng)時，有，此時共有項，不滿足總項數(shù)；當(dāng)時，有，此時共有項，滿足總項數(shù)；所以n的最小值為，此時，，所以當(dāng)時，第一次出現(xiàn)的“好數(shù)對”是，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是給出新的定義類問題，解答首要理解新定義的含義，由此去解答問題，解答本題的關(guān)鍵是求出當(dāng)時，滿足為2的整數(shù)冪的n的最小值.3．（2024·河北·一模）已知等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比相等，且，，，則；若數(shù)列和的所有項合在一起，從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則使得成立的的最小值為．【答案】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，可得出數(shù)列的通項公式；設(shè)滿足不等式的正整數(shù)的最小值為，推導(dǎo)出，設(shè)，其中且，根據(jù)可得出關(guān)于的不等式，求出的最小值，即可得出的值，即為所求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則等差數(shù)列的公差為，則，，，解得，，，所以，，，由，整理可得，數(shù)列的各項分別為：、、、、、、、、、，其中前若干項中，數(shù)列有項，數(shù)列有項，所以，是數(shù)列的第項，所以，，所以，，令，整理可得，令，則有，解得，因為，所以，，可得，所以，滿足不等式的正整數(shù)的最小值為，同理可知，滿足不等式的正整數(shù)的最大值為，所以滿足不等式的正整數(shù)的最小值，即，設(shè)，其中且，則，，由，整理可得，解得，所以自然數(shù)的最小值為，所以.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用數(shù)列不等式求參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵在于確定滿足條件的正整數(shù)的最小值所在的區(qū)間，并引入合適的參數(shù)，求出相應(yīng)的參數(shù)的值，進而得解,四、解答題1．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，，．(1)求的通項公式及；(2)設(shè)______，求數(shù)列的前n項和．在①；②；③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解．注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)，；(2)答案見解析【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由題意列方程求出首項和公差，即可求得答案；（2）不論選①、選②還是選③，都要利用（1）的結(jié)果，可得的表達式，利用裂項相消法求和，即得答案.【詳解】（1）由題意知等差數(shù)列的前n項和為，，，設(shè)公差為d，則，解得，故，；（2）若選①，則，故；若選②，則，故；若選③，則，故.2．（2024·吉林白山·二模）已知數(shù)列的前項和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項數(shù)有限為；②；③，則稱數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.(1)若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項公式；(2)若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項公式；(3)已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請給出證明過程；若不能，請說明理由.【答案】(1)或(2)(3)不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)和討論，利用等比數(shù)列前n項和結(jié)合數(shù)列新定義求解即可；（2）結(jié)合數(shù)列定義，利用等差數(shù)列的前n項和及通項公式求解即可；（3）根據(jù)數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”求得，再利用數(shù)列的前項和得，然后推得與不能同時成立，即可判斷.【詳解】（1）若，則，解得，則，與題設(shè)矛盾，舍去；若，則，得，而，解得或，故或.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為