高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略(新高考專(zhuān)用)微重點(diǎn)09　截面、交線(xiàn)問(wèn)題(3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

微重點(diǎn)09截面、交線(xiàn)問(wèn)題（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）“截面、交線(xiàn)”問(wèn)題是高考立體幾何問(wèn)題最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些動(dòng)態(tài)的線(xiàn)、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力．求截面、交線(xiàn)問(wèn)題，一是與解三角形、多邊形面積、扇形弧長(zhǎng)、面積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類(lèi)講解考點(diǎn)一：截面問(wèn)題規(guī)律方法作幾何體截面的方法(1)利用平行直線(xiàn)找截面．(2)利用相交直線(xiàn)找截面．考向1多面體中的截面問(wèn)題【例1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，與直線(xiàn)垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），當(dāng)，分別為棱，的中點(diǎn)時(shí)，則過(guò)，，三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為邊形．

【變式2】（23-24高三下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面為矩形，為的中點(diǎn)，平面截得四棱錐上、下兩部分的體積比為.【變式3】(多選）（2023·河北承德·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六棱柱的各棱長(zhǎng)均為1，下列選項(xiàng)正確的有（

）A．過(guò)A，，三點(diǎn)的平面截該六棱柱的截面面積為B．過(guò)A，，三點(diǎn)的平面將該六棱柱分割成體積相等的兩部分C．以A為球心，1為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線(xiàn)總長(zhǎng)為D．以A為球心，2為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線(xiàn)總長(zhǎng)為考向2球的截面問(wèn)題【例2】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若將沿BD翻折到的位置，使得二面角為，N為的四等分點(diǎn)靠近D點(diǎn)，已知點(diǎn)，B，C，D都在球O的表面上，過(guò)N作球O的截面，則截球所得截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為．【變式2】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知球的直徑，、是該球面上的兩點(diǎn)，且，，，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．考點(diǎn)二交線(xiàn)問(wèn)題規(guī)律方法找交線(xiàn)的方法(1)線(xiàn)面交點(diǎn)法：各棱線(xiàn)與截平面的交點(diǎn)．(2)面面交點(diǎn)法：各棱面與截平面的交線(xiàn)．考向1多面體中的交線(xiàn)問(wèn)題【例3】（23-24高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知在正方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，記平面與側(cè)面，底面的交線(xiàn)分別為，，則（

）A．的長(zhǎng)度為 B．的長(zhǎng)度為C．的長(zhǎng)度為 D．的長(zhǎng)度為【變式1】（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABCD－A1B1C1D1，平面滿(mǎn)足，若直線(xiàn)AC到平面的距離與BC1到平面的距離相等，平面與此正方體的面相交，則交線(xiàn)圍成的圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【變式2】（23-24高三下·北京海淀·階段練習(xí)）“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）若某“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線(xiàn)互相垂直B．該“十字貫穿體”的表面積是C．該“十字貫穿體”的體積是D．一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)B的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為【變式3】（多選）（23-24高三上·湖北·期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F、G分別在棱、、上，滿(mǎn)足，，記平面與平面的交線(xiàn)為，則（

）A．存在使得平面截正方體所得截面圖形為四邊形B．當(dāng)時(shí)，三棱錐體積為C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為D．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為考向2與球有關(guān)的交線(xiàn)問(wèn)題【例4】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）某圓柱的軸截面是面積為12的正方形為圓柱底面圓弧的中點(diǎn)，在圓柱內(nèi)放置一個(gè)球，則當(dāng)球的體積最大時(shí)，平面與球的交線(xiàn)長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，以為球心，為半徑作球，則球面與底面的交線(xiàn)長(zhǎng)度的和為（

）

A． B． C． D．【變式2】（22-23高三上·河北保定·期末）已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，以BD為直徑的球面與的交線(xiàn)為L(zhǎng)，則交線(xiàn)L的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【變式3】（多選）（23-24高三上·遼寧·開(kāi)學(xué)考試）若平面與一個(gè)球只有一個(gè)交點(diǎn)，則稱(chēng)該平面為球的切平面．過(guò)球面上一點(diǎn)恒能作出唯一的切平面，且該點(diǎn)處的半徑與切平面垂直．已知在空間直角坐標(biāo)系中，球O的半徑為1．記平面，平面，平面分別為．過(guò)球面上一點(diǎn)作切平面，且與的交線(xiàn)為，下列說(shuō)法正確的是（

）.A．的一個(gè)方向向量為.B．的方程為.C．過(guò)正半軸上一點(diǎn)作與原點(diǎn)距離為1的直線(xiàn)，設(shè)，若，則h的取值范圍為.D．過(guò)球面上任意一點(diǎn)作切平面，記，，，分別為到原點(diǎn)的距離，則強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（22-23高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知正四面體的棱長(zhǎng)為，為上一點(diǎn)，且，則截面的面積是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）已知一正方體木塊的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)在校上，且.現(xiàn)過(guò)三點(diǎn)作一截面將該木塊分開(kāi)，則該截面的面積為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若平面截球所得截面圓的面積為，且球心到平面的距離為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過(guò)直線(xiàn)EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西榆林·一模）已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（

）A． B． C． D．6．（2024·四川成都·二模）在正方體中，、分別是棱、靠近下底面的三等分點(diǎn)，平面平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過(guò)點(diǎn)B．C．過(guò)點(diǎn)的截面是三角形D．過(guò)點(diǎn)的截面是四邊形7．（22-23高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知三棱錐的棱，，兩兩互相垂直，，以頂點(diǎn)為球心，1為半徑作一個(gè)球，球面與該三棱錐的表面相交得到的交線(xiàn)最長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．8．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作三棱錐的截面，使截面平行于直線(xiàn)和，當(dāng)該截面面積取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．二、多選題1．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)正四面體形狀的木塊，其棱長(zhǎng)為.現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開(kāi)，則下列關(guān)于截面的說(shuō)法中正確的是（

）

A．過(guò)棱的截面中，截面面積的最小值為B．若過(guò)棱的截面與棱（不含端點(diǎn)）交于點(diǎn)，則C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為D．與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面有7個(gè)2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，已知正三棱臺(tái)是由一個(gè)平面截棱長(zhǎng)為6的正四面體所得，其中，以點(diǎn)A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線(xiàn)為曲線(xiàn)為上一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．點(diǎn)A到平面的距離為 B．曲線(xiàn)的長(zhǎng)度為C．的最小值為 D．所有線(xiàn)段所形成的曲面的面積為3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，將沿DE折起，連接AB，AC，得到四棱錐，則（

）A．存在使的四棱錐B．四棱錐體積的最大值是C．平面ABE與平面ACD的交線(xiàn)平行于底面D．在平面ABC與平面ADE的交線(xiàn)上存在點(diǎn)F，使得三、填空題1．（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）在正四面體中，M為PA邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作該正四面體外接球的截面，記最大的截面半徑為R，最小的截面半徑為r，則；若記該正四面體和其外接球的體積分別為和，則．2．（23-24高三下·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）在正三棱錐A－BCD中，底面△BCD的邊長(zhǎng)為4，E為AD的中點(diǎn)，AB⊥CE，則以AD為直徑的球截該棱錐各面所得交線(xiàn)長(zhǎng)為.3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在三棱柱中，四面體是棱長(zhǎng)為2的正四面體，為棱的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)且與垂直，則與三棱柱表面的交線(xiàn)的長(zhǎng)度之和為．四、解答題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知正方體，棱長(zhǎng)為2.(1)求證：平面；(2)若平面平面，且平面與正方體的棱相交，當(dāng)截面面積最大時(shí)，在所給圖形上畫(huà)出截面圖形（不必說(shuō)出畫(huà)法和理由），并求出截面面積的最大值；(3)在（2）的情形下，設(shè)平面與正方體的棱、、交于點(diǎn)、、，當(dāng)截面的面積最大時(shí)，求二面角的余弦值.2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）四棱錐的底面為矩形，，，高，O為底面對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò)底面對(duì)角線(xiàn)BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面積.3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）單位正方體中，和上各有一點(diǎn)E，F(xiàn)，且，過(guò)A，E，F(xiàn)作正方體的截面，是否可能是正三角形？正方形？4．（23-24高三下·貴州·階段練習(xí)）如圖，已知正方體，為的中點(diǎn).(1)過(guò)作出正方體的截面，使得截面平行于平面，并說(shuō)明理由；(2)為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且直線(xiàn)與截面所成角的正弦值為，求.5．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）正三棱臺(tái)中，下底面的邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱與底面成角60°，過(guò)AB作截面垂直于，求截面面積.微重點(diǎn)09截面、交線(xiàn)問(wèn)題（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）“截面、交線(xiàn)”問(wèn)題是高考立體幾何問(wèn)題最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些動(dòng)態(tài)的線(xiàn)、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力．求截面、交線(xiàn)問(wèn)題，一是與解三角形、多邊形面積、扇形弧長(zhǎng)、面積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類(lèi)講解考點(diǎn)一：截面問(wèn)題規(guī)律方法作幾何體截面的方法(1)利用平行直線(xiàn)找截面．(2)利用相交直線(xiàn)找截面．考向1多面體中的截面問(wèn)題【例1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，與直線(xiàn)垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先確定截面的形狀，再通過(guò)幾何計(jì)算，確定面積的最大值.【詳解】連結(jié)，因?yàn)槠矫?，平面，所以且，平面，所以平面，平面，所以，同理，且，平面，所以平面；所以平面為平面或與其平行的平面，只能為三角形或六邊形.當(dāng)為三角形時(shí)，其面積的最大值為；當(dāng)為六邊形時(shí)，此時(shí)的情況如圖所示，設(shè)，則，依次可以表示出六邊形的邊長(zhǎng)，如圖所示：六邊形可由兩個(gè)等腰梯形構(gòu)成，其中，兩個(gè)等腰梯形的高分別為，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，六邊形面積最大，即截面是正六邊形時(shí)截面面積最大，最大值為.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵1是理解題意，并能利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，直觀象限和數(shù)學(xué)計(jì)算相結(jié)合，2是確定平面，從而將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體計(jì)算.【變式1】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），當(dāng)，分別為棱，的中點(diǎn)時(shí)，則過(guò)，，三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為邊形．

【答案】五【分析】利用線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面平行的性質(zhì)作出截面即可判斷.【詳解】

如圖，取中點(diǎn)，連接，有，且，則四邊形是平行四邊形，有，過(guò)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，此時(shí)，則，即為過(guò)，，三點(diǎn)的平面與平面的交線(xiàn)，連接，在上取點(diǎn)，使得，連接，同證的方法得，在棱上取點(diǎn)，使，連接并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于，則，即，而，于是四邊形是平行四邊形，有，則為過(guò)，，三點(diǎn)的平面與平面的交線(xiàn)，連接，則可得五邊形即為正方體中過(guò)，，三點(diǎn)的截面．故答案為：五【變式2】（23-24高三下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面為矩形，為的中點(diǎn)，平面截得四棱錐上、下兩部分的體積比為.【答案】【分析】設(shè)四棱錐的體積為，取的中點(diǎn)，連接、、、，即可得到為截面，再根據(jù)錐體的體積公式得到，從而得解.【詳解】設(shè)四棱錐的體積為，取的中點(diǎn)，連接、、、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，又，所以，，所以、、、四點(diǎn)共面，即為截面，又，其中，，所以，即截面截得四棱錐上部分的體積為，則下部分的體積為，所以平面截得四棱錐上、下兩部分的體積比為.故答案為：【變式3】(多選）（2023·河北承德·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六棱柱的各棱長(zhǎng)均為1，下列選項(xiàng)正確的有（

）A．過(guò)A，，三點(diǎn)的平面截該六棱柱的截面面積為B．過(guò)A，，三點(diǎn)的平面將該六棱柱分割成體積相等的兩部分C．以A為球心，1為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線(xiàn)總長(zhǎng)為D．以A為球心，2為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線(xiàn)總長(zhǎng)為【答案】ACD【分析】對(duì)于A：根據(jù)平行關(guān)系分析交線(xiàn)，進(jìn)而運(yùn)算求解；對(duì)于B：利用割補(bǔ)法求體積，分析運(yùn)算；對(duì)于C、D：根據(jù)球的半徑分析交線(xiàn)，運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于A：過(guò)點(diǎn)A作//，設(shè)，連接，設(shè)，則過(guò)A，，三點(diǎn)的平面截該六棱柱的截面即為，可得，因?yàn)?，?/，則，可得，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，平面，可得平面，平面，則，由//，則，連接，則，故截面面積，故A正確；對(duì)于B：連接CE，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，，平面，可得平面，則四棱錐的高為，則其體積，四棱柱的體積，三棱柱的體積，故平面下半部分的體積，正六棱柱的體積，顯然，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)榍虻陌霃綖?，則球只與側(cè)面、側(cè)面和底面相交，因?yàn)?，在?cè)面、側(cè)面的交線(xiàn)為個(gè)圓，在底面的交線(xiàn)為個(gè)圓，半徑均為1，故交線(xiàn)的長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)榍虻陌霃綖?，顯然球不與側(cè)面、側(cè)面相交，由選項(xiàng)A可知：平面，且，則球與側(cè)面、側(cè)面分別交于點(diǎn)、，連接，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，平面，可得平面，且，則球與側(cè)面的交線(xiàn)為個(gè)圓，且半徑為1，同理可得：球與側(cè)面的交線(xiàn)為個(gè)圓，且半徑為1，又因?yàn)槠矫妫?，則球與底面的交線(xiàn)為個(gè)圓，且半徑為，又因?yàn)椋瑒t球與底面的交點(diǎn)為D，所以球面與該六棱柱的各面的交線(xiàn)總長(zhǎng)為，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法定睛：在立體幾何中，某些點(diǎn)、線(xiàn)、面按照一定的規(guī)則運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間軌跡與探求平面軌跡類(lèi)似，應(yīng)注意幾何條件，善于基本軌跡轉(zhuǎn)化．對(duì)于較為復(fù)雜的軌跡，常常要分段考慮，注意特定情況下的動(dòng)點(diǎn)的位置，然后對(duì)任意情形加以分析判定，也可轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．對(duì)每一道軌跡命題必須特別注意軌跡的純粹性與完備性.考向2球的截面問(wèn)題【例2】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若將沿BD翻折到的位置，使得二面角為，N為的四等分點(diǎn)靠近D點(diǎn)，已知點(diǎn)，B，C，D都在球O的表面上，過(guò)N作球O的截面，則截球所得截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】記BC的中點(diǎn)為O，可得O為外接球球心，當(dāng)截面時(shí)，截面面積最小，再利用余弦定理及截面小圓性質(zhì)計(jì)算求解.【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)為O，由正方形的邊長(zhǎng)為4，則，因此O為空間四邊形的外接球球心，外接球半徑，設(shè)球心到平面的距離為d，截面圓的半徑為r，則有，即，當(dāng)截面時(shí)，d最大，此時(shí)截面面積最小，且，在中，，，，由余弦定理可得，，此時(shí)，所以截面面積最小值為.故選：D【變式1】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為．【答案】【分析】利用球的截面圓性質(zhì)求得球的半徑，再利用球的體積公式即可得解.【詳解】由球的截面圓性質(zhì)可知球的半徑，則該球的體積為.故答案為：.【變式2】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知球的直徑，、是該球面上的兩點(diǎn)，且，，，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理證明，設(shè)的外心為中點(diǎn)，可得平面，由計(jì)算得解.【詳解】設(shè)球心為，連結(jié)、，為球的直徑，A、是球面上的點(diǎn)，．又，，，，，．又，，，設(shè)的外心為中點(diǎn)，連接，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，，，，三棱錐的體積為．故選：C．考點(diǎn)二交線(xiàn)問(wèn)題規(guī)律方法找交線(xiàn)的方法(1)線(xiàn)面交點(diǎn)法：各棱線(xiàn)與截平面的交點(diǎn)．(2)面面交點(diǎn)法：各棱面與截平面的交線(xiàn)．考向1多面體中的交線(xiàn)問(wèn)題【例3】（23-24高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知在正方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，記平面與側(cè)面，底面的交線(xiàn)分別為，，則（

）A．的長(zhǎng)度為 B．的長(zhǎng)度為C．的長(zhǎng)度為 D．的長(zhǎng)度為【答案】A【分析】做出截面，確定線(xiàn)段，，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可得解.【詳解】如圖所示，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，則即為，即為，由，得，所以，，由，得，則，所以，故C，D項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，又易知，得，所以，所以，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于利用平面的性質(zhì)作出截面，從而得到為，為，由此得解.【變式1】（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABCD－A1B1C1D1，平面滿(mǎn)足，若直線(xiàn)AC到平面的距離與BC1到平面的距離相等，平面與此正方體的面相交，則交線(xiàn)圍成的圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【分析】設(shè)分別為的中點(diǎn)，證明6點(diǎn)共面，為六邊形，再證明此平面滿(mǎn)足條件即可得解.【詳解】如圖，設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，，，，同理可得，，，共面，平面，平面，平面，同理可得平面，為的中點(diǎn)，到平面的距離與到平面的距離相等，即平面為所求的平面，故與正方體交線(xiàn)為正六邊形.故選：D【變式2】（23-24高三下·北京海淀·階段練習(xí)）“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）若某“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線(xiàn)互相垂直B．該“十字貫穿體”的表面積是C．該“十字貫穿體”的體積是D．一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)B的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為【答案】C【分析】對(duì)于A：求出，看是否符合勾股定理即可；對(duì)于B：該“十字貫穿體”由個(gè)正方形和個(gè)與梯形全等的梯形組成，分別求出來(lái)即可；對(duì)于C：求出兩個(gè)正四棱錐重疊部分為多面體的體積，然后求整個(gè)幾何體的體積；對(duì)于D：將面，面，面繞著面與面之間的交線(xiàn)旋轉(zhuǎn)到與面共面，則線(xiàn)段的長(zhǎng)即為所求.【詳解】依題意，不妨設(shè)該幾何體中心對(duì)稱(chēng)，對(duì)于A：在梯形中，，，則，所以，即一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線(xiàn)不互相垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：該“十字貫穿體”由個(gè)正方形和個(gè)與梯形全等的梯形組成，故表面積，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：如圖兩個(gè)正四棱錐重疊部分為多面體，取的中點(diǎn)，則多面體可以分成個(gè)全等的三棱錐，又，所以該“十字貫穿體”的體積是，C正確；對(duì)于D：將面，面，面繞著面與面之間的交線(xiàn)旋轉(zhuǎn)到與面共面，如圖：則，所以為鈍角，連接，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)B的最短路線(xiàn)長(zhǎng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，又，所以，則，D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于幾何體表面距離和問(wèn)題，一般通過(guò)將各面旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題，然后距離最小問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短或者垂線(xiàn)段最短的問(wèn)題來(lái)解答.【變式3】（多選）（23-24高三上·湖北·期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F、G分別在棱、、上，滿(mǎn)足，，記平面與平面的交線(xiàn)為，則（

）A．存在使得平面截正方體所得截面圖形為四邊形B．當(dāng)時(shí)，三棱錐體積為C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為D．當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為【答案】BD【分析】對(duì)于，對(duì)分情況討論，圖形展示即可；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，得出平面，利用等體積可求體積；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球心在過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)，且垂直于平面的直線(xiàn)上，可求出，得表面積；對(duì)于，求出的方向向量與平面法向量，利用向量公式可得答案.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4，以為原點(diǎn)，以、、所在的直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

對(duì)于A選項(xiàng)，時(shí)，在點(diǎn)，，由可知，所以截面即為四邊形；由圖形知，截面為五邊形或六邊形．故A錯(cuò)誤．

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以平面，，又平面，所以，三棱錐體積為，故B正確．對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，且平面，所以根據(jù)球的性質(zhì)容易判斷，三棱錐的外接球的球心在過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)，且垂直于平面的直線(xiàn)上，，，所以的中點(diǎn)，可記球心，，外接球的半徑，解得，，所以三棱錐的外接球表面積為，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以可取，由平面知，平面的法向量為，記平面與平面的交線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則，令，則，，所以可取，又平面的法向量為，則，，，設(shè)與平面所成的角為，則，故D正確．故選：BD．考向2與球有關(guān)的交線(xiàn)問(wèn)題【例4】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）某圓柱的軸截面是面積為12的正方形為圓柱底面圓弧的中點(diǎn)，在圓柱內(nèi)放置一個(gè)球，則當(dāng)球的體積最大時(shí)，平面與球的交線(xiàn)長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件知當(dāng)球的體積最大時(shí)，球與圓柱的上下底面及母線(xiàn)均相切，作出圖形后，計(jì)算即可.【詳解】由題意知，當(dāng)球的體積最大時(shí)，球與圓柱的上下底面及母線(xiàn)均相切，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為12，所以，如圖1，記所在底面的圓心為所在底面的圓心為，平面與球的交線(xiàn)為圓形，如圖即為截面圓的直徑，易知，易知RtRt，故，所以，所以交線(xiàn)長(zhǎng)為.故選:D.【變式1】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，以為球心，為半徑作球，則球面與底面的交線(xiàn)長(zhǎng)度的和為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由等體積公式求出截面圓的半徑為，畫(huà)出截面圖形，再利用H為的中心，求出，再利用弦長(zhǎng)公式求出，最后求出交線(xiàn)長(zhǎng)度.【詳解】由題意知三棱錐為正三棱錐，故頂點(diǎn)在底面的射影為的中心，連接，由，得，所以，因?yàn)榍虻陌霃綖椋越孛鎴A的半徑，所以球面與底面的交線(xiàn)是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，如圖所示

易求，所以，易得，所以，所以交線(xiàn)長(zhǎng)度和為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題為空間幾何體交線(xiàn)問(wèn)題，找到球面與三棱錐的表面相交所得到的曲線(xiàn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.具體做法為由等體積公式求出截面圓的半徑，畫(huà)出截面圖形，再利用H為的中心，求出，再利用弦長(zhǎng)公式求出，最后求出交線(xiàn)長(zhǎng)度.【變式2】（22-23高三上·河北保定·期末）已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，以BD為直徑的球面與的交線(xiàn)為L(zhǎng)，則交線(xiàn)L的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別取的中點(diǎn)，由題意分析知，以BD為直徑的球面與的交線(xiàn)為外接圓周長(zhǎng)的，求出的外接圓半徑，求解即可.【詳解】取BD的中點(diǎn)為，所以為球心，過(guò)作平面于點(diǎn)，即為的中心，延長(zhǎng)交所以交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，，取的中點(diǎn)，連接，，則平面，因?yàn)槠矫?，即，且，，所以為以BD為直徑的球面上一點(diǎn)，分別取的中點(diǎn)，連接，且，所以也為以BD為直徑的球面上一點(diǎn)，則為等邊三角形，的外接圓即為四邊形的外接圓，為外接圓的半徑，所以，所以以BD為直徑的球面與的交線(xiàn)L長(zhǎng)為外接圓周長(zhǎng)的，所以.故選：A.【變式3】（多選）（23-24高三上·遼寧·開(kāi)學(xué)考試）若平面與一個(gè)球只有一個(gè)交點(diǎn)，則稱(chēng)該平面為球的切平面．過(guò)球面上一點(diǎn)恒能作出唯一的切平面，且該點(diǎn)處的半徑與切平面垂直．已知在空間直角坐標(biāo)系中，球O的半徑為1．記平面，平面，平面分別為．過(guò)球面上一點(diǎn)作切平面，且與的交線(xiàn)為，下列說(shuō)法正確的是（

）.A．的一個(gè)方向向量為.B．的方程為.C．過(guò)正半軸上一點(diǎn)作與原點(diǎn)距離為1的直線(xiàn)，設(shè)，若，則h的取值范圍為.D．過(guò)球面上任意一點(diǎn)作切平面，記，，，分別為到原點(diǎn)的距離，則【答案】AC【分析】對(duì)于A，由題可求得切平面與平面的法向量，設(shè)的方向向量為，利用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求得；對(duì)于B，確定的位置，進(jìn)而求得其方程；對(duì)于C，利用線(xiàn)面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得，知當(dāng)與相切時(shí)，切點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)與軸的交點(diǎn)正是點(diǎn)最低的位置即可求得；對(duì)于D，分析可知，，，再結(jié)合柯西不等式可得.【詳解】對(duì)于A，由于球面上切點(diǎn)處的半徑垂直于切點(diǎn)處的切平面，所以切平面的一個(gè)法向量是，平面的一個(gè)法向量是，因?yàn)榻痪€(xiàn)同時(shí)在與的內(nèi)，所以且，設(shè)的方向向量為，則，取，故A正確.對(duì)于B，設(shè)，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作于，則，，由于與共線(xiàn)，且,得，從而，因此，所以，結(jié)合A選項(xiàng)，取，易知，直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，所以設(shè)的一般方程為，代入點(diǎn)可得，解得，因此的方程為，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然與球O相切，所有的組成雙錐面，雙錐面與平面的交線(xiàn)即為圓.由于，因此圓與直線(xiàn)相離.臨界條件下，與相切，的半徑長(zhǎng)即為，下面證明，，，；，，；因?yàn)椋矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?當(dāng)與相切時(shí)，切點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)與軸的交點(diǎn)正是點(diǎn)最低的位置.由得，從而得到，因此，故C正確.對(duì)于D，分析得知，，由對(duì)稱(chēng)性得知，，，點(diǎn)半徑為1的球的面上，有，顯然有，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，但，故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查立體幾何與平面解析幾何的綜合問(wèn)題，解題時(shí)主要要清楚直線(xiàn)與球的切結(jié)關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯思維能力與空間想象能力，屬于難題.強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（22-23高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知正四面體的棱長(zhǎng)為，為上一點(diǎn)，且，則截面的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在立體圖形中作平面幾何分析，利用余弦定理和面積公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以在正三角形中，由余弦定理可知：因?yàn)楹投际钦切?，所?所以，所以，所以是等腰三角形，取中點(diǎn)，則，所以，.故選:D.2．（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）已知一正方體木塊的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)在校上，且.現(xiàn)過(guò)三點(diǎn)作一截面將該木塊分開(kāi)，則該截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，則四邊形為平行四邊形，即平行四邊形為所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函數(shù)關(guān)系和三角形的面積公式求出，即可求解.【詳解】如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以與相交于且為的中點(diǎn)，又在上，所以與相交于，且O平分，，所以四點(diǎn)四點(diǎn)共面且四邊形為平行四邊形，所以過(guò)三點(diǎn)的截面是平行四邊形，，，，故截面面積為.故選：A.3．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若平面截球所得截面圓的面積為，且球心到平面的距離為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面小圓性質(zhì)及球的面積公式計(jì)算即得.【詳解】由平面截球所得截面圓的面積為，得此截面小圓半徑，而球心到此小圓距離，因此球的半徑，有，所以球的表面積.故選：C4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過(guò)直線(xiàn)EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可求得正方體的外接球球心位置，易知當(dāng)截面面積最大時(shí)，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑，當(dāng)截面與OP垂直時(shí)，截面面積最??；分別求出對(duì)應(yīng)的半徑大小即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，正方體的外接球球心在其中心點(diǎn)處，設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為，則外接球的半徑，要使過(guò)直線(xiàn)EF的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，連接OE，OF，OP，則，，所以，此時(shí)截面圓的半徑．顯然當(dāng)截面面積最大時(shí)，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑；所以．故選：D．5．（2024·陜西榆林·一模）已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，由平面幾何知識(shí)得截面與球心的距離為，利用勾股定理求得的值，由題意可知球心到所求截面的距離最大時(shí)截面面積最小，利用面積公式，即可得答案.【詳解】如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，因?yàn)?，所?由勾股定理，得，由題意得，所以，解得，此時(shí)過(guò)點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.設(shè)球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，所以只需球心到所求截面的距離最大即可，而當(dāng)且僅當(dāng)與所求截面垂直時(shí)，球心到所求截面的距離最大，即，所以.故選：C6．（2024·四川成都·二模）在正方體中，、分別是棱、靠近下底面的三等分點(diǎn)，平面平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過(guò)點(diǎn)B．C．過(guò)點(diǎn)的截面是三角形D．過(guò)點(diǎn)的截面是四邊形【答案】B【分析】取靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，的另一個(gè)三等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、、、，即可證明五邊形即為過(guò)點(diǎn)的截面，即可判斷.【詳解】如圖取靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，的另一個(gè)三等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、、、，依題意可得且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可證、，所以，又、為的三等分點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以，則，所以、、、四點(diǎn)共面，又，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，所以、、、、共面，所以五邊形即為過(guò)點(diǎn)的截面，平面平面，所以.故選：B.7．（22-23高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知三棱錐的棱，，兩兩互相垂直，，以頂點(diǎn)為球心，1為半徑作一個(gè)球，球面與該三棱錐的表面相交得到的交線(xiàn)最長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件可得球與三棱錐的表面的交線(xiàn)均為以點(diǎn)為頂點(diǎn)，半徑為，圓心角為的圓弧，然后利用等體積法算出點(diǎn)到平面的距離，然后可得球與表面的交線(xiàn)為以的中心為圓心，半徑為的圓，然后可得答案.【詳解】因?yàn)槿忮F的棱，，兩兩互相垂直，，所以球與三棱錐的表面的交線(xiàn)均為以點(diǎn)為頂點(diǎn)，半徑為，圓心角為的圓弧，其長(zhǎng)度為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，由可得，解得，所以球與表面的交線(xiàn)為以的中心為圓心，半徑為的圓，其長(zhǎng)度為，因?yàn)?，所以以頂點(diǎn)為球心，1為半徑作一個(gè)球，球面與該三棱錐的表面相交得到的交線(xiàn)最長(zhǎng)為，故選：D8．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作三棱錐的截面，使截面平行于直線(xiàn)和，當(dāng)該截面面積取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過(guò)作平行線(xiàn)作出題中的截面，并結(jié)合線(xiàn)面平行以及線(xiàn)面垂直說(shuō)明其為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長(zhǎng)，并求得其面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定截面面積取得最大值時(shí)參數(shù)的值，解直角三角形即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)；在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)；在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，

因?yàn)?，則，設(shè)其相似比為，即，則；又因?yàn)?，，，由余弦定理得，，則，即.又平面，，平面，所以，.又，則，.因?yàn)?，則，則，因?yàn)椋?，即，同理可得，即，因?yàn)?，，則，故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，故平面，同理平面，即四邊形為截面圖形；又平面，平面，則，又，所以.故平行四邊形為矩形，則，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，則，在中，.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先作平行線(xiàn)作出題中的截面，再證明四邊形為符合題意的截面圖形，結(jié)合線(xiàn)面平行以及線(xiàn)面垂直說(shuō)明四邊形為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長(zhǎng)，并求得其面積表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出最值得解.二、多選題1．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)正四面體形狀的木塊，其棱長(zhǎng)為.現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開(kāi)，則下列關(guān)于截面的說(shuō)法中正確的是（

）

A．過(guò)棱的截面中，截面面積的最小值為B．若過(guò)棱的截面與棱（不含端點(diǎn)）交于點(diǎn)，則C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為D．與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面有7個(gè)【答案】ACD【分析】利用平面的性質(zhì)確定截面，再解三角形即可判定A、B，利用基本不等式可判定C，利用空間想象結(jié)合圖形性質(zhì)分類(lèi)討論可判定D項(xiàng).【詳解】設(shè)截面與棱的交點(diǎn)為，對(duì)于A項(xiàng)，如圖1，過(guò)棱的截面為，易知當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，,且，平面，故平面，取的中點(diǎn)，連接，則，又平面，，即是異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)，，故此時(shí)的面積取得最小值，最小值為，正確；

對(duì)于B項(xiàng)，易知，故結(jié)合A項(xiàng)，可設(shè)，在中，由余弦定理，所以，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，如圖2，當(dāng)截面為平行四邊形時(shí)，，，由正四面體的性質(zhì)可知，故，從而平行四邊形為長(zhǎng)方形.設(shè)，則，所以長(zhǎng)方形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，正確；

對(duì)于D項(xiàng)，與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面分為兩類(lèi).第一類(lèi)：平行于正四面體的一個(gè)面，且到頂點(diǎn)和到底面距離相等，這樣的截面有4個(gè).第二類(lèi)：平行于正四面體的兩條對(duì)棱，且到兩條棱距離相等，這樣的截面有3個(gè).故與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面共有7個(gè)，D正確.故選：ACD2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，已知正三棱臺(tái)是由一個(gè)平面截棱長(zhǎng)為6的正四面體所得，其中，以點(diǎn)A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線(xiàn)為曲線(xiàn)為上一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．點(diǎn)A到平面的距離為 B．曲線(xiàn)的長(zhǎng)度為C．的最小值為 D．所有線(xiàn)段所形成的曲面的面積為【答案】ACD【分析】A，補(bǔ)形為正四面體，即求體高；B，結(jié)合平面截球的性質(zhì)求解即可；C，結(jié)合點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離求解；D，即為圓錐側(cè)面積的一部分，即可求解.【詳解】對(duì)A，將三棱臺(tái)補(bǔ)形為棱長(zhǎng)為6的正四面體，取中點(diǎn)，連接交于，連接，則是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，且，所以，即，解得，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，又，故為的外心，則由正四面體知，正四面體的體高，則平面，故為點(diǎn)A到平面的距離，，則.A正確；對(duì)B，因?yàn)槠矫妫?dāng)時(shí)，可得，因此點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓與等腰梯形重合部分的兩段弧和（如圖2），連接，，由，，易得，因此，所以的長(zhǎng)度，則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為，B錯(cuò)誤；對(duì)C，的最小值為，C正確；對(duì)D，所有線(xiàn)段所形成的曲面的面積為圓錐側(cè)面積的一部分，由B知點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為，則曲面的面積為，D正確.故選：ACD3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，將沿DE折起，連接AB，AC，得到四棱錐，則（

）A．存在使的四棱錐B．四棱錐體積的最大值是C．平面ABE與平面ACD的交線(xiàn)平行于底面D．在平面ABC與平面ADE的交線(xiàn)上存在點(diǎn)F，使得【答案】BCD【分析】用反證法思想判定A；求出四棱錐體積的最大值判斷B；利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)和判定定理判斷C；求出點(diǎn)E到平面ABC與平面ADE的交線(xiàn)的距離判斷D.【詳解】對(duì)于A，將沿DE折起，的過(guò)程中，，折起后，若存在使的四棱錐，又，，AE、平面ABE，平面ABE，平面ABE，，又，，在中，，與折起后矛盾，故不存在使的四棱錐，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由四棱錐體積最大時(shí)，平面平面DEBC，過(guò)A作ED的垂線(xiàn)AH，交ED于點(diǎn)H，平面平面，平面ADE，平面DEBC，為棱錐底面DEBC的高，，，故B正確；對(duì)于C，設(shè)平面ABE與平面ACD的交線(xiàn)為l，，平面ADC，平面ADC，平面ADC，又平面ABE，，又平面BCDE，平面BCDE，平面BCDE，故C正確；對(duì)于D，分別延長(zhǎng)CB，DE交于P，連接AP，則AP為平面ABC與平面ADE的交線(xiàn)，過(guò)A作ED的垂線(xiàn)AH，，在折疊的過(guò)程中，，E為AB的中點(diǎn)，故，，過(guò)E作AP的垂線(xiàn)，垂足為F，則∽，，故D正確．故選：BCD.三、填空題1．（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）在正四面體中，M為PA邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作該正四面體外接球的截面，記最大的截面半徑為R，最小的截面半徑為r，則；若記該正四面體和其外接球的體積分別為和，則．【答案】/【分析】把正四面體放置于正方體中，利用正四面體與正方體有相同的外接球，結(jié)合球的截面小圓的性質(zhì)、體積公式計(jì)算即得.【詳解】將正四面體放置于正方體中，可得正方體的外接球即為該正四面體的外接球，如圖，

外接球球心為正方體的體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則正方體棱長(zhǎng)為，由外接球直徑等于正方體的體對(duì)角線(xiàn)，得正四面體外接球半徑，當(dāng)過(guò)中點(diǎn)的正四面體外接球截面過(guò)球心時(shí)，截面圓面積最大，截面圓半徑為，當(dāng)該截面到球心的距離最大時(shí)，截面圓面積最小，此時(shí)球心到截面距離為，可得最小截面圓半徑，因此；正四面體外接球體積，正四面體的體積，因此.故答案為：；2．（23-24高三下·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）在正三棱錐A－BCD中，底面△BCD的邊長(zhǎng)為4，E為AD的中點(diǎn)，AB⊥CE，則以AD為直徑的球截該棱錐各面所得交線(xiàn)長(zhǎng)為.【答案】【分析】根據(jù)題意，取的中點(diǎn)，作平面，證得平面，得到兩兩垂直，且，求得球的半徑為，以及球與平面截得的弧為小圓的半徑，結(jié)合弧長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，作平面，垂足為，由三棱錐為正三棱錐，所以為底面正三角形的中心，所以，因?yàn)槠矫妫?，又由正三角形的性質(zhì)，可得，又因?yàn)?，且平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由正三棱錐的性質(zhì)可得，兩兩垂直，且，以為直徑的球的半徑為，可得球在平面上截得的交線(xiàn)分別為個(gè)圓，可得弧長(zhǎng)的和為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，可得，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為，所以面截球體所得小圓的半徑為，如圖所示，球在平面截得的弧為小圓的弧，其中,所以弧的弧長(zhǎng)為，球與平面只有一個(gè)交點(diǎn)，截得的弧長(zhǎng)為，所以，以為直徑的球與三棱錐截得的交線(xiàn)長(zhǎng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題思維流程：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；（3）求半徑：根據(jù)作出截面中的幾何元素，利用球的截面的性質(zhì)，運(yùn)用公式（為底面多邊形的外接圓的半徑，為幾何體的外接球的半徑，表示球心到底面的距離）求得球的半徑，建立關(guān)于球半徑的方程，進(jìn)行求解，該方法的實(shí)質(zhì)是通過(guò)尋找外接球的一個(gè)軸截面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)研究.3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在三棱柱中，四面體是棱長(zhǎng)為2的正四面體，為棱的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)且與垂直，則與三棱柱表面的交線(xiàn)的長(zhǎng)度之和為．【答案】【分析】設(shè)，可證平面，可得平面∥平面，結(jié)合面面平行的性質(zhì)可得平面即為平面，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，可知，由題意可知：，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，可知平面∥平面，設(shè)平面，即平面平面，且平面平面，則∥，且為棱的中點(diǎn)，可知為棱的中點(diǎn)，同理取的中點(diǎn)，連接，可知平面即為平面，則，所以與三棱柱表面的交線(xiàn)的長(zhǎng)度之和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)正四面體的性質(zhì)可證平面，結(jié)合線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得平面∥平面，即以平面為參考作截面，即可得結(jié)果.四、解答題1．（202