河北省邢臺市2025屆高三上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺市2025屆高三上學期1月期末數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，又，所以.故選：D.2.某校有男生人，女生人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法從該校學生中抽取人進行調查，則男生被抽取的人數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設男生被抽取的人數(shù)是，由已知可得，解得，.故選：C.3.某工廠有一個正四棱臺形的儲物料斗，該儲物料斗的上底面邊長為4米，下底面邊長為2米，高為3米，則該儲物料斗的體積是（）（不考慮儲物料斗斗壁的厚度）A.立方米 B.28立方米C.立方米 D.84立方米【答案】B【解析】該儲物料斗正四棱臺，且上底面邊長為4米，下底面邊長為2米，高為3米，所認立方米.所以該儲物料斗的體積是立方米.故選：B.4.“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，所以“”不能推出“”，“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：A.5.向高為的容器中注水，且任意相等的時間間隔內所注入的水體積相等，若容器內水面的高度與注水時間的函數(shù)關系的圖象如圖所示，則該容器的形狀可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)圖象可知，隨著注水時間的增大，在相等時間間隔內容器內水面的高度的增加量越來越大，即的變化率逐漸增大，故該容器從下到上寬度應逐漸減小，選項C中容器符合要求.故選：C.6.在中，，點在線段上，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，由余弦定理可得，又，，，所以，又，所以，在由正弦定理可得，故又，，，所以.故選：D.7.設分別是直線和圓上的動點，則的最小值是（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】圓方程可化為：，故圓心，半徑，∴圓心到直線的距離，∴的最小值為.故選：B.8.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，由對恒成立，所以的定義域為，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由復合函數(shù)的單調性可得在上為單調遞增函數(shù)，由，可得，所以，即，所以，所以，解得或，所以不等式的解集是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數(shù)，則（）A. B.C. D.在復平面內對應的點位于第一象限【答案】BD【解析】因為，所以，所以，，，在復平面內對應的點的坐標為，所以在復平面內對應的點位于第一象限.故選：BD.10.純音是指單一頻率的聲音，純音的數(shù)學模型是函數(shù)．我們在日常生活中聽到的聲音幾乎都是復合音，而復合音是由多個頻率不同的純音組成的．已知某聲音的數(shù)學模型是函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關于直線對稱C.的單調遞增區(qū)間是D.的值域是【答案】ACD【解析】對于A，因為，又的最小正周期是，所以的最小正周期為，故A正確；對于B，，所以的圖象不關于直線對稱，故B錯誤；對于C，由，求導得，令，即，所以，所以，解得（舍去）或，所以，所以的單調遞增區(qū)間是，故C正確；對于D，令，即，所以，所以，解得，所以，可得的單調遞減區(qū)間是，結合C選項，又函數(shù)的周期為，所以當時，，當時，，所以的值域是，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在長方體中，，，、分別是棱、的中點，點在棱上，則下列說法正確的是（）A.存在點，使得B.點到平面的距離是C.存在點，使得平面D.過作該長方體外接球的截面，所得截面面積的最小值是【答案】ABD【解析】以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設點，其中，對于A選項，，，若，則，解得，合乎題意，所以，存在點，使得，A對；對于B選項，設平面的一個法向量為，，則，取，則，，所以，點到平面的距離為，B對；對于C選項，若平面，則，即，無解，C錯；對于D選項，該長方體外接球球心為，，，所以球心到直線的距離為，當截面圓圓心在直線上時，球心到截面的距離最大，此時，截面圓的半徑取最小值，且，因此，截面面積的最小值為，D對.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12已知向量，若，則______．【答案】【解析】因為，所以，因為，所以，所以.故答案為：.13.某校開設了門體育類課程和門科技類課程，學生從這門課中最多選修門，且至少選修門體育類課程，則不同的選課方案有______種．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】學生從這門課中最多選修門且至少選修門課程的選法有，學生從這門課中最多選修門至少選門，且所選課程都為科技類課程的選法選法有，所以滿足條件的選法有（種）.故答案為：.14.已知是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的一點，直線與圓切于點，為坐標原點，若，則雙曲線的離心率是______．【答案】【解析】因為，所以，所以，因為直線與圓切于點，所以，，又，所以，所以，，，設雙曲線的右焦點為，則，又，故，由余弦定理可得，，所以，所以，又，，，，所以，所以，所以，所以則雙曲線的離心率.另解：作，垂足為，由，，于是為的中位線，結合已知分析，，，由勾股定理，即，整理得，其余同上.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；（2）若在上單調遞增，求的取值范圍．解：（1）設曲線在點處的切線的斜率，直線的斜率為，因為曲線在點處的切線與直線垂直，所以，即，又的導函數(shù)，所以，所以，所以，（2）由若在上單調遞增，可得在上恒成立，由（1）可得在上恒成立，所以在上恒成立，所以，其中，又當時，，當且僅當時等號成立，所以，所以，所以的取值范圍為.16.旅游是人們?yōu)榱诵蓍e、商務或其他目的離開自己的常住地，前往其他地方進行的活動．甲、乙、丙三人計劃去西安旅游，經(jīng)過商議他們計劃各自從秦始皇兵馬俑、華清宮、大唐不夜城、華山、黃河壺口瀑布這五個景點中隨機選擇兩個景點游玩．（1）求甲選擇去華清宮游玩，且乙不去華山游玩的概率；（2）記他們選擇去大唐不夜城游玩的人數(shù)為，求的分布列與期望．解：（1）甲、乙、丙分別從五個景點中隨機選擇兩個景點游玩的所有選法有種選法，其中甲選擇去華清宮游玩，且乙不去華山游玩的選法有種選法，所以甲選擇去華清宮游玩，且乙不去華山游玩的概率；（2）甲選擇去大唐不夜城游玩的的概率為，同理可得乙選擇去大唐不夜城游玩的的概率為，丙選擇去大唐不夜城游玩的的概率為，由已知的可能取值有，，，，且，所以，，，，所以的分布列為所以的期望.17.如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，四邊形是梯形，．（1）證明：平面平面．（2）若，求平面與平面夾角的正弦值．（1）證明：取中點，連接，因為是等邊三角形，又，所以，，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：若，由（1）可得，所以兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則，設設平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，設平面與平面所成的角為，，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為．18.已知拋物線的焦點為是拋物線上的一點，且．（1）求拋物線的方程．（2）直線與拋物線交于兩點，軸上是否存在定點，使得直線經(jīng)過點，且為定值？若存在，求出的值及點的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）拋物線的準線方程為，又是拋物線上的一點，且，所以，，所以，所以，所以，解得．所以拋物線的方程為．（2）假設軸上存在定點，使得直線經(jīng)過點，且定值，顯然直線的斜率不為，設直線的方程為，聯(lián)立，消去，可得，所以，，，所以，當時，為定值，此時定點坐標為，的定值為.19.若數(shù)列的首項，對任意的，都有（為常數(shù)，且），則稱為有界變差數(shù)列，其中為數(shù)列的相鄰兩項差值的上界．已知數(shù)列是有界變差數(shù)列，的前項和為．（1）當時，證明：．（2）當中各項都取最大值時，對任意的恒成立，求的最大值；（3）當中各項都取最大值時，，數(shù)列的前項和為，若對任意的，都有，求的取值范圍．（1）證明：當時，，則.當時，，滿足