山東省聊城市多校2025屆高三上學(xué)期期末診斷檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省聊城市多校2025屆高三上學(xué)期期末診斷檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則中所有元素之和為（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，則，該集合中所有元素之和為．故選：C.2.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，故C正確.故選：C.3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)是定義域?yàn)楹瘮?shù)，是奇函數(shù)，所以排除B，C，又函數(shù)在原點(diǎn)附近的零點(diǎn)為和1，可取大于0且接近于0的一個(gè)數(shù)，如0.1，得，所以排除D．故選：A.4.在正四棱臺(tái)中，已知，該正四棱臺(tái)的體積為168，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】連接相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，連接，則為正四棱臺(tái)的高，作，垂足為，則，，四邊形是等腰梯形，，所以，，，由，得，可得．故選：C.5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】由在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，且拋物線對(duì)稱軸為直線，由解得，所以的最大值為4．故選：B.6.已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，其中一條漸近線上存在一點(diǎn)，使得另一條漸近線垂直平分線段，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】不妨設(shè)漸近線垂直平分線段，所以．由解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．由，得，所以雙曲線的離心率，故選：A.7.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，.若動(dòng)點(diǎn)滿足，則正數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則.因，所以，化簡(jiǎn)得，故點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上.又因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上.結(jié)合題意可知兩圓相交或外切或內(nèi)切，所以，解得，故正數(shù)的最大值為.故選：D.8.若函數(shù)的定義域內(nèi)存在，（），使得成立，則稱為“完整函數(shù)”．已知（）是上的“完整函數(shù)”，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得，，因?yàn)椋裕试谏嫌袃蓚€(gè)最大值點(diǎn)，令，則函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩個(gè)最大值點(diǎn)，則，解得．當(dāng)，即時(shí)，顯然符合題意．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，分以下兩種情況討論：①當(dāng)，即時(shí)，，即，所以；②當(dāng)，即時(shí)，，即，所以．綜上，的取值范圍為，故B正確.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】BD【解析】因?yàn)椋?，在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故AC錯(cuò)誤，BD正確．故選：BD.10.已知函數(shù)，且是的一個(gè)極值點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.實(shí)數(shù)的值為1或B.在上單調(diào)遞增C.若是的一個(gè)極小值點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，D.若是的一個(gè)極大值點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，．令，得，，①?dāng)時(shí)，，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)是的一個(gè)極大值點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，解得，則，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)是的一個(gè)極小值點(diǎn)．故A正確，B錯(cuò)誤；若是的一個(gè)極小值點(diǎn)，則，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，所以，故C正確；若是的一個(gè)極大值點(diǎn)，則，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，且等價(jià)于，即當(dāng)時(shí)，，所以，故D正確．故選：ACD.11.如圖，該圖展現(xiàn)的是一種被稱為“正六角反棱柱”的多面體，上、下兩底面分別是兩個(gè)全等且平行的正六邊形，，它們的中心分別為，，側(cè)面由12個(gè)全等的以正六邊形的邊為底的等腰三角形組成．若該“正六角反棱柱”的各棱長(zhǎng)都為2，則下列命題正確的是（）A.異面直線與所成的角為B.平面C.該多面體外接球的表面積為D.直線與下底面所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，設(shè)，在下底面的射影分別為，，則平分，為等邊三角形，所以異面直線與所成的角為，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，易知垂直于底面，所以，又平分，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，從而平面，故B正確．對(duì)于C，設(shè)的中點(diǎn)為，在下底面上的射影為，上、下兩底面間的距離為，外接球的半徑為，則，，所以，，從而所求外接球的表面積為，故C正確．對(duì)于D，設(shè)直線與下底面所成的角為，由上面可知，所以，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量滿足，則______．【答案】2【解析】由，得，整理得，所以.故答案為：2.13.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，，則直線的斜率為_(kāi)_____，______．【答案】4【解析】設(shè)直線的方程為，由題意得的準(zhǔn)線為，令，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)，故，，因?yàn)?，所以，，解得，故，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得．故或，當(dāng)時(shí)，由兩點(diǎn)間距離公式得，當(dāng)時(shí)，由兩點(diǎn)間距離公式得，綜上可得，.故答案為：；4.14.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，，則______．【答案】3【解析】在中，由正弦定理及，得，則，移項(xiàng)得，于是，整理得，解得，由，得，則，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求角B；（2）若，，角B的平分線與交于點(diǎn)D，求.解：（1）因?yàn)?，所?，而，所以.（2）在中，，所以，解得.因?yàn)椋?，，，所?16.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，的最小值為．當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．17.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上．（1）證明：平面．（2）若平面，，，，平面與平面夾角的余弦值為，求的值．（1）證明：法一：如圖，連接，設(shè)，連接．因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以由中位線定理得，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．法二：因?yàn)?，，，所以，則．又平面，所以，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由，，，可知，，，，，，則，，．設(shè)是平面的法向量，則得取，可得．因?yàn)椋裕瑒t平面．（2）解：因?yàn)?，，，所以，則．又平面，所以，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由，，，可知，，，．設(shè)（），則，．設(shè)是平面的法向量，由得取，可得．取平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，所以．18.已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，圓與橢圓相交于，兩點(diǎn)，，的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，以線段為直徑作圓，點(diǎn)始終在圓內(nèi)（包括圓周），求的取值范圍．解：（1）方法一：因?yàn)?，所以，則，解得．因?yàn)榈拿娣e為，所以，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；方法二：因?yàn)椋?，所以是正三角形，，所以點(diǎn)在線段的中垂線上，則，是橢圓的短軸端點(diǎn)．因?yàn)榈拿娣e為，所以，在中，易知，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）方法一：設(shè)點(diǎn)，．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，代入橢圓方程得，不妨設(shè)，，易求．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則消去得，，所以，．因點(diǎn)在圓內(nèi)（包括圓周），所以，所以，所以，所以，所以，即恒成立，所以，解得．綜上，的取值范圍為．方法二：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，圓以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑，所以．當(dāng)直線的斜率不存在，或斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為，且，．聯(lián)立，消去得，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)（包括圓周），所以，所以，所以，所以，所以，即恒成立，所以，解得．綜上，的取值范圍為．19.若是遞增數(shù)列，數(shù)列滿足對(duì)任意的，存在，使得，則稱是的“分割數(shù)列”．（1）設(shè)，，證明：數(shù)列是數(shù)列的“分割數(shù)列”．（2）設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，判斷數(shù)列是否是數(shù)列的“分割數(shù)列”，并說(shuō)明理由．（3）設(shè)是首項(xiàng)為，公比為的遞增等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，若數(shù)列是的“分割數(shù)列”，求實(shí)數(shù)與的取值范圍．（1）證明：因?yàn)槭沁f增數(shù)列，滿足對(duì)任意的，存在，使得，所以．又，，所以，解得，取，滿足“分割數(shù)列”的定義，所以是的“分割數(shù)列”．（2）解：因?yàn)?，所以，．假設(shè)是“分割數(shù)列”，則，即，整理得．當(dāng)時(shí)，，所以，則，易知在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，…，所以滿足條件的不存在，故不是的“分割數(shù)列”．（3）解：因?yàn)閱握{(diào)遞增