高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二十講 創(chuàng)新定義題型（原卷版）

第二十講創(chuàng)新定義題型一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對創(chuàng)新定義的考查，是新高考改革出現(xiàn)的題型，一般難度較大。2024年九省聯(lián)考出現(xiàn)了概率的新定義問題，而2025年新高考中出現(xiàn)了解析幾何、數(shù)列的新定義問題。解析幾何創(chuàng)新問題2024·新高考Ⅰ卷，11數(shù)列新定義2024·新高考Ⅰ卷，19二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷11題考查了解析幾何的創(chuàng)新題型，主要是曲線方程的求法及性質(zhì)。Ⅱ卷雖然未考查新定義類型，但是壓軸題將數(shù)列與雙曲線相結(jié)合，也是一次獨特的創(chuàng)新。新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移達(dá)到靈活解題的目的;遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義照章辦事”逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決，難度較難，需重點特訓(xùn)。預(yù)計2025年高考還是主要考查數(shù)列、函數(shù)的新定義問題。三：試題精講一、多選題1．（2024新高考Ⅰ卷·11）造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點O.且C上的點滿足橫坐標(biāo)大于，到點的距離與到定直線的距離之積為4，則（

）A． B．點在C上C．C在第一象限的點的縱坐標(biāo)的最大值為1 D．當(dāng)點在C上時，【答案】ABD【分析】根據(jù)題設(shè)將原點代入曲線方程后可求，故可判斷A的正誤，結(jié)合曲線方程可判斷B的正誤，利用特例法可判斷C的正誤，將曲線方程化簡后結(jié)合不等式的性質(zhì)可判斷D的正誤.【詳解】對于A：設(shè)曲線上的動點，則且，因為曲線過坐標(biāo)原點，故，解得，故A正確.對于B：又曲線方程為，而，故.當(dāng)時，，故在曲線上，故B正確.對于C：由曲線的方程可得，取，則，而，故此時，故在第一象限內(nèi)點的縱坐標(biāo)的最大值大于1，故C錯誤.對于D：當(dāng)點在曲線上時，由C的分析可得，故，故D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：根據(jù)曲線方程討論曲線的性質(zhì)，一般需要將曲線方程變形化簡后結(jié)合不等式的性質(zhì)等來處理.二、解答題2．（2024新高考Ⅰ卷·19）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可；（2）根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可驗證結(jié)論；（3）證明使得原數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個，再使用概率的定義.【詳解】（1）首先，我們設(shè)數(shù)列的公差為，則.由于一個數(shù)列同時加上一個數(shù)或者乘以一個非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，故我們可以對該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危玫叫聰?shù)列，然后對進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.換言之，我們可以不妨設(shè)，此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.回到原題，第1小問相當(dāng)于從中取出兩個數(shù)和，使得剩下四個數(shù)是等差數(shù)列.那么剩下四個數(shù)只可能是，或，或.所以所有可能的就是.（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下兩個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組.（如果，則忽略②）故數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.（3）定義集合，.下面證明，對，如果下面兩個命題同時成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列：命題1：或；命題2：.我們分兩種情況證明這個結(jié)論.第一種情況：如果，且.此時設(shè)，，.則由可知，即，故.此時，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下三個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組；③，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）故此時數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.第二種情況：如果，且.此時設(shè)，，.則由可知，即，故.由于，故，從而，這就意味著.此時，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下四個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，，共組；③全體，其中，共組；④，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）這里對②和③進(jìn)行一下解釋：將③中的每一組作為一個橫排，排成一個包含個行，個列的數(shù)表以后，個列分別是下面這些數(shù)：，，，.可以看出每列都是連續(xù)的若干個整數(shù)，它們再取并以后，將取遍中除開五個集合，，，，中的十個元素以外的所有數(shù).而這十個數(shù)中，除開已經(jīng)去掉的和以外，剩余的八個數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個數(shù).這就說明我們給出的分組方式滿足要求，故此時數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.至此，我們證明了：對，如果前述命題1和命題2同時成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列.然后我們來考慮這樣的的個數(shù).首先，由于，和各有個元素，故滿足命題1的總共有個；而如果，假設(shè)，則可設(shè)，，代入得.但這導(dǎo)致，矛盾，所以.設(shè)，，，則，即.所以可能的恰好就是，對應(yīng)的分別是，總共個.所以這個滿足命題1的中，不滿足命題2的恰好有個.這就得到同時滿足命題1和命題2的的個數(shù)為.當(dāng)我們從中一次任取兩個數(shù)和時，總的選取方式的個數(shù)等于.而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個.所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率一定滿足.這就證明了結(jié)論.知識點總結(jié)一、新定義問題“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.二、新定義問題的方法和技巧（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.名校模擬練一、解答題1．（2024·北京·三模）給定正整數(shù)，設(shè)數(shù)列是的一個排列，對，表示以為首項的遞增子列的最大長度，表示以為首項的遞減子列的最大長度.(1)若，，，，，求和；(2)求證：，；(3)求的最小值.2．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的前項和為，若存在常數(shù)，使得對任意都成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；(2)設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，且具有性質(zhì)．①若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，求的值；②求的最小值．3．（2024·河北保定·三模）在初等數(shù)論中，對于大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其它自然數(shù)整除的數(shù)叫做素數(shù)，對非零整數(shù)a和整數(shù)b，若存在整數(shù)k使得，則稱a整除b.已知p，q為不同的兩個素數(shù)，數(shù)列是公差為p的等差整數(shù)數(shù)列，為q除所得的余數(shù)，為數(shù)列的前n項和.(1)若，，，求；(2)若某素數(shù)整除兩個整數(shù)的乘積，則該素數(shù)至少能整除其中一個整數(shù)，證明：數(shù)列的前q項中任意兩項均不相同；(3)證明：為完全平方數(shù).4．（2024·海南·二模）設(shè)數(shù)列，如果A中各項按一定順序進(jìn)行一個排列，就得到一個有序數(shù)組．若有序數(shù)組滿足恒成立，則稱為n階減距數(shù)組；若有序數(shù)組滿足恒成立，則稱為n階非減距數(shù)組．(1)已知數(shù)列，請直接寫出該數(shù)列中的數(shù)組成的所有4階減距數(shù)組；(2)設(shè)是數(shù)列的一個有序數(shù)組，若為n階非減距數(shù)組，且為階非減距數(shù)組，請直接寫出4個滿足上述條件的有序數(shù)組；(3)已知等比數(shù)列的公比為q，證明：當(dāng)時，為n階非減距數(shù)組．5．（2024·江西九江·三模）已知數(shù)列共有項，且，若滿足，則稱為“約束數(shù)列”.記“約束數(shù)列”的所有項的和為.(1)當(dāng)時，寫出所有滿足的“約束數(shù)列”；(2)當(dāng)時，設(shè)“約束數(shù)列”為等差數(shù)列.請判斷是的什么條件，并說明理由；(3)當(dāng)時，求的最大值.6．（2024·山東青島·三模）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標(biāo)原點，雙曲線的左、右焦點分別為的離心率為2，點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于兩點，當(dāng)軸時，直線為的等線.(1)求的方程;(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積;(3)設(shè)，點的軌跡為曲線，證明:在點處的切線為的等線7．（2024·浙江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的最大值；(3)若函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的取值范圍.8．（2024·上?！と＃┰O(shè)，函數(shù)的定義域為．若對滿足的任意，均有，則稱函數(shù)具有“性質(zhì)”．(1)在下述條件下，分別判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由；①；

②；(2)已知，且函數(shù)具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；(3)證明：“函數(shù)為增函數(shù)”是“對任意，函數(shù)均具有性質(zhì)”的充要條件．9．（2024·新疆喀什·三模）已知定義域為的函數(shù)滿足：對于任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)判斷函數(shù)，是否具有性質(zhì)；（直接寫出結(jié)論）(2)已知函數(shù)（，），判斷是否存在，，使函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出，的值；若不存在，說明理由；(3)設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且在區(qū)間上的值域為．函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上有且只有一個零點．求證：．10．（2024·貴州六盤水·三模）若函數(shù)在上有定義，且對于任意不同的，都有，則稱為上的“k類函數(shù)”(1)若，判斷是否為上的“4類函數(shù)”；(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若為上的“2類函數(shù)”且，證明：，，.11．（2024·江西南昌·三模）給定數(shù)列，若對任意m，且，是中的項，則稱為“H數(shù)列”．設(shè)數(shù)列的前n項和為(1)若，試判斷數(shù)列是否為“H數(shù)列”，并說明理由；(2)設(shè)既是等差數(shù)列又是“H數(shù)列”，且，，，求公差d的所有可能值；(3)設(shè)是等差數(shù)列，且對任意，是中的項，求證：是“H數(shù)列”．12．（2024·黑龍江·三模）如果n項有窮數(shù)列滿足，，…，，即，則稱有窮數(shù)列為“對稱數(shù)列”.(1)設(shè)數(shù)列是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中成等差數(shù)列，且，依次寫出數(shù)列的每一項；(2)設(shè)數(shù)列是項數(shù)為(且)的“對稱數(shù)列”，且滿足，記為數(shù)列的前項和.①若，，…，構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且.當(dāng)為何值時，取得最大值?②若，且，求的最小值.13．（2024·安徽·三模）已知數(shù)列的前n項和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列為有窮數(shù)列；②數(shù)列為遞增數(shù)列；③，，，使得；則稱數(shù)列具有“和性質(zhì)”.(1)已知，求數(shù)列的通項公式，并判斷數(shù)列是否具有“和性質(zhì)”；（判斷是否具有“和性質(zhì)”時不必說明理由，直接給出結(jié)論）(2)若首項為1的數(shù)列具有“和性質(zhì)”.（?。┍容^與的大小關(guān)系，并說明理由；（ⅱ）若數(shù)列的末項為36，求的最小值.14．（2024·湖北荊州·三模）對于數(shù)列，如果存在一個正整數(shù)，使得對任意，都有成立，那么就把這樣的一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，簡稱周期.(1)判斷數(shù)列和是否為周期數(shù)列，如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由.(2)設(shè)（1）中數(shù)列前項和為，試問是否存在，使對任意，都有成立，若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由.(3)若數(shù)列和滿足，且，是否存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列？若存在，請求出所有滿足條件的常數(shù)；若不存在，請說明理由.15．（2024·安徽蕪湖·三模）若數(shù)列的各項均為正數(shù)，且對任意的相鄰三項，都滿足，則稱該數(shù)列為“對數(shù)性凸數(shù)列”，若對任意的相鄰三項，都滿足則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”．(1)已知正項數(shù)列是一個“凸數(shù)列”，且，（其中為自然常數(shù)，），證明：數(shù)列是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”，且有；(2)若關(guān)于的函數(shù)有三個零點，其中．證明：數(shù)列是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”：(3)設(shè)正項數(shù)列是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”，求證：16．（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.(1)若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；(2)若點不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點作曲線的切線，其交點為.已知點，若三點不共線，探究是否成立？請說明理由.17．（2024·江蘇南通·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：的離心率為，直線l與Γ相切，與圓O：相交于A，B兩點.當(dāng)l垂直于x軸時，.(1)求Γ的方程；(2)對于給定的點集M，N，若M中的每個點在N中都存在距離最小的點，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.（ⅰ）若M，N分別為線段AB與圓O上任意一點，P為圓O上一點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求；（ⅱ）若，均存在，記兩者中的較大者為.已知，，均存在，證明：.18．（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點之間的“距離”為，我們把到兩定點的“距離”之和為常數(shù)的點的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形