高考數(shù)學(xué)特例法、構(gòu)造法解導(dǎo)數(shù)小題（八大題型）（解析版）

特訓(xùn)04特例法、構(gòu)造法解導(dǎo)數(shù)小題（八大題型）例1已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若對(duì)任意x>0都有2f(x)+xf'(x)>0成立，則().A.4f(-2)<9f(3)B.4f(-2)>9f(3)C.2f(3)>3f(-2)D.3f(-3)<2f(-2)一般解法：(構(gòu)造法)令g(x)=x2f(x),其導(dǎo)函數(shù)g'(x)=2xf(x)+x2f(x).當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0,即函數(shù)g(x)在(0,+x)上單調(diào)遞增.∵函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，:f(-x)=f(x),∴g(-x)=(-x)}f(-x)=x}f(x)=g(x),即函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，∴g(-2)=g(2),而g(2)<g(3),∴g(-2)<g(3),即有4f(-2)<9f(3).故選A.特例法：令f(x)=1,滿足條件f(x)是偶函數(shù)且2f(x)+ef2(x)0,把f(x)=1代入四個(gè)選項(xiàng)，只有A滿足.故選A.例2定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),若f'(x)>f(x)-1,f(1)=2018,則不等式f(x)>2017ex-1+1的解集是________..一般解法：(構(gòu)造法)構(gòu)造F（x）=特例法：令f(x)=2018ex-1答案：（1，+∞）目錄：01：抽象函數(shù)—比較大小問(wèn)題02：抽象函數(shù)—利用導(dǎo)數(shù)解不等式03：抽象函數(shù)—求參數(shù)范圍構(gòu)造法解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題04：恒成立、存在性、有解問(wèn)題構(gòu)造法解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題05：最值問(wèn)題06：零點(diǎn)、方程的根問(wèn)題07：其他問(wèn)題08：分段函數(shù)01：抽象函數(shù)—比較大小問(wèn)題1．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若，且，則下列式子中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，得到，得到在上單調(diào)遞增，再由，得到，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，可得，?duì)于A中，由，即，所以，所以A不正確；對(duì)于B中，由，即，所以，所以B不正確；對(duì)于C中，由，即，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由，即，所以，所以D不正確.故選：C.2．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿足：，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意令，利用導(dǎo)數(shù)及題干所給條件求得的單調(diào)性，利用函數(shù)的對(duì)稱性，可得，對(duì)其進(jìn)行比較即可判斷各選項(xiàng).【解析】令，則，函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，又由，即函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，從而，對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C正確；對(duì)于D，，，，D錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性即可.02：抽象函數(shù)—利用導(dǎo)數(shù)解不等式3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?duì)任意，，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由恒成立，在上單調(diào)遞減，由可得，由單調(diào)性解不等式即可.【解析】設(shè)，則，對(duì)任意，，恒成立，即在上單調(diào)遞減，由可得，，解得，即解集為.故選：A4．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，，都有，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題為構(gòu)造函數(shù)類型題，根據(jù)已知條件結(jié)構(gòu)特征可知該部分是某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)變形所得，由問(wèn)題中的不等式提示可得到該函數(shù)為，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性情況即可進(jìn)一步求解出答案.【解析】因?yàn)椋?，，所以?gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以不等式，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以不等式的解集為，故選：D.5．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則不等式在上的解集為．【答案】【分析】先得出的周期以及對(duì)稱軸，再利用導(dǎo)數(shù)證明在上恒成立，通過(guò)對(duì)稱性畫出函數(shù)和在上的簡(jiǎn)圖，由圖象得出解集.【解析】因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù)，則，且，所以，則，所以函數(shù)為周期為4的函數(shù)，且圖像關(guān)于對(duì)稱.令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即.設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，即，所以在上恒成立，結(jié)合對(duì)稱性可畫出函數(shù)和在上的簡(jiǎn)圖，如下圖所示：

由圖象可知，不等式在上的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)證明在上恒成立，進(jìn)而結(jié)合圖象進(jìn)行求解.6．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，已知，，則不等式的解集是．【答案】【分析】利用求導(dǎo)法則構(gòu)造新函數(shù)，解出代入不等式，運(yùn)算即可得解.【解析】解：由題意得，∴，令，則，∵，∴∴，∴，則有，解得，所以，所求解集為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和一元二次不等式的解法，關(guān)鍵在于恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù).構(gòu)造函數(shù)的主要思路有：（1）條件中出現(xiàn)和時(shí)，適當(dāng)轉(zhuǎn)換后考慮根據(jù)商的求導(dǎo)法則令；（2）條件中出現(xiàn)和時(shí)，適當(dāng)轉(zhuǎn)換后考慮根據(jù)積的求導(dǎo)法則令.7．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由已知得出為偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，在上為減函數(shù)，將轉(zhuǎn)化為求解即可．【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即在上是增函數(shù)，由題意是定義在上的偶函數(shù)，所以，又，所以是偶函數(shù)，所以在上遞減，所以，即不等式等價(jià)為，所以，所以．故答案為：．8．已知為定義域上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，且，則不等式的解集為．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的對(duì)稱性求得原函數(shù)的對(duì)稱性，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)不等式可得新函數(shù)導(dǎo)數(shù)與零的大小，可得其單調(diào)性，解得答案.【解析】由，整理可得，則函數(shù)關(guān)于成中心對(duì)稱，所以關(guān)于直線成軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，由，則，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題的接解題關(guān)鍵在于根據(jù)已知等式得到函數(shù)的對(duì)稱性，利用構(gòu)造函數(shù)的思想解題.03：抽象函數(shù)—求參數(shù)范圍9．設(shè)定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若也為偶函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先令，判斷的單調(diào)性及奇偶性，由已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性即可求解不等式．【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，令，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，即，即，所以，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，由，即，所以，即，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是令，從而推導(dǎo)出，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.10．已知函數(shù)在上連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若，則的取值范圍是.【答案】【分析】首先變形等式，并構(gòu)造函數(shù)，并判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，將不等式變形為，利用函數(shù)的性質(zhì)，即可求解不等式.【解析】由，可得.令，則，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，所以，又在上連續(xù)，所以在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，由，可得，即，所以，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)，求解不等式.04：恒成立、存在性、有解問(wèn)題11．已知定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)滿足恒成立，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，構(gòu)造函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性解不等式即可求解.【解析】由題意知，在上單調(diào)遞增，則，不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，即，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，則，由，得，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：D12．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的最小值為；若對(duì)任意，存在不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求最小值；令，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式求兩個(gè)函數(shù)最小值即可.【解析】的導(dǎo)數(shù)為，則時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，可得在處取得極小值，且為最小值；令，，又對(duì)任意，存在，有恒成立，即恒成立，即；時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值2，，，則時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，可得在處取得極小值，且為最小值；所以，由，可得．所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.13．已知，對(duì)任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)已知不等式進(jìn)行變形，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、參變量分離法進(jìn)行求解即可.【解析】由題意，不等式即，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.則不等式等價(jià)于恒成立.因?yàn)?，所以，所以?duì)任意恒成立，即恒成立.設(shè)，可得，當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減．所以有最大值，于是，解得．故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將已知條件轉(zhuǎn)化為，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)得到，進(jìn)而計(jì)算求得結(jié)果.14．若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將由不等式轉(zhuǎn)化為，令，得到，令函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到且，即可求解.【解析】由不等式，即，令，即有，又由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，令，?wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使得，因?yàn)?，令，可得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，若存在，使得成立，只需且，解得，因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見(jiàn)同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.15．已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上有解，得到在上有解，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，可得在上有解，即在上有解，令，則，且，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以.故選：D．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：“恒成立問(wèn)題”與“有解問(wèn)題”在等價(jià)轉(zhuǎn)化上的區(qū)別：恒成立問(wèn)題有解問(wèn)題①恒成立；恒成立．②恒成立；恒成立．③恒成立；恒成立．④．①有解；有解．②有解；有解．③有解；有解．④，使得．16．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且恒成立，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.【解析】由，有，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，得，所以，所以，解得．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造函數(shù)，令，由導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)遞增，不等式變形為，利用單調(diào)性解即可.17．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，不等式恒成立，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，則由題意可知，設(shè)，，則有，不等式等價(jià)于，利用單調(diào)性求解即可.【解析】設(shè)，，不等式恒成立，可知，設(shè)，，則，，且，于是在上單調(diào)遞增，注意到，不等式，等價(jià)于，即，得，解出.故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.05：最值問(wèn)題18．已知函數(shù)，，若，則的最大值是（

）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】先求得的表達(dá)式，再構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值，進(jìn)而求得的最大值【解析】設(shè)，則有，解之得，，解之得，則有令，則令，則恒成立，則時(shí)，單調(diào)遞減，又，則時(shí)，，，單調(diào)遞增，時(shí)，，，單調(diào)遞減，則，則的最大值為0.故的最大值是0.故選：B19．若對(duì)任意的，且，都有，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，可判斷在上單調(diào)遞減，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求出的遞減區(qū)間，列出不等式，即可得答案.【解析】由題意知，且，故，即，故，令，則在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，則，即的最小值是，故選：B06：零點(diǎn)、方程的根問(wèn)題20．若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在上沒(méi)有零點(diǎn)，即上，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的值域即可得出結(jié)果.【解析】,因?yàn)樵谏蠜](méi)有零點(diǎn)，所以在上，時(shí)，，時(shí)，即可，令，且，，所以時(shí)，或，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，且，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，，，時(shí)，.所以的值域?yàn)?，因?yàn)椋詫?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D21．若方程在上有實(shí)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，設(shè)，得到，求得，得到為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在上有實(shí)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，進(jìn)而求得的范圍.【解析】由，可得，即，因?yàn)?，可得，所以，其中，設(shè)，則，又因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，所以，即，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在上有實(shí)根，設(shè)（），則，所以在上是減函數(shù)，所以，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵是通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，把在上有實(shí)根轉(zhuǎn)化為在上有實(shí)根，對(duì)于既含有指數(shù)式又含有對(duì)數(shù)式的等式或不等式，直接求導(dǎo)會(huì)出現(xiàn)越求導(dǎo)式子越復(fù)雜的情況，此時(shí)可通過(guò)同構(gòu)函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題．07：其他問(wèn)題22．不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】不等式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式即可.【解析】由，即，得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，故由得，所以，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：同構(gòu)法解不等式將不等式兩邊整理為結(jié)構(gòu)相同的形式，由此構(gòu)造新函數(shù)，本題中將不等式整理為，從而構(gòu)造函數(shù)，不等式化為，由的單調(diào)性解不等式.23．已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增，即可得，從而得出大小，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增，即可得，從而得出大小，即可得結(jié)論.【解析】解：設(shè)，，所以，，所以單調(diào)遞增，則，所以，則；，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，故.故選：C.08：分段函數(shù)24．已知函數(shù)，若方程有且僅有兩不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】由題意，構(gòu)造函數(shù)，方程有且僅有兩不等實(shí)根，即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)交點(diǎn)的情況得到答案．【解析】當(dāng)時(shí)，方程可化為，即，當(dāng)時(shí)，方程可化為，即，令，方程有且僅有兩不等實(shí)根，即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，取極小值－2．當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取極小值－2．根據(jù)以上信息，作出的圖象如圖，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有且僅有兩不等實(shí)根．故答案為：．25．已知函數(shù)，則的零點(diǎn)為，若，且，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)以及零點(diǎn)的定義，令即可解得函數(shù)的零點(diǎn)；由可知在1的左右兩側(cè)，分別代入計(jì)算得出的關(guān)系式，將消元之后構(gòu)造函數(shù)即可求得其取值范圍.【解析】令，即，解得不合題意，舍去；或，解得，符合題意；所以，函數(shù)的零點(diǎn)為.由，且可知，當(dāng)時(shí)，,不合題意；當(dāng)時(shí)，，不合題意；所以，分別屬于兩個(gè)區(qū)間，不妨取，則，即；所以，則，令，所以令，得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為單調(diào)遞增；所以函數(shù)在時(shí)取最小值，即，即所以的取值范圍是.故答案為：；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題在求解的取值范圍時(shí)首先應(yīng)確定兩個(gè)變量的取值范圍，根據(jù)等量關(guān)系將雙變量問(wèn)題消元，轉(zhuǎn)換成單變量問(wèn)題后構(gòu)造函數(shù)，利用自變量取值范圍即可求得結(jié)果.26．已知函數(shù)，點(diǎn)是函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得切線方程為，將原點(diǎn)代入該切線方程求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到切線方程為，再設(shè)過(guò)原點(diǎn)的切線為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，求得切線為，設(shè)直線與的夾角為，結(jié)合，即可求解.【解析】當(dāng)時(shí)，，可得，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切的直線方程為，其中切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，將原點(diǎn)代入該切線方程可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，可得，所以，切線方程為，又由函數(shù)，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，令，解得或（舍去），即切線方程為設(shè)直線與的夾角為，直線的傾斜角為，則，可得，結(jié)合圖象可知，當(dāng)均在的圖象上時(shí)，，可得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見(jiàn)同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.一、單選題1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知a，，若，，則b的可能值為（

）A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，結(jié)合可得答案.【解析】由得，設(shè)，則，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以．結(jié)合選項(xiàng)可知B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B.2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分離參數(shù)，整理為，構(gòu)造函數(shù)，單調(diào)遞增，得到，再構(gòu)造，進(jìn)而得到，從而.【解析】，，且，兩邊加上得，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，，即，令則，的定義域是，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值即為最大值，，，.故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將等式兩邊整理為結(jié)構(gòu)相同的形式，由此構(gòu)造新函數(shù)，本題中將整理為，從而構(gòu)造函數(shù)求解.3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得為單調(diào)遞增函數(shù)，得到恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性和最小值，即可求解.【解析】因?yàn)椋哉聿坏仁?，可得，轉(zhuǎn)化為恒成立，令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以恒成立，又因?yàn)?，所以，所以?duì)任意的恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，均有成立，若，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，然后由已知可得的單調(diào)性，最后將不等式轉(zhuǎn)化為，即可得到答案.【解析】，令，則，則在上單調(diào)遞增.由，為奇函數(shù)，得，則，從而原不等式可化為，即，此即為.由于在上單調(diào)遞增，故這等價(jià)于，所以不等式的解集為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造新的函數(shù)并利用已知條件.5．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)零點(diǎn)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，求導(dǎo)即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)的大致圖象，即可根據(jù)圖象求解A，根據(jù)極值點(diǎn)偏移，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解B，根據(jù)可得，即可求解C，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.【解析】由可得，令，其中，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；由圖可知，，因?yàn)?，由可得，由可得，所以，函?shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，則必有，所以，，則，令，其中，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，即，即，又，可得，因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則，即，故B錯(cuò)誤；由，兩式相加整理可得，所以，，可得，故C錯(cuò)誤；由圖可知，則，又因?yàn)?，所以，，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，分離常數(shù)得，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解；或直接求函數(shù)的單調(diào)性，求圖象在上與軸有兩個(gè)交點(diǎn)的條件.【解析】解法一：

由題意可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．令，可得，令，則直線與函數(shù)，的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于+∞，當(dāng)x趨近于π時(shí)，趨近于+∞，所以可作出的圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合可知，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：D．解法二

由題意可得．因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在上恒成立，不符合題意．當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以，則，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.7．（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù).若，且在上恒成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【解析】設(shè)函數(shù)，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，可得，即，可得，所以，即不等式的解集為.故選：D.8．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分離參數(shù)求最值即可.【解析】不等式等價(jià)于，令，根據(jù)題意對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：（1）恒成立；（2）恒成立.二、多選題9．（2024·江西·二模）若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】ABD【分析】分類討論的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關(guān)系即可求解．【解析】由題知，，①當(dāng)時(shí)，在恒成立，②當(dāng)時(shí)，由，則，即恒成立，設(shè)，則，令得，所以當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，所以，則，所以，即滿足題意；③當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，令，，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，且，，所以，使得；當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，設(shè)，則，設(shè)，，設(shè)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，解得，又，所以，綜上，，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)時(shí)，，使得，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求得最小值；當(dāng)時(shí)，設(shè)，求得最小值，令即可．10．（2024·浙江·二模）設(shè)定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，均有，則（

）A． B．（為的二階導(dǎo)數(shù)）C． D．是函數(shù)的極大值點(diǎn)【答案】AB【分析】由，令，即可判斷A；由已知得，即得函數(shù)，確定，從而可得，求導(dǎo)數(shù)，即可判斷B；令，判斷其單調(diào)性，即可判斷C；根據(jù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷D.【解析】由，，令，則，A正確；當(dāng)時(shí)，由得，故，即，則（c為常數(shù)），則，滿足該式，故，則，將代入中，得，即，而，故，則，，，故，B正確；令，，故在上單調(diào)遞增，故，即，C錯(cuò)誤；由于，令，即得，令，即得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，D錯(cuò)誤，故選：AB11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A．若為減函數(shù)，則