廣東省建文教育集團(tuán)兩學(xué)部2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)廣東省建文教育集團(tuán)兩學(xué)部1月第一次模擬注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集為，集合，，（）A. B. C.1,2 D.【答案】A【解析】【分析】求出中不等式的解集確定出，根據(jù)全集，求出的補(bǔ)集，找出與補(bǔ)集的交集即可．【詳解】解：由中的不等式變形得：，得到，，，全集，，則．故選：A．2.已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線(xiàn)，給出了下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則，④若，，且，，則，（）A.②④ B.①②④ C.①④ D.①③【答案】C【解析】【分析】在①中，由面面垂直的判定定理得；在②中，或；在③中，與相交、平行或；在④中，由線(xiàn)面平行的判定定理得，．【詳解】解：由，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線(xiàn)，知：①若，，則由面面垂直的判定定理得，故①正確；②若，，則或，故②錯(cuò)誤；③若，，則與相交、平行或，故③錯(cuò)誤；④若，，且，，則由線(xiàn)面平行的判定定理得，，故④正確．故選：．3.統(tǒng)計(jì)甲、乙兩支足球隊(duì)在一年內(nèi)比賽的結(jié)果如下：甲隊(duì)平均每場(chǎng)比賽丟失個(gè)球，全年比賽丟失球的個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為；乙隊(duì)平均每場(chǎng)比賽丟失個(gè)球，全年比賽丟失球的個(gè)數(shù)的方差為.據(jù)此分析：①甲隊(duì)防守技術(shù)較乙隊(duì)好；②甲隊(duì)技術(shù)發(fā)揮不穩(wěn)定；③乙隊(duì)幾乎場(chǎng)場(chǎng)失球；④乙隊(duì)防守技術(shù)的發(fā)揮比較穩(wěn)定．其中正確判斷的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及方差的意義，可得答案.詳解】甲隊(duì)平均每場(chǎng)比賽丟失個(gè)球，乙隊(duì)平均每場(chǎng)比賽丟失個(gè)球，,所以甲隊(duì)技術(shù)比乙隊(duì)好，故正確；甲隊(duì)全年比賽丟失球的個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，所以甲隊(duì)全年比賽丟失球的個(gè)數(shù)的方差差為，乙隊(duì)全年比賽丟失球的個(gè)數(shù)的方差為，因?yàn)?所以乙隊(duì)發(fā)揮比甲穩(wěn)定，故正確，因?yàn)橐谊?duì)平均每場(chǎng)比賽丟失個(gè)球，大于1，故乙隊(duì)幾乎場(chǎng)場(chǎng)失球，故正確.故選：D.4.已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為，若與圓相切，則A. B. C.45 D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)直線(xiàn)與圓相切得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式以及弦化切求結(jié)果.詳解】設(shè)直線(xiàn),因?yàn)榕c圓相切，所以，因此選B.【點(diǎn)睛】應(yīng)用三角公式解決問(wèn)題的三個(gè)變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過(guò)變換函數(shù)名稱(chēng)達(dá)到減少函數(shù)種類(lèi)的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.5.設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.的最小值為4 B.的最大值為C.的最大值為2 D.的最小值為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本不等式以及“1”的妙用判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：C.6.如圖，已知，，，，則（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得，從而求出，再由余弦定理得，由此能求出BD．【詳解】，，，所以.，，，，解得或（舍）故選：D7.如圖，、是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)分別交于點(diǎn)、，若為等邊三角形，則的面積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線(xiàn)的定義，可得，，由三角形面積公式，即可求出的面積．【詳解】在雙曲線(xiàn)中：，所以，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，可得，是等邊三角形，即又，，的面積為．故選：C．8.在保證鞋帶系緊的前提下，哪種系法使用的鞋帶長(zhǎng)度最短？（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用，可得答案.【詳解】在保證鞋帶系緊的前提下，我們需要考慮的是每種系法中鞋帶的交叉和打結(jié)方式，以及這些方式如何影響所需鞋帶的總長(zhǎng)度.A.小網(wǎng)絲系法：這種系法的特點(diǎn)是鞋帶在鞋面上形成多個(gè)交叉點(diǎn)，每個(gè)交叉點(diǎn)都需要一定的鞋帶長(zhǎng)度來(lái)完成.此外，最后還需要打一個(gè)結(jié)來(lái)固定，這也會(huì)消耗額外的鞋帶.B.蝴蝶結(jié)系法：這種系法在鞋面上形成了一個(gè)明顯的蝴蝶結(jié)形狀，這需要鞋帶在鞋面上進(jìn)行多次交叉和纏繞.雖然蝴蝶結(jié)看起來(lái)美觀，但這種復(fù)雜的交叉方式會(huì)使得所需鞋帶長(zhǎng)度增加.C.愛(ài)心串系法：這種系法的特點(diǎn)是鞋帶在鞋面上形成了一個(gè)心形圖案，但交叉點(diǎn)相對(duì)較少，且心形圖案的構(gòu)造相對(duì)簡(jiǎn)單，不需要過(guò)多的鞋帶進(jìn)行纏繞.此外，這種系法在完成心形圖案后，可以直接打結(jié)固定，不需要額外的鞋帶長(zhǎng)度.D.小蜜蜂系法：這種系法在鞋面上形成了一個(gè)類(lèi)似蜜蜂翅膀的圖案，需要鞋帶進(jìn)行多次交叉和纏繞.雖然這種系法也很美觀，但與愛(ài)心串系法相比，它需要更多的鞋帶來(lái)完成圖案的構(gòu)造.故選；C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知復(fù)數(shù)，若，則（）A. B.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C. D.的虛部為3【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，然后根據(jù)條件，解得，逐個(gè)判斷選項(xiàng)即可；【詳解】，因?yàn)?，所以，解得，則，，A正確．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限，B錯(cuò)誤．，C正確．，虛部為3，D正確．故選：ACD.10.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足不恒為零，且，，.則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.是偶函數(shù) D.在上有個(gè)零點(diǎn)【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性、零點(diǎn)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，所以是周期為的周期函數(shù).，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由令，得，則，令得，即，A選項(xiàng)正確.則f6由，得，以替換得，所以是奇函數(shù)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，根據(jù)周期性可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B選項(xiàng)正確.由于，所以，，由上述分析可知，在區(qū)間上，至少有如下個(gè)零點(diǎn)：，對(duì)于，可以構(gòu)造如下的符合題意的函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象，此時(shí)在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)：，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】研究函數(shù)的周期性，從表達(dá)式上看，形如等函數(shù)都是周期函數(shù).研究函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，形如等都是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，要注意的是，對(duì)應(yīng)的是軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)應(yīng)的是中心對(duì)稱(chēng).11.已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，且為奇函數(shù)，，．下列說(shuō)法正確的是（）A.3是函數(shù)的一個(gè)周期B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)是偶函數(shù)D【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)可得即可確定周期求解選項(xiàng)A；根據(jù)為奇函數(shù)，可得即可求解選項(xiàng)B；根據(jù)題設(shè)條件可得即可求解選項(xiàng)C；利用函數(shù)的周期性和函數(shù)值可求解選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)A，因?yàn)椋?，即，所?是函數(shù)的一個(gè)周期，A正確；對(duì)B，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，所以，即，即，所以函?shù)是偶函數(shù)，C正確；對(duì)D，，所以，所以，D正確；故選:ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)___________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，解得，故的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案：.13.若向量與滿(mǎn)足，且，則在方向上的投影向量的模為_(kāi)_____．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用投影向量及向量模的意義求解作答.【詳解】因?yàn)?，，則有，即，而在方向上的投影向量為，所以在方向上的投影向量的模為.故答案為：514.已知棱長(zhǎng)為8的正四面體，沿著四個(gè)頂點(diǎn)的方向各切下一個(gè)棱長(zhǎng)為2的小正四面體（如圖），剩余中間部分的八面體可以裝入一個(gè)球形容器內(nèi)（容器壁厚度忽略不計(jì)），則該球形容器表面積的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先求出正四面體的外接球半徑，再利用，結(jié)合外接球知識(shí)求出該八面體的外接球半徑即可求解.【詳解】如圖：設(shè)為正四面體的外接球球心，為的中心,為的中心,為的中點(diǎn)，由正四面體可知平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槔忾L(zhǎng)為8，所以，，設(shè)正四面體外接球球心為，則在，則為外接球半徑，由得，解得，即,在正四面體中，易得，，所以，則該八面體的外接球半徑,所以該球形容器表面積最小值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上存在一點(diǎn)，使得成立，求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.（2）實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.【解析】【分析】(1),則分和兩種情況結(jié)合定義域討論函數(shù)的定義域.

(2)若在上存在一點(diǎn)，使得成立，即在上有，由（1）中的單調(diào)性，得出的最小值，解不等式，得到參數(shù)的范圍.【詳解】(1)當(dāng)即時(shí)，在0,+∞上，所以函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增.當(dāng)即時(shí)，在上，在上所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.（2）若在上存在一點(diǎn)，使得成立，即，.①由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即②時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即.因?yàn)椋?當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即（舍）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.此時(shí)，則，所以即，所以無(wú)解.綜上所以：實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的單調(diào)性的討論，考查不等式能成立問(wèn)題，屬于中檔題.16.隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)軟件層出不窮.為調(diào)查某款訂餐軟件的商家的服務(wù)情況，統(tǒng)計(jì)了10次訂餐“送達(dá)時(shí)間”，得到莖葉圖如下：（時(shí)間：分鐘）（1）請(qǐng)計(jì)算“送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)與方差：（2）根據(jù)莖葉圖填寫(xiě)下表：送達(dá)時(shí)間35分組以?xún)?nèi)（包括35分鐘）超過(guò)35分鐘頻數(shù)AB頻率CD在答題卡上寫(xiě)出，，，的值；（3）在（2）的情況下，以頻率代替概率.現(xiàn)有3個(gè)客戶(hù)應(yīng)用此軟件訂餐，求出在35分鐘以?xún)?nèi)（包括35分鐘）收到餐品的人數(shù)的分布列，并求出數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合莖葉圖計(jì)算均值和方差即可；(2)由莖葉圖確定A，B，C，D的值即可；(3)由題意結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式和期望公式求解分布列和期望即可.【詳解】“送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)：分鐘)，方差為：.由莖葉圖得：，，，(3)由已知人數(shù)X的可能取值為：0，1，2，3，，，，X0123PX服從二項(xiàng)分布，．【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖及其應(yīng)用，二項(xiàng)分布的計(jì)算公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.17.如圖所示，設(shè)計(jì)一個(gè)四棱錐形冷水塔塔頂，四棱錐的底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形，已知該四棱錐底面邊長(zhǎng)是，高是，（1）求側(cè)棱與底面所成角；（2）求制造這個(gè)塔頂需要多少鐵板？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）正四棱錐中，連結(jié)和BD交于，連接可得，就是側(cè)棱與底面內(nèi)的所成角．中利用三角函數(shù)的定義，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出，即得側(cè)棱與底面所成角等于；（2）作于，連接中，算出，可得的面積由此即可得到正四棱錐的側(cè)面積，從而得到制造這個(gè)塔頂需要鐵板的面積．【小問(wèn)1詳解】依題意，四棱錐是正四棱錐，連接和BD交于，連接．，可得是側(cè)棱在底面內(nèi)的射影就是側(cè)棱與底面內(nèi)的所成角中，，，因此，，即側(cè)棱與底面所成角等于；【小問(wèn)2詳解】作于，連接．在中，，，，則的面積四棱錐的側(cè)面積是，即制造這個(gè)塔頂需要鐵板．

18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列．（3）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；（3）【解析】【詳解】試題分析：(1)∵數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè)公差為,……1分由,得,,∴，……3分.……4分(2)∵,……5分∴，……6分∴數(shù)列是首項(xiàng)為9，公比為9的等比數(shù)列.……8分（3）∵，，∴…10分∴…………12分考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的性質(zhì)和定義；數(shù)列前n項(xiàng)和的求法．點(diǎn)評(píng)：裂項(xiàng)法是求前n項(xiàng)和常用的方法之一．常見(jiàn)的裂項(xiàng)有：，，，，，19.在①，②過(guò)，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題；已知橢圓：的右焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，求直線(xiàn)的方程.【答案】（1）