華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上全冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)

22.1.二次根式(1)

教學(xué)內(nèi)容：二次根式的概念及其運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)：1、理解二次根式的概念，并利用右(a20)的意義解答具體題目.

2、提出問題，根據(jù)問題給上1概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵：1.重點(diǎn)：形如右(a>0)的式子叫做二次根式的概念；

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：利月“右(a20)”解決具體問題.

教學(xué)過程：一、回顧

當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，及表示a的算術(shù)平方根，即正數(shù)a的正的平方根.

當(dāng)a是零時(shí)，&等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算術(shù)平方根.

當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，JZ沒有意義.

二、概括：&(a20)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說，、后(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，它的平方

等于a.即有：(1)后20(a20)；(2)(Vtz)2=a(a>0).

形如(a20)的式子叫做二次根式.

注意：在二次根式右中，字母a必須滿足a20,即被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

三、例題講解

例題：x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式JT7有意義？

分析要使二次根式有意義，必須且只須被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

解：被開方數(shù)x-120,即x21.

所以，當(dāng)x21時(shí)，二次根式4^1有意義.

思考：行等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3,……分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的a2的值，看看有什么規(guī)律：

概括：當(dāng)a20時(shí)，JU=a；當(dāng)aVO時(shí)，/了=-a.

這是二次根式的又一重要性質(zhì).如果二次根式的被開方數(shù)是一個(gè)完全平方，運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)，可以將它“開方”

出來，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.例如：

\I4X2=J(2X)2=2X(X20)；y[x^=yj(x2)2=X2.

四、練習(xí)：X取什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義.

(?)J3-4.E：(2)J3x-2；(3)J(x-3)2；(4)J3x-4+j4-3x

五、拓展

例：當(dāng)X是多少時(shí)，j2x+3+—L在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

A+1

分析：要使J2X+3+」一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時(shí)滿足j2x+3中的20和」一中的x+iwo.

X+lX+1

[2x+3>0

解：依題意，得《

[x+1工（）

3

由①得：X》-一

2

由②得：xW-1

3_______1

當(dāng)x2-2且xW-l時(shí)，V2X+3+——在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

2X+1

例：（1）已知y=VT7+V7”+5,求上的值.（答案:2）

y

⑵若疝萬+^/^=T=0,求a?00^?004的值.（答案：2）

5

六、歸納小結(jié)（學(xué)生活動(dòng)，老師點(diǎn)評(píng)）本節(jié)課要掌握：

I.形如右（a^0）的式子叫做二次根式，“J-”稱為二次根號(hào).

2.要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

七、布置作.業(yè)：教材P4：1、2

八、反思及感想：

22.1二次根式(2)

教學(xué)內(nèi)容：1.4a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù);2.(y/a)2=a(a^O).

教學(xué)目標(biāo)：I、理解G(a>0)是非負(fù)數(shù)和(G)2=a(a20),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

2、通過復(fù):習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出右(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平

方根的意義導(dǎo)出(G)2二a(a>0)：最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵：1.重點(diǎn)：&(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(6)2=a(a20)及其運(yùn)用.

2.難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出右(a^O)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；?用探究的方法導(dǎo)出(右)2f

(a20).

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入(學(xué)生活動(dòng))口答

1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)a20時(shí)，&叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，右有意義嗎？

二、探究新知

議一議：(學(xué)生分組討論，提問解答)

\[a(a20)是一個(gè)什么數(shù)呢？

老師點(diǎn)評(píng)：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出

&(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

(")2_；(y[2)2=；(邪)2_;(y/3)2_;

老師點(diǎn)評(píng)：①、a是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，

②、4是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有(4)2=4.

同理可得：(叵)2=2,(5/9)2=9,(>/3)2=3,(.—)2=—,(.—)2=—,(A/O)2=0,所以：(\[a)2=

V33V22

a(a20)

三、例題講解

例1計(jì)算：1.(、口)2,2.(36)2,3.(E)2,4.(―)2

V2V62

分析：我們可以直接利用(G)2=a(a>0)的結(jié)論解題.

解:L(JI)2=|

2.(3>/5)2=32?(逐)2=32?5=45，

4.(五

3?（卜外2-d2i.4

四、鞏固練習(xí)

計(jì)算下列各式的值:

4

(5/18)2(5/0)2(4,()2(3療)2—(56)

五、應(yīng)用拓展

例2計(jì)算

1.(Jx+1)2(x20),2.(V?)2,3.(」片+2々+1)2,4.(V4x2-12x4-9)2

分析：(1)因?yàn)閤20,所以x+l>0；

(2)a2>0；

(3)a2+2a+l=(a+1)20；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2?2x-3+32=(2x-3)2>0.

所以上面的4題都可以運(yùn)用（右）2=a（a20）的重要結(jié)論解題.

解：(1)因?yàn)閤20,所以x+l>0,?Vx+T)2=x+l

(2)Va2>0.C)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2,義,:(a+l)2^0,

/.a2+2a+lX),:.J/+2a+1=a?+2a+1

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2?2x?3+32=(2x-3)2,又「(2x-3)2>0

???4X2-12X+920,，(74x2-12x4-9)2=4x2-12x+9

例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

六、歸納小結(jié)：本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.\[a(a30)是一個(gè)非負(fù)數(shù)：2.(\[a)2=a(a=?0);反之:a=(G)2(a^O).

七、布置作業(yè):教材P4：3、4

八、反思及感想：

22.1二次根式(3)

教學(xué)內(nèi)容J/=a(a2O)

教學(xué)目標(biāo)：1、理解J/=a(a^O)并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

2、通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究J/=a(a20),并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵：1.重點(diǎn)：V7=a(a^O).

2.難點(diǎn)：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a20時(shí)，冊(cè)=a才成立.

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：(老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容)

1.形如右(a20)的式子叫做二次根式；

2.&(a^O)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

3.(，?)2=a(a?=0).

那么，我們猜想當(dāng)a20時(shí)，而=21是否也成立呢？下面我們就來探究這個(gè)問題.

二、探究新知：(學(xué)生活動(dòng))填空：

V?=______；Vo.oi2=______；J

(io)2=-----!

腎=________：>=________：?爐一?

(老師點(diǎn)評(píng))：根據(jù)算術(shù)平方根的意義,我們可以得到：

V?=2；Vo.oi2=0.01；J(--)2=—一舟二；后=0一國(guó)=>

V1010V33V77

因此，一般地：[V^~=a(a20)|

三、例題講解：

例1化簡(jiǎn)：(1)>/9(：2)Ji)?(3)V25(4)J(-

分析：因?yàn)?1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,

所以都可運(yùn)用=a(a20)?去化簡(jiǎn).

解：(1)如=居=3(2)[(-4*="=4

(3)后二行二5(4)J(-3>=療=3

四、鞏固練習(xí):(見小黑板)

五、應(yīng)用拓展

例2填空：當(dāng)a20時(shí)，=_____；當(dāng)a<0時(shí)，，了二—，?并艱據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.

(1)若必=a,則a可以是什么數(shù)？(2)若以=-a,則a可以是什么數(shù)？

(3)J/>a,則a可以是什么數(shù)？

分析：???行=a(a20),???要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“()2”中的數(shù)

是正數(shù)，因?yàn)?，?dāng)aWO時(shí)，x[a^=\](-a)2>那么-a2。.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件：(2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想：(3)根據(jù)(1)、(2)可知J/=|a|，而|a|

要大于a,只有什么時(shí)候才能保證呢？a<0.

解：(1)因?yàn)樾?a,所以GO：(2)因?yàn)楹蠖?a,所以aWO；

(3)因?yàn)楫?dāng)a20時(shí)=a,要使J^>a,即使a>a所以a不存在：當(dāng)a<0時(shí)，\[a^=-a,要使即使-a>a,

a<0綜上，a<0

例3當(dāng)x>2,化簡(jiǎn)J(x—2)2?J(]_2x)2.

六、歸納小結(jié)：本課掌握：(a20)及運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<()時(shí)，J/=-a的應(yīng)用拓展.

七、布置作業(yè):1.先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+Jl-2a+-的值,甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+J(1—ci)?=a+(l-a)=1；乙的解答為：原式=a+-a)?=a+(a-1)=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是.

2.若|1995-a|+7^-2000=a,求a-19952的值.(提示：注意根式有意義的隱含條件)

3.若-3WxW2時(shí)，試化簡(jiǎn)|x-2|+J(x+3『+&-1(比+25。

八、反思及感想：

22.2二次根式的乘除(1)

教學(xué)內(nèi)容：\fa-yfb=\[ab(a2(),b20),反之\/茄二6?、歷(a>0,b20)及其運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)：1、理解G?揚(yáng)=而(a20,b20),而=&-4b(a20,b20),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)

2、由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出6-4b=4^b(a》0,b^O)并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算；?利用逆向思維，得

出寂=&-y/b(a>0,b20)并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡(jiǎn).

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

I重點(diǎn)：4a?\[h=y[ab(a20,b20),\/ab=\[a?\[h(a>0,b20)及它們的運(yùn)用.

2、難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出6?4b=y[ab(a20,b20).

3、關(guān)鍵：要講清dab(a<O,b<O)=y/-cix-\[b,如J(—2)x(—3)=，—(—2)x—(—3)

或J(—2)x(—=x石.

教學(xué)過程：一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探.(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題.

1.填空：(1)〃義囪=,74^9=__；(2)V?6X725=_____,V16x25=.

(3)7100x736=,7100x36=.

參考上面的結(jié)果，用“>、<或="填空.

74X79____74^9,Mx后_____716x25,義底7100x36

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空

(1)V2XV3_____瓜,(2)72X75______M，

⑶出X瓜______而，(4)______而,

⑸V7XV10屈.

(學(xué)生活動(dòng))讓3、4個(gè)同學(xué)上臺(tái)總結(jié)規(guī)律.

老師點(diǎn)評(píng)：(I)被開方數(shù)都是正數(shù)；(2)兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，?并且把這兩個(gè)二次根式中的

數(shù)相乘，作為等號(hào)另一邊二次根式中的被開方數(shù).

一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為

?巫(a20,b20)

反過來：[=G?亞(a2(),b20)

合探1.計(jì)算：(1)&XJ7,(2)Jx的,(3)y/9XV27,⑷產(chǎn)X幾

分析：直接利用&-4h=4^b（a^O,b20）計(jì)算即可.

合探2化簡(jiǎn)(I)79x16,(2)716x81,(3),81x100,(4)y)9x2y2,(5)南

分析：利用疝=&-y[h（a20,b^O）直接化簡(jiǎn)即可.

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下!

三、應(yīng)用拓展：判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正：

（I）&T）x（-9）=CXQ

X5/25=4XX725=4XV25=4y[{2=8\/3

四、鞏固練習(xí)（1）計(jì)算（生練，師評(píng)）①Jidx次②3瓜X2V10

（2）化簡(jiǎn)：回；如；＞/24;庖；J12-

五、歸納小結(jié)（師生共同歸納）

本節(jié)課掌握：(1)\[a?=4cib=(a20,b20),>[ab=4a?\[b(a20,b20)及運(yùn)用.

六、作業(yè)設(shè)計(jì)（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

I.直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為厲cm和JIEcm,?那么此直角三角形斜邊長(zhǎng)是（）

A.3。2cmB.3v3cmC.9cmD.27cm

2.化簡(jiǎn)a的結(jié)果是().A.4^aB.4aC.-\TaD.-Ja

3.等式Jx+1?Jx-1=-1成立的條件是()

A.x》lB.x2-lC.-IWXWID.xel或xW-1

4.下列各等式成立的是().

A.4\6X2逐=8石；B.5A/3X4A/2=20A/5；C.473X3\/2=7>/5；D.50X40=20限

(二)、填空題：

I.VI014=.

2.自由落體的公式為S=；gt2（g為重力加速度，它的值為10m/s2）,若物體下落的高度為720m,則下落的時(shí)間是

（三）、綜合提高題探究過程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過程.

同理可得：4得三號(hào)日

通過上述探究你能猜測(cè)出…后二一<a>0），并驗(yàn)證你的結(jié)論.

七、反思及感想：

22.2二次根式的乘除（2）

教學(xué)內(nèi)容：受身心。，八反過來腎系心。,回）及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

教學(xué)目標(biāo);1、理解，^二叵（a20,b>0）和叵=，7（a20,b>0）及利用它們進(jìn)行運(yùn)算.

2、利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它

們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：理解丑=叵（a20,b>0）,叵=①（a20,b>0）及用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

4bVV4b

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教學(xué)過程；一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探.（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：

1.填空（1）也'是二；氏=___:叵;_____；

V16736V36

(3)"='忌:：(4)>/36=

規(guī)律:7^_/36.

VsT-vs7

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空:

(3)V2=___,(4)紅=

(1)V3=,(2)>/2=

7/473星78

規(guī)律：正一回；叵一區(qū);匹—叵;/Zo

74V473V3V5V578V8

每組推薦一名學(xué)生上臺(tái)闡述運(yùn)算結(jié)果.（老師點(diǎn)評(píng)），根據(jù)大家的練習(xí)和回答,

我們進(jìn)行合探：

二次根式的除法規(guī)定：

一般地，對(duì)二次根式的除法規(guī)定：

坐■二、口（a20,b>0\

反過來—(a>0,b>0)

b〃

下面我們利用這個(gè)規(guī)定來計(jì)算和化簡(jiǎn)?些題目.

合探1.計(jì)算：（1）半⑷華

6

分析：上面4小題利用（a20,b>0）便可直接得出答案.

二、應(yīng)用拓展

已知但三=且三，且X為偶數(shù)，求（1+X）g一5X+4的值.

Vx—6^/7^6Vx2-l

分析:式子和可只有a2。b>0時(shí)才能成立.

因此得到9-x20且x-6>（）,即6<xW9,又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以x=8.

三、歸納小結(jié)（師生共同歸納）

本節(jié)課要掌握%"自3。,2。）和店=夠(a20,b>0)及其運(yùn)用.

四、作業(yè)：（寫在小黑板上）

（一）、選擇題：

1.計(jì)算用+1+您的結(jié)果是（）.

A.26；B.2：C.V2D.石

777

2.閱讀下列運(yùn)算過程:1=6=正,2275275數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號(hào)去掉的過程

飛―75x6一號(hào)x/545^455

稱作“分母有理化”，那么，化簡(jiǎn)金2的結(jié)果是（）.

A.2B.6C.-V6D.幾

3

（二）、填空題1.分母有理化:⑴1=;（2）_!_=;（3）Vio=.

3>/2V1224

2.已知x=3,y=4,z=5,那么J五+的最后結(jié)果是

五、反思及感想:

22.2二次根式的乘除⑶

教學(xué)內(nèi)容

最簡(jiǎn)二次根式的概念及利用最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算.

教學(xué)目標(biāo)：1、理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式.

2、通過計(jì)算或化簡(jiǎn)的結(jié)果來提煉出最簡(jiǎn)二次根式的概念，并根據(jù)它的特點(diǎn)來檢險(xiǎn)最后結(jié)果是否滿足最簡(jiǎn)二

次根式的要求.

重難點(diǎn)關(guān)鍵：1.重點(diǎn)：最簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)用.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判斷這個(gè)二次根式是否是最簡(jiǎn)二次根式.

教學(xué)過程

一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探1.（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題（請(qǐng)三位同學(xué)上臺(tái)板書）

計(jì)算（1）正，（2）3>/2,（3）

x/5x/27y/2a

老師點(diǎn)評(píng)：x/3=t372=N/6,_V8_=2V^

\/55V273y/2aa

自探2.觀察上面計(jì)算題的最后結(jié)耒，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有什么特點(diǎn)？（有如下兩個(gè)特點(diǎn)：1.被開

方數(shù)不含分母；2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.）

我便把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

合探I.把下面的二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式：（1）3梧；Q）薪了；（3）

合探2.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6crn,

求AB的長(zhǎng).

峻J6.5(cm)

AB=>/2.52+62=+36=

V42

因此AB的長(zhǎng)為6.5cm.

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

三、應(yīng)用拓展

觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最筒二次根式:

1_1x(72-1)=五-1二⑶

亞+1(V2+1)(72-1)-2-1'

I_lx（V3-V2）_^-V2_r-/-

及7T（G+向-揚(yáng)一下丁'

同理可得：?二4-6……

>/4+>/3

從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算

（!+1+1+.]）（.2002+1）的值.

Ji+iV3+V26+GV2002+72001

分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

四、歸納小結(jié)（師生共同歸納）：本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡(jiǎn)二次根式的概念及其運(yùn)用.

五、作業(yè)設(shè)計(jì)（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.如果有（y>°）是二次根式，那么，化為最簡(jiǎn)二次根式是（）.

A.3（y>0）B.后（y>0）C.工身（y>0）D.以上都不對(duì)

y[yy

2.把（a-l）/】中根號(hào)外的（a-l）移入根號(hào)內(nèi)得（）.

A.Cl-1B."J\—ClC.--\D.-y/\-Cl

3.在下列各式中，化簡(jiǎn)正確的是（）

A.#=3而C.\Ja4b=a2\[bD.Vx3-x2=x\Jx-\

4.化簡(jiǎn)-的結(jié)果是()A.-V2；B.-_3_:C.-x/6；D.-41

x/273V33

(二)、填空題

I.化簡(jiǎn)Jd+fyZ=.(x20)

2.a"1化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是

（三）、綜合提局題

1.已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)：閱讀下面的解答過程，請(qǐng)判斷是否正確？若不正確，?請(qǐng)寫出正確的解

答過程：

解：\l-cr-a/_J_=a>f—a-a,J_yf—a=(a-l)A/工

a

2.若x、y為實(shí)數(shù)，且y="-4+J"%'+1,求y.Jx-y的值.

x+2”

六、反思及感想：

22.3二次根式的加減⑴

教學(xué)內(nèi)容：二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)：理解和掌握二次根式加減的方法.

重難點(diǎn)關(guān)鍵：1.重點(diǎn)：二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)根式.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判定是否是最簡(jiǎn)二次根式.

教學(xué)過程：

一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探(學(xué)生活動(dòng))：計(jì)算下列各式.

(1)2y/2+35/2：(2)2\/s-3+5；(3)y/l+2\/1+3J9x7；(4)3-\/3-2-\/3+

因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2血與血表面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以

的.(板書)3&+&=30+2后=5&和3&+a=3百+36=66

所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，?再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.

合探1.計(jì)算：(1)&+加(2)V16X+>/647

分析：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式：第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并.

合探2.計(jì)算

（1）3748-9^1+3V12（2）（＞/48+720）+（厄-石）

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下!

三、應(yīng)用拓展

已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求巨)-(x2/T-5X叵）的值.

分析：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0,

即x=g,y=3.其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式，?再合并同類二次根式，最

后代入求值.

四、歸納小結(jié)（師生共同歸納）：本節(jié)課應(yīng)掌握：

（1）不是最簡(jiǎn)二次根式的，應(yīng)化成最簡(jiǎn)二次根式：（2）相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并.

五、作業(yè)設(shè)計(jì)（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.以下二次根式：①灰；②疔；③「；④J萬中，與相是同類二次根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①36+3=6百；②,g=l；③0+#=&=20；④反=20,其中錯(cuò)誤的有

7飛

（）.A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

（二）、填空題

1.在曲、三扇r|反、后、2m、3阮、?2般中，與宿是同類二次根式的有.

2.計(jì)算:一次根式5折-3〃?76+9揚(yáng)的最后結(jié)果是

（三入綜合提高題

1.已知逐-2.236,求（廂-舊）-（星+1后）的值.（結(jié)果精確到0.01）

2.先化簡(jiǎn)，再求值.

+靈）-（4x+[36xy）,其中x=3，y=27.

六、反思及感想:

22.3二次根式的加減⑵

教學(xué)內(nèi)容：利用二次根式化簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題.

教學(xué)目標(biāo)：運(yùn)用二次根式、化簡(jiǎn)解應(yīng)用題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵：講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點(diǎn)，又是本節(jié)課的難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn).

教學(xué)過程：

一、設(shè)疑自探一一解疑合探

上節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個(gè)步驟：第一步，先將二次根式化成最簡(jiǎn)二

次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，下面我們研究三道題以做鞏固.

自探1.如圖所示的RtZ\ABC中，ZB=90°,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米/?秒的速度向

點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng).問：幾秒后apEQ的面

積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）

分析：設(shè)x秒后APeQ的面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,?根據(jù)三角形面積公式就

可以求出x的值.

解：設(shè)x后△PBQ的面積為35平方犀米.則有PB=x,BQ=2x

依題意，得：一x?2x=35X2=35X=>/35

2

所以后秒后APeQ的面積為35平方厘米.

PQ=y]PB2+BQ2=Vx2+4A2==75x35=5V7

答：735秒后APeQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5近厘米.

自探2.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）?

解：由勾股定理.得AR=JS+AD2="2+2?=而=2石

BC=dBEf+Clf=V22+l2=舊

所需鋼材長(zhǎng)度為AB+BC+AC+BD=2石+逐+5+2=36+7g3X2.24+7=13.7（m）

答：要焊接一個(gè)如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材.）

三、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

四、應(yīng)用拓展

若最簡(jiǎn)根式3“劃4a+3勿寧根式1+&/是同類二次根式,求明b的值.

注：（?同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式）

分析：同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同；?事實(shí)上，根式五廬萬不

是最簡(jiǎn)二次根式，因此把一「+6從化簡(jiǎn)成|b|-ha-b+6,才由同類二次根式的定義得3a-?b=?2,

2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2a根+61化為最簡(jiǎn)二次根式:

V2ab2-+6b2=y]h2（2a+6）=|b|?y/2a-b+6

由題意得[4a+3O=2a-Z?+6/.f+4Z?=6/.a=l,b=l

\3a—b=2[3a—b=2,

五、歸納小結(jié)（師生共同歸納）：本節(jié)課應(yīng)掌握運(yùn)用最簡(jiǎn)二次根式的合并原理解決實(shí)際問題.

六、作業(yè)設(shè)計(jì)（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.已知直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5和5,那么斜邊的長(zhǎng)應(yīng)為（）.

A.5>/2B.>/5OC.26D.以上都不對(duì)

2.小明想自己釘一個(gè)長(zhǎng)與寬分別為30cm和20cm的長(zhǎng)方形的木框，?為了增加其穩(wěn)定性，他沿長(zhǎng)方形的對(duì)角線又釘

上了一根木條，木條的長(zhǎng)應(yīng)為（）米.

A.BVIOOB.71300C.I0V13D.5氏

（二）、填空題

I.某地有一長(zhǎng)方形魚塘，已知魚塘的長(zhǎng)是寬的2倍，它的面積是l600m2,?魚塘的寬是m.

2.已知等腰直角三角形的直角邊的邊長(zhǎng)為近，?那么這個(gè)等腰直角三角形的周長(zhǎng)是.

(三)、綜合提高題

1.若最簡(jiǎn)二次根式2，3病一2與“44/一1()是同類二次根式,求m、n的值.

3

2.同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式a2±2ab+b?=(a±b)2,你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式,

那么所有的正數(shù)(包括0)都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如3=(石)2,

5=(6)2,你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察：

(>/2-1)2=(yf2)2-2?1,^2+12=2-20+1=3-2^2

反之，3-2夜=2-2&+l=(V2-I)2：,3-2亞=(72-1)273-272=72-1

求：(1)\)3+2近；(2)"+26；(3)你會(huì)算,4—J/嗎?

(4)若y]a±2亞土J~ii,則m、n與a、b的關(guān)系是什么？并說明理由.

六、反思及感想：

22.3二次根式的加減(3)

教學(xué)內(nèi)容：含有二次根式的單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、相除；

乘法公式的應(yīng)用.

教學(xué)目標(biāo)：1、含有二次根式的式子進(jìn)行乘除運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)川.

2、復(fù)習(xí)整式運(yùn)算知識(shí)并將該知識(shí)運(yùn)用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運(yùn)算.

重難點(diǎn)關(guān)鍵：1、重點(diǎn)：二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算規(guī)律；

2、難點(diǎn)關(guān)鍵：由整式運(yùn)算知識(shí)遷移到含二次根式的運(yùn)算.

教學(xué)過程

一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探1.(學(xué)生活動(dòng))：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：

1.計(jì)算：(1)(2x+y)?zx(2)(2x2y+3xyD4-xy

2.計(jì)算：(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2

老師點(diǎn)評(píng)：這些內(nèi)容是對(duì)八年級(jí)上冊(cè)整式運(yùn)算的再現(xiàn).它主要有3)?單項(xiàng)式X單項(xiàng)式；(2)單項(xiàng)式X多項(xiàng)式；(3)

多項(xiàng)式+單項(xiàng)式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的運(yùn)用.

如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立呢？-仍成立.

整式運(yùn)算中的x、y、z是一-種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，?當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，

整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式.

自探2.計(jì)算：(1)(指+人)XW(2)(4#-3&)+2&

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，?所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律.

自探3.計(jì)算：(1)(5/5+6)(3-75)(2)(V10+V7)(x/lO-V?)

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立.

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

三、應(yīng)用拓展：已知二二2二2-土士，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+bWO,

ab

化簡(jiǎn)—K+1—+1+,并求值.

VX-I-1+yJXVX4-1-yJX

分析：由于（（J7=T-五）=i,因此對(duì)代數(shù)式的化簡(jiǎn)，可先珞分母有理化,再通過解含有字母系

數(shù)的一元一次方程得到X的值，代入化簡(jiǎn)得結(jié)果即可.

原式二(Jx+1-4)2+(x/7+T+4)2

解:

(V-V+14-x/x)(Vx+T-A/X)(VX+1-'ZrXVx+l+\fx)

(Vx+1->/x)-+(Jx+1+>/x)~

=(x+1)+x-2"x(x+l)+x+2Jx(x+1)=4x+2

(x+l)-x(x+l)-x

■:----=2------h(x-h)=2ah-a(x-a)hx-h2=2ah-ax+a2

ab

:.(a+b)x=a2+2ab+b2(a+b)x=(a+b)2Va+b^O/.x=a+b

，原式=4x+2=4(a+b)+2

四、歸納小結(jié)（師生共同歸納）：本節(jié)課應(yīng)掌握二次根式的乘、除、乘方等運(yùn)算.

五、作業(yè)設(shè)計(jì)（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

I.（。24-3\[\5+2^2—）X>/2的值是（）.

A.±0V3-3>/30B.3而-2且C.2>/30-273D.絲,6而

3333

2.計(jì)算（6十五-1）（五-J7二T）的值是（）.A.2B.3C.4D.I

（二）、填空題

1.（-_￡+正）2的計(jì)算結(jié)果（用最簡(jiǎn)根式表示）是.

22

2.（l-2x/3）（1+26）-（273-1）2的計(jì)算結(jié)果（用最簡(jiǎn)二次根式表示）是.

3.若x=>/2-1,貝ljX2+2X+1=.

4.已知a=3+2yf2,b=3-2-72,貝！Ja2b-ab2=.

（三）、綜合提高題

I.化簡(jiǎn)0+6

VTo4-VM+VL5+>/TF

2.當(dāng)x=——時(shí)，求工+1+7；：+x-x+1—中：+大的佰(結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示)

V2-1x+1-\x2+xx+\+yJx2+x

六、反思及感想：

23.1一元二次方程

教學(xué)目標(biāo)：

1、知道一元二次方程的定義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式+〃式+。=°(〃W0)2、在分析、揭示

實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的過程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)最關(guān)

系的工具，增加對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí)。3、會(huì)用試驗(yàn)的方法估計(jì)一元二次方程的解。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

1.一元二次方程的意義及一般形式，會(huì)正確識(shí)別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)二

2.理解用試驗(yàn)的方法估計(jì)一元二次方程的解的合理性。

教學(xué)過程：

一做一做：

1.問題一綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每?jī)纱睒欠恐g，開辟面積為9(X)平方米的一塊長(zhǎng)方形綠地，并且長(zhǎng)比寬

多10米，那么綠地的長(zhǎng)和寬各為多少？

分析：設(shè)長(zhǎng)方形綠地的寬為x米，不難列出方程

x(x+10)=900

整理可得x2+lOx-900=0.(1)

2.問題2

學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊(cè)，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬冊(cè).求這兩年的年平均增長(zhǎng)率.

解：設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x,我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬冊(cè)，則今年年底的圖書數(shù)是5(1+x)萬冊(cè)；

同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的(l+x)倍，即5(1+x)(l+x)=5(l+x)2萬冊(cè).可列得方程

5(1+x)2=7.2,

整理可得5X2+I0X-2.2=0.(2)

3.思考、討論

這樣，問題1和問題2分別歸結(jié)為解方程(1)和(2).顯然，這兩個(gè)方程都不是一元一次方程.那么這兩個(gè)方程與一元

一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？

(學(xué)生分組討論，然后各組交流)共同特點(diǎn)：(I)都是整式方程(2)只含有一個(gè)未知數(shù)(3)未知數(shù)的最高

次數(shù)是2

二、一元二次方程的概念

上述兩個(gè)整式方程中都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的方程叫做一元二次方程).通常可寫成

如下的一般形式：

ax2+bx+c=O(a,b、c是已知數(shù)，aWO)。其中。/叫做二次項(xiàng)，。叫做二次項(xiàng)系數(shù)；叫做一次項(xiàng)，〃叫做一次項(xiàng)

系數(shù)，。叫做常數(shù)項(xiàng)。.

三、例題講解與練習(xí)鞏固

1.例1下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。

――2_]_

(?)3x+2=5x-3(2)x2=4(3)x+1(4)廣-4=*+2)2

2.例2將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

1)6y2=y2)(x-2)(x+3)=83)(X+3)(3X-4)=(X+2)2

說明：一元二次方程的i般形式a—+法+c=°(。20)具有兩個(gè)特征：一是方程的右邊為0：二是左邊的二次

項(xiàng)系數(shù)不能為0。此外要使學(xué)生意識(shí)到：二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都是包括符號(hào)的。

3.例3方程(2a—4)X?-2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？

本題先由同學(xué)討論，再由教師歸納。

解：當(dāng)〃H2時(shí)是一元二次方程；當(dāng)〃=2,人工0時(shí)是一元一次方程；

4.例4已知關(guān)于x的一元二次方程(m/)x2+3x-5m+4=0有一根為2,求m。

分析：一根為2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5.練習(xí)一將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)

2,=2-3x2X(X-1)=3(X-5)-40-嚴(yán)-()，+葉=()，+^y-2)

練習(xí)二關(guān)于X的方程(〃2-3)/+內(nèi)+〃2=°,在什么條件下是一元二次方程？在什么條件下是一元一次方程？

本課小結(jié)：

1、只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式為々V+云+c=°(4W0),一元二次方程的項(xiàng)及系數(shù)都是根據(jù)一般式定義的，這與多

項(xiàng)式中的項(xiàng)、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的。

3、在實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的過程中，體會(huì)學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性和重要性。

布置作業(yè)：課本第27頁習(xí)題1、2、3

23.2.2一元二次方程的解法

教學(xué)目標(biāo)：

1、會(huì)用直接開平方法解形如“。一Q?二人(aW0,ab20)的方程；

2、靈活應(yīng)用因式分解法解一元二次方程。

3、使學(xué)生了解轉(zhuǎn)化的思想在解方程中的應(yīng)用，滲透換遠(yuǎn)方法。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程，理解一元二次方程無實(shí)根的解題過程。

教學(xué)過程：

問：怎樣解方程-1)=256的?

讓學(xué)生說出作業(yè)中的解法，教師板書。