專項(xiàng)17質(zhì)數(shù)和合數(shù)問題-小升初奧數(shù)思維提升講義

小升初經(jīng)典奧數(shù)——質(zhì)數(shù)與合數(shù)問題9種類型講練測(cè)本章講義在立足課本的基礎(chǔ)上，對(duì)重難點(diǎn)進(jìn)行引申和拓展，有機(jī)滲透各種數(shù)學(xué)思想和創(chuàng)新思維方法，通過剖析競(jìng)賽真題，將課本知識(shí)內(nèi)聯(lián)和外延、遷移和重組，使課本與競(jìng)賽一體化，使奧數(shù)不再遙不可及！三大板塊：經(jīng)典范例——通過解題思路及技巧的點(diǎn)撥，領(lǐng)會(huì)解題原理，建立思維模型。鞏固提升——在“經(jīng)典范例”的基礎(chǔ)上強(qiáng)化解題能力，鞏固知識(shí)點(diǎn)。綜合測(cè)試——提升綜合能力，累積考試經(jīng)驗(yàn)。朱熹曰：有疑者，須教有疑；有疑者，卻要無疑，到這里方是長(zhǎng)進(jìn)。我期盼，通過本章講義，讓更多的孩子思維得到發(fā)展，素養(yǎng)得到提升！??質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒有其他因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也稱為素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有其他因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的因數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：將一個(gè)合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法進(jìn)行分解。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=a?×a?×a?×…×a?，其中a?、a?、a?、…a?都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a?＜a?＜a?＜…＜a?。特殊的質(zhì)數(shù)：2是質(zhì)數(shù)中唯一的偶質(zhì)數(shù)，其余質(zhì)數(shù)為奇質(zhì)數(shù)。【質(zhì)數(shù)、合數(shù)的判定】判斷數(shù)103和437是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？【思路點(diǎn)撥】判斷一個(gè)不大的數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù),可用以下方法:找到一個(gè)k(k為整數(shù)),使得:被判斷的數(shù)a＜k2(k盡可能小)。然后用以內(nèi)的質(zhì)數(shù)去除a,有能整除的,是合數(shù),反之,a是質(zhì)數(shù)?！驹斀狻浚?）103＜112,用2,3,5,7去除103,都不能整除,所以,103是質(zhì)數(shù)；（2）437＜212,用2,3,5,7,11,13,17,19分別去除437,發(fā)現(xiàn)437÷19=23,所以437是合數(shù)。1.判斷數(shù)4444445111111是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？2.判定250+1和2501是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。【奇偶性應(yīng)用】?jī)蓚€(gè)質(zhì)數(shù)的和是39,求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積。【思路點(diǎn)撥】根據(jù)它們的和是39為奇數(shù)，則兩個(gè)質(zhì)數(shù)中一定有一個(gè)是偶數(shù)，質(zhì)數(shù)中偶數(shù)只有2，另一個(gè)質(zhì)數(shù)為39－2=37；2×37=74；故這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是74．故答案為：74【點(diǎn)睛】在自然數(shù)中，除了1和它本身外，沒有別的因數(shù)的數(shù)為質(zhì)數(shù)；根據(jù)它們的和是39為奇數(shù)，則兩個(gè)質(zhì)數(shù)中一定有一個(gè)是偶數(shù)，質(zhì)數(shù)中偶數(shù)只有2，然后確定另一個(gè)質(zhì)數(shù)，進(jìn)行求積即可。1.有兩個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的和與差也都是質(zhì)數(shù)，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)。2.兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是1979,這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是?！竞偷淖钪祮栴}】將1～9九個(gè)自然數(shù)分成三組,每組三個(gè)數(shù)。第一組三個(gè)數(shù)之積是48,第二組三個(gè)數(shù)之積是45,第三組三個(gè)數(shù)之和最大是多少?【思路點(diǎn)撥】先把48分成三個(gè)因數(shù)相乘的形式，再根據(jù)剩余數(shù)字寫出第三組即可解答?！驹斀狻?8=6×2×4=8×2×345=1×9×5所以另外一組數(shù)是3、7、8或4、6、7，所以第三組三個(gè)數(shù)之和最大是3+7+8=18；故答案為：18?！军c(diǎn)睛】各種求最大值或最小值的問題，解題時(shí)宜首先考慮起主要作用的量，如較高數(shù)位上的數(shù)值，有時(shí)局部調(diào)整和枚舉各種可能情形也是必要的，解決最值問題還要用到均值不等式，即(1)如果兩個(gè)整數(shù)的和一定時(shí)，那么這兩個(gè)整數(shù)的差越小，他們的乘積越大(2)兩個(gè)自然數(shù)的乘積一定時(shí)，兩個(gè)自然數(shù)的差越小，這兩個(gè)自然數(shù)的和也越小。(3)把一個(gè)數(shù)拆分成若干個(gè)自然數(shù)之和，如果要使這若干個(gè)自然數(shù)的乘積最大，那么這些自然數(shù)應(yīng)全是2或3，且2最多不超過兩個(gè)。1.將四個(gè)不同的合數(shù)分成兩組，要求每組的兩個(gè)合數(shù)之和都相等，而且每組的兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)。這四個(gè)合數(shù)之和最小可以是多少?2.兩個(gè)自然數(shù)的積是48，這兩個(gè)自然數(shù)是什么值時(shí)，它們的和最小?【積的最值問題】三個(gè)質(zhì)數(shù)之和為32,求這三個(gè)質(zhì)數(shù)積的最大值【思路點(diǎn)撥】（和定差小積大原理）因?yàn)?2是偶數(shù)，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)是2，30分成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和可以是：7和23，11和19，13和17；接下來分別計(jì)算2×7×23、2×11×19、2×13×17的積，再判斷即可。【詳解】因?yàn)?2是偶數(shù)，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)是2，30分成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和可以是：7和23，11和19，13和17。（其中13和17的差最小，所13×17的積最大）2×7×23=3222×11×19=4182×13×17=442所以積最大值是442。【點(diǎn)睛】各種求最大值或最小值的問題，解題時(shí)宜首先考慮起主要作用的量，如較高數(shù)位上的數(shù)值，有時(shí)局部調(diào)整和枚舉各種可能情形也是必要的，解決最值問題還要用到均值不等式，即(1)如果兩個(gè)整數(shù)的和一定時(shí)，那么這兩個(gè)整數(shù)的差越小，他們的乘積越大(2)兩個(gè)自然數(shù)的乘積一定時(shí)，兩個(gè)自然數(shù)的差越小，這兩個(gè)自然數(shù)的和也越小。(3)把一個(gè)數(shù)拆分成若干個(gè)自然數(shù)之和，如果要使這若干個(gè)自然數(shù)的乘積最大，那么這些自然數(shù)應(yīng)全是2或3，且2最多不超過兩個(gè)。1.把33拆成若干個(gè)不同質(zhì)數(shù)之和,如果要使這些質(zhì)數(shù)的積最大,這幾個(gè)質(zhì)數(shù)分別是多少?2.把17分成幾個(gè)自然數(shù)的和，“怎樣分才能使它們的乘積最大?【列舉法求質(zhì)數(shù)】A、B、C為三個(gè)小于20的質(zhì)數(shù),A+B+C=30,且A＜B＜C,求這三個(gè)質(zhì)數(shù)?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義，一個(gè)自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。小于20的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19，據(jù)此即可找出符合條件的三個(gè)質(zhì)數(shù)．【詳解】解：列舉出小于20的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19，其中2+11+17=30，2＜11＜17，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)是2、11、和17．答：這三個(gè)質(zhì)數(shù)是2、11、17。1.A，B，C為三個(gè)質(zhì)數(shù)，A+B=16，B+C=24,且A＜B＜C,求這三個(gè)質(zhì)數(shù)。2.一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，交換個(gè)位和十位上的數(shù)字后所得的兩位數(shù)是另一個(gè)質(zhì)數(shù)，寫出所有這樣的兩位數(shù)。【邏輯推理法】有7張卡片,上面分別寫著1～7七個(gè)數(shù)字。明明、芳芳和亮亮每人拿了2張。明明說:“我的兩張數(shù)字之和是7。芳芳說:“我的兩張數(shù)字之差是1。3亮亮說:“我的兩張數(shù)字之積是12。那么,剩下的一張上面寫的數(shù)字是幾?【思路點(diǎn)撥】邏輯推理：明明說：“我的兩張數(shù)字之和是7．”芳芳說：“我的兩張數(shù)字之差是1．”亮亮說：“我的兩張數(shù)字之積是12．”因?yàn)?到7的7個(gè)數(shù)字中兩個(gè)數(shù)字之和是7的有1+6=7，2+5=7，3+4=7；而相差是1的有21=1，32=1，43=1，54=1，65=1，76=1；乘積是12的有2×6=12，3×4=12上述條件都滿足時(shí)只能選：3×4=12，2+5=7，76=1據(jù)此解答即可．【詳解】解：根據(jù)明明說：“我的兩張數(shù)字之和是7．”芳芳說：“我的兩張數(shù)字之差是1．”亮亮說：“我的兩張數(shù)字之積是12．”可知：明明2+5=7，芳芳76=1，亮亮3×4=12，剩下就是1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了邏輯推理，此題應(yīng)結(jié)合題意進(jìn)行分析，并進(jìn)行驗(yàn)證，從而得出答案。有九張卡片，上面分別寫著1～9九個(gè)數(shù)字。甲、乙丙、丁四人每人拿了兩張。甲說:“我的兩張數(shù)字之和是9。乙說:“我的兩張數(shù)字之差是6。”丙說:“我的兩張數(shù)字之積是12。”工說:“我的兩張數(shù)字之商是3。”那么,剩下的一張上面寫的數(shù)字是幾?【數(shù)列分組法】把40，44，45，63，65，78,99，105這八個(gè)數(shù)平分成兩組,使每組四個(gè)數(shù)的乘積相等?！舅悸伏c(diǎn)撥】分解公因式，把大數(shù)字化成質(zhì)因數(shù)，問題就容易看出了【詳解】40可以拆分為2×2×2×5，44可拆分為2×2×11，45可拆分為3×3×5，63可拆分為3×3×7，65可拆分為5×13，78可拆分為2×3×13，99可拆分為3×3×11，105可拆分為3×5×7，這樣就明確了，把兩個(gè)7兩個(gè)11兩個(gè)13分開，6個(gè)2一邊三個(gè)、4個(gè)5分開第一組：2×2×2×5、3×3×11、5×13、3×3×7；第二組：2×2×11、2×3×13、3×3×5、3×5×7；即第一組為40、99、65、63；第二組為44、78、45、105．1.把39,45,49,56,60,70,78,84,91九個(gè)數(shù)分成三組，使每組中三個(gè)數(shù)的乘積都相等。2.有12、18、33、36、56、77六個(gè)數(shù),把它們平均分成兩組,如果要使每組三個(gè)數(shù)的乘積相等,這兩組數(shù)分別是和。【分解質(zhì)因數(shù)法】三個(gè)自然數(shù)的乘積為84,其中兩個(gè)數(shù)的和等于另一個(gè)數(shù)。求這三個(gè)數(shù)?！舅悸伏c(diǎn)撥】84=2×2×3×7=4×3×7因?yàn)?+3=7，所以這三個(gè)數(shù)是4，3，7答:這三個(gè)數(shù)是4，3，71.兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積是111555,這兩個(gè)奇數(shù)之和是多少?2.46305乘以一個(gè)自然數(shù)a,乘積是一個(gè)整數(shù)的平方。求最小的a和這個(gè)整數(shù)。3.甲數(shù)比乙數(shù)大5,乙數(shù)比丙數(shù)也大5,三個(gè)數(shù)的乘積是6384,求這三個(gè)數(shù)?！痉e尾數(shù)0的個(gè)數(shù)】在1×2×3×4×…×199×200這個(gè)乘積中尾部共有個(gè)連續(xù)的“0”?！舅悸伏c(diǎn)撥】因?yàn)?和5相乘，就會(huì)在積的末尾得到一個(gè)0。要看這個(gè)算式的末尾有多少個(gè)連續(xù)的0,只要看一下各因數(shù)中含有的質(zhì)因數(shù)2和5分別有多少個(gè)。在1～200的連續(xù)自然數(shù)中，質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)比5的個(gè)數(shù)多,積的末尾0的個(gè)數(shù)取決于質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)?！驹斀狻吭?～200中,5的倍數(shù)中共有200÷5=40(個(gè))。但值得注意的是25、50、75、100、150、175、200中含有2個(gè)5,125中含有3個(gè)5,這些都必須加以考慮。而在1～200中,25的倍數(shù)共有200÷52=8(個(gè)),125的倍數(shù)共有200÷53≈1(個(gè))。在1～200的連續(xù)自然數(shù)中,質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)共有:200÷5+200÷52+200÷53≈4+8+1=49(個(gè))所以1×2×3×…×199×200這個(gè)乘積中尾部共有49個(gè)連續(xù)的“0”【特別提醒】一個(gè)算式中質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)與5的個(gè)數(shù)相比,其中個(gè)數(shù)較少的質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)就等于這個(gè)算式末尾連續(xù)0的個(gè)數(shù)。1.1×2×3×…×25所得積的末尾有個(gè)連續(xù)的數(shù)字“0”。A.6B.8個(gè)C10個(gè)D.12個(gè)2.在1×2×3×…×1999×2000的乘積中尾部有多少個(gè)連續(xù)的“0”?滿分：100分時(shí)間：60分鐘1.兩個(gè)大于10的合數(shù)的和是31,求這兩個(gè)數(shù)。2.已知a,b,c都是質(zhì)數(shù),若a×b+b×c=119,則a+b+c=。3.下圖所示，有一個(gè)長(zhǎng)方體，正面和上面的兩個(gè)面的面積和為209平方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，求它的體積。4.寫出10個(gè)連續(xù)的自然數(shù),它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。5.可以分解為三個(gè)質(zhì)數(shù)之積的最小的三位數(shù)是幾?6.用2,3,5,7四個(gè)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算,每個(gè)數(shù)只能用一次,能夠得到的最大質(zhì)數(shù)是幾?7.“任何不小于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”,這就是著名的哥德巴赫猜想。例如8=3+5,但是8只有這一種表示形式,而22卻有3+19和5+17兩種表示成兩個(gè)不同質(zhì)數(shù)之和的形式。那么，能有兩種表示成不同質(zhì)數(shù)之和形式的最小自然數(shù)是幾?8.除以9余2,并且與4和6的差都是質(zhì)數(shù)的兩位自然數(shù)有哪幾個(gè)?9.將八個(gè)不同的合數(shù)填入下式的口中，如果要求相加的兩個(gè)合數(shù)互質(zhì),那么A最小是幾?A=□+□=□+□=□+□=囗+囗。10.求不能用三個(gè)不相等的合數(shù)之和來表示的最大奇數(shù)。11.有一類多位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不相同，且相鄰兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù)。這類多位數(shù)中最大的是幾?12.有1,2,3,4,5,6,7,8,9九張牌,甲、乙、丙各拿了三張。甲說:“我的三張牌的積是48。”乙說:“我的三張牌的和是15。”丙說:“我的三張牌的積是63。問:他們各拿了哪三張牌?13.甲、乙、丙三人打靶，每人打三槍,三人各自中靶的環(huán)數(shù)之積都是60，按個(gè)人中靶的總環(huán)數(shù)由高到低排，依次是甲、乙、丙。靶子上4環(huán)的那一槍是誰(shuí)打的?(環(huán)數(shù)是不超過10的自然數(shù))14.1×2×3×…×10=6n×M,其中n，M都是自然數(shù)，求n的最大值。15.有兩個(gè)整數(shù)，它們的和恰好是兩個(gè)數(shù)字相同的兩位數(shù),它們的乘積恰好是三個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)。求這兩個(gè)整數(shù)。16.李老師帶領(lǐng)同學(xué)們?nèi)シN樹，學(xué)生們按人數(shù)恰好等分成三組。已知他們共種了312棵樹，老師與學(xué)生每人種的樹一樣多，并且不超過10棵。問:一共有多少個(gè)學(xué)生?每人種了幾棵樹?【鞏固提升】參考答案1.判斷數(shù)4444445111111是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？【思路點(diǎn)撥】如果能找到除了1和本身外，還有其它的因數(shù)，就證明這個(gè)數(shù)是合數(shù)，反之就是質(zhì)數(shù)。【詳解】4444445111111=4444444000000+1111111=4×+111111=1111111×（4000000+1)=1111111×4000001所以4444445111111是合數(shù)。2.判定250+1和2501是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)?！驹斀狻?1)先觀察規(guī)律:2n212223242526272829…個(gè)位數(shù)字248624862…2n的個(gè)位數(shù)字是不斷重復(fù)出現(xiàn)的,每乘4個(gè)2重復(fù)一次。50÷4=12……2,所以250的個(gè)位數(shù)字為4,250+1的個(gè)位數(shù)字為5,可得5(250+1)是5的倍數(shù),所以250+1是合數(shù)。(2)觀察:2n212223242526…2n÷3的余數(shù)212121…250÷3的余數(shù)是1,(2501)就能被3整除,所以2501也是合數(shù)。1.有兩個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的和與差也都是質(zhì)數(shù)，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)。【思路點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)質(zhì)數(shù)，首先考慮他們的奇偶性不同，一奇一偶，它們的和與它們的差也都是質(zhì)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)分別是2和5，2+5=7，52=3，7和3也都是質(zhì)數(shù)，得到兩個(gè)數(shù)分別是：2和5【詳解】小于100的質(zhì)數(shù)列舉：2，3，5，7，11，13，……，97。兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)相減為偶數(shù)，不是質(zhì)數(shù)，所以兩質(zhì)數(shù)中必有偶質(zhì)數(shù)2。驗(yàn)證2與其他質(zhì)數(shù)：2+5=7（質(zhì)數(shù)）,52=3（質(zhì)數(shù)）答：這兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2和5。2.兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是1979,這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是?！舅悸伏c(diǎn)撥】因?yàn)閮蓚€(gè)質(zhì)數(shù)的和是奇數(shù)，其中必有一個(gè)是偶數(shù)，而偶數(shù)中只有2是質(zhì)數(shù)，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2和1977；由此解答．【詳解】解：這兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2和1977；

2×1977=3954；

故答案為：3954．【點(diǎn)睛】此題主要考查質(zhì)數(shù)的意義，根據(jù)偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)，明確在質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)。1.將四個(gè)不同的合數(shù)分成兩組，要求每組的兩個(gè)合數(shù)之和都相等，而且每組的兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)。這四個(gè)合數(shù)之和最小可以是多少?【思路點(diǎn)撥】每組的兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，所以兩個(gè)合數(shù)一個(gè)為偶數(shù)一個(gè)為奇數(shù)；又要求四個(gè)合數(shù)之和最小，所以數(shù)盡量小；每組的兩個(gè)合數(shù)之和都相等，所以這四個(gè)合數(shù)為4、15和9、10，再求和即可?！驹斀狻拷猓阂笏膫€(gè)合數(shù)之和最小，所以數(shù)盡量??；每組的兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，所以兩個(gè)合數(shù)一個(gè)為偶數(shù)一個(gè)為奇數(shù)；再根據(jù)每組的兩個(gè)合數(shù)之和都相等，可得這四個(gè)合數(shù)為4、15和9、10，4+15+9+10=38，故答案為：38．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最大與最小問題，還用到合數(shù)與互質(zhì)的知識(shí)。2.兩個(gè)自然數(shù)的積是48，這兩個(gè)自然數(shù)是什么值時(shí)，它們的和最小?【思路點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)自然數(shù)的乘積一定時(shí)，兩個(gè)自然數(shù)的差越小，這兩個(gè)自然數(shù)的和也越小。【詳解】解:448的因數(shù)從小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。所以，兩個(gè)自然數(shù)的乘積是48，共有以下5種情況:48=1×48，1+48=49，48=2×24，2+24=2648=3×16，3+16=19;48=4×12，4+12=16;48=6×8，6+8=14。兩個(gè)因數(shù)之和最小的是6+8=14。1.把33拆成若干個(gè)不同質(zhì)數(shù)之和,如果要使這些質(zhì)數(shù)的積最大,這幾個(gè)質(zhì)數(shù)分別是多少?【思路點(diǎn)撥】我們首先將小于33的質(zhì)數(shù)，由小到大排列出來，然后確定能拆成不同質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)的范圍，再依照被拆出的質(zhì)數(shù)從小到大依次調(diào)整得出盡量多的個(gè)數(shù)，即可得出答案。【詳解】小于33的質(zhì)數(shù)由小到大排列：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31（共11個(gè)）。由于2+3+5+7+11＜33，而2+3+5+7+11+13＞37，因此最多拆成5個(gè)不同質(zhì)數(shù)之和。但由于33是奇數(shù)，拆除的5個(gè)不同質(zhì)數(shù)中不能有偶質(zhì)數(shù)2，否則其余4個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和為偶數(shù)，這5個(gè)質(zhì)數(shù)和為偶數(shù)，不可能等于奇數(shù)33，而3+5+7+11+13=39＞33．因此最多拆成4個(gè)不同質(zhì)數(shù)之和，為此，要使這些質(zhì)數(shù)的積最大，必須拆出的質(zhì)數(shù)盡量大。因?yàn)椋?+3+5+7+11=28，比33差：3328=5；又因?yàn)樵?+3+5+7+11中3+5=8，正好與相差的5組成8+5=13，所以33分解為：2，7，11，13時(shí)所得質(zhì)數(shù)乘積最大．答：這幾個(gè)質(zhì)數(shù)分別是2、7、11、13。2.把17分成幾個(gè)自然數(shù)的和，“怎樣分才能使它們的乘積最大?【思路點(diǎn)撥】假設(shè)分成的自然數(shù)中有1，a是分成的另一個(gè)自然數(shù)，因?yàn)?×a＜1+a，也就是說，將1+a作為分成的一個(gè)自然數(shù)要比分成1和a兩個(gè)自然數(shù)好，所以分成的自然數(shù)中不應(yīng)該有1。如果分成的自然數(shù)中有大于4的數(shù)，那么將這個(gè)數(shù)分成兩個(gè)最接近的整數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的乘積大于原來的自然數(shù)。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是說，只要有大于4的數(shù)，這個(gè)數(shù)就可以再分，所以分成的自然數(shù)中不應(yīng)該有大于4的數(shù)。如果分成的自然數(shù)中有4，因?yàn)?=2+2=2X2，所以可以將4分成兩個(gè)2。由上面的分析得到，分成的自然數(shù)中只有2和3兩種因?yàn)?+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，說明雖然三個(gè)2與兩個(gè)3的和都是6，但兩個(gè)3的乘積大于三個(gè)2的乘積，所以分成的自然數(shù)中最多有兩個(gè)2，其余都是3?！驹斀狻繉?7分為五個(gè)3與一個(gè)2時(shí)乘積最大，為3×3×3×3×3×2=486。【點(diǎn)睛】把一個(gè)數(shù)拆分成若干個(gè)自然數(shù)之和如果要使這若干個(gè)自然數(shù)的乘積最大，那么這些自然數(shù)應(yīng)全是2或3，且2最多不超過兩個(gè)。1.A，B，C為三個(gè)質(zhì)數(shù)，A+B=16，B+C=24,且A＜B＜C,求這三個(gè)質(zhì)數(shù)。【思路點(diǎn)撥】3+13=16，或5+11=16，A=3，B=13，C=2413=11，不合題意；A=5，B=11，C=2411=13，符合題意；所以，A=5、B=11、C=13．2.一個(gè)兩位質(zhì)數(shù)，交換個(gè)位和十位上的數(shù)字后所得的兩位數(shù)是另一個(gè)質(zhì)數(shù)，寫出所有這樣的兩位數(shù)?！舅悸伏c(diǎn)撥】自然數(shù)中，除了1和它本身外，沒有別的因數(shù)的數(shù)為質(zhì)數(shù)．由此可知，兩位數(shù)中符合條件的數(shù)除了11外，還有很多，然后列舉出即可．【詳解】這樣的數(shù)有11、13、31、17、71、37、73、79、97．【點(diǎn)睛】根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義進(jìn)行分析解答是完成本題的關(guān)鍵，完成本題要注意將這個(gè)兩個(gè)數(shù)的數(shù)字倒換之后，分解下質(zhì)因數(shù)看是否是質(zhì)數(shù)．有九張卡片，上面分別寫著1～9九個(gè)數(shù)字。甲、乙丙、丁四人每人拿了兩張。甲說:“我的兩張數(shù)字之和是9。乙說:“我的兩張數(shù)字之差是6。”丙說:“我的兩張數(shù)字之積是12。”工說:“我的兩張數(shù)字之商是3。”那么,剩下的一張上面寫的數(shù)字是幾?【思路點(diǎn)撥】9張數(shù)字按題所說組合有：甲：1+8、2+7，3+6，4+5；乙：7﹣1、8﹣2、9﹣3、；丙：2×6，3×4；?。?÷1、6÷2、9÷3；我們從最少數(shù)字的丙看起假設(shè)用當(dāng)丙為2、6時(shí)，那么把其他里數(shù)字能用2和6的去除，甲剩下1+8、4+5；乙剩下7﹣1、9﹣3；丁剩下3÷1、9÷3；再假設(shè)丁為3、1，則乙就沒有符合的兩個(gè)數(shù)了，所以丁只能是9、3，那么乙就是7、1，甲就是4和5了，即可得出剩下的一張上面寫的數(shù)字是8。【解答】9張數(shù)字按題所說組合有：甲：1+8、2+7，3+6，4+5；乙：7﹣1、8﹣2、9﹣3、；丙：2×6，3×4；?。?÷1、6÷2、9÷3；我們從最少數(shù)字的丙看起假設(shè)用當(dāng)丙為2、6時(shí)，那么把其他里數(shù)字能用2和6的去除，甲剩下1+8、4+5；乙剩下7﹣1、9﹣3；丁剩下3÷1、9÷3；再假設(shè)丁為3、1，則乙就沒有符合的兩個(gè)數(shù)了，所以丁只能是9、3，那么乙就是7、1，甲就是4和5了，即可得出剩下的一張上面寫的數(shù)字是8．故答案為：8。1.把39,45,49,56,60,70,78,84,91九個(gè)數(shù)分成三組，使每組中三個(gè)數(shù)的乘積都相等?！舅悸伏c(diǎn)撥】首先把每個(gè)數(shù)分解394549566070788491(3×13)、(3×3×5)、(7×7)、(2×2×2×7)、(2×2×3×5)、(2×5×7)、(2×3×13)、(2×2×3×7)、(7×13)。可以看到一共有9個(gè)2、6個(gè)3、3個(gè)5、6個(gè)7、3個(gè)13,接下來好辦了,剛好能均分成三組,使得每組都有3個(gè)2、2個(gè)3、1個(gè)5、2個(gè)7、1個(gè)13就可以了.如下：第一組：(2×2×2×7)、(7×13)、(3×3×5)第二組：(2×2×3×5)、(2×3×13)、(7×7)第三組：(2×2×3×7)、(2×5×7)、(3×13)以上每組的所有因子都完全相同,所以乘積也相同,也就是：第一組：569145第二組：607849第三組：8470392.有12、18、33、36、56、77六個(gè)數(shù),把它們平均分成兩組,如果要使每組三個(gè)數(shù)的乘積相等,這兩組數(shù)分別是和?！舅悸伏c(diǎn)撥】要使這兩組數(shù)的乘積相等這兩組數(shù)必須含有完全相同的質(zhì)因數(shù)，而且質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)也必須對(duì)應(yīng)相等。因此,我們先把這六個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù):A組：12=2×2×3，18=2×3×3，33=3×11；B組：36=2×2×3×3，56=2×2×2×7，77=7×11可以看出這六個(gè)數(shù)的因數(shù)中共含有8個(gè)2,6個(gè)3,2個(gè)7,2個(gè)11,平均分成兩組,每組中含有4個(gè)2,3個(gè)3,1個(gè)7,1個(gè)11,在分組時(shí)可按如下步驟進(jìn)行思考:①把77(77里含有1個(gè)7和1個(gè)11)放在A組;②B組里放入33和56(33里含有1個(gè)11,56里含有1個(gè)7);③B組里放入18(這時(shí)B組含有4個(gè)2,3個(gè)3,1個(gè)7,1個(gè)11);④把剩下的12和36放入A組【詳解】這兩組數(shù)分別是:(12,36,77)和(18,33,56)【特別提醒】要先將所有的數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再統(tǒng)計(jì)出各質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)，若分成兩組，則每組中各質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)各占一半。1.兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積是111555,這兩個(gè)奇數(shù)之和是多少?【思路點(diǎn)撥】設(shè)最小的奇數(shù)是n，另一個(gè)奇數(shù)是n+2n(n+2)=111555n2+2n=111555(n+1)2=111556(n+1)2=3342所以，n=333333+2+333=668答:這兩個(gè)奇數(shù)之和是6682.46305乘以一個(gè)自然數(shù)a,乘積是一個(gè)整數(shù)的平方。求最小的a和這個(gè)整數(shù)?！舅悸伏c(diǎn)撥】46305=33×5×73，根據(jù)已知“46305乘以一個(gè)自然數(shù)a，乘積是一個(gè)整數(shù)的平方”。先把46305分解質(zhì)因數(shù)，平方數(shù)的每個(gè)質(zhì)因數(shù)都是偶數(shù)個(gè)，那么a必須包含質(zhì)因數(shù)3、5、7，所以a最小為3×5×7，求出a后再乘46305就得到了所求這個(gè)整數(shù)的平方。【詳解】因?yàn)?6305=33×5×73的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù),所以a必含質(zhì)因數(shù)3、5、7，因此，a最小為3×5×7=105.46305×a=33×5×73×3×5×7=(9×5×49)2=(2205)答:最小的a是105，這個(gè)整數(shù)是2205.【點(diǎn)評(píng)】一個(gè)平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)因數(shù)，它的每個(gè)質(zhì)因數(shù)都是偶數(shù)個(gè)。反之，如果把一個(gè)自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)一定是完全平方數(shù)。將16分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)(可以相同)相加的形式，如果這些質(zhì)數(shù)的乘積正好是平方數(shù),那么這個(gè)平方數(shù)可能是幾?3.甲數(shù)比乙數(shù)大5,乙數(shù)比丙數(shù)也大5,三個(gè)數(shù)的乘積是6384,求這三個(gè)數(shù)。【思路點(diǎn)撥】對(duì)6384分解質(zhì)因數(shù)，6384=2×2×2×2×3×7×19。因?yàn)榧讛?shù)比乙數(shù)大5，乙數(shù)比丙數(shù)大5，所以嘗試對(duì)質(zhì)因數(shù)進(jìn)行組合，使其得到三個(gè)相差5的數(shù)。2×2×2×2=16，3×7=21，這里16、19、21不滿足條件；而2×7=14，14+5=19，2×2×2×3=24，此時(shí)14、19、24滿足乙數(shù)19比丙數(shù)14大5，甲數(shù)24比乙數(shù)19大5。【詳解】6384=2×2×2×2×3×7×192×7=1414+5=192×2×2×3=24答：這三個(gè)數(shù)分別是14、19、24。1.1×2×3×…×25所得積的末尾有個(gè)連續(xù)的數(shù)字“0”。A.6B.8個(gè)C10個(gè)D.12個(gè)【思路點(diǎn)撥】只有10的倍數(shù)相乘末尾才會(huì)產(chǎn)生0，10=2×5?！驹斀狻?到25中，5的倍數(shù)有：5、10、15、20、25，共5個(gè)，25=5×5，所以25提供了兩個(gè)5，因此因數(shù)5的個(gè)數(shù)為：5+1=6（個(gè)）所以，1×2×3×……×25所得積的末尾有6個(gè)0。答：選A。2.在1×2×3×…×1999×2000的乘積中尾部有多少個(gè)連續(xù)的“0”?【思路點(diǎn)撥】這個(gè)問題全看質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)．25是5的平方，含有兩個(gè)質(zhì)因數(shù)5，這里多出1個(gè)5來．125是5的立方，又多出一個(gè)5，625是5的四次方，又多出一個(gè)5，據(jù)此找出所有這些數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)，再相加即可解答?！窘獯稹拷猓菏?的倍數(shù)的有2000÷5=400個(gè)是25的倍數(shù)的有2000÷25=80個(gè)

是125的倍數(shù)的有2000÷125=16個(gè)．

是625的倍數(shù)的有2000÷625=3個(gè)

一共有：400+80+16+3=499個(gè)．

答：乘積中尾部有499個(gè)連續(xù)的零?！窘?jīng)典測(cè)試】參考答案1.兩個(gè)大于10的合數(shù)的和是31,求這兩個(gè)數(shù)?！舅悸伏c(diǎn)撥】大于10且小于31的合數(shù)：12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30,兩數(shù)和為31的組合嘗試：12+19=31，但19不是合數(shù)，14+17=31，但17不是合數(shù)，15+16=31，且15和16都是合數(shù)，答：這兩個(gè)大于10的合數(shù)是15和16。2.已知a,b,c都是質(zhì)數(shù),若a×b+b×c=119,則a+b+c=。【解析】提取公因數(shù)b（a+c）=119，119=17×7=1×119，因?yàn)閍，b，c都是質(zhì)數(shù)，當(dāng)b=7時(shí)，a+c=17不滿足條件，當(dāng)b=17時(shí)，a和c分別是2和5即可滿足條件，a+b+c=17+7=24．故答案為：243.下圖所示，有一個(gè)長(zhǎng)方體，正面和上面的兩個(gè)面的面積和為209平方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，求它的體積?！舅悸伏c(diǎn)撥】本題主要考查正方體表面積和質(zhì)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)?！驹斀狻块L(zhǎng)方體正面面積為ah，上面面積為bh，ah+bh=(a+b)h=209;209=11×19，所以分兩類情況討論：情況一：當(dāng)a+b=11,h=19,因?yàn)閍、b、h都為質(zhì)數(shù)，根據(jù)和的奇偶性，可以得出a、b一定有一個(gè)2和9，而9不是質(zhì)數(shù)，此情況不符合題意；情況二：當(dāng)a+b=19,h=11,同理可得a、b中的數(shù)有2和17，符合題意。得出長(zhǎng)方體體積為2×17×11=374（立方厘米）4.寫出10個(gè)連續(xù)的自然數(shù),它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。【思路點(diǎn)撥】根據(jù)合數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)．以此解答?！驹斀狻?0個(gè)連續(xù)自然數(shù)，個(gè)個(gè)都是合數(shù)．如：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123；（答案不唯一）．5.可以分解為三個(gè)質(zhì)數(shù)之積的最小的三位數(shù)是幾?【解析】102=2×3×17首先最小的三位數(shù)是100，但是100=2×2×5×5，不符合要求。接著看101，101是質(zhì)數(shù)，不符合要求。再看102，102=2×3×17，符合要求。所以可以分解為三個(gè)質(zhì)數(shù)之積的最小三位數(shù)是102。故答案為：可以分解為三個(gè)質(zhì)數(shù)之積的最小的三位數(shù)是102。6.用2,3,5,7四個(gè)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算,每個(gè)數(shù)只能用一次,能夠得到的最大質(zhì)數(shù)是幾?【思路點(diǎn)撥】要能夠得到的最大質(zhì)數(shù)，那么就盡量用乘法，但不能全用乘法，否則積就是合數(shù)，所以把2這個(gè)偶質(zhì)數(shù)作為加數(shù)，其它3、5、7看作因數(shù)，即3×5×7+2=107，107是質(zhì)數(shù)符合要求．【詳解】根據(jù)分析可得，3×5×7+2=107，107是質(zhì)數(shù)符合要求．答：能夠得到的最大質(zhì)數(shù)是107．7.“任何不小于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”,這就是著名的哥德巴赫猜想。例如8=3+5,但是8只有這一種表示形式,而22卻有3+19和5+17兩種表示成兩個(gè)不同質(zhì)數(shù)之和的形式。那么，能有兩種表示成不同質(zhì)數(shù)之和形式的最小自然數(shù)是幾?【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得16=3+13=5+11答:能有兩種表示成不同質(zhì)數(shù)之和形式的最小自然數(shù)是168.除以9余2,并且與4和6的差都是質(zhì)數(shù)的兩位自然數(shù)有哪幾個(gè)?【解析】4和6的差都是質(zhì)數(shù)的兩位自然數(shù)，即兩個(gè)相差2的質(zhì)數(shù)。這樣的質(zhì)數(shù)有11,1317,1941,4371,73其中11+6=17不合要求17+6=23，23除以9余5,不符合要求41+6=4745除以9余2符合要求71+6=7775除以9余5不符合要求所以這個(gè)數(shù)是479.將八個(gè)不同的合數(shù)填入下式的口中，如果要求相加的兩個(gè)合數(shù)互質(zhì),那么A最小是幾?A=□+□=□+□=□+□=囗+囗?！舅悸伏c(diǎn)撥】此題主要考查合數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。【詳解】A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，所以A最小是29故答案為：29；4，25；8，21；9，20；14，15。10.求不能用三個(gè)不相等的合數(shù)之和來表示的最大奇數(shù)?！舅悸伏c(diǎn)撥】在正整數(shù)中，三個(gè)最小的合數(shù)是4，6，8，它們的和是4+6+8=18，于是17是不能用三個(gè)不同的合數(shù)的和表示的奇數(shù)。在正整數(shù)中，三個(gè)最小的合數(shù)是4，6，8，先計(jì)算它們的和，然后將其與最接近的奇數(shù)比較，最后再來證明此結(jié)論的正確性?！驹斀狻肯旅孀C明大于等于19的奇數(shù)n都能用三個(gè)不同的合數(shù)的和來表示。由于當(dāng)k≥3時(shí)，4，9，2k是三個(gè)不同的合數(shù)，并且4+9+2k≥19，所以只要適當(dāng)選擇k，就可以使大于等于19的奇數(shù)n都能用4，9，2k的和來表示。綜上所述，不能表示為3個(gè)不相等的合數(shù)的和的最大奇數(shù)是17。故答案為：17【點(diǎn)睛】本題主要考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，在解答此題時(shí)，用到了反證法．11.有一類多位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不相同，且相鄰兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù)。這類多位數(shù)中最大的是幾?【思路點(diǎn)撥】想得到最大的數(shù),首先最高位上必須確