（單元復(fù)習(xí)講義）第二單元因數(shù)和倍數(shù)-五年級下冊數(shù)學(xué)單元重點(diǎn)難點(diǎn)人教版

人教版五年級數(shù)學(xué)下冊單元復(fù)習(xí)講與練第二單元因數(shù)和倍數(shù)內(nèi)容導(dǎo)航TOC\o"11"\h\u思維導(dǎo)圖 2重點(diǎn)知識總結(jié) 3易錯題練習(xí) 4TOC\o"11"\h\u高頻考點(diǎn)練習(xí) 8考點(diǎn)一：因數(shù)和倍數(shù)的定義 8考點(diǎn)二：因數(shù)的性質(zhì) 8考點(diǎn)三：倍數(shù)的性質(zhì) 9考點(diǎn)四：2、3、5的倍數(shù)特征 9考點(diǎn)五：奇數(shù)和偶數(shù) 10考點(diǎn)六：質(zhì)數(shù)、合數(shù)的定義 11考點(diǎn)七：20以內(nèi)的質(zhì)數(shù) 12考點(diǎn)八：100以內(nèi)找質(zhì)數(shù)、合數(shù)的技巧 12考點(diǎn)九：分解質(zhì)因數(shù) 13考點(diǎn)十：奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算規(guī)律拓展 14考點(diǎn)十一：20以內(nèi)的質(zhì)數(shù) 17真題練習(xí) 15思維導(dǎo)圖TOC\o"11"\h\u重點(diǎn)知識總結(jié)TOC\o"11"\h\u基本概念因數(shù)與倍數(shù)：在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)。例如12÷2=6，12是2的倍數(shù)，2是12的因數(shù)。也可從乘法角度理解，若a×b=c（a、b、c都是非0的自然數(shù)），那么a和b就是c的因數(shù)，c就是整除：被除數(shù)、除數(shù)和商都是自然數(shù)，并且沒有余數(shù)。在研究因數(shù)和倍數(shù)時，所說的數(shù)是自然數(shù)（一般不包括0）。因數(shù)的特點(diǎn)個數(shù)有限：一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的。最小與最大：最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。例如10的因數(shù)有1、2、5、10。倍數(shù)的特點(diǎn)個數(shù)無限：一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的。最小倍數(shù)：最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。如3的倍數(shù)有3、6、9、12?特殊數(shù)的倍數(shù)特征2的倍數(shù)：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)，是偶數(shù)，如12、34等；不是2的倍數(shù)的數(shù)是奇數(shù)，個位上是1、3、5、7、9，如13、25等。5的倍數(shù)：個位上是0或5的數(shù)，如10、25。3的倍數(shù)：一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)，如123，1+2+3=6，6是3的倍數(shù)，所以123是3的倍數(shù)。9的倍數(shù)：各個數(shù)位上的數(shù)的和是9的倍數(shù)，這個數(shù)就是9的倍數(shù)。4（或25）的倍數(shù)：一個數(shù)末2位是4（或25）的倍數(shù)的數(shù)，如124、125。8（或125）的倍數(shù)：一個數(shù)末3位是8（或125）的倍數(shù)，如1104、1125。質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)），如2、3、5、7等，最小的質(zhì)數(shù)是2。合數(shù)：一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，如4、6、8、9等，最小的合數(shù)是4。特殊數(shù)“1”：1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，因?yàn)樗挥?個因數(shù)。奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加法：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。乘法：奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。易錯題練習(xí)TOC\o"11"\h\u一、因數(shù)和倍數(shù)概念理解易錯點(diǎn)題目1.判斷題：28÷7＝4，故28是倍數(shù)，7和4是因數(shù)。（）【答案】×【解析】因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能單獨(dú)說某個數(shù)是倍數(shù)，某個數(shù)是因數(shù)，應(yīng)該說28是7和4的倍數(shù)，7和4是28的因數(shù)。所以該說法錯誤。2.判斷題：1.5×4＝6，故1.5是6的因數(shù)。（）【答案】×【解析】因數(shù)和倍數(shù)是在非0自然數(shù)的范圍內(nèi)討論的，1.5是小數(shù)，不符合因數(shù)的定義，所以1.5不是6的因數(shù)，該說法錯誤。3.判斷題：3×11＝33，故11和3都是33的倍數(shù)。（）【答案】×【解析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的定義，在乘法算式中，兩個因數(shù)相乘得到積，這兩個因數(shù)是積的因數(shù)，積是這兩個因數(shù)的倍數(shù)。所以3和11是33的因數(shù)，33是3和11的倍數(shù)，該說法錯誤。4.一個數(shù)的最小倍數(shù)除以它的最大因數(shù)的商是（），一個數(shù)的最小倍數(shù)減去它的最大因數(shù)的差是（）?！敬鸢浮?；0【解析】一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，一個數(shù)的最大因數(shù)也是它本身。所以一個數(shù)的最小倍數(shù)除以它的最大因數(shù)，即這個數(shù)除以它本身，商是1；一個數(shù)的最小倍數(shù)減去它的最大因數(shù)，即這個數(shù)減去它本身，差是0。二、2、3、5的倍數(shù)特征易錯點(diǎn)題目1.要使三位數(shù)4□6是3的倍數(shù)，□里可以有（）種填法?！敬鸢浮?【解析】一個數(shù)是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。4+6=10，再分別加上2、5、8后得到12、15、18，都是3的倍數(shù)，所以□里可以填2、5、8，共3種填法。2.一個四位數(shù)“523□”，如果它能被3整除，那么“□”里最小是（）；如果它能被2和5同時整除，那么“□”里一定是（）。【答案】2；0【解析】能被3整除的數(shù)，其各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。5+2+3=10，再加上2得到12是3的倍數(shù)，所以“□”里最小是2。能同時被2和5整除的數(shù)的個位數(shù)字一定是0，所以如果它能被2和5同時整除，“□”里一定是0。3.134至少減去（）是3的倍數(shù)，至少加上（）能被5整除，至少減去（）能被2，3和5同時整除。【答案】2；1；14【解析】134各個數(shù)位上數(shù)字之和為1+3+4=8，比8小且是3的倍數(shù)的最大數(shù)是6，86=2，所以134至少減去2是3的倍數(shù)。能被5整除的數(shù)個位是0或5，134至少加上1個位變?yōu)?，能被5整除。能同時被2、3、5整除的數(shù)個位是0且各個數(shù)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，134至少減去14得到120，120個位是0且1+2+0=3是3的倍數(shù)，所以134至少減去14能被2，3和5同時整除。4、如果275□4能被3整除，那么□里最小能填（），最大能填（）?！敬鸢浮?；9【解析】2+7+5+4=18，18是3的倍數(shù)，所以□里可以填0、3、6、9，那么□里最小能填0，最大能填9。三、質(zhì)數(shù)、合數(shù)相關(guān)易錯點(diǎn)題目1.判斷題：自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。（）【答案】×【解析】1是自然數(shù)，但1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，所以“自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)”這種說法錯誤。2.判斷題：所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，所有的合數(shù)都是偶數(shù)。（）【答案】×【解析】2是質(zhì)數(shù)，但2是偶數(shù)不是奇數(shù)；9是合數(shù)，但9是奇數(shù)不是偶數(shù)，所以“所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，所有的合數(shù)都是偶數(shù)”這種說法錯誤。3.把28分解質(zhì)因數(shù)是28=4×7。（）【答案】×【解析】分解質(zhì)因數(shù)是把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，4不是質(zhì)數(shù)，28分解質(zhì)因數(shù)應(yīng)該是28=2×2×7，所以該說法錯誤。4.一個三位數(shù)，百位上的數(shù)既是奇數(shù)又是合數(shù)，十位上的數(shù)是10以內(nèi)的最大質(zhì)數(shù)，個位上的數(shù)是最小的合數(shù)，這個數(shù)是（）?！敬鸢浮?74【解析】10以內(nèi)既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)是9，所以百位上是9；10以內(nèi)的最大質(zhì)數(shù)是7，所以十位上是7；最小的合數(shù)是4，所以個位上是4，這個三位數(shù)是974。四、數(shù)的整除特性易錯一個三位數(shù)6□4，要使它能被3整除，□里可以填（）?！敬鸢浮?、5、8【解析】能被3整除的數(shù)的特征是這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除。已知這個三位數(shù)的百位是6，個位是4，6+4=10。10再分別加上2得到10+2=12，12÷3=4；加上5得到10+5=15，15÷3=5；加上8得到10+8=18，18÷3=6，12、15、18都能被3整除，所以□里可以填下列各數(shù)中，哪個數(shù)既是4的倍數(shù)，又是6的倍數(shù)？（）

A.12B.18C.20D.24【答案】A、D【解析】A選項(xiàng)：12÷4=3，12÷6=2，說明12能被4整除，也能被6整除，所以12既是B選項(xiàng)：18÷4=4.5，18不能被4整除，所以18不是C選項(xiàng)：20÷6=3??2，20不能被6整除，所以20不是D選項(xiàng)：24÷4=6，24÷6=4，說明24能被4整除，也能被6整除，所以24既是幼兒園老師給小朋友分蘋果，若每人分3個，則多9個；若每人分5個，則少7個。問一共有多少個蘋果？（利用整除特性求解）【答案】33個【解析】設(shè)小朋友的人數(shù)為x人。每人分3個蘋果時，蘋果總數(shù)為(3x+9)個；每人分5個蘋果時，蘋果總數(shù)為(5x?7)個。因?yàn)樘O果總數(shù)不變，所以3x+9=5x?7。

移項(xiàng)可得5x?3x=9+7，即2x=16，解得x=8高頻考點(diǎn)練習(xí)高頻考點(diǎn)一：因數(shù)和倍數(shù)的定義1：已知算式5×8＝40，（）是5和8的倍數(shù)，（）是40的因數(shù)?！敬鸢浮?0；5和8【解析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的定義，如果a×b=c（a、b、c都是非0的自然數(shù)）那么c就是a和b的倍數(shù)，a和b就是c的因數(shù)，所以40是5和8的倍數(shù)，5和8是40的因數(shù)。2：根據(jù)算式25×4=100，（）是（）的因數(shù)，（）也是（）的因數(shù)；（）是（）的倍數(shù)，（）也是（）的倍數(shù)。【答案】25；100；4；100；100；25；100；4【解析】由因數(shù)和倍數(shù)的定義可知，在乘法算式25×4=100中，25和4是100的因數(shù)，100是25和4的倍數(shù)。3：一個數(shù)的3倍是15，這個數(shù)是多少？一個數(shù)的4倍是20，這個數(shù)是多少？【答案】5；5【解析】已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)用除法計(jì)算。15÷3=5，所以一個數(shù)的3倍是15，這個數(shù)是5；20÷4=5，所以一個數(shù)的4倍是20，這個數(shù)是5。高頻考點(diǎn)二：因數(shù)的性質(zhì)1：請寫出24的所有因數(shù)?！敬鸢浮?、2、3、4、6、8、12、24【解析】因?yàn)?×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24，所以24的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、24。2：35的因數(shù)有（________）?！敬鸢浮?、5、7、35【解析】1×35=35，5×7=35，所以35的因數(shù)有1、5、7、35。3：15的最大因數(shù)是（）。【答案】15【解析】一個數(shù)的最大因數(shù)是它本身，所以15的最大因數(shù)是15。4：一個數(shù)的因數(shù)一定小于等于它本身，對嗎？【答案】對【解析】一個數(shù)的最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身，所以一個數(shù)的因數(shù)一定小于等于它本身，這種說法是正確的。高頻考點(diǎn)三：倍數(shù)的性質(zhì)1：找出6和8的最小公倍數(shù)?！敬鸢浮?4【解析】6的倍數(shù)有6、12、18、24、30……，8的倍數(shù)有8、16、24、32……，所以6和8的最小公倍數(shù)是24。2：8的倍數(shù)有（________）（寫5個）?！敬鸢浮?、16、24、32、40【解析】用8分別乘以1、2、3、4、5可得8×1=8，8×2=16，8×3=24，8×4=32，8×5=40，所以8的倍數(shù)可以寫8、16、24、32、40。3：自然數(shù)中，凡是17的倍數(shù)（）。A、都是偶數(shù)B、有偶數(shù)有奇數(shù)C、都是奇數(shù)【答案】B【解析】17×1=17是奇數(shù)，17×2=34是偶數(shù)，所以自然數(shù)中，凡是17的倍數(shù)有偶數(shù)有奇數(shù)，答案選B。高頻考點(diǎn)四：2、3、5的倍數(shù)特征1：在18、29、45、30、17、72、58、43、75、100中，2的倍數(shù)有（）；3的倍數(shù)有（）；5的倍數(shù)有()，既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)有（），既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)有（）。【答案】2的倍數(shù)有18、30、72、58、100；3的倍數(shù)有18、45、30、72、75；5的倍數(shù)有45、30、75、100；既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)有30、100；既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)有45、30、75。2：1024至少減去（）就是3的倍數(shù)，1708至少加上（）就是5的倍數(shù)?！敬鸢浮?；2【解析】1024各位數(shù)字之和1+0+2+4=7，比7小且是3的倍數(shù)的最大數(shù)是6，76=1，所以1024至少減去1就是3的倍數(shù)；1708個位是8，5的倍數(shù)個位是0或5，比8大且是5的倍數(shù)的最小數(shù)是10，108=2，所以1708至少加上2就是5的倍數(shù)。3：自然數(shù)375□，當(dāng)□里填（）時，它就是2的倍數(shù)也是5的倍數(shù)?！敬鸢浮?【解析】既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)個位上一定是0，所以自然數(shù)375□，當(dāng)□里填0時，它就是2的倍數(shù)也是5的倍數(shù)。高頻考點(diǎn)五：奇數(shù)和偶數(shù)

奇數(shù)和偶數(shù)的定義：整數(shù)中，能夠被2整除的數(shù)是偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)是奇數(shù)。通常偶數(shù)用2k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)用2k+1（k為整數(shù)）表示。

奇數(shù)和偶數(shù)的基本性質(zhì)：

奇數(shù)±奇數(shù)＝偶數(shù)

奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù)

偶數(shù)個奇數(shù)相加的和是偶數(shù)，任意個偶數(shù)相加的和是偶數(shù)。

1.在56，80，95，130，135，789中，哪些是奇數(shù)？哪些是偶數(shù)？

【答案】奇數(shù)：95、135、789；偶數(shù)：56、80、130

【解析】根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)的定義，個位上是0、2、4、6、8的數(shù)是偶數(shù)，個位上是1、3、5、7、9的數(shù)是奇數(shù)。所以56、80、130是偶數(shù)，95、135、789是奇數(shù)。

2.判斷：奇數(shù)與奇數(shù)的差一定是偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)的差一定是奇數(shù)。

【答案】正確

【解析】設(shè)奇數(shù)為2m+1，另一個奇數(shù)為2n+1（m、n為整數(shù)），它們的差為(2m+1)?(2n+1)=2m+1?2n?1=2(m?n)，2(m?n)能被2整除，所以是偶數(shù)；設(shè)奇數(shù)為2m+1，偶數(shù)為2n（m、n為整數(shù)），它們的差為(2m+1)?2n=2m?2n質(zhì)數(shù)是指在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)；合數(shù)是指自然數(shù)中除了能被1和本身整除外，還能被其他數(shù)（0除外）整除的數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。在自然數(shù)1～20中，哪些數(shù)是質(zhì)數(shù)？哪些數(shù)是合數(shù)？

【答案】質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19；合數(shù)：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。判斷下列數(shù)哪些是質(zhì)數(shù)，哪些是合數(shù)：13、25、41、51、91。

【答案】質(zhì)數(shù)：13、41；合數(shù)：25、51、91。

【解析】13只能被1和13整除，所以是質(zhì)數(shù)；25能被1、5、25整除，所以是合數(shù)；41只能被1和41整除，所以是質(zhì)數(shù)；51能被1、3、17、51整除，所以是合數(shù)；91能被1、7、13、91整除，所以是合數(shù)。20以內(nèi)不是偶數(shù)的合數(shù)有哪些？不是奇數(shù)的質(zhì)數(shù)有哪些？

【答案】20以內(nèi)不是偶數(shù)的合數(shù)：9、15；不是奇數(shù)的質(zhì)數(shù)：2。

【解析】20以內(nèi)的合數(shù)有4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20，其中不是偶數(shù)（即奇數(shù)）的是9、15；20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19，其中不是奇數(shù)（即偶數(shù)）的只有2，因?yàn)槠渌紨?shù)都至少有1、2和它本身這三個因數(shù)，不滿足質(zhì)數(shù)定義，而2只能被1和2整除，是唯一的偶質(zhì)數(shù)。高頻考點(diǎn)七：20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19，利用這些質(zhì)數(shù)的性質(zhì)來解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，如根據(jù)和、積等條件找出對應(yīng)的質(zhì)數(shù)。兩個質(zhì)數(shù)的和是22，積是57，它們分別是多少？

【答案】3和19。

【解析】設(shè)這兩個質(zhì)數(shù)分別為x和y，則x+y=22，xy=57。對57分解因數(shù)可得兩個質(zhì)數(shù)之和為39，求這兩個質(zhì)數(shù)的乘積是多少？

【答案】74。

【解析】因?yàn)?9是奇數(shù)，根據(jù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)，所以其中一個質(zhì)數(shù)是2。則另一個質(zhì)數(shù)為39?2=37，37也只能被1和37整除，是質(zhì)數(shù)。那么這兩個質(zhì)數(shù)的乘積為2×高頻考點(diǎn)八：100以內(nèi)找質(zhì)數(shù)、合數(shù)的技巧找100以內(nèi)質(zhì)數(shù)、合數(shù)可以通過判斷一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)來確定，也可以利用一些數(shù)的倍數(shù)特征（如2、3、5的倍數(shù)特征）輔助判斷。還可以從質(zhì)數(shù)的定義出發(fā)，依次檢查每個數(shù)是否能被小于它的質(zhì)數(shù)整除。將1、13、25、41、51、19、91、52、83、61、89、71、87、49、24、282這些數(shù)分別填入質(zhì)數(shù)和合數(shù)的方框里?！敬鸢浮抠|(zhì)數(shù)：13、41、19、83、61、89、71；合數(shù)：25、51、91、52、87、49、24、282；1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。判斷113是否為質(zhì)數(shù)。

【答案】113是質(zhì)數(shù)。

【解析】要判斷113是否為質(zhì)數(shù)，只需檢查它能否被小于113≈10.6的質(zhì)數(shù)整除即可。小于10.6的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7。113不能被2整除（因?yàn)?13是奇數(shù)）；113各位數(shù)字之和為1+1+3=5，不能被3整除；113個位不是0或5，不能被5整除；113÷7≈16.14在小于100的自然數(shù)中，找出所有既是3的倍數(shù)又是合數(shù)的數(shù)。

【答案】6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、75、78、81、84、87、90、93、96、99。

【解析】先找出小于100的3的倍數(shù)，有3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、75、78、81、84、87、90、93、96、99。其中3只能被1和3整除，是質(zhì)數(shù)，不符合要求。而6能被1、2、3、6整除，是合數(shù)；9能被1、3、9整除，是合數(shù)；12能被1、2、3、4、6、12整除，是合數(shù)；以此類推，其余這些數(shù)除了能被1和本身整除外，還能被其他數(shù)整除，所以既是3的倍數(shù)又是合數(shù)的數(shù)是6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、75、78、81、84、87、90、93、96、99。筐里有300個桃子，如果不是一次全部拿出，也不一個一個地拿，要求每次的個數(shù)同樣多，拿到最后正好不多不少，問共有多少種不同的拿法（提示：可利用找因數(shù)判斷質(zhì)數(shù)合數(shù)的方法）？

【答案】16種。

【解析】先找出300的所有因數(shù)，300=1×高頻考點(diǎn)九：分解質(zhì)因數(shù)分解質(zhì)因數(shù)就是把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，一般從最小的質(zhì)數(shù)開始除起，一直除到結(jié)果為質(zhì)數(shù)為止。把48分解質(zhì)因數(shù)。

【答案】48=2×2×2×2×3。

【解析】從最小的質(zhì)數(shù)2開始除，48÷分解28、56的質(zhì)因數(shù)。

【答案】28=2×2×7；56=2×2×2×7。

【解析】對于28，從2開始除，28÷2=14，寫出2015、2016的分解質(zhì)因數(shù)形式。

【答案】2015=5×13×31；2016=2×2×2×2×2×3×3×7。

【解析】對于2015，從最小質(zhì)數(shù)開始嘗試，2015÷5=403，三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個數(shù)。

【答案】5、6、7。

【解析】先把210分解質(zhì)因數(shù)，210=2×3×高頻考點(diǎn)十：奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算規(guī)律拓展

運(yùn)用奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決復(fù)雜數(shù)字組合問題，如多個數(shù)相加判斷和的奇偶性，需要分析其中奇數(shù)和偶數(shù)的個數(shù)。

在實(shí)際問題中，通過將實(shí)際情況轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的奇偶性問題來求解，例如杯子翻轉(zhuǎn)問題，可將杯口朝上設(shè)為一種狀態(tài)（如+1），杯口朝下設(shè)為另一種狀態(tài)（如?1），利用翻轉(zhuǎn)次數(shù)的奇偶性來分析最終狀態(tài)。

1.判斷偶數(shù)個偶數(shù)相加以及奇數(shù)個奇數(shù)相加的結(jié)果的奇偶性。

【答案】偶數(shù)個偶數(shù)相加結(jié)果是偶數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)相加結(jié)果是奇數(shù)

【解析】設(shè)偶數(shù)為2m1，2m2，…，2m2k（k為正整數(shù)），它們的和為2m1+2m2+a?|+2m2k=2(m1+m2+a?|+m2k)，能被2整除，所以偶數(shù)個偶數(shù)相加結(jié)果是偶數(shù)；設(shè)奇數(shù)為2n1+1，2n2+1，…，2n2k+1+1（k為非負(fù)整數(shù)），它們的和為(2n1+1)+(2n2+1)+a真題練習(xí)TOC\o"11"\h\u一、填空題1．在35÷7＝5中，是的倍數(shù)，是的因數(shù)?！敬鸢浮?55、75、735【分析】若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)，因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的，據(jù)此解答?！窘馕觥吭?5÷7＝5中，35是5和7的倍數(shù)，5和7是35的因數(shù)?！军c(diǎn)評】本題主要考查因數(shù)與倍數(shù)的意義，注意因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的。2．一個數(shù)既是8的倍數(shù)，又是48的因數(shù)，這個數(shù)可能是()?！敬鸢浮?、16、24、48【分析】一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。又因?yàn)?8是8的倍數(shù)，據(jù)此解答即可?！窘馕觥恳粋€數(shù)既是48的因數(shù)，又是8的倍數(shù)，這個數(shù)可能是：8、16、24、48?！军c(diǎn)評】此題考查的目的是理解因數(shù)與倍數(shù)的意義，明確：一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。3．“46□”是一個三位數(shù)，如果它是3的倍數(shù)，□里最大能填()；如果它被15除沒有余數(shù)，□里能填()?！敬鸢浮?5【分析】根據(jù)3的倍數(shù)特征：各個數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)，可知46□中最大填8；如果它被15除沒有余數(shù)，也就是說它是3和5的倍數(shù)，再根據(jù)5的倍數(shù)特征：個位數(shù)是0或5，據(jù)此解答即可?！窘馕觥?＋6＝1012－10＝215－10＝518－10＝8所以根據(jù)3的倍數(shù)特征，如果“46□”是3的倍數(shù)，□里最大能填8；如果“46□”被15除沒有余數(shù)，也就是說它是3和5的倍數(shù)，則□里只能填0或5，因?yàn)?60不是3的倍數(shù)，465是3的倍數(shù)，所以如果“46□”被15除沒有余數(shù)，□里能填5。【點(diǎn)評】本題考查了3的倍數(shù)及3和5的倍數(shù)的特征，根據(jù)題意解答即可。4．在1，2，9三個數(shù)中，()既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)，()既是合數(shù)又是奇數(shù)，()既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。這三個數(shù)能組成()個不同的三位數(shù)，其中有()這些數(shù)能被2，3整除。（不能重復(fù)）【答案】2916192、912【分析】根據(jù)奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義：是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)；一個自然數(shù)如果只有1和它本身兩個因數(shù)，那么這個自然數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；一個自然數(shù)如果除了1和它本身還有其它的因數(shù)，那么這個自然數(shù)叫做合數(shù)；一個數(shù)的個位數(shù)字是0、2、4、6、8的數(shù)就是2的倍數(shù)；一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)?！窘馕觥吭?，2，9三個數(shù)中，2既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)，9既是合數(shù)又是奇數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。這三個數(shù)能組成6個不同的三位數(shù)，其中192、912這些數(shù)能被2，3整除?！军c(diǎn)評】本題考查奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)，明確它們的定義是解題的關(guān)鍵。5．7□8□這個四位數(shù)能同時被2、3、5整除，個位上能填()，百位上最大能填()?！敬鸢浮?9【分析】被2整除的特征：偶數(shù)，個位上的數(shù)是0、2、4、6、8的數(shù)；被3整除的數(shù)的特征：每一位上數(shù)字之和能被3整除；被5整除的數(shù)的特征：個位上是0、5的數(shù)。據(jù)此進(jìn)行填寫?！窘馕觥扛鶕?jù)2、5的倍數(shù)特征，可得它的個位只能填0，因?yàn)?＋8＋0＝15，15是3的倍數(shù)，所以百位上最大能填9?！军c(diǎn)評】本題考查的是2、3、5的倍數(shù)特征，關(guān)鍵先考慮2和5的倍數(shù)特征，因?yàn)樗麄兊谋稊?shù)有共性。6．紅紅的學(xué)號是五位數(shù)ABCDE組成的，其中A是最小的質(zhì)數(shù)，B既是奇數(shù)也是合數(shù)，C既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，D有因數(shù)2和3，E最小倍數(shù)是8。紅紅的學(xué)號是()?！敬鸢浮?9168【分析】A是最小的質(zhì)數(shù)是2；B是一位數(shù)，且既是奇數(shù)也是合數(shù)，所以是9；C既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，所以是1；D有因數(shù)2和3，且是一位數(shù)，所以是6；E最小倍數(shù)是8，所以是8。據(jù)此解答即可。【解析】由分析可知：紅紅的學(xué)號是29168?！军c(diǎn)評】本題考查質(zhì)數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)，明確它們的定義是解題的關(guān)鍵。7．園林處需要60﹣70人幫忙植樹，附近某中學(xué)組織一批學(xué)生參加這次植樹活動，到現(xiàn)場分組時，發(fā)現(xiàn)每2人一組，或每3人一組，或每5人一組均多一人，參加這次植樹活動的學(xué)生有人．【答案】618．今年，爺爺?shù)哪挲g是小明的6倍，過幾年后爺爺?shù)哪挲g是小明年齡的5倍，再過幾年后，爺爺?shù)哪挲g是小明的4倍。爺爺今年()歲?！敬鸢浮?2【分析】由于爺爺與小明的年齡差是一定的，今年二者的年齡差是小明年齡的6－1＝5倍，以后是5－1＝4倍，4－1＝3倍，這說明年齡差是5，4，3的倍數(shù)，能被5，4，3整除，其最小公倍數(shù)是60，則這個數(shù)是60的倍數(shù)，顯然120和180是不可能的，所以只能是60，因此今年小明的年齡是60÷5＝12（歲），則祖父的年齡是12×6＝72歲，據(jù)此解答即可?！窘馕觥扛鶕?jù)題意可知，二者的年齡差是5，4，3的倍數(shù)，5，4，3最小公倍數(shù)是60；這個數(shù)是60的倍數(shù)，顯然120和180是不可能的，所以只能是60；因此今年小明的年齡是60÷5＝12（歲）；則祖父的年齡是12×6＝72（歲）?！军c(diǎn)評】抓住祖父和小明的年齡差是一定的這個潛在條件進(jìn)行分析是完成本題的關(guān)鍵。二、判斷題9．一個數(shù)的倍數(shù)一定比它的因數(shù)大。()【答案】×【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義，一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)；由此解答即可。【解析】比如6的最大因數(shù)是6，6的最小倍數(shù)是6，所以一個數(shù)的倍數(shù)一定比它的因數(shù)大的說法是錯誤的。故答案為：×10．若x＋3的和是奇數(shù)，則x一定是奇數(shù)。()【答案】×【分析】由奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知，偶數(shù)與偶數(shù)的和一定是偶數(shù)，奇數(shù)與奇數(shù)的和一定是偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)的和一定是奇數(shù)，據(jù)此解答?！窘馕觥糠治隹芍?，3是奇數(shù)，如果x＋3的和是奇數(shù)，那么x一定是偶數(shù)，如：當(dāng)x＝2時，x＋3＝2＋3＝5，5是奇數(shù)。故答案為：×【點(diǎn)評】熟練掌握奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解答題目的關(guān)鍵。11．5個連續(xù)偶數(shù)的和是m，這些偶數(shù)中最大的數(shù)是m÷5＋4。()【答案】√【分析】由于5個連續(xù)的偶數(shù)和是m，由于相鄰的兩個偶數(shù)的和相差2，可知5個連續(xù)偶數(shù)的和其實(shí)相當(dāng)于5個中間數(shù)的和，即用和除以5即可求出中間的數(shù)，由于最大的數(shù)比中間的數(shù)大4，用據(jù)此即可列式?！窘馕觥坑煞治隹芍?個連續(xù)偶數(shù)的和是m，這些偶數(shù)中最大的數(shù)是m÷5＋4。原題說法正確。故答案為：√12．用4、2、6三個數(shù)字組成的三位數(shù)中，只能組成2的倍數(shù)，不能組成3的倍數(shù)。()【答案】×【分析】被2和3整除特征：每一位上數(shù)字之和能被3整除的偶數(shù)?！窘馕觥?＋2＋6＝1212÷3＝4，12可以被3整除；4、2和6都是偶數(shù)，因此4、2、6組成的任何一個三位數(shù)都是2和3的倍數(shù)，原題說法錯誤。故答案為：×【點(diǎn)評】此題主要根據(jù)能同時被2、3整除的數(shù)的特征解決問題。13．一個長方形的周長是24厘米，它的長和寬都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方形的面積是11平方厘米。()【答案】×【分析】根據(jù)長方形的周長＝（長＋寬）×2可知，長＋寬＝周長÷2，即12厘米；然后考慮哪兩個數(shù)相加的和是12厘米，且這兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù)，即可找出長方形的長與寬；再根據(jù)長方形的面積＝長×寬，求出這個長方形的面積，據(jù)此判斷?！窘馕觥?4÷2＝12（厘米）12＝11＋1＝10＋2＝9＋3＝8＋4＝7＋5其中7和5是質(zhì)數(shù)，所以這個長方形的長是7厘米，寬是5厘米；長方形的面積：7×5＝35（平方厘米）原題說法錯誤。故答案為：×【點(diǎn)評】掌握質(zhì)數(shù)的定義、長方形的周長、面積公式是解題的關(guān)鍵。三、選擇題14．一個合數(shù)至少有（

）個因數(shù)。A．3 B．4 C．2 D．1【答案】A【分析】一個數(shù)除了1和它本身兩個因數(shù)，還有別的因數(shù)，這個數(shù)就是合數(shù)，所以一個合數(shù)至少有3個因數(shù)?！窘馕觥坑煞治隹傻茫汉蠑?shù)至少有3個因數(shù)，比如4有因數(shù)1、2、4，所以4是合數(shù)；9有因數(shù)1、3、9，所以9是合數(shù)。綜上所述：一個合數(shù)至少有3個因數(shù)。故答案為：A15．如果m表示任意一個自然數(shù)，那么下列說法錯誤的是（

）。A．2m是偶數(shù) B．2m＋1是奇數(shù) C．3m＝m3 D．2m可能等于m2【答案】C【分析】2乘任何一個數(shù)的得數(shù)都是偶數(shù)，2乘任何一個數(shù)再加1的得數(shù)都是奇數(shù)，據(jù)此作答?！窘馕觥緼．根據(jù)2乘任何一個數(shù)的得數(shù)都是偶數(shù)，2m是偶數(shù)，說法正確；B．根據(jù)2乘任何一個數(shù)再加1的得數(shù)都是奇數(shù)，2m＋1是奇數(shù)，說法正確；C．當(dāng)m等于1時，3m＝3×1＝3，m3＝1×1×1＝1，則3m≠m3，說法錯誤；D．當(dāng)m等于2時，2×2＝22，2m可能等于m2，說法正確。故答案為：C【點(diǎn)評】此題考查2乘任何一個數(shù)的得數(shù)都是偶數(shù)，2乘任何一個數(shù)再加1的得數(shù)都是奇數(shù)。16．6的因數(shù)有1，2，3，6，這幾個因數(shù)的關(guān)系是，像6這樣的數(shù)叫做完全數(shù)。下面幾個數(shù)中，是完全數(shù)的是（

）。A．28 B．9 C．15 D．48【答案】A【分析】根據(jù)題干中對完全數(shù)的定義，一一判斷出選項(xiàng)中的數(shù)是否是完全數(shù)即可。【解析】A．28的因數(shù)有1、2、4、7、14、28，其中1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全數(shù)；B．9的因數(shù)有1、3、9，其中1＋3＝4，所以9不是完全數(shù)；C．15的因數(shù)有1、3、5、15，其中1＋3＋5＝9，所以15不是完全數(shù)；D．48的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，其中1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＋16＋24＝76，所以48不是完全數(shù)。故答案為：A【點(diǎn)評】本題考查了因數(shù)的求法，會求一個數(shù)的因數(shù)是解題的關(guān)鍵。17．用3，5，8，2四張數(shù)字卡片擺出的所有四位數(shù)（

）。A．一定是2的倍數(shù) B．一定是3的倍數(shù)C．一定是5的倍數(shù) D．一定是2，3，5的倍數(shù)【答案】B【分析】2的倍數(shù)特征：個位是0、2、4、6、8的數(shù)；3的倍數(shù)特征：各個數(shù)位上數(shù)字之和能被3整除；5的倍數(shù)特征：個位上是0或5的數(shù)?！窘馕觥坑煞治隹傻茫河?，5，8，2四張數(shù)字卡片擺出的所有四位數(shù)中有的數(shù)個位不是2、8、5，所以擺出的數(shù)字不一定是2、5的倍數(shù)；因?yàn)?＋5＋8＋2＝18、18是3的倍數(shù)，所以3，5，8，2四張數(shù)字卡片不管怎么擺一定都是3的倍數(shù)。故答案為：B【點(diǎn)評】此題需要學(xué)生熟練掌握2、3、5的倍數(shù)特征，并靈活運(yùn)用。四、解答題18．學(xué)校要把43根跳繩發(fā)給六年級正在上體育課的三個班，一班有64人，二班有56人，三班有52人，如果按人數(shù)分配發(fā)放，三個班各應(yīng)領(lǐng)到多少跳繩？【答案】一班分到16根，二班分到14根，三班分到13根．【解析】試題分析：首先求得三個班的總份數(shù)，再求得三個班各占總數(shù)的幾分之幾，最后求得三個班各應(yīng)領(lǐng)到的跳繩，列式解答即可．解：64+56+52=172（人）43×=16（根）43×=14（根）43×=13（根）；答：一班分到16根，二班分到14根，三班分到13根．【點(diǎn)評】此題主要考查按比例分配應(yīng)用題的特點(diǎn)：已知兩個數(shù)的比（三個數(shù)的比），兩個數(shù)的和（三個數(shù)的和），求這兩個數(shù)（三個數(shù)），用按比例分配解答．19．30個雞蛋，其中有一個雙黃蛋，檢測員給雞蛋排序號，把單數(shù)雞蛋全都拿走，但是沒有一個是雙黃蛋．檢測員再把剩下的雞蛋排序，再把單數(shù)雞蛋拿走，可是，還是沒有雙黃蛋，以此類推，最后一個是雙黃蛋．請問：雙黃蛋第一次的序號是多少？【答案】16【解析】本題考查的是有關(guān)倍數(shù)的問題．2的倍數(shù)特征是：個位上是0、2、4、6、8的自然數(shù)．以10個數(shù)為例：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10第一次拿走奇數(shù)：1，3，5，7，9，剩下2的倍數(shù)．第二次拿走：2，6，10，剩下4的倍數(shù)．第三次拿走：4，剩下8的倍數(shù)．所以在1～3