平面向量的概念和線性運(yùn)算（教師版）

6.11平面向量的概念和線性運(yùn)算【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．平面向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．平面向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.平面向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.【題型精講】【題型一向量相關(guān)概念的辨析】必備技巧向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．例1（廣東中山·卓雅外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一月考）給出如下命題：①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對(duì)于①，向量與向量，長(zhǎng)度相等，方向相反，故①正確；對(duì)于②，向量與平行時(shí)，或?yàn)榱阆蛄繒r(shí)，不滿足條件，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故③正確；對(duì)于④，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，向量與是共線向量，點(diǎn)，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯(cuò)誤．綜上，正確的命題是①③．故選：B．【題型精練】1．（天津靜海區(qū)·高一學(xué)業(yè)考試）下列關(guān)于向量的結(jié)論：（1）任一向量與它的相反向量不相等；（2）向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量與同向，且，則.其中正確的序號(hào)為（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）【答案】D【解析】零向量與它的相反向量相等，故（1）錯(cuò)誤；當(dāng)向量為零向量時(shí)，其方向是任意的，不能說(shuō)與的方向相同或相反，故（2）錯(cuò)誤；相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正確；向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比較大小，故（4）錯(cuò)誤.故選：D.2．（合肥百花中學(xué)高一期末）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量B．零向量與任意向量都不平行C．平行向量就是共線向量D．長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量【答案】B【解析】A.規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，故正確；B.規(guī)定零向量與任意向量都平行，故錯(cuò)誤；C.平行向量就是共線向量，故正確；D.長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，故正確；故選：B3．（浙江·杭州市富陽(yáng)區(qū)場(chǎng)口中學(xué)高一月考）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．向量與向量長(zhǎng)度相等B．單位向量都相等C．向量的?？梢员容^大小D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)【答案】B【解析】A.和長(zhǎng)度相等，方向相反，故正確；B.單位向量長(zhǎng)度都為1，但方向不確定，故錯(cuò)誤；C.向量的長(zhǎng)度可以比較大小，即模長(zhǎng)可以比較大小，故正確；D.向量只與長(zhǎng)度和方向有關(guān)，無(wú)位置無(wú)關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動(dòng)，故正確.故選：B.【題型二相等向量與平行向量】例2（梅河口市博文學(xué)校高一月考）如圖，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形.（1）圖中與共線的向量有________；（2）圖中與相等的向量有________；（3）圖中與模相等的向量有_________________；（4）圖中與是______向量（填“相等”或“不相等”）；（5）與相等嗎？【答案】（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等【解析】根據(jù)題意得，（1）圖中與共線的向量為、、；（2）與相等的向量有；（3）圖中與模相等的向量有，，，；（4）相等；（5）與不相等；故答案為：（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等【題型精練】1．（四川省大竹中學(xué)高一期中）是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形，都是正方形，在如圖所示的向量中：（1）分別找出與，相等的向量；（2）找出與共線的向量；（3）找出與模相等的向量；（4）向量與是否相等？【答案】（1），；（2），，；（3），，，，，，；（4）不相等．【解析】因?yàn)槭钦叫螌?duì)角線的交點(diǎn)，四邊形，都是正方形，所以，；（1）由題中圖形可得：，；（2）由圖形可得，與共線的向量有：，，；（3）與模相等的向量有：，，，，，，；（4）向量與不相等，因?yàn)樗鼈兊姆较虿幌嗤?．如圖所示，和是在各邊的處相交的兩個(gè)全等的等邊三角形，設(shè)的邊長(zhǎng)為，圖中列出了長(zhǎng)度均為的若干個(gè)向量則：（1）與向量相等的向量有_______；（2）與向量共線，且模相等的向量有________；（3）與向量共線，且模相等的向量有________.【答案】，，，，，，，，，【解析】（1）與向量相等的向量是，；（2）與向量共線且模相等的向量是，，，，，（3）與向量共線且模相等的向量，，，，故答案為：（1），；（2），，，，；（3），，，，【題型三向量的加法運(yùn)算】例3（天津高一月考）如圖，在中，為重心，點(diǎn)分別是,,的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式：(1);(2);(3).【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）（2）（3）易知為三角形的一條中位線，又∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，.【題型精練】1．（陜西高一期中）化簡(jiǎn)．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）；（2）.2．（綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考）已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，則下列等式中錯(cuò)誤的（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則，可得，故A正確；由，故B正確；根據(jù)平行四邊形法則，可得，故C正確，D不正確.故選：D.【題型四向量的減法運(yùn)算】例4（吉林扶余市第一中學(xué)高一月考）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1，，，，試作向量:（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)在正方形ABCD中，.連接BD，箭頭指向B，則即為.(2)過(guò)B作BF∥AC，交DC的延長(zhǎng)線于F，連接AF，則四邊形ABFC為平行四邊形，故.在△ADF中，，故即為所求.例5（湖南益陽(yáng)·高一月考）化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.【答案】（1）.（2）（3）.（4）（5）（6）.（7）【解析】（1）原式.（2）原式（3）原式.（4）原式（5）原式（6）原式.（7）原式【題型精練】1．（多選）下列各式中，結(jié)果為零向量的是（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)：，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)：AB?選項(xiàng)正確.故選：BD2．（浙江·高一單元測(cè)試）化簡(jiǎn)下列各式：（1）(＋)＋(－－)；（2）－－.【答案】（1）；（2）【解析】（1）法一：原式法二：原式;（2）法一：原式.法二：原式.【題型五向量的數(shù)乘運(yùn)算】例6（高一課時(shí)練習(xí)）如圖，是以向量為邊的平行四邊形，又，試用表示．【答案】，，【解析】【題型精練】1.（高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.2.（昆明市官渡區(qū)第一中學(xué)高一月考）如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，若，，試以，表示和．【答案】；．【解析】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，，分別是，的中點(diǎn)，，，所以；．【題型六向量的共線定理】例7（呼和浩特開來(lái)中學(xué)月考）判斷向量是否共線(其中,是兩個(gè)非零不共線的向量):(1);(2);(3).【答案】(1)共線，(2)共線，(3)不共線.【解析】(1)∵,∴,∴共線.(2)∵,∴,∴共線.(3)假設(shè),則,∴.∵不共線,∴此方程組無(wú)解.∴不存在實(shí)數(shù),使得,∴不共線.例8(1)已知向量不共線,若,,,試證:三點(diǎn)共線.(2)設(shè)是兩個(gè)不共線向量,已知,,,若三點(diǎn)共線,求k的值.【答案】(1)見解析(2)8【解析】(1)，，，與共線.又與有公共點(diǎn)B，三點(diǎn)共線.(2).三點(diǎn)共線，共線.∴存在實(shí)數(shù)使，即..與不共線，.【題型精練】1．（高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列各小題中的向量,是否共線（其中是兩個(gè)非零不共線向量）．（1）；（2）；（3）．【答案】(1)與共線；(2)與共線；(3)與不共線．【解析】（1）∵，∴與共線．（2）∵，∴與共線．（3）設(shè)，則，∴．∵與是兩個(gè)非零不共線向量，∴，．這樣的不存在，∴與不共線．2．（新泰市第二中學(xué)高一期中）設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量.（1）若，求證：三點(diǎn)共線；