第一章等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)核心題型講解

高考數(shù)學(xué)第一章等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)核心題型講解探究核心題型例1

(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，則M，N的大小關(guān)系為A.M<N

B.M>NC.M≤N

D.M≥N√題型一數(shù)(式)的大小比較因?yàn)镸－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關(guān)系是A.P>Q

B.P＝QC.P<Q

D.不能確定√比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論.(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知a，b為不相等的實(shí)數(shù)，記M＝a2－ab，N＝ab－b2，則M與N的大小關(guān)系為A.M>N

B.M＝NC.M<N

D.不確定√因?yàn)镸－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.M>N∴M>N.顯然f(x)是R上的減函數(shù)，∴f(2021)>f(2022)，即M>N.例2

(1)已知a>b>c>0，下列結(jié)論正確的是題型二不等式的性質(zhì)√∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A錯(cuò)誤；取a＝3>b＝2>c＝1>0，則a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B錯(cuò)誤；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，(2)(多選)若a>0>b>－a，c<d<0，則下列結(jié)論正確的是√√√因?yàn)閍>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?>b>－a，所以a>－b>0，因?yàn)閏<d<0，所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，因?yàn)閏<d，所以－c>－d，因?yàn)閍>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正確；因?yàn)閍>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正確.判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證.(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng).(3)作差法.(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.跟蹤訓(xùn)練2

(1)十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若a，b，c∈R，則下列命題正確的是A.若a>b，則ac2>bc2√對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)c＝0時(shí)不滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若a<b<c<0，則a＋c<0，b－a>0，(b－a)c<0，a(a＋c)>0，對(duì)于D選項(xiàng)，取a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故錯(cuò)誤.√√B中，因?yàn)閎<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B錯(cuò)誤；D中，因?yàn)閎<a<0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上單調(diào)遞減，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以lnb2>lna2，故D錯(cuò)誤.例3

(1)已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是_________，3x＋2y的取值范圍是________.題型三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用(－4,2)(1,18)∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.延伸探究若將本例(1)中條件改為－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍.設(shè)3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，又3<a<8，求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍.跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，則a－2b的取值范圍是A.[－7,4] B.[－6,9]C.[6,9] D.[－2,8]√因?yàn)椋?≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－