2025屆煙臺市、東營市高考診斷性測試（高三一模）數(shù)學(xué)試題(卷后帶答案解析)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025屆煙臺市、東營市高考診斷性測試（高三一模）數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C．5 D．153．已知，則（

）A． B． C． D．24．已知復(fù)數(shù)，其中，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．在中，，則（

）A． B． C． D．6．已知變量線性相關(guān)，其一組樣本數(shù)據(jù)，滿足，用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.若增加一個數(shù)據(jù)后，得到修正后的回歸直線的斜率為2.1，則數(shù)據(jù)的殘差的絕對值為（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.47．已知為拋物線上一點(diǎn)，若過點(diǎn)且與該拋物線相切的直線交軸于點(diǎn)，則的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．88．已知定義在上的函數(shù)滿足：為奇函數(shù)，且，若，則正整數(shù)的最小值為（

）A．17 B．19 C．21 D．23二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．在區(qū)間上的取值范圍為D．的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到10．如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，，下列說法正確的有（

）A．若，則B．直線與底面所成角的正弦值為C．若點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為的中心，則D．若三棱錐的體積為2，則三棱柱的體積為611．在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點(diǎn)到點(diǎn)與到軸的距離之積為常數(shù)，設(shè)點(diǎn)的軌跡在軸右側(cè)的部分為曲線，下列說法正確的有（

）A．曲線關(guān)于直線對稱B．若，則曲線與直線有三個公共點(diǎn)C．當(dāng)時，曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為D．無論為何值，曲線均為一條連續(xù)曲線三、填空題12．第九屆亞洲冬季運(yùn)動會于2025年2月在哈爾濱成功舉行.4名大學(xué)生到冰球、速滑以及體育中心三個場館做志愿者，每名大學(xué)生只去1個場館，每個場館至少安排1人，則所有不同的安排種數(shù)為.（用數(shù)字作答）13．設(shè)為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過且傾斜角為的直線與在第一象限的部分交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則的離心率為.14．已知正數(shù)滿足，則的最小值為：當(dāng)取得最小值時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題15．已知函數(shù)在處有極大值.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．如圖，點(diǎn)在以為直徑的半圓的圓周上，，且平面，(1)求證：；(2)當(dāng)為何值時，平面與平面夾角的余弦值為？17．為加強(qiáng)中小學(xué)科學(xué)教育，某市科協(xié)，市教育局?jǐn)M于2025年4月聯(lián)合舉辦第四屆全市中小學(xué)機(jī)器人挑戰(zhàn)賽.比賽共設(shè)置穿越障礙、搬運(yùn)物品兩個項(xiàng)目.每支參賽隊(duì)先挑戰(zhàn)穿越障礙項(xiàng)目，挑戰(zhàn)成功后，方可挑戰(zhàn)且必須挑戰(zhàn)搬運(yùn)物品項(xiàng)目.每支參賽隊(duì)每個項(xiàng)目至多挑戰(zhàn)兩次，若第一次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎金2000元，該項(xiàng)目不再挑戰(zhàn)：若第一次挑戰(zhàn)失敗，則必須第二次挑戰(zhàn)該項(xiàng)目，若第二次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎金1000元，否則，不獲得獎金.假設(shè)甲參賽隊(duì)在每個項(xiàng)目中，第一次挑戰(zhàn)成功的概率為，第一次挑戰(zhàn)失敗但第二次挑戰(zhàn)該項(xiàng)目成功的概率為；兩個項(xiàng)目是否挑戰(zhàn)成功相互獨(dú)立.(1)設(shè)事件“甲參賽隊(duì)兩個項(xiàng)目均挑戰(zhàn)成功”，求；(2)設(shè)比賽結(jié)束時，甲參賽隊(duì)獲得獎金數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；(3)假設(shè)本屆比賽共有36支參賽隊(duì)，且根據(jù)往屆比賽成績，甲參賽隊(duì)獲得獎金數(shù)近似為各參賽隊(duì)獲得獎金數(shù)的平均水平.某贊助商計劃提供全部獎金，試估計其需提供的獎金總額.18．已知橢圓的焦距為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上兩個動點(diǎn)，且，作，垂足為.（i）線段的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由；（ii）設(shè)點(diǎn)的軌跡為，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)（異于），求面積的最小值.19．設(shè)是一個項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，其中每一項(xiàng)均為集合中的元素.定義數(shù)列如下：若，則，其中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且.(1)若數(shù)列，求數(shù)列；(2)若存在，對任意，均有數(shù)列與為同一數(shù)列，則稱為數(shù)列組的一個周期.（i）若，求數(shù)列組的最小正周期；（ii）若數(shù)列組存在周期，求的所有可能取值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025屆煙臺市、東營市高考診斷性測試（高三一模）數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案ADCBCACBABDACD題號11答案ACD1．A【分析】由一元二次不等式的解法及交集的運(yùn)算得解.【詳解】由，，則，故選：A2．D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式得解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，，又，解得或，當(dāng)時，，所以，故，當(dāng)時，，所以，故，綜上，，故選：D3．C【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡，再由弦化切求值即可.【詳解】由.故選：C4．B【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)模的求法及得或，再由充分、必要性定義即可得答案.【詳解】由，則，可得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．C【分析】先得出向量線性關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積公式計算求解模長即可.【詳解】在中，，所以，則.故選：C.6．A【分析】根據(jù)已知求原數(shù)據(jù)的樣本中心，再確定增加數(shù)據(jù)后的樣本中心，進(jìn)而得到修正后的回歸直線，估計的對應(yīng)值，最后由殘差的定義求解.【詳解】由題設(shè)，則，增加數(shù)據(jù)后，，，且回歸直線為，所以，則，所以，有，故殘差的絕對值為.故選：A7．C【分析】不妨令，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)為的直線斜率，再由點(diǎn)在切線上、拋物線上求m，列方程求p即可.【詳解】不妨令，由，則，所以，切點(diǎn)為的直線斜率為，則切線為，故，又，即（負(fù)值舍），則.故選：C8．B【分析】根據(jù)已知得到是周期為8的偶函數(shù)，再利用周期性、偶函數(shù)性質(zhì)有，進(jìn)而得到，是周期為4的函數(shù)且一個周期內(nèi)函數(shù)值依次為，即可得答案.【詳解】由，則，所以，即是周期為8的函數(shù)，由為奇函數(shù)，則，則，所以，即是偶函數(shù)，由，則，結(jié)合周期性，對于，依次為，所以是周期為4的函數(shù)，則，，，，，，綜上，易知時，，時，.所以正整數(shù)的最小值為19.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先確定是周期為8的偶函數(shù)，再求相關(guān)函數(shù)值，進(jìn)而得到，是周期為4的函數(shù)且一個周期內(nèi)函數(shù)值依次為是關(guān)鍵.9．ABD【分析】應(yīng)用二倍角正余弦公式化簡函數(shù)式，再應(yīng)用正弦型函數(shù)性質(zhì)判斷A、B、C；根據(jù)圖象平移寫出解析式即可判斷D.【詳解】由，所以最小正周期為，A對；，即的圖象關(guān)于直線對稱，B對；由上，故，C錯；向右平移個單位長度，，D對.故選：ABD10．ACD【分析】由題意確定一組基底，對于A，由基底表示向量，根據(jù)垂直垂直向量的數(shù)量積，建立方程，可得其正誤；對于B，由題意作圖，根據(jù)幾何性質(zhì)明確垂足的位置，進(jìn)而可得線面角，利用向量的夾角公式，可得其正誤；對于C，由B所得三角函數(shù)值，根據(jù)等邊三角形的幾何性質(zhì)，可得其正誤；對于D，根據(jù)等積變換，結(jié)合三棱錐的體積公式以及其與同底等高的三棱柱的體積關(guān)系，可得其正誤.【詳解】設(shè)，，，由題意可得，，，對于A，由圖可得，，由，則，即，化簡可得，解得，故A正確；對于B，由題意取的中點(diǎn)，連接，過作平面，垂足為，連接，如下圖：由題意可知，則，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)椋?，則，可得，所以為直線與平面的夾角，由A可得，，在等邊中，易知，則，所以直線與平面所成角的正弦值為，故B錯誤；對于C，由題意取的中點(diǎn)，連接，過作平面，垂足為，如下圖：易知點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，即點(diǎn)為等邊的中心，易知，因?yàn)槠矫?，平面，所以，由B可知，在中，，故C正確；對于D，由題意作圖如下：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，的面積為，則三棱錐的體積，平行四邊形中，易知的面積，則三棱錐的體積，由圖可知三棱柱的體積，故D正確.故選：ACD.11．ACD【分析】根據(jù)和都符合，即可判斷選項(xiàng)A，把代入軌跡方程，分類求解即可判斷選項(xiàng)B，結(jié)合B選項(xiàng)做法，即可判斷選項(xiàng)C，分析軌跡方程兩側(cè)函數(shù)式，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】設(shè)動點(diǎn)，則其到的距離為，動點(diǎn)到軸的距離為，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)也符合上式，所以選項(xiàng)A正確；若，則把代入上式，得方程，當(dāng)時，，方程為，解得或（舍去），即得對應(yīng)點(diǎn)，當(dāng)時，方程為，解得，即得對應(yīng)點(diǎn)，所以B錯誤；當(dāng)時，的軌跡方程為，令曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)距離為，則，，因?yàn)槭菍ΨQ軸，所以代入軌跡方程得，當(dāng)時，方程為，解得，當(dāng)時，方程為，則無解，將代入方程得，則點(diǎn)到的距離最小，且為，C正確；因?yàn)檐壽E方程為，，右邊是連續(xù)的，左邊表示距離函數(shù)也連續(xù)，所以無論為何值，曲線均為一條連續(xù)曲線，D正確.故選：ACD12．36【分析】應(yīng)用部分平均分組，將4人分3組，再作全排列，最后應(yīng)用分步乘法求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，需要將4個人分成3組，有種，再將3組人分配到三個場館，有種，所以共有種.故答案為：3613．【分析】根據(jù)雙曲線的定義及已知有、、，再應(yīng)用余弦定理得到雙曲線參數(shù)的齊次式，即可求離心率.【詳解】由題設(shè)及圖知，且，，所以，則，所以，即，可得（負(fù)值舍）.故答案為：14．5【分析】由已知有，應(yīng)用基本不等式求最小值，注意取值條件，進(jìn)而有恒成立，問題化為在上恒成立，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)的最大值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為5，此時不等式化為恒成立，所以，即令且，則，時，時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則因此可得在上，恒成立，令且，所以，令，，在單調(diào)遞增，且，則時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，因此可得，即，則當(dāng)，，則在單調(diào)遞增，當(dāng)，，則在單調(diào)遞減，所以，故只需.故答案為：5，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將不等式恒成立化為在上恒成立，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的最大值為關(guān)鍵.15．(1)(2)【分析】（1）由題意題干中的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系建立方程，分別檢驗(yàn)解得的根，可得答案；（2）由（1）明確函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求得其極值與單調(diào)性，并作圖，根據(jù)零點(diǎn)定義，將問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題，可得答案.【詳解】（1）由函數(shù)，求導(dǎo)可得，由函數(shù)在處取極大值，則，解得或，當(dāng)時，可得，易知當(dāng)時，；當(dāng)時，，則此時函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，舍去；當(dāng)時，可得，易知當(dāng)時，；當(dāng)時，，則此時函數(shù)在處取得極大值，符合題意.綜上所述，.（2）由（1）可得函數(shù)，求導(dǎo)可得，令，解得或，可得下表：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的極大值為，極小值為，函數(shù)存在三個零點(diǎn)，等價于函數(shù)圖象與直線存在三個交點(diǎn)，如下圖：由圖可得，則.16．(1)證明見解析；(2)或.【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)有，由圓的性質(zhì)易得，再由線面垂直的判定和性質(zhì)證明結(jié)論；（2）若為的中點(diǎn)，即為半圓的圓心，作面，在面內(nèi)作，構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值，結(jié)合已知列方程求參數(shù)即可.【詳解】（1）由平面，平面，則，又點(diǎn)在以為直徑的半圓的圓周上，則，由且都在面內(nèi)，則面，由面，故；（2）若為的中點(diǎn)，即為半圓的圓心，作面，在面內(nèi)作，由，，則，故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，由，故，可得，所以，，，若，分別為面、面的一個法向量，則，取，，，取，，所以，整理得，則，可得或.17．(1)(2)答案見解析；(3)元【分析】（1）先應(yīng)用互斥事件概率和公式計算項(xiàng)目挑戰(zhàn)成功的概率，再應(yīng)用概率乘積公式計算即可求解；（2）先求出甲參賽隊(duì)可能獲得的獎金為元的所有可能取值，再應(yīng)用獨(dú)立事件概率乘積公式求出每個值所對應(yīng)的概率，即可求解；（3）先求出甲參賽隊(duì)可獲得獎金的數(shù)學(xué)期望，再結(jié)合參加的隊(duì)數(shù)估計需提供的獎金總額即可.【詳解】（1）每個項(xiàng)目挑戰(zhàn)成功的概率，則.（2）甲參賽隊(duì)獲得獎金數(shù)為隨機(jī)變量的所有可能取值為4000，3000，2000，1000，0.；；；；.∴甲獲得獎金數(shù)的分布列為：40003000200010000（3）由（2）得出甲參賽隊(duì)獲得獎金數(shù)數(shù)學(xué)期望元，因?yàn)榧僭O(shè)本屆比賽共有36支參賽隊(duì)，估計其需提供的獎金總額為元18．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）由題目中的焦距與離心率，結(jié)合的關(guān)系式，可得答案；（2）（i）分直線的斜率存在與不存在兩種情況，設(shè)出直線方程，并聯(lián)里橢圓方程寫出韋達(dá)定理，利用直線垂直的斜率關(guān)系以及點(diǎn)到直線距離公式，可得答案；（ii）根據(jù)圓的對稱性，分情況求弦長，利用基本不等式，可得答案.【詳解】（1）由橢圓的焦距為，則，由橢圓的離心率為，則，解得，易知，則可得橢圓.（2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在時，可設(shè)方程為，代入橢圓，可得，易知，解得；當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)方程為，聯(lián)立，消去可得，由，設(shè)，則，可得，由直線的斜率，直線的斜率，且，則，整理可得，化簡可得，解得，由.（ii）由圓的對稱性，則，由（i）可知：當(dāng)直線的斜率不存在時，，當(dāng)直線的斜率存在時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，綜上可得，故的最小值為.19．(1)；(2)（i）3；（ii）的所有可能取值為且.【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義，依次求出，進(jìn)而確定；（2）（i）注意，各不相同，有，依此研究在各不同情況下的周期，即可得最小正周期；（ii）討論的奇偶性，注意為奇數(shù)情況下證明時，即可得結(jié)論.【詳解】（1）由，對于，則，同理，，所以，對于，則，同理，，所以，依上的過程，易知；（2）（i）若，，則，即，若，，則，即，若，，則，即，令，各不相同，則，若，則，，，顯然，即是周期；若，則，，，顯然，即是周期；若，則，即是周期；（注意為正整數(shù)），綜上，對任意，為數(shù)列組周期，最小