2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)湘教版選擇性必修第二冊(cè)教學(xué)課件 第2章-2.4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用-2.4.4 向量與距離

2.4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用第2章2.4.4向量與距離1.了解點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、點(diǎn)到平面的距離、線(xiàn)線(xiàn)距離、線(xiàn)面距離的概念.2.能用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、點(diǎn)到平面的距離、相互平行的直線(xiàn)間的距離、相互平行的平面間的距離并能描述解決這一類(lèi)問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.學(xué)習(xí)目標(biāo)新知學(xué)習(xí)一

點(diǎn)到平面的距離

求空間一點(diǎn)P到直線(xiàn)l（P

l）的距離的算法程序如圖所示.二

點(diǎn)到平面的距離

用向量方法求解點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題的一般步驟是：（1）確定一個(gè)法向量；（2）選擇參考向量；（3）確定參考向量在法向量方向上的投影向量；（4）求投影向量的長(zhǎng)度.求空間一點(diǎn)P到平面α（P

α）的距離的算法程序如圖所示.三

兩平行線(xiàn)間的距離兩平行線(xiàn)間的距離處處相等，因而可以利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離來(lái)解決兩平行線(xiàn)間的距離問(wèn)題.求兩平行線(xiàn)m，n間的距離的算法程序如圖所示.四

兩平行平面間的距離

求兩平行平面α，β之間的距離的算法程序如圖所示1.空間內(nèi)有三點(diǎn)A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，則點(diǎn)B到AC的中點(diǎn)P的距離為（）C即時(shí)鞏固2.已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(1，－1,2)，和l垂直的一個(gè)向量為n＝(－3,0,4)，則P(3,5,0)到l的距離為（）C3.已知直線(xiàn)l與平面α相交于點(diǎn)O，A∈l，B為線(xiàn)段OA的中點(diǎn)，若點(diǎn)A到平面α的距離為10，則點(diǎn)B到平面α的距離為_(kāi)_______.54.已知平面α的一個(gè)法向量為n＝(－2，－2,1)，點(diǎn)A(－1,3,0)在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P(－2,1,4)到平面α的距離為_(kāi)_______.

B

一、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離例1如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求點(diǎn)B到直線(xiàn)A′C的距離.典例剖析解因?yàn)锳B＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，反思感悟用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的一般步驟(1)求直線(xiàn)的方向向量.(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線(xiàn)上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線(xiàn)的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度.(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直線(xiàn)間的距離與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離之間的轉(zhuǎn)化.跟蹤訓(xùn)練已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1C，D1A1的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到EF的距離.解以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)DA＝2，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,0,2)，二、點(diǎn)到平面的距離與直線(xiàn)到平面的距離例2如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DH⊥平面PEF，垂足為H，x＋y＋z＝1，(2)求直線(xiàn)AC到平面PEF的距離.解連接AC，則AC∥EF，直線(xiàn)AC到平面PEF的距離即為點(diǎn)A到平面PEF的距離，平面PEF的一個(gè)法向量為n＝(2,2,3)，反思感悟用向量法求點(diǎn)面距的步驟(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求點(diǎn)坐標(biāo)：寫(xiě)出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(，α內(nèi)兩不共線(xiàn)向量，平面α的法向量n).(4)求距離d＝

.

解設(shè)正四棱柱的高為h(h>0)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，設(shè)平面AB1D1的法向量為n＝(x，y，z)，取z＝1，得n＝(h，h，1)，解得h＝2.故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高為2.三、兩平行平面間的距離例3如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD之間的距離.

解題技巧（1）求兩個(gè)平行平面之間的距離的實(shí)質(zhì)就是求一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離.（2）用向量法求點(diǎn)到平面的距離的關(guān)鍵是正確建系，準(zhǔn)確求得各點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，然后求出平面的法向量，正確運(yùn)用公式求解.

B1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，則點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離為（）A解析∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，∴點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離為隨堂小測(cè)2.若三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿(mǎn)足PA＝PB＝PC＝1，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是（）解析分別以PA，PB，PC所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).可以求得平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(1,1,1)，D3.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，則平面AB1C

與平面A1C1D

之間的距離為（）B解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,0),C1(0,1,0),D(0,0,1),A(1,0,1)，設(shè)平面A1C1D的一個(gè)法向量為m＝(x，y，1)，顯然平面AB1C∥平面A1C1D，4.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線(xiàn)BE的距離是（）解析建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，B5.如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，則直線(xiàn)B1C1到平面A1BCD1的距離是（）C則C(0,12,0)，D1(0,0,5).設(shè)B(x，12,0)，B1(x，12,5)(x>0).設(shè)平面A1BCD1的法向量為n＝(a，b，c)，6.已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直線(xiàn)與l垂直，則點(diǎn)P(4,3,2)到l的距離為_(kāi)_____.7.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別是C1C，D1A1，AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面EFG的距離為_(kāi)_______.解析建系如圖，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,0,2)，G(2,1,0)，設(shè)n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，點(diǎn)A到平面EFG的距離為d，令z＝1，此時(shí)n＝(1,1,1)，8.如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，則點(diǎn)D到平面ACE的距離為_(kāi)_____.解析以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)E，OB所在的直線(xiàn)為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2).設(shè)平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，令y＝1，∴n＝(－1,1，－1).9.在底面是直角梯形的四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為_(kāi)____.解析AD到平面PBC的距離等于點(diǎn)A到平面PBC的距離.由已知可得AB，AD，AP兩兩垂直.則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，設(shè)平面PBC的法向量為n＝(a，b，c)，取a＝1，得n＝(1,0,1)，10.如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分別為OA，BC，AD的中點(diǎn)，求直線(xiàn)MN與平面OCD的距離及平面MNR與平面OCD的距離.解

因?yàn)镸，R分別為AO，AD的中點(diǎn)，所以MR∥OD.在正方形ABCD中，N，R分別為BC，AD的中點(diǎn)，所以NR∥CD.又MR∩NR＝R，OD∩CD＝D，所以平面MNR∥平面OCD.又MN平面MNR，所以MN∥平面OCD.所以直線(xiàn)MN與平面OCD的距離及平面MNR與平面OCD的距離都等于點(diǎn)N到平面OCD的距離.以點(diǎn)A為