人教A版高中數(shù)學選擇性必修三-6.2.3第2課時-組合數(shù)的性質-導學案【含答案】

人教A版高中數(shù)學選擇性必修三-6.2.3第2課時-組合數(shù)的性質-導學案學習目標1.掌握組合數(shù)公式和組合數(shù)的性質.2.能運用組合數(shù)的性質進行計算.3.會用組合數(shù)公式解決一些簡單的組合問題．一、組合數(shù)的性質1問題1假如我們年級將在月底進行一場籃球比賽．包括體育委員在內，班上籃球運動員有8人，按照籃球比賽規(guī)則，比賽時一個球隊的上場隊員是5人．我們可以形成多少種隊員上場方案？我們又可以形成多少種隊員不上場方案？這兩種方案有什么關系？知識梳理組合數(shù)的性質1：Ceq\o\al(m,n)＝__________.例1(1)計算：Ceq\o\al(2022,2023)＝________，Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－2,n)＝__________.(2)(多選)若Ceq\o\al(2n－3,20)＝Ceq\o\al(n＋2,20)(n∈N*)，則n等于()A．4B．5C．6D．7反思感悟性質“Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)”的意義及作用跟蹤訓練1(1)若Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(5,n)，則Ceq\o\al(10,n)等于()A．1B．10C．11D．55(2)若Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)，則Ceq\o\al(n,8)＝____________.二、組合數(shù)的性質2問題2從問題1中的這8名籃球運動員中選擇5人的時候，可以按照體育委員是否入選進行分類：當體育委員入選時，有Ceq\o\al(4,7)種選法；當體育委員未入選時，有Ceq\o\al(5,7)種選法．這與直接選5人參加的選法一樣嗎？你能得出什么結論？知識梳理組合數(shù)的性質2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).例2(1)已知m≥4，Ceq\o\al(3,m)－Ceq\o\al(4,m＋1)＋Ceq\o\al(4,m)等于()A．1B．mC．m＋1D．0(2)Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)等于()A．Ceq\o\al(2,2020) B．Ceq\o\al(3,2021)C．Ceq\o\al(3,2022) D．Ceq\o\al(4,2023)反思感悟性質2常用于有關組合數(shù)式子的化簡或組合數(shù)恒等式的證明．應用時要注意公式的正用、逆用和變形用．正用是將一個組合數(shù)拆成兩個，逆用則是“合二為一”，使用變形Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)－Ceq\o\al(m,n)，為某些項前后抵消提供了方便，在解題中要注意靈活應用．跟蹤訓練2(1)若Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，則n等于()A．12B．13C．14D．15(2)計算Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)＝________.三、組合數(shù)的綜合應用eq\x(角度1簡單的組合問題)例3在抗擊新冠肺炎疫情的戰(zhàn)役中，某省積極組織選派精干醫(yī)療工作者支援救援工作．某醫(yī)院有內科醫(yī)生10名，外科醫(yī)生4名，現(xiàn)選派4名參加援助醫(yī)療隊，其中：(1)某內科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？(2)隊中至少有一名內科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？反思感悟求與兩個基本原理的應用有關的問題，在分類與分步時，一定要注意有無重復和遺漏．跟蹤訓練3某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，鑒定結果有15種假貨，現(xiàn)從35種商品中選取3種．(1)恰有2種假貨在內的不同取法有多少種？(2)至少有2種假貨在內的不同取法有多少種？(3)至多有2種假貨在內的不同取法有多少種？eq\x(角度2與幾何圖形有關的組合問題)例4已知平面α∥平面β，在平面α內有4個點，在平面β內有6個點，且平面α、平面β內的任意三點不共線．(1)過這10個點中的3點作一平面，最多可作多少個不同的平面？(2)以這些點為頂點，最多可作多少個三棱錐？(3)上述三棱錐中最多可以有多少個不同的體積？反思感悟解與幾何有關的組合應用題的策略(1)解決幾何圖形中的組合問題，首先應注意運用處理組合問題的常規(guī)方法分析解決問題，其次要注意從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題，尋找一個組合的模型加以處理．(2)在處理幾何問題中的組合應用問題時，應先明確幾何中的點、線、面及構造模型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關系，再將幾何問題抽象成組合問題來解決．跟蹤訓練4在平面直角坐標系Oxy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有()A．25個 B．36個C．100個 D．225個1．知識清單：(1)組合數(shù)的兩個性質及性質的理解．(2)組合數(shù)在實際問題中的應用．2．方法歸納：分類討論、間接法．3．常見誤區(qū)：不注意組合數(shù)中m與n的限制條件；計算中不能構造組合數(shù)性質．1．若Ceq\o\al(6,n＋1)－Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(7,n)(n∈N*)，則n等于()A．11 B．12C．13 D．142．把5名同學分到甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同的分配方案有()A．80種 B．120種C．140種 D．50種3．Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝________________.4.如圖，∠MON的邊OM上有四個點A1，A2，A3，A4，ON上有三個點B1，B2，B3，則以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三點為頂點的三角形的個數(shù)為()A．30 B．42C．54 D．56參考答案與詳細解析問題1上場的方案有Ceq\o\al(5,8)，不上場的方案有Ceq\o\al(3,8)；Ceq\o\al(5,8)＝Ceq\o\al(3,8)＝56.知識梳理Ceq\o\al(n－m,n)例1(1)2023eq\f(nn2－1,2)解析Ceq\o\al(2022,2023)＝Ceq\o\al(1,2023)＝2023，Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－2,n)＝Ceq\o\al(1,n＋1)·Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(nn2－1,2).(2)BD[由題意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或7.]跟蹤訓練1(1)C[由Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(5,n)，得n＝6＋5＝11，Ceq\o\al(10,n)＝Ceq\o\al(10,11)＝Ceq\o\al(1,11)＝11.](2)28解析由Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，解得n＝2或n＝8(舍去)，故Ceq\o\al(2,8)＝28.問題2一樣，Ceq\o\al(5,8)＝Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,7).例2(1)D[Ceq\o\al(3,m)－Ceq\o\al(4,m＋1)＋Ceq\o\al(4,m)＝Ceq\o\al(3,m)＋Ceq\o\al(4,m)－Ceq\o\al(4,m＋1)＝Ceq\o\al(4,m＋1)－Ceq\o\al(4,m＋1)＝0.](2)D[原式＝Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)＝Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)＝Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)＝…＝Ceq\o\al(2018,2022)＋Ceq\o\al(2019,2022)＝Ceq\o\al(2019,2023)＝Ceq\o\al(4,2023).]跟蹤訓練2(1)C[Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(7,n)＋Ceq\o\al(8,n)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，∴n＋1＝7＋8，n＝14.](2)35解析Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)＝Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)＝Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,6)＝Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.例3解(1)只需從其他12人中選2人即可，共有Ceq\o\al(2,12)＝66(種)．(2)方法一(直接法)至少有一名內科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分三類：一內三外；二內二外；三內一外，所以共有Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,10)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,10)Ceq\o\al(1,4)＝790(種)．方法二(間接法)由總數(shù)中減去四名都是內科醫(yī)生和四名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得Ceq\o\al(4,14)－(Ceq\o\al(4,10)＋Ceq\o\al(4,4))＝790(種)．跟蹤訓練3解(1)從20種真貨中選取1件，從15種假貨中選取2件，有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100(種)，所以恰有2種假貨在內的不同取法有2100種．(2)選取2件假貨有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)種，選取3件假貨有Ceq\o\al(3,15)種，共有選取方法Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(3,15)＝2555(種)．(3)選取3件的種數(shù)有Ceq\o\al(3,35)，因此有選取方法Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(3,15)＝6090(種)．所以至多有2種假貨在內的不同的取法有6090種．例4解(1)所作出的平面有三類：①α內1點，β內2點確定的平面，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)個．②α內2點，β內1點確定的平面，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)個．③α，β本身，有2個．故最多可作Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)＋2＝98(個)不同的平面．(2)所作的三棱錐有三類：①α內1點，β內3點確定的三棱錐，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)個．②α內2點，β內2點確定的三棱錐，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)個．③α內3點，β內1點確定的三棱錐，有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)個．∴最多可作Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,5)＝194(個)三棱錐．(3)∵在等底面積、等高的情況下，三棱錐的體積才能相等．∴最多可以有Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝114(個)不同的體積．跟蹤訓練4D[從垂直于x軸的6條直線中任取2條，從垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交成一個矩形，所以矩形總數(shù)為Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,6)＝15×15＝225.]隨堂演練1．B[根據(jù)題意，Ceq\o\al(6,n＋1)－Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(7,n)變形可得，Ceq\o\al(6,n＋1)＝Ceq\o\al(6,n)＋Ceq\o\al(7,n)，由組合性質可得，Ceq\o\al(6,n)＋Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(7,n＋1)，即Ceq\o\al(6,n＋1)＝Ceq\o\al(7,n＋1)，則可得到n＋1＝