5類平面向量解題技巧（“爪子定理”、系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、奔馳定理與三角形四心問題、范圍與最值問題）-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納（解析版）

題型125類平面向量解題技巧

（“爪子定理”、系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、

奔馳定理與三角形四心問題、范圍與最值問題）

技法01“爪子定理”的應(yīng)用及解題技巧

技法02系數(shù)和（等和線）的應(yīng)用及解題技巧

技法03極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧

技法04奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用及解題技巧

技法05范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧

技法01“爪子定理”的應(yīng)用及解題技巧

需高N?常見題型解讀

“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同學(xué)們重點學(xué)習(xí)掌握

知識遷移

形如汨=+條件的應(yīng)用（“爪子定理”）

，，爪，，字型圖及性質(zhì)：入

（1）已知通，/為不共線的兩個向量，則對于向量沏，必存在羽y,使得/\

AD=xAB+yAC。則B,C,D三點共線ox+y=

當(dāng)0<x+y<l,則。與A位于同側(cè)，且。位于A與之間

當(dāng)x+y>l,則。與A位于兩側(cè)

x+y=l時，當(dāng)x>0,y>0,則。在線段上；當(dāng)孫<0,則。在線段延長線上

（2）已知0在線段上，S.\BE\;\CD\=m;n,則詬=恁

m+nm+n

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例1-1.（全國?高考真題）設(shè)。為AABC所在平面內(nèi)一點，且配=3包,則（）

A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB--AC

3333

C.AD=-AB+-ACD.AD=--AB--AC

333\3

技巧點撥o

A

解析：由圖可想到“爪字形圖得：AC=-AB+-AD.解得：AD=--AB+-AC

4433

答案：A

__,__,2__.

例1-2.（2023江蘇模擬）如圖，在AABC中，AN=-1VC,尸是BN上的一點，若Q=窈+—4,

311

則實數(shù)m的值為（）

9532

A.—B.—C.—D.

11111111

技巧點撥O

解：觀察到5,P,N三點共線，利用“爪”字型圖，可得

—.1—.

AP=mAB+nAN,且m+〃=1,由AN=—NC可彳號AN=—AC,

34

____kk__2__?1283

所以AP=7篦ABH"—nAC,由已知AP="?ABd—AC可得：一"=—nn=一，所以加=—

4114111111

答案：C

唁4福?知識遷移強化

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）在AABC中，點。在邊AB上,BD=2DA-t己CA=in,CD=萬，貝！ICB-(

A.3fh—2nB.—2欣+3為C.3m+2nD.2m+3ft

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出.

【詳解】因為點。在邊上，BD=2DA,所以詼=2次，即前-而=2（包-㈣,

所以屈=3函-2耳=3>-2方=一2沆+3萬.

故選：B.

2.（全國?高考真題）在AABC中，AB=c，AC=b.若點。滿足前=20，則礪=（）

2-1-5-2-2-1-1-2-

A.-b+-cB,-c一一bC.-b一一cD.-b+-c

33333333

【答案】A

【詳解】試題分析：zLD=<3+BD=c+二3C=c+:（MC-H3）=c+二。一。=二6+ec，故選A.

3333

3.（2020,新高考全國1卷?統(tǒng)考高考真題）已知平行四邊形ABCZ）,點E,尸分別是AB,BC的中點（如

圖所示），設(shè)通=2,AD=b,則方等于（）

1_

A.3（N+b）B.弓伍-b）C.5（b-々D.—a+br

2

【答案】A

【分析】利用向量的線性運算，即可得到答案；

【詳解】連結(jié)AC,則AC為AABC的中位線，

，EF=-AC=-a+-b,

222

故選：A

4.（全國?高考真題）在回A3C中，AO為BC邊上的中線，E為AD的中點，則麗=

3--1―.1_.3—.

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3―.1—.1__.3―-

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得現(xiàn)麗+!而,之后應(yīng)用向量

=242

3_.1_

的加法運算法則-一一三角形法則，得到阮=麗+正，之后將其合并，得到屁麗+下一步應(yīng)

44

用相反向量，求得-.==3—.：1A—C.,從而求得結(jié)果.

44

【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得

1—1-1—1—1—1/——X1—1—1—.3―1—

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-（BA+AC]=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222424V724444

一3一1__

所以防=—故選A.

44

【點睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加

法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運算.

12

5.（江蘇?高考真題）設(shè)。、E分別是AABC的邊AB,8C上的點，AD=~AB,BE=-BC.若

23

DE^^AB+^AC（4，4為實數(shù)），則4+4的值是—

【答案】|

__,__,__,i__,9__.i__.9__?__.i__.2__.

【詳解】依題意，DE=DB+BE=-AB+-BC=-AB+-(AC-AB)=一一AB+-AC,

232363

1__2_____?__?__?19191

0__AB+-AC=\AB+ZAC,m4=__,4=一，故4+4=

63263632

【考點定位】平面向量的加法、減法法貝分析、計算能力.中等題.

技法02系數(shù)和（等和線）的應(yīng)用及解題技巧

喟3?常見題型解讀

近年，高考、模考中有關(guān)“系數(shù)和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學(xué)生在解決此類問題時,

往往要通過建系或利用角度與數(shù)量積處理，結(jié)果因思路不清、解題繁瑣，導(dǎo)致得分率不高，而向量三點

共線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題，將系數(shù)和的代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為距離的比例運算,

數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)，同時也為相關(guān)問題的解決提供了新的思路，大家可以學(xué)以致用

知識遷移

如圖，P為AAOB所在平面上一點，過O作直線///AB,由平面向量基本定理知:

存在x,yeR,使得OP=xOA+yOB

下面根據(jù)點P的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和x+y的值

①若尸w/時，則射線OP與/無交點，由///AB知，存在實數(shù);L使得9=4通

而通=礪—函，所以而=4朝—4函，于是x+y=2-2=0

②若尸時，

(i)如圖1,當(dāng)尸在/右側(cè)時，過P作CD//AB,交射線0A,08于C,。兩點，貝U

AOCD?AOAB,不妨設(shè)AOCD與AOAB的相似比為k

由P,C,。三點共線可知：存在XeH使得：

OP=WC+(1-A)OD=kAOA+左(1—2)05

所以x+y=左2+左(1-/I)=左

(ii)當(dāng)尸在/左側(cè)時，射線OP的反向延長線與A3有交點，如圖1作尸關(guān)于。的對稱點尸'，由(i)

的分析知：存在存在XeH使得：

OP'=WC+(1-2)00=kAOA+(1-㈤而

所以赤=-kAOA+-(1-MOB

于是x+y=-左2+-左(1-2)=-k

綜合上面的討論可知：圖中9用34,礪線性表示時，其系數(shù)和x+y只與兩三角形的相似比有關(guān)。

我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。

因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過。作A3邊的垂線

I0P'\

設(shè)點P在/'上的射影為P,直線/'交直線A3于點《，則|左|=后才(左的符號由點P的位置確定)，因

此只需求出\0P'\的范圍便知x+y的范圍

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例2-1.（全國?高考真題）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若

AP=2AB+/7AD）則4+〃的最大值為

A.3B.272C.亞D.2

［解題

技巧點撥o

【系數(shù)和】

分析：如圖，

由平面向量基底等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€/與圓相切時，最大，此時

,AFAB+BE+EF3AB、

X+〃==-------=--=3,

ABABAB

故選A.

例2-2.（衡水中學(xué)二模）邊長為2的正六邊形A5CD跖中，動圓。的半徑為1,圓心在線段CQ（含短點）

上運動，尸是圓。上及其內(nèi)部的動點，設(shè)向量=+，則租+〃的取值范圍是（）

A(l,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]

__AG2AB

分析:如圖，設(shè)APkumAB+aA/7，由等和線結(jié)論，m+n==-----=2.此為m+〃的最小值;

ABAB

—.—.—.AH

同理，設(shè)AP=mA3+〃AF,由等和線結(jié)論，m+n=——=5.此為m+〃的最大值.

AB

綜上可知加十幾w[2,5].

例2-3.已知AABC為邊長為2的等邊三角形，動點P在以為直徑的半圓上.若福=幾通+〃/，則

24+〃的取值范圍是

技巧點撥o

【解析】如圖，取A3中點為。,

A

AP=A,AB+juAC=2AAD+/JAC

顯然，當(dāng)P與C重合時,22+〃取最小值1.

將CD平行移動至與。。相切處，

P為切點時,24+〃取最大值.

延長P0交于G,易知OG=O/=EP=L.

2

FFAP5

由等和線及平行截割定理,——=2,——=-.

FPAE2

所以22+〃的最大值為g.

故24+〃的取值范圍是l,g.

吃篇卜知識遷移強化

1.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點P在以點。為圓心且與相切的圓上,

若Q=2通+〃無萬，則2+〃的最大值為（）

A3B272CV5D2

解：如圖所示:

過A作5D的垂線，垂足為X,則AH=CE=B=r,當(dāng)E,C,P三點共線時，高線最長，即

（X+〃）max=^=3

r

2.如圖，正六邊形ABCDEF,尸是ACDE內(nèi)（包括邊界）的動

點，設(shè)AP=eA3+，AE（a,，eR）,則的取值范圍是.

解：連接5fAD因為正六邊形A5CDEF,由對稱性知道

BFLAD,ADLEC,設(shè)8尸與AD交于點G,CE與AD交于點H,

當(dāng)尸在CE上時，AP在AD上射影最小為AH；

當(dāng)尸與。重合時，AP在AD上射影最大為A。；

〃\AD\

則,,,|AH|<a+B<'L

\AG\〃\AG\

X

設(shè)|=x,則|AG|=|HD\=-,\GH|=|BC\=x,\AD\=2x,

2

則34a+尸V4

3.如圖在直角梯形ABCD中，AB//CD,AB±AD,AD=DC=1,AB=3,動點P在以C為圓心,

且與直線5D相切的圓內(nèi)運動，設(shè)AP=eR）

則a+尸的取值范圍是

解：設(shè)圓。與直線相切于點E,過A作AGLBQ于G,作直線///￡出，且直線/與圓C相切與尸,

連所，則￡咒過圓心，且石尸，5￡),由圖可知，對圓C內(nèi)任意一點P

AP在直線AG上的射影長度d滿足：|AG|<d<|AG|+1所|,

又?A。I?I"51=3,|Ef>2|EC|=2|CD|sinZABD=4

\DB\VWV10

35

所以I—<d<.—

vw710

而a+〃=所以l<cr+/?<g

4.若點C在以P為圓心,6為半徑的弧AB上，且PC=xPA+y而測2x+3y的取值范圍為.

【解析】令尸C=(2x+3y)PD,

則麗=--—PA+—-—PB,

2%+3y2x+3y

即加二^可+3^兩，

2x+3y"2x+3y1

—?1—?—>1—?

其中P/\=]PA,PB]=~PB

由2"+=i知點。在線段A4上，如下圖:

2%+3y2%+3y

由于在/AB]中,I=3,|PBj=2,4PBi=120°,

且點。在線段A4上(含端點4,4),

因此|7W|麴|K4j,其中是邊A片上的高.

-----------?2/--------->.--------?\2----------->2---------->2---------?----------?

44=(PB|-PAd=PB[+尸4-2PB|=19

可得|44|=M.

P

SAP&B[=1lAH^1|.sinZAPBl=1|AB1|-|PH|

可得|P〃|=彳彳.

所以，笠7麴J|PO|3.

再由定=(2x+3y)而

可知2?3y=需=^e

5.(2023?浙江?高三專題練習(xí))如圖，在直角梯形ABCD中，AB±AD,AB^DC,AB=2,AD=DC=1,

圖中圓弧所在圓的圓心為點C,半徑為且點尸在圖中陰影部分(包括邊界)運動.若Q=x通+yZ,

其中尤，ywR,則4x-y的取值范圍是()

A.2,3+手B.2,3+岑C.3一%3+到D.｝一半3+口

【答案】B

【分析】建立直角坐標(biāo)系，將4x-y由尸點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化后數(shù)形結(jié)合求解

【詳解】以A點為坐標(biāo)原點，AB,AD方向為x,y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，則4(0,0),3(2,0),C(l,l),D(0,l),

m+n

_._.\m=2x—yx=---

A3=(2,0),BC=(—1,1),設(shè)尸(也")，則<，解得<2,

y=n

故z=4x—y=2根+〃，即〃=-2m+z,

數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)叫，1）時，z取最小值2,

當(dāng)直線與圓（x-l）2+（y-l）2=?相切時，■4=（，z取得最大值3+好.

4，522

故選：B

技法03極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧

哨高量?常見題型解讀

利用向量的極化恒等式可以快速對共起點（終點）的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向

量的幾何屬性，讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能，此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量

積與幾何長度（數(shù)量）之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對于不共起點和不共終點的問題

可通過平移轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化為對共起點（終點）的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決，需大家

強化學(xué)習(xí)。

知識遷移

極化恒等式

一W+8）2_（萬一/?）2

a-b二-----------------

4

恒等式右邊有很直觀的幾何意義:

向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的工

4,

恒等式的作用在于向量的線性運算與數(shù)量積之間的聯(lián)系

如圖在平行四邊形ABCD中，AB=a,AD=b

在上述圖形中設(shè)平行四邊形ABCD對角線交于M點，則對于三角形來說:

.s=（AB+w-（Ag-w=|W|2_im

44

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例3-1.（全國?高考真題）設(shè)向量滿足通1號畫二廊i，歷，則第S

A.1B.2C.3D.5

［解題

技巧點撥o

由極化恒等式可得：彳5_m+5）2一（”5）2_卜+同一卜一同故選A.

44

例32（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）正方形ABC。的邊長是2,E是A3的中點，則反.而=（）

A.亞B.3C.2石D.5

解題

技巧點撥o

設(shè)CD中點為0點，由極化恒等式可得：EC.ED=|W|2-^|DC|2=3

故選：B.

片篇i?知識遷移強化

1.（江蘇?高考真題）如圖，在AABC中，D是8C的中點，E,尸是4。上的兩個三等分點，BA.CA=4,

BFCF=-1，^BE-CE的值是.

7

【答案】

O

極化恒等式

-?-?-?-.I->|2I-J2-------?-------?-?-?I->|2I-J2

BACA=ABAC=\AD\-\BD\=4,BFCF=FBFC=\FD\-\BD\=-l

-----?-----?-----?------?I------?|2I------J2

BECE=EBEC=\ED\-\BD\

—?3—?—?1—?

因為區(qū)分是AD上的兩個三等分點，所以|AD|二—|￡D|,|ED|=—

22

_05—13

聯(lián)立解得:|ED『二一』302二一

28

―-―-7

所以BE-CE=—

8

2.如圖，在AABC中，已知AB=4,AC=6,ABAC=60°,點D,E分別在邊AB,AC上,

且羽=2AD,AC=3a且，若F為DE的中點，則BF-DE的值為

D

解：取5D的中點N,連接則=

在QEB中,FNII^EBnFN=6

2

-----?------?-----?-----?(------?21---?2、/--?2\-----?------?

BFDE=2FBFD=21FN--DB\=21FN-1\^BFDE^

D，

B

3.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在AABC中，AC=3,3C=4,NC=90。.尸為AABC所在平面內(nèi)的動點，且

PC=1,則麗.而的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.1,6]

【答案】D

記的中點為連接CM,則CM=3

2

由極化恒等式可得：

------?225

PAPB=PMPM

T

7—>——?>225

v\PM\=|CM|+I=PAPB=PM——=6

IImaxii24

3——?——-?225

\PM\=\CM\-I=-,：.PAPB=PM——=-4

IImaxII24

即可.而e[T,6]

故選：D

技法04奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用及解題技巧

識高考?常見題型解讀

平面向量問題是高中數(shù)學(xué)中的一個熱點，在高考中考查比重不會很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，

難度一般也會控制在中等，有時也會以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應(yīng)用，比如系數(shù)和（等和

線）、極化恒等式、本技法我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一個重要的結(jié)論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地

融合到一起，高中的同學(xué)們可以將這個內(nèi)容當(dāng)成課外拓展知識，同時也是加強對三角形的認(rèn)識，加深對

數(shù)學(xué)的理解。

奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊含的一個優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的logo相

似而得名“奔馳定理”，會提升解題效率，可強化學(xué)習(xí)。

知識遷移

1.奔馳定理

如圖，已知尸為44BC內(nèi)一點，貝IJ有5k比?次?麗+s△曲?花=「

由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為"奔馳定理

2.奔馳定理的證明

如圖：延長。4與邊相交于點。

A

q一qq

則BD_S"BD_S^BOD□&ABDQ&BODLAOB

q-qq

^ACDu/OD△

"L°AACDLCOD□AOC

.DC—?BD?

OD=—^OB+—OC

BCBC

————OB+——LAQB——QQ

Q_i_QQQ

丁丁

u△AOC0AAOB°^AOC0AAOB

°D=SBOD=S（X）D_SBOD+SCOD_S^OC

nAqqq_i_q

0

DCBOA°COABOA^COAAAOC°aAOB

—.s—■

0D=-------——OA

q4.c

°AAOCT°aAOB

SdBOC~Q^_S4AOCS&AOB~QQ

O

^AAOCTaA0B°aAOCT°iAOB°AAOCT°AAOB

AC「ACR

.,.SAoRt/cCC,OA△+AOSC,OB△+A（yS￡>,OC=0

3.奔馳定理的推論及四心問題

推論。是內(nèi)的一點，且x-OA+y-OB+z-OC=6,則=x:y:z

AABCSABOC:SACOA:ShAOB

有此定理可得三角形四心向量式

(1)三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距

離之比為2：1.

(2)三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.

(3)三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)

心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑八

(4)三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，

它到三角形三個頂點的距離相等.

奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著

決定性的基石作用.

已知點。在內(nèi)部，有以下四個推論：

①若。為AABC的重心，則次+礪+花=6；

②若。為AAFC的外心，則sin2A?礪+sin2B?赤+sin2c-無=6;或|西卜|詬卜|困

③若。為AABC的內(nèi)心，則“?礪+力礪+c.芯=6;備注：若。為的內(nèi)心，則

sinA-OA+sinB-OB+sinCOC=6

④若。為AABC的垂心，貝UtanA?況+tan8-朝+tanC?元=6，或函?市=礪?反=前?況

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例4-1.（寧夏?高考真題）己知O,N,P在AABC所在平面內(nèi)，5.\d^=\0B\=\0C\,NA+NB+NC=0,且

PA*PB=PB?PC=PC?PA，則點0,N,P依次是AABC的

（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）

A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心

C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心

［解題

技巧點撥o

因為|礪卜|礪卜|因|,所以。到定點A,民C的距離相等，所以。為AABC的外心，由麗+礪+祀=0,

則福+而=-福，取A3的中點E,則麗+凡§=-力於=5,所以2|屜|=|可，所以N是AABC的重心;

由蘇?麗=方?定=定?⑸，得（可-京）?方=0,即衣.麗=0，所以AC_LP3,同理AB_LPC,所以

點尸為AABC的垂心，故選C.

例4-2.（江蘇?高考真題）。是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點尸滿足

OP^OA+A■,%e[O,E）,則P的軌跡一定通過AABC的（）

A.夕卜心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

技巧點撥o

___.~ADAC

【詳解】??麗-風(fēng)麗，.—（詞+而）

AABAC,~

令+=AM,

\AB\|AC|

AfiAT

則兩是以A為始點，向量涌與會為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量,

即4M在/A4C的平分線上,

■.■AP=AAM，二而，謝共線,

故點P的軌跡一定通過蜘BC的內(nèi)心,

故選：B

例4-3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知點。是AABC內(nèi)的一點，若ABOCAAOCAAOB的面積

分別記為51,$2，邑，則￡?次+$2?礪+$3?云."奔馳定理"是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這

個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為"奔馳定理”.如圖，已知。是AABC的垂心，

S.OA+2OB+3OC=0>貝!JcosC=（）

BC

3MnM

D.-----------C.半

1010

解題

技巧點撥o

【詳解】延長co交A3于點P,

?.?O是AABC的垂心，：.OP±AB,

Sj:S2=^-OC-BP^:(^-OC-AP

=BP:AP=(OPtanAPOB):(OPtanZPOA)=tan/COB:tanZCOA=tan(?-A):tan(?—B)=tanA:tanB.

同理可得H：S3=tanA:tanC,Sl:S2:S3=tanA:tan3:tanC.

又西+S2?礪+s衣=d,

tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

y.OA+2OB+3OC=0,

/.tanA:tanB:tanC=l:2:3.

不妨設(shè)tanA=k,tanB=2k,tanC=3Z:,其中左w0.

tanB+tanC

tanA=-tan(B+C)=-

1-tanBtanC

2k+3k_

解得無=±L

i-2k-3k

當(dāng)上=一1時，止匕時tanA<O,tanB<O,tanC<。，則A,B,C都是鈍角，不合題意，舍掉.

故左=1,則tanC=3>0,故C為銳角，

sinC_3I—

團<cosC，解得cosC=，

sin2C+cos2C=l10

故選：B.

BC

你來練?知識遷移強化

1.（2023春?上海長寧?高三上海市延安中學(xué)?？计谀┤?。是AABC內(nèi)一點，麗+無+能=6,則。是AABC

的（）

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

【答案】D

【分析】利用向量的加法法則，結(jié)合重心定義判斷作答.

【詳解】取線段AB的中點D,連接O。，則函+礪=2詼，而赤+歷+元=0，

因此前=29，即C,。,。三點共線，線段CO是“LBC的中線，且。是靠近中點。的三等分點，

所以。是AABC的重心.

故選：D

2.（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）在AABC中，若麗.麗=麗.成=亞.而，則點反是融（7的（）

A.垂心B,重心C.內(nèi)心D.外心

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的運算結(jié)合向量垂直分析判斷.

uumzuunuuur、uunuu

【詳解】因為麗.麗=麗.配，貝

所以潴，力，即點”在邊C4的高線所在直線上，

ULULUULUUU1UUU

同理可得：HALCB,HC±AB,

所以點H為AABC的三條高線的交點，即點H是AABC的垂心.

故選：A.

3.（2023春?湖南株洲?高三炎陵縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）（多選）如圖.P為AABC內(nèi)任意一點，角A,B,C的

對邊分別為。涉,C,總有優(yōu)美等式SgBC兩+S.MC麗+S.定=0成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又

稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（）

A.若P是"WC的重心，貝!]有西+而+定=6

B.若°西+6萬+c無=。成立，則尸是AABC的內(nèi)心

—.2—?1—?

C.若AP=gAB+yAC,則以神：S%c=2:5

D.若尸是AABC的外心，A：；,PA=mPB+nPC>則根+〃e[-0,1)

【答案】AB

【分析】對于A：利用重心的性質(zhì)〃「尤二^△PAC~，代入SLPBCPA+SMCPB+SLPABPC=。即可；

對于B：利用三角形的面積公式結(jié)合S△L4D\^麗+S△1MZICV-麗+S卸iiD元=0與。麗+6而+C玄=0可知點P到

AB、BC、CA的距離相等.

對于C：利用Z反市!將麗、麗正表示出來，代入S/BC麗+S/AC而+化簡即可表示出

SAPBC、S4PAC、的關(guān)系式,用S/A8將S^ABP、SAABC表示出來即可得處其比值.

對于D：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將耳=加麗+〃定兩邊平方，化簡可得加2+〃2=1,結(jié)合

m、孔的取值范圍可得出答案.

【詳解】對于A：如圖所示：因為。、E、尸分別為C4、AB.的中點，

1?1

所以CP=2PE\S.c=5SAA5C，SAAPC=耳5?笈=§5金「

同理可得=§SAA6C、S^BPC=個aBC,

所以S4PBC=SAPA(J-S&PAB，

又因為s△詠蘇+5,C麗+S.定=0,

UUUULULmI

所以P4+P3+PC=O.正確；

A

對于B：記點P到鉆、BC、C4的距離分別為4、為、4,S^PBC=^a-h2,SAPAC=~b-h3,S^PAB=^c-hl,

因為耳

SA-<D\->△廠/U+sPACP△「B/!￡)+SPABPC=6,

1—.1—.1—._

則?4.PA+lb-a.PB+DL/vPCuO,

即麗+Z??"而+c?4斤="

又因為而+c定=0，所以4=用=",所以點尸是AABC的內(nèi)心，正確;

—.2—?1-?

對于C：因為+

__2__,i__,__.__.__.3__.i__.

所以西k=—二荏_《蔗，所以麗二再+初二,礪一^^，

__.__.__,2__-4—?

所以尸C=PA+AC=—gAB+yAC,

所以S，mc［_|荏一］六)+S“AC1|通一:*)+SvAB(_g通+［回=0,

(232_J_q_Aq+-S

化簡得：［-gS&PBC+~SAPAC-~^PAB

A5Q4PBC50APACT50APAB=0,

又因為蘇起不共線,

「

__2q32

504PBe+J\PAC:,所以［尸=;2

所以■

114Sn,c=2Sn.n

__c__q1S=Q〔△尸AC八*楨

5"PBC5°APAC+MB

qq

所以"ASP°APAB二~,錯誤;

qq_i_Q_i_c

"△ABC24PBe丁0APAC丁

對于D：因為P是4WC的外心，A=:,所以N3尸C=］J西|=|而|二］京J,

所以而.定二|而WMXCOSN5PC=0,

因為西=mPB+nPC，貝”而(=m2|PB|2+2mnPB.PC+n2|pc|2,

化簡得：m2+n2=b由題意知相、〃同時為負(fù),

\m=cosa嗚，

記.7i<a<—9則根+〃=coser+siner=垃sin

n=sma2

._.、t57r7t77r一廣.~.（JU?J2

因為二-＜二+：＜二，所以v一IWsin。+—＜----，

444I2

所以一2V0sin（a+；）＜—l,

所以加+〃￡卜夜,一l）,錯誤.

故答案為：AB.

技法05范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧

需高=?常見題型解讀

平面向量中的范圍與最值范圍問題是向量問題中的命題熱點和重難點，綜合性強，體現(xiàn)了高考在知

識點交匯處命題的思想，常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活。

基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，"比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范

圍的等，在復(fù)習(xí)過程中要注重對基本方法的訓(xùn)練，把握好類型題的一般解法。本講內(nèi)容難度較大，需要

綜合學(xué)習(xí)。

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例5-1.（浙江?高考真題）已知。，B是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量1滿足（1-必?由-3=0,

則同的最大值是

D.@

A.1B.2

2

技巧點撥o

【詳解】試題分析：由于垂直,不妨設(shè)4=11：0I，賴=舸：@，公二屈面,則蟠-￡；=/；,-：］」孫

6-c=(xy-lI

（。一。）13-。）=/+丁-x-j=O，口=牝般'”表示（xy）到原點IQO.I的距離，x，+/-x-j=0表

示圓心坐為半徑的圓，因此口的最大值w，故答案為c.

例5-2.（四川?高考真題）在平面內(nèi)，定點A,B,C,D滿足|麗=|麗H成詼.麗=麗.反=反?方=-

2,動點P,M滿足畫=1,PM=MC，則|前■『的最大值是

△43R4937+67337+2屈

A.--b.—C.--------

4444

解題

技巧點撥o

【詳解】試題分析：由已知易得/"＞。=44。3=/8。。=120。,|次|=口可=|明=2.以0為原點，直線ZM

為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則4（2,0）,網(wǎng)-1,-⑹,。卜1,⑹.設(shè)尸（x,y）,由已知網(wǎng)=1,得

6-2『+丁=1,又麗=祝,[一,W],.?.加=[U，2±|^[

（22）122J

.?J加『=（x+l『+（y+3若），它表示圓（X-2）2+丁=1上的點（X,y）與點卜1,-3右）的距離的平方的;，

??,（M）max=；『+卜⑹叫=?,故選B.

例5-3.（