2024-2025學(xué)年北京朝陽(yáng)區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2025北京朝陽(yáng)高三(上)期末

數(shù)學(xué)

2025.1

(考試時(shí)間120分鐘滿分150分)

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

(1)己知全集[7=｛彳]-2.天.2｝，集合A=｛尤[0<x<l｝,則=

(A)[-2,0)(B)[-2,0)U(l,2]

(C)[1,2](D)[-2,0]U[l,2]

(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i(l+i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

(3)已知拋物線C:/=2力(p>0).若其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

(A)(-2,0)(B)(1,0)(C)(2,0)(D)(4,0)

(4)函數(shù)y=2sin(2%+—)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是

6

ITJTJTTT

(A)(--,0)(B)(--,0)(C)(―,0)(D)(-,0)

126126

(5)“%>”>1”是的

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

(6)已知圓C：/+9=9,過點(diǎn)M(l,2)的直線/與圓C交于A,反當(dāng)同同取最小值時(shí)，直線/的方程為

(A)x=l(B)x-2y=0(C)x+2y-5=0(D)x+2y-3=0

(7)沙漏是一種古代計(jì)時(shí)儀器.如圖，某沙漏由上下兩個(gè)相同圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm,細(xì)

沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的2,則這些細(xì)沙的體積為

3

(A)—兀cm3(B)——7icm3(C)8兀cm3(D)——兀cm3

333

f2"+1-THxW0

(8)若函數(shù)/(x)=,z'/恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

[(X-1)Inx,x>0

(A)(-2,-1)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(1,2]

(9)“三分損益法”是古代中國(guó)發(fā)明制定音律時(shí)所用的方法，現(xiàn)有一古琴是以一根確定長(zhǎng)度的琴弦為基準(zhǔn),

第二根琴弦的長(zhǎng)度是第一根琴弦長(zhǎng)度的2,第三根琴弦的長(zhǎng)度是第二根琴弦的長(zhǎng)度的d,第四根琴

33

弦的長(zhǎng)度是第三根琴弦長(zhǎng)度的2,第五根琴弦的長(zhǎng)度是第四根琴弦的3.琴弦越短，發(fā)出的聲音音

33

調(diào)越高，這五根琴弦發(fā)出的聲音按音調(diào)由低到高分別稱為“宮、商、角、徵、羽”，則“宮”與“角”所

對(duì)琴弦長(zhǎng)度之比為

（A）3（B）1（C）-（D）迎

272864

（10）設(shè)｛。“｝是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)發(fā)使得對(duì)任意weN*,均有見+《＜4,則稱｛%｝是間隔遞減數(shù)列,

其中左稱為數(shù)列伍“｝的間隔數(shù).給出下列三個(gè)結(jié)論：

①若q==,則｛4｝是間隔遞減數(shù)列；

n

②若為=〃（_2）向，則｛2｝是間隔遞減數(shù)列；

③若%=-]+sin〃，則｛4｝是間隔遞減數(shù)列且｛%｝的間隔數(shù)的最小值是4，

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

（A）①（B）①③（C）②③（D）①②③

第二部分（非選擇題共no分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

（11）在（2-尤）4的展開式中,x的系數(shù)為一.（用數(shù)字作答）

（12）雙曲線C:二-丁=1的漸近線方程是.設(shè)6，工是雙曲線c的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在雙曲線C上，

4

且閥|=3,則|尸用=—.

（13）使不等式cos夕＞sing＞tan。成立的一個(gè)夕的值是.

（14）己知。為AMC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足）+赤+反=0，且網(wǎng)=2,網(wǎng)=3,兇=4，設(shè)夕為

麗麗的夾角，貝Ucos6=—；OA-OB+OA.OC=——■

（15）棱長(zhǎng)為1的正方體AB8-44GA中，點(diǎn)E在線段AG上（不與4c重合），EFLAC于歹，

FGJLBC于G,以下四個(gè)結(jié)論：

①BC_L平面EFG；

②線段EF與線段FG的長(zhǎng)度之和為定值；

③△EFG面積的最大值為!；

4

④線段EG長(zhǎng)度的最小值為變；

2

其中所有正確的結(jié)論的序號(hào)是—.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

（16）（本小題13分）

在△ABC中，asin2C=csinA.

（I）求NC；

（II）若c=77,再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在，求4

ABC的面積.

條件①：a+b-4；條件②：sinB-sinA=A/3;條件③：cosA=——

14

注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按

第一個(gè)解答計(jì)分.

（17）（本小題14分）

隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融入我們的日常生活，在教育領(lǐng)域，AI的賦能潛力巨大.為

了解教師對(duì)AI大模型使用情況，現(xiàn)從某地區(qū)隨機(jī)抽取了200名教師，對(duì)使用A、B、C、D四種AI大模型

的情況統(tǒng)計(jì)如下：

大模型的種數(shù)

01234

男427231610

女648272415

在上述樣本所有使用3種AI大模型的40人中，統(tǒng)計(jì)彳吏用A、B、C、D的AI大力嗔型人次如下

AI大模型種類ABCD

人次32303028

用頻率估計(jì)概率.

（I）從該地區(qū)教師中隨機(jī)選取一人，估計(jì)至少使用兩種AI大模型（A、B、C、D中）的概率；

（II）從該地區(qū)使用3種AI大模型（A、B、C、D中）的教師中，隨機(jī)選出3人，記使用B的有X人，

求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX;

（III）從該地區(qū)男、女教師中各隨機(jī)選一人，記他們使用AI大模型（A、B、C、D中）的種數(shù)分別為

Z,比較y,Z的數(shù)學(xué)期望的大小.（結(jié)論不要求證明）

(18)(本小題15分)

如圖，在五面體A5CDPQ中，p￡>_L平面ABCD,AD±CD,AB//CD,PQ//CD,AD^CD=DP=4,

AB=3.E,G分別為8。，AP的中點(diǎn)，連接DG,EG,CE.

(I)求證：AP_L平面DCE；

(II)求直線CP與平面DCE所成角的正弦值；

(III)線段BC上是否存在點(diǎn)M,使得CP〃平面DGM?若存在,

求萼的值；若不存在，說明理由.

BC

(19)(本小題13分)

已知函數(shù)“無)==(x>0),其中“是常數(shù),

e

(I)當(dāng)〃=o時(shí)，求曲線y=/(x)在(1,/⑴)處的切線方程;

(II)求/(X)的極值.

(20)(本小題15分)

已知橢圓E:m+A=1(。>6>0)的離心率為顯,右頂點(diǎn)為(2,0).

a2b23

(I)求橢圓E1的方程；

(II)過原點(diǎn)。且與V軸不重合的直線/與橢圓E交于M,N兩點(diǎn).已知點(diǎn)尸(0,2),直線尸與橢圓E

的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,3.求證：直線AB過定點(diǎn).

（21）（本小題15分）

已知無窮數(shù)列｛%｝,給定正整數(shù)加，若數(shù)列｛。.｝滿足以下兩個(gè)性質(zhì)，則稱｛4｝為4數(shù)列:

①qeN*；②。同=另

I2

（I）已知｛。"｝和｛〃｝分別為外數(shù)列和A數(shù)列，且4=8,4=10,求知和d；

（II）已知正整數(shù)數(shù)列｛。"｝是pm數(shù)列.

（i）無窮數(shù)列｛g｝滿足C,=詈且C”為奇數(shù)，其中4,eN,證明：對(duì)于任意的“eN*，c?<2m；

（ii）求滿足條件的加，并寫出與加對(duì)應(yīng)的4的所有可能取值.

（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

(1)D(2)B(3)C(4)A(5)A

(6)C(7)B(8)D(9)D(10)B

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

(11)-32(12)y=±lx;7(13)里(答案不唯一)

24

(14)i;-4(15)①②④

4

三、解答題(共6小題，共85分)

(16)(本小題13分)

解：(I)因?yàn)閍sin2C=csinA,

所以2。sinCcosC=csinA.

所以2sinAsinCcosC=sinCsinA.

又sinAw0,sinCw0,

所以cosC=L

2

又OCCVTI,

所以c=1......................................................................5分

(II)選條件①：

根據(jù)余弦定理有/?2+a2—2a6cosC=7,貝1Jb2a2—ab=7-

又a+〃=4,則/+/+2Q/?=16.

[a=3[a=l

兩式相減，解得奶=3.可得八[或者L公

W=1[b=3.

所以S4ABe=(absinC=gxlx3xsin；=^^.

選擇條件③：因?yàn)閏osA=&互且Ae(O,n),所以sinA=@.

1414

BA/21

?4A/7x-----

由正弦定理可知a=_產(chǎn)=i.

sinCv3

~2

XsinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=—x-+^x—=

14214214

所以LBc=9csin2=；xlx近x*L空.................13分

(17)(本小題14分)

(I)記事件又為“從該地區(qū)教師中隨機(jī)選取一人，至少使用兩種AI大模型”，

則P(M)估計(jì)為50+40+25=里.........4分

20040

(II)記事件N為“從該地區(qū)使用3種AI大模型的40名教師中隨機(jī)選1人，該人使用模型B”，根據(jù)題中

303

數(shù)據(jù),P(N)可以估計(jì)為

404

X的可能取值為0,1,2,3,

P(X=0)=*)3=:,

310

P(X=l)=C*(-)(-)2=-，

3177

P(X=2)=C；(-)2(-)=—,

4464

P(X=3)=%y*.

X的分布列為

X0123

P192727

64646464

1927279

EX=0X——+1X——+2X——+3X——=—...............11分

646464644

(III)EY>EZ................14分

(18)(本小題15分》

(I)因?yàn)镻D_L平面ABCD,CE>u平面A3CD,所以尸D_LCD.

又因?yàn)镃D_LAD,AZ)nPD=。，

所以CD_L平面Q4T).

又APu平面

所以CD_LAP.

又因?yàn)槿恕?。尸,G為線段"的中點(diǎn)，所以APJ.DG.

因?yàn)镻QHCD*ABUCD,

所以「?！ˋ3.

因?yàn)镋,G分別為3。，”的中點(diǎn)，所以EG〃AB.

又CDHAB,所以EG〃CD.

即C,Z),G,E四點(diǎn)共面.

又GDnDG=0,OGu平面“E,CDu平面DCE,

所以APL平面。CE............6分

因?yàn)槠矫鍭BCD,所以PDLAZZPDLOC

又AD，CD所以D4,DC,DP兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

于是4(4,0,0),3(4,3,0),C(0,4,0),尸(0,0,4)

可得?=(T,0,4)，CP=(0,-4,4).

由(I)可得APJ_平面。CE.

所以平面DCE的一個(gè)法向量為AP=(-4,0,4).

設(shè)直線CP與平面DCE所成角為6,則有

IAP.CPI(-4)x0+0x(-4)+4x4

sin6=|cos<AP,CP>|=

\AP\\CP\，(-4)2+02+42府+(-4)2+4,2

則直線CP與平面2所成角的正弦值為;.………11分

(III)

設(shè)M是線段上的一點(diǎn)，則存在44。,1]使加=4而.

品=(一4,1,0),從而屈=瓦+2元=(4一42,3+40).

由點(diǎn)AP的坐標(biāo)可得礪=(2,0,2).

設(shè)平面DGM的法向量為〃=(尤,y,z)

\n.DM=Q[(4-4A)x+(3+A)y=0,

則有■{―.，即"cC

n.DG=012x+2z=0.

令x=3+2,則法向量為”=(3+44/1-4,-3-/1).

令".存=0,BP-4(42-4)+4(-3-2)=0,解得彳=：.

此時(shí)nlCP,又顯然有CPZ平面DGM，從而CP〃平面DGM.

所以，線段3C上存在點(diǎn)使得CP〃平面DGM,此時(shí)整=1.

BC5

....................15分

(19)(本小題13分)

解:(I)當(dāng)〃=0時(shí)，〃尤)=工，

e

所以/'(%)=—口.

e

所以/⑴=-1,又/⑴=1.

所以曲線y=/(x)在(1,/(D)處的切線方程為

y-l=-(%-l),BPx+y-2-0........5分

(II)依題意，xe(O,+w).

(1)當(dāng)〃=0時(shí)，由(I)可知尸(幻=-3<0,

e

所以/(%)在(。,叱)上單調(diào)遞減，/(%)無極值.

(2)當(dāng)“WO(〃eZ)時(shí)，/'(?=-''；」‘x"‘("一無)，

exex

(i)當(dāng)〃v0(HGZ)時(shí)，/'(X)<0,

所以/(%)在(。，叱)上單調(diào)遞減，所以r(x)無極值.

(ii)當(dāng)〃>0(neZ)時(shí)，

X￡(O,〃)時(shí)，r(x)>0,/(X)在(0,〃)上單調(diào)遞增，

x￡(H,+O))時(shí),f(x)<0,f(x)在5,y)上單調(diào)遞減.

所以尤="時(shí)，/(尤)取極大值/(〃)=各，/(尤)無極小值.

綜上，當(dāng)“WO(”eZ)時(shí)，/(X)無極值；當(dāng)〃>0(neZ)時(shí)，/(>)有極大值無極

小值.........15分

(20)(本小題15分)

(I)由題意可得“；

a=2,

a2=b2+c2,

a=2,

解得2A

b=------.

[3

x23V2

所以橢圓E的方程為工+2=1....................5分

44

(II)設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)，則NEC。)，且年+3升=4,尤°W0?

直線PM:y-2=^Jl^(x_0),gpy=+

%-0x0

y=生心x+25

由，x2

o得(/2+3(%-2)2)%2+12%0(I)70—2)x+8x0=0-

%2+3y2=4

所以X。?4=

X；+3(%-2)2-4-3%

所以2F

修貓+%-2%2.%+2=4-4%

所以％=2=

無。4-3%4-3%

所以4上一4-4%、

4-3%4-3%

4+4%4-4%

依題意x.f,所以心="f=4：3%4：3%=一見.

xB-xA-2x02x02x0

4+3%4-3%

所以直線他的方程為尸,一月「卓；）.

整理得y=』x+L

2%

所以直線AB過定點(diǎn)（0,1）.....................................15分

（21）（本小題15分）

母=%=域+；

（I）根據(jù)巴數(shù)列的定義可知：4=8,%=?=4,a3=2,22=8

hh33

根據(jù)巴數(shù)列的定義可知：4=1。,b=—=5Z?=Z?2+23=33,b=—=一；分

2293422

（ID（i）假設(shè)結(jié)論不成立，不妨設(shè)，（i￡N*）為滿足q...2”且使得4最小的某個(gè)整數(shù).

由4…c,22",可知aM=,因?yàn)閏,,cM是奇數(shù)，

從而G+i=G，q+i...2"',且4+i=4-1<4,這與4最小性矛盾，

所以對(duì)于任意