2024-2025學(xué)年河南省高二年級(jí)上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河南省高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題

1.已知直線/的傾斜角為亍，且/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,2),貝I"的方程為()

A.x+y+3=0B.x+y-l=0

C.2%->+4=0D.2x+y=0

2.在空間直角坐標(biāo)系中，直線/過(guò)點(diǎn)N(l,0T)且以1=(3,2,4)為方向向量，為直線

/上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)”的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是()

x-1yz+1x+1yz-1

A.-----———------B.------=——------

234324

x-1yz+1x-\yz+1

C.-----=-=------D.------=——=------

324243

3.若圓C過(guò)尸(1,4),。(3,4)兩點(diǎn)，則當(dāng)圓C的半徑最小時(shí)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x-2)12+(j-4)2=4B.(X+2)2+(J+4)2=1

C.(X+2)2+(J+4)2=4D.(x-2)2+(y-4)2=l

4.在四面體/8C。中，M為棱CD的中點(diǎn)，E為線段的中點(diǎn)，若礪灰?+6而+c說(shuō),

則￡=()

a

1

A.-B.1C.2D.3

2

5.若直線/：公-"-4=0與圓。：/+r=4相離，則點(diǎn)尸(。㈤()

A.在圓。外B.在圓。內(nèi)

C.在圓。上D.位置不確定

6.已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(2,1),且與圓C：(x+l『+(y-2)2=9相交于A,3兩點(diǎn)，若|/同=2,

則直線/的方程為()

A.x-y-1=0或7x+y-15=0B.1一2歹=0或7%+＞一15=0

C.4%+3》-11=0或3x+4)-10二0D.4X一3?-5=0或3%-4歹一2=0

7.曲線x2+/=4|x|+43的周長(zhǎng)為()

A.4后兀B.87271C.1271D.16兀

8.如圖，在多面體石廠-45CZ)中，底面/BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，M為底面45CD內(nèi)的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），底面NBCAC尸，底面ABC。，且/E=CF=2,則施.赤的

最小值與最大值分別為（）

C.1,557

D.

212

二、多選題

9.若｛ZU｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）

A.a?b，a+cB.否一2c,c-2a2tz-—i

———————j-j-j-—?—?—?—?

C.q-b，b-c9c-b-aD.b-a-c，。-2〃+2b，c

10.已知直線/的方程為-a=0,M（l,T）,N（3,3）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)〃不可能在直線/上

B.直線/恒過(guò)點(diǎn)（1,0）

C.若點(diǎn)到直線/的距離相等，則。=2

D.直線/上恒存在點(diǎn)。，滿足匹?施=0

11.如圖，在三棱錐/-8CD中，AD_L3（7,48_L平面BCD,AB=BC=BD=2,E,F,G,

以分別為48,BD,BC,CD的中點(diǎn)，W是E尸的中點(diǎn)，N是線段G8上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.存在。>0,b>0,^.^GM=aGH+bGE

B.不存在點(diǎn)M,N,使得MN工EH

C.的最小值為三

D.異面直線4G與跖所成角的余弦值為巫

5

三、填空題

12.在空間直角坐標(biāo)系。中z中，點(diǎn)外。,0,26-3)與。(0,0,6)關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則點(diǎn)0的坐標(biāo)

為.

13.若圓C:(x-2y+(y-1)2=1關(guān)于直線ax+2勿+2=0對(duì)稱，則點(diǎn)(。,6)與圓心C的距離的

最小值是.

14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的

比為常數(shù)2(421)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)/(-7,0),B為直

線/：2x+y+3=0上的動(dòng)點(diǎn)，尸為圓C：(》-2『+y=9上的動(dòng)點(diǎn)，則|尸/卜3戶理的最小值

為.

四、解答題

15.已知圓C的圓心在直線y=2x和直線2x+y-4=0的交點(diǎn)上，且圓C過(guò)點(diǎn)(-1,1).

⑴求圓C的方程；

⑵若圓3的方程為x2+/-4x+4y+3=0,判斷圓8與圓C的位置關(guān)系.

16.如圖，在四棱錐尸中，四邊形N3C。是矩形，

PA=AB=2,AD=4,PB=2?,PD=2^,N為CD的中點(diǎn).

(1)證明：PALBN；

(2)求直線AB與平面PBN所成角的正弦值.

17.已知直線/.尤-y-l=0

(1)若直線機(jī)與/.平行，且見(jiàn)/之間的距離為20，求機(jī)的方程；

(2)尸為/上一點(diǎn)，點(diǎn)M。,-2),N(2,6),求忸取得最大值時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

18.如圖，在斜三棱柱N3C-4片G中，平面N4GC，平面是邊長(zhǎng)為2的等邊三

—■1--

角形，/4=4。,。為么(^的中點(diǎn)，且4。=2,。為4c的中點(diǎn)，E為4D的中點(diǎn)，BF=-BB..

(1)設(shè)向量￡為平面4BC的法向量，證明：EF-a=O\

(2)求點(diǎn)A到平面BCD的距離；

(3)求平面BCD與平面BXDC夾角的余弦值.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，定義〃(48)=11^｛卜-工2|，|M-%|｝為兩點(diǎn)/(七,%),8卜2，力)的“切

比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)尸及直線/上任意一點(diǎn)。，稱"(2。)的最小值為點(diǎn)尸至IJ/的“切比雪夫距

離”，記作d(PJ).

⑴已知點(diǎn)尸(1,1)和點(diǎn)火(-1,4),直線=求或尸,夫)和3(尸,/).

⑵已知圓C:x2+y2-2x-3=(^/E:(x-a)2+|j-a+￡|嚀.

①若兩圓心的切比雪夫距離d(C,E)=；,判斷圓C和圓E的位置關(guān)系；

②若。＞0,圓E與無(wú)軸交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)”在圓C外，且d(M,N)=3,過(guò)點(diǎn)M任作一

條斜率不為0的直線與圓C交于48兩點(diǎn)，記直線/N為3直線BN為人,證

明N（AfJi）=d（MJ2）

答案:

題號(hào)12345678910

答案BCDCBABABDABD

題號(hào)11

答案BCD

1.B

【分析】先求出直線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得直線方程.

3兀

【詳解】由題意，直線/的斜率為tan==-1,

4

又過(guò)點(diǎn)(-1,2),故其方程為k2=-。+1),即x+y-1=0.

故選：B.

2.C

【分析】求出向量/7,再利用空間向量共線的充要條件列式判斷即得.

【詳解】依題意，AM=(x-1,z+1),AMI/口,則一~—=^=-1，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是三工=9”.

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)給定條件，求出以尸。為直徑的圓的方程即可.

【詳解】依題意，線段P。的中點(diǎn)⑵4),1尸。|=2,

圓C過(guò)尸(1,4),。(3,4)兩點(diǎn)，當(dāng)圓C的半徑最小時(shí)，線段?。為圓C的直徑,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-";I.

故選：D

4.C

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】如圖，

A

—(,"—,,—1-----?—?1/-----?—(,\—(■1/—,,----->,\1—1,

BE=BA+AE=BA+-AM=BA+-^BM-BA^=BA+-^BD+DMj--BA

1—1-1——,1—1—.11?1—1—.1.——一1>1—-1一

=-BA+-BD+-DM=-BA+-BD+——DC=-BA+SD+-BC-BD>-BC+-BD+-BA,

2222222224442

又BE=aBC+bBD+cBA，

所以。m,哈2.

故選：c

5.B

【分析】利用點(diǎn)線距離公式及。到"-4=0的距離〃>2,即可判斷點(diǎn)與圓位置關(guān)系.

4

【詳解】由題意,。至lj/:ax-"一4=0的星巨離d=>2,即/+加<4,

Va2+b2

所以尸(a,6)在在圓。內(nèi).

故選：B

6.A

【分析】根據(jù)弦長(zhǎng)|/切=2,利用垂徑定理求出圓心到直線的距離d.然后分直線斜率存在與不

存在兩種情況來(lái)求直線I的方程.

【詳解】已知弦長(zhǎng)M切=2,半徑尸=3.根據(jù)垂徑定理知圓心到直線的距離為d=

把廠=3,M*=2代入可得］=囪=1=2逝.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/方程為x=2,此時(shí)圓心C(-l,2)到直線x=2的距離為

2-(-l)=3^2V2,

所以直線/斜率不存在時(shí)不滿足條件.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為>-1=后(尤-2),即h-尸24+1=0.

根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，由圓心C(-1,2)到直線kx-y-2k+\=0的距離d=2行,

可得—”常”=2也.對(duì)個(gè)m=2行進(jìn)行求解.

，左+17k+\

兩邊平方得(缺+1)2=8,展開(kāi)得9r+64+1=8/+8.解得左=1或左=-7.

k2+l

當(dāng)左=1時(shí)，直線/的方程為N-l=x-2,即x-y-l=O.

當(dāng)左=一7時(shí)，直線/的方程為歹一1二一7(%—2),即7'+>—15=0.

故選：A.

7.B

【分析】分類討論寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，畫出圖得出結(jié)論.

(x-2)2+(y-2)2=8(%>O,7>0)

(x+2)2+(y-2)2=8(x(0,j)0)

【詳解】曲線一+/4k|+4回=<

(X+2)2+(J+2)2=8(X<0,J<0)

(x-2)~+(y+2)~=8(x>0,y<0)

曲線的圖像如圖所示:

該圖是以四個(gè)點(diǎn)為圓心，半徑為2夜的四個(gè)半圓，所以該圖的周長(zhǎng)

為.4x11x2近=8^2?1

故選：B

8.A

【分析】由題意可得4瓦/E兩兩垂直，所以以所在的直線分別為x,%z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，設(shè)"(a,6,0)(04〃41,04旬，然后表示出血.赤化簡(jiǎn)可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?E_L底面4BCD,4D,48u平面ABCA,

所以/E_L_LA8,

因?yàn)樗倪呅?BCD為正方形，所以

所以兩兩垂直，

所以以/尻/E所在的直線分別為xj,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則E(0,0,2),尸(1,1,2),

^M(a,b,0)(0<a<1,0<b<1),則荻=(一見(jiàn)一6,2),赤=(1一見(jiàn)1一6,2),

所以血.加一儀1一位+4=?-a+3-b+4

因?yàn)?VaVl,0V6Vl,

I__,__.7

所以當(dāng)時(shí)，ME.取得最小值'；

當(dāng)。=0或1,6=0或1時(shí)，施.礪取得最大值4.

故選：A

9.BD

【分析】根據(jù)給定條件，利用共面向量定理逐項(xiàng)判斷即得.

【詳解】由｛“[[｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底，得向量￡,瓦工不共面，

對(duì)于A,若向量a,b?共面，則存在實(shí)數(shù)對(duì)使得￡+"=%￡+4九

即C=(4-1)Q+〃B,則向量共面，矛盾，3，b,Q+C不共面，A不是；

對(duì)于C,由2〃一53二一(。一24)-5(5一2(?),得B—2c，c-2a2。—^3共面，B是；

對(duì)于C,若a-b，b-c,c-6-“共面，則存在實(shí)數(shù)對(duì)使得c-6-a=b)+y(b-c),

x=-\

于是<-x+y=-l,此方程組無(wú)解，向量]_g,g二，)一石―￡不共面，C不是；

一>=1

對(duì)于D,由c-2a+2b=2(6—a-c}+3c>得向重6—0—c，c-2a+2b<c共面，D是.

故選：BD

10.ABD

【分析】當(dāng)尤=1時(shí)y=0,即可判斷A；將線/方程可化為y=a(x-l),即可判斷B；利用點(diǎn)線

的距離公式計(jì)算即可判斷C；利用平面向量的坐標(biāo)表示求出點(diǎn)。的軌跡方程，證明點(diǎn)(1,0)在

圓的內(nèi)部即可判斷D.

【詳解】A：當(dāng)x=l時(shí)，y=0,所以點(diǎn)M不可能在直線/上，故A正確；

B：直線/方程可化為>所以直線/恒過(guò)定點(diǎn)(1,0),故B正確；

C：因?yàn)辄c(diǎn)到直線/的距離相等，所以匕力」=一~,解得。=1或2,故c錯(cuò)誤；

vCl+1yCl+1

D：設(shè)貝!］也=(x-l,y+l),而=(x-3,y-3),

所以西液=d)(x-3)+(y+l)&-3)=0,

整理得(x-2>+(y-l)2=5,即點(diǎn)。的軌跡方程為(》-2尸+3-1)2=5.

又直線/恒過(guò)定點(diǎn)(L0),且(1-2)2+(0.1)2<5,所以點(diǎn)(1,0)在圓的內(nèi)部，

所以直線/與圓(x-2)2+(y-l)2=5恒有公共點(diǎn)，

即直線/上恒存在點(diǎn)。，滿足麗?而=0,故D正確.

故選：ABD

11.BCD

【分析】以點(diǎn)3為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.

【詳解】在三棱錐/-BCD中，平面BCD,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則G(l,0,0),77(1,1,0),E(0,0,1),M(0,1,1),F(0,1,0),^(0,0,2),

■11一一

GM==(0,1,0),GE=(-1,0,1),

對(duì)于A,^GM=aGH+bGE^得(-1],；)=。(0,1,0)+6(-1,0,1),

—b=—1

則，方程無(wú)解，因此不存在。、6使得的麗+6屈，A錯(cuò)誤；

b=-

12

----I1_.

對(duì)于B,由N是線段G8上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)陽(yáng)1,/,0)(04/41),則加=(1,/-5，-5),EH=Q』T),

-------11

由MV-￡"=1+/-—+—=1+/>0,則不存在點(diǎn)N,使得MN上EH,B正確；

22

對(duì)于C,\MN\=^+(t-^)2>^-,當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)取等號(hào)，C正確；

.—?—..——?—?2V10

對(duì)于D,4G=(1,0,—2),￡尸=(0,1,—1),則cos〈/G,￡尸〉=-r~r=^—,

<5x<25

所以異面直線4G與此所成角的余弦值為亞，D正確.

5

故選：BCD

12.(0,0,1)

【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)稱性列式計(jì)算得解.

【詳解】依題意，20=0,36-3=0,解得°=0,6=1,

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,0,1).

故(0,0,1)

13.272

【分析】根據(jù)題意得到。+6+1=0,再利用數(shù)形結(jié)合思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線。+6+1=0

的距離.

【詳解】由題意可知直線經(jīng)過(guò)圓心，所以2。+26+2=0,即a+6+l=0,

點(diǎn)(。,b)到圓心距離最小值就是圓心到直線a+b+l=0的距離的最小值，

又圓心至U直線。+6+1=0的距離d=I；"=2近.

故2女

14.375

【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義可設(shè)渴=3,利用待定系數(shù)法得。的坐標(biāo)為(1,0),即可根

據(jù)三點(diǎn)共線，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】令網(wǎng)=3陷則徐=3,

依題意，圓C:(X-2)2+丁=9是由點(diǎn)A,。確定的阿波羅尼斯圓，且4=3,

7

設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為。(加,")，則篇七，二D=3,

整理得…-手^*歸產(chǎn)，而該圓的方程為C:x"-4x=5

m=1

,解得〃=0,點(diǎn)。的坐標(biāo)為。(1,。),

2+3

因此照|+3陷|=3即|+3附23M當(dāng)助，/時(shí)，|D8|最小，最小值為后弄

所以當(dāng)助口時(shí)，|尸園+3|尸目的值最小為30.

故3指

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)|尸/|+3]因的形式,設(shè)附=3附則鼠=3,利用阿波羅尼斯圓的定義

待定出點(diǎn)。(1,0),即可利用點(diǎn)到直線的距離求解.

15.(l)(x-l)2+(y-2)2=5

(2)圓C與圓3相交.

【分析】(1)先求出兩直線的交點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可求解；

(2)由題意知3的圓心為3(2,-2),半徑括，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系即可下結(jié)論.

[T?—2x\—1

【詳解】⑴由二y_4=0'得012'即圓心坐標(biāo)為(L2).

，圓C的方程為(x-iy+(y-2)2=5.

(2)由(1)知，圓C的圓心為C(l,2),半徑外=石\

圓8的方程x?+y2-4x+4v+3=0可化為(x-2)2+0+2)2=5,

則圓B的圓心為8(2,-2),半徑4=石.

■：\CB\=2)2+(2+2)2=后,

二.0="一馬<|Cfi|<外+馬=26，

.,?圓。與圓3相交.

16.(1)證明見(jiàn)解析

(八4后

33

【分析】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定逆定理可證得尸PALAB,然后利用線面垂

直的判定定理得尸4,平面/BCD,再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；

(2)由題意可得/民40,4?兩兩垂直，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線N3,4D,4P分別為x軸J

軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【詳解】(1)證明：?.?24=2,尸。=2右,40=4,

.-.PD2=PA2+AD2，

PA1AD.

PA=AB=2,PB=2yf2,

PB2=PA2+AB\

:.PALAB.

■：ABcAD=A,AB,ADu平面ABCD,

PA1平面ABCD,

又BNu平面4BCD,

:.PALBN.

(2)解：?四邊形NBC。是矩形，

平面/BCD,/民ADu平面ABC。，

:.PAVAB,PAVAD,

所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/及分別為無(wú)軸J軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則1(0,0,0)1(2,0,0),N(l,4,0),尸(0,0,2),

在=(2,0,0),麗=(-l,4,0),KP=(-2,0,2.

設(shè)平面PBN的法向量為元=(x,y,z),

n-BN=-x+4y=0

則——令y=l,可得x=4,z=4,

n?BP=-2x+2z=0

???平面PBN的一個(gè)法向量為n=(4,1,4).

設(shè)直線N2與平面PBN所成的角為6,

e.八I茄臼12x4+0x1+0x414733

貝Usm6=—L=J------/-=-------,

卜目同2xV42+12+4233

???直線AB與平面PBN所成角的正弦值為勺匡.

33

17.⑴x-y-5=0或x-y+3=0；

⑵(T-4)

【分析】(1)設(shè)出直線m的方程，利用平行線間距離公式列式求解.

(2)求出點(diǎn)M關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖形，利用線段和差關(guān)系確定點(diǎn)尸位置，進(jìn)而

求出其坐標(biāo).

【詳解】(1)由直線m與/平行，設(shè)直線m的方程為x-y+C=0(CH-l),

_IC-(-l)Ir-

由m,/之間的距離為2收，得/「，/=2",解得。=_5或C=3,

9+(T)

所以直線m的方程為x,5=0或x-y+3=0.

(2)設(shè)點(diǎn)W(l,-2)關(guān)于直線/：x-y-l=0的對(duì)稱點(diǎn)為M'(a,b),

山q一1=0

則J。2,解得4=-1/=0,即"(7,0),

6+2

------=—1

、〃-1

|P2V|-\PM\=\PN\-\PM'\<\NM'\,當(dāng)且僅當(dāng)尸,",N三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào),

直線JW'的方程為了一0=：^^(x+l),即2x-y+2=0,

2-(一1)

[x—y—1=0

由c-、C，解得x=-3,y=-4,點(diǎn)尸(-3,-4),

[2x-y+2=0

所以|尸網(wǎng)-「叫取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(-3,-4).

18.(1)證明見(jiàn)解析

⑵嚕

/、11

(3)——

-19

【分析】(1)先建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得出4。，平面N8C，進(jìn)而得

出法向量，最后應(yīng)用空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可；

(2)應(yīng)用空間向量法求法向量及向量％=(0,2,0),應(yīng)用公式運(yùn)算即可;

(3)應(yīng)用空間向量法求二面角余弦值即可.

【詳解】(1)如圖，連接80.

AA}=A{C,:./Q±AC,

■：平面AAXCAC1平面ABC,平面AAXCACn平面ABC=AC,Afiu平面AA^C,

4。1平面ABC.

???"BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，二5O_L/C,BO=G.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線0叢0。,。4分別為X軸、y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

o(o,o,o),^(o,-i,o),

、7<2；<42J

=(0,0,2)是平面的一個(gè)法向量，令5=的.

...西=(0,1,2),;.而=：西=(心與，

.■.EF-a=V3x0+-x0+0x2=().

2

)函=(；；

(2)1C=(O,2,O),SC=(-V3,1,0,0,-,1

設(shè)平面8C。的法向量為成=(x,y,z),

m?BC=-y/3x+y=0,

則_一1

m?CD=-—y+2=0,

令x=2,可得2A/3,Z=VJ,

「?平面BCD的一個(gè)法向量為m二=(2,2收9，

0x2+2x273+0x73&國(guó)

???點(diǎn)A到平面BCD的距離為d二

同舊+(2后+4￥19

(3)函=(6,0,2).

設(shè)平面BQC的法向量為n=(a,b,c),

n-CBX=也a+2c=0,

則|—?1令Q=：?可得b=—2^3,c=—V3，

n-CD=——6+c=0,

I2

???平面B\DC的一個(gè)法向量為n=(2,-2A/3,

由（2）可知平面8c。的一個(gè)法向量為麗=（2,26,6）.

設(shè)平面8C。與平面的夾角為