吉林省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)合質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含答案）

吉林省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)合質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．某圓臺的上底面、下底面的半徑分別為3cm，2cm，高為3cm，則該圓臺的體積為（）A．15πcm3 B．19πcm3 C．2．若復(fù)數(shù)z1=3+i，z2A．2 B．5 C．2 D．53．若向量a=(2,5)，b=(1?x,A．13 B．?13 C．14．已知α，β是兩個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，且a?α，b?β，則“a∥b”是“α∥β”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．如圖，△AOB的斜二測畫法的直觀圖是腰長為32的等腰直角三角形，y'軸經(jīng)過A'A．6 B．36 C．12 D．6．在四面體ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD=4，且BC=CD=BD=2，則四面體ABCD的體積為（）A．2 B．6 C．5 D．37．如圖，某同學(xué)為測量某觀光塔的高度OP，在該觀光塔的正西方向找到一座高為40米的建筑物MN，在地面上點Q處（O，Q，N三點共線且在同一水平面上）測得建筑物MN的頂部M的仰角為π6，測得該觀光塔的頂部P的仰角為π4，在建筑物MN的頂部M處測得該觀光塔的頂部P的仰角為π12A．80米 B．402米 C．802米 D．8．在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，AA1=6，AEA．522 B．532 C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知向量a=(3,1)A．若|b|=1B．若a⊥bC．若λ=1，則cosD．若λ=1，則a在b上的投影向量為?10．若三個不同的平面α，β，γ兩兩相交，且α∩β=l1，α∩γ=l2，β∩γ=l3，則交線A．重合 B．相交于一點C．兩兩平行 D．恰有兩條交線平行11．在正四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，A．直線AA1與B．直線AA1與平面ABCDC．AP+PC的最小值為6D．AP+PC1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．在正方體ABCD?A1B1C13．若z1=i(3?4i)，(1?i)z2=z1，且z2+a14．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC中BC邊上的高h=bc，A=π3，則5b+2c的最大值為四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，在高為3的四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是正方形，M，N分別是PD和BC的中點，AB=2．（1）證明：MN∥平面PAB．（2）求三棱錐C?ABM的體積．16．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且asin（1）求tanA（2）若a=4，求△ABC外接圓的半徑R；（3）若b=5，c=3，求△ABC中BC17．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8，CD=3，AD=6，E在線段BC上．（1）若CE=2EB，用向量AB，AD表示CB，AE；（2）若AE與BD交于點F，DF=xDB(0<x<1)，cos∠DAB=118．在△ABC中，∠BCA與∠BAC的角平分線交于點D，已知4co（1）求角B的大??；（2）若AC=2，求△ACD面積的最大值．19．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為π3，故其各個頂點的曲率均為2π?3×π3=π．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，點A的曲率為2π3（1）證明：CN⊥平面ABB（2）證明：平面AMB1⊥（3）若AA1=2AB

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由圓臺的體積公式得V=π故答案為：B.【分析】由臺體體積公式直接求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：z1=3+i，z2故答案為：B.【分析】由復(fù)數(shù)的減法運算和復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：由a//b得2(2?x)?5(1?x)=0，解得故答案為：A.【分析】利用平行向量的坐標(biāo)表示即可得解.4．【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示：滿足m∥n，而α,滿足則α∥β，但m,故答案為：D.【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：作出原圖，如圖，D為AB的中點，且|OA|=32，所以|OD|=所以|AD|=|OA|2+故答案為：D.【分析】先將原圖作出，再對比直觀圖與原圖即可得解.6．【答案】C【解析】【解答】解：如圖所示，

取BD的中點E，連AE，因為AB=AD，所以AE⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，所以AE⊥平面BCD，因為AB=AD=4，BD=2，所以AE=4S△BCD所以四面體ABCD的體積V=V故答案為：C.【分析】由平面ABD⊥平面BCD，可得AE⊥平面BCD，可知四面體的高，進而可求出體積.7．【答案】A【解析】【解答】解：易知PQ=2OP，MQ=2MN=80，所以∠MPQ=π?π在△PMQ中，由正弦定理可得MQsinπ6=PQ故答案為：A.【分析】由已知條件求出∠MPQ和MQ，在△PMQ中，利用正弦定理求解即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，

設(shè)AM=13A因為BF=13因為平面C1EF與A1D1交于點G，所以C因為AE=12A所以EG=3故答案為：C.【分析】設(shè)AM=13AA1，連接D1M，則D19．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、若|b|=1，則1+λB、若a⊥b，則a?C、若λ=1，則cos?D、若λ=1，則a在b上的投影向量為a?故答案為：ABD.【分析】由平面向量模的坐標(biāo)求法可判斷A；由平面向量垂直的定義和數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷B；由平面向量夾角的坐標(biāo)求法可判斷C；由投影向量的求法可判斷D.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：作出一個長方體ABCD?AA、設(shè)平面DCC1D1,B、設(shè)平面DCC1D1,ADD1A三條交線交于一點D，故B正確；C、設(shè)平面DCB1A1,ABB1A三條交線兩兩平行，故C正確；D、設(shè)平面DCB1A1,ABB1A若只有AB//CD，因AB?平面DCB1A1，而CD?平面又AB?平面ABB1A1，而平面ABB1A1∩即交線l1故答案為：ABC.【分析】構(gòu)造長方體模型，選擇其中的一些平面作為平面α,11．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、如圖，

正四棱臺中，AC//A1C1，即四邊形AA1B、如圖1，設(shè)O1，O分別是A1C1和則OO1是四棱臺作A1H⊥AC，垂足為易知AH=42?(62?2cos∠A1C、如圖2，把四邊形A1ABB1，BB1C易知AP+PC的最小值即為展開圖中AC的長，過點B1作B1E⊥AB，則BE=2，又B故在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=120°，則AC=2×6×3即AP+PC的最小值為63D、在△AA1B1中，利用余弦定理可得ABcos(∠A所以AC由圖可知AP+PC故答案為：BC.【分析】由正四棱臺的性質(zhì)可判斷A；由線面角的定義可判斷B；把四邊形A1ABB12．【答案】36π【解析】【解答】解：如圖，設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則R=A所以外接球的表面積為4πR故答案為：36π.【分析】正方體外接球的半徑為體對角線的一半，再由球的表面積公式計算即可.13．【答案】一；?【解析】【解答】解：z1=i(3?4i)=4+3i，所以z1由(1?i)z2=z1得z2=4?3i故答案為：一；?7【分析】根據(jù)z1=4+3i對應(yīng)的點得到所在象限，再求出Z2，然后令z14．【答案】39【解析】【解答】解：由條件可知12ah=1由正弦定理得asinπ3=b所以5b+2c=5=6sin因為b+c>32，即sinB+所以0<B<2π3，所以當(dāng)B+φ=π2+2kπ(k∈Z)，即B=5b+2c取得最大值，且最大值為39．故答案為：39【分析】易得12?a?bc=12bc15．【答案】（1）證明：如圖，取PA的中點E，連接EB，EM．因為ME是△PAD的中位線，所以ME∥AD，ME=12又因為BN∥AD，BN=12AD，所以ME∥所以四邊形MEBN是平行四邊形，所以MN∥BE．又因為MN?忙平面PAB，BE?平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）解：因為M為PD的中點，所以三棱錐M?ABC的高為32因為S△ABC=【解析】【分析】（1）取PA的中點E，連EB，EM，易證BNME為平行四邊形，可得MN∥BE，由線面平行的判定定理即可得證；（2）三棱錐M?ABC的高為3216．【答案】（1）因為asinAsin則sin2AsinB=2所以sinA=2cosA（2）在△ABC中，因為tanA=2，且si解得sinA=25又2R=asinA（3）由（2）知cosA=設(shè)D為BC的中點，則2AD所以4|解得|AD|=5，即△ABC中BC【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系計算即可；（2）利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系解方程組可得sinA（3）由平面向量加法的幾何意義及數(shù)量積的運算律即可得解.17．【答案】（1）CB=AE=（2）因為DF=xDB=x(所以CF2因為cos∠DAB=13所以8=64(x?38)x2+36x如圖，

連接AC交BD于G．因為AB∥CD，所以△ABG∽△CDG，所以DGBG=則DG=311DB．因為E在線段BC上，所以【解析】【分析】（1）由平面向量線性運算法則計算即可；（2）由題意可得CF=(x?3818．【答案】（1）由題意可知∠DCA=1因為4co所以4co所以2cos2cos因為cos(∠BCA+∠BAC)=?所以cosB=12．因為B∈(0（2）因為B=π3，所以∠BCA+∠BAC=2π所以∠CDA=2π由余弦定理得AC所以4=CD所以CD?AD≤43，當(dāng)且僅當(dāng)因為S△ACD所以△ACD面積的最大值為33【解析】【分析】（1）結(jié)合角的關(guān)系利用二倍角公式及兩角差的余弦公式化簡即可得解；（2）易知∠CDA=2π3，由余弦定理及基本不等式可得19．【答案】（1）證明：在直三棱柱ABC?A1B則AA1⊥AC，A所以∠BAC=π3．因為因為N為AB的中點，所以CN⊥AB．又AA1⊥因為AA1∩AB=A，所以CN⊥（2）證明：取AB因為N為AB的中點，所以DN∥BB1，且又CM∥BB1，且CM=12B所以四邊形CNDM為平行四邊形，則DM∥CN．由（1）知CN⊥平面ABB1A1，則又因為DM?平面AMB1，所以平面AMB（3）解：