2024-2025學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高三第四次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高三第四次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.設(shè)見(jiàn)夕,7是三個(gè)不同平面，且1口7=/,6口/=小，則a〃尸是/〃加的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.設(shè)總是等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，且?guī)?$5=21,則$=（）

A.17B.34C.51D.68

3.若函數(shù)“X）滿足對(duì)于xeR,+d=〃2+x）=_/（x）,則的

解析式可能為（）

「兀兀、

B.cos—XH—

（23；

.（715兀、

C.4sinlD.2cos—xH-----

4.已知函數(shù)/（x）=sin2x+acos2x,將〃x）的圖象向左平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)

6

于原點(diǎn)對(duì)稱，則“X）的圖象的對(duì)稱軸可以為（）.

71?！?兀

A.%=—B.x=—C.x=~zD.x=—

126312

5.a=InVlO,/?=Vln21n5,c=lnV4e,則〃、b、。的大小關(guān)系是（）

A.c<a<bB.a<b<c

C.c<b<aD.b<a<c

6.如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊V/5C,動(dòng)點(diǎn)?在以BC為直徑的半圓上.若

~AP=+pAC,則；I+；〃的取值范圍是（）

4

7.三棱柱/8C-481G中，點(diǎn)。在棱8月上，滿足％BCCQ=5%CT.，點(diǎn)M在棱4G

-.-.NB

上，且，點(diǎn)N在直線84上，若AGV//平面/貝1］加=（）

A.2B.3C.4D.5

8.已知三棱錐P-N8C的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，

PA=PB=PC=AB=BC=2V2?/C=2百，則球。的表面積為（）

40?！?2721

A.-----B.20JIC.—兀D.—兀

342

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知a,b,c為三條不同的直線，?尸為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.若a〃b,aua,bu/3,aC。=c,貝［jaPc

B.若a_L仇Q_Lc,bua,cua,貝!!a_La

C.若a〃a,b//a,aC\b=A,au/3,bu/?,則a///3

D.若。_1夕,?？谙?。,。，。，則Q~L4

io.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體45cz中，點(diǎn)p是正方體的上底面44G2

內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是棱5。的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（）

A.三棱錐。-尸⑺的體積是定值

B.存在點(diǎn)尸，使得尸。與所成的角為60。

（5

c.直線產(chǎn)。與平面44。口所成角的正弦值的取值范圍為0.

D.若PD、=PQ,則P的軌跡的長(zhǎng)度為邁

4

11.已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于（1,2）中心對(duì)稱.若

/（X）-/（4-X）=2_^（）

4

A/（4-X）+/（X-2）_

4

B./（2）+/（4）=4

C.V=/（尤+1）-2為奇函數(shù)

D.y=/（2+x）+2x為偶函數(shù)

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知cosa+cos§=]二,sin?+sin,則cos(tz-￡)=.

13.如圖，在三棱錐尸-/BC中，V/2C為等邊三角形，△/尸C為等腰直角三角形，

PA=PC,平面PNC_L平面/8C,。為48的中點(diǎn)，則異面直線/C與尸。所成角的余

弦值為.

B

14.直觀想象是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，某位教師為了培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，

在課堂上提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：現(xiàn)有10個(gè)直徑為4的小球，全部放進(jìn)棱長(zhǎng)為。的正

四面體盒子中，則。的最小值為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知函數(shù)/(x)=；sin12x-m],AABC的內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,

⑴求Z;

(2)若sinC(l+cos5)=sinS(2-cosC),求色的值.

b

16.記S"是公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，4=1,且。成等比數(shù)

列.

(1)求?！昂投?

(2)若b?s?=1,求數(shù)列｛"｝的前20項(xiàng)和盤(pán).

17.如圖，四棱錐尸的底面為正方形，PO_L底面/BCD.設(shè)平面尸與平面

PBC的交線為1.

(1)證明：/_L平面PDC-,

(2)已知PD=4D=1,0為/上的點(diǎn)，求尸3與平面08所成角的正弦值的最大

值.

18.在三棱臺(tái)48C-44cl中，若44_L平面4BC,AB1AC,AB=AC==2,

4G=1,M,N分別為8C,中點(diǎn).

⑴求證：&V//平面

⑵求平面CM4與平面/C￡4所成角的余弦值；

⑶求點(diǎn)C到平面GMA的距離.

19.已知函數(shù)/(x)=2alnx-x2+。，aeR

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)〃x)有兩個(gè)零點(diǎn)七，%,且王<9，曲線y=在這兩個(gè)零點(diǎn)處的切線交

于點(diǎn)(%,%),求證：/小于X］和尤2的等差中項(xiàng)；

(3)證明：2ta(M+l)>i+i+-i-+???+—!—,“eN".

234n+i

答案

1.【正確答案】A

【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理，及它們之間的推出關(guān)系，即可以作出判斷.

【詳解】由于7〃夕，aC\y=l,]3C\r=m,由平面平行的性質(zhì)定理可得：I//m,

所以a〃6是/〃加的充分條件；

但當(dāng)/〃加，a^r=l,13^y=m,并不能推出a〃夕，也有可能生月相交，

所以Q〃。是/〃加的不必要條件.

故選A.

2.【正確答案】C

【詳解】解：設(shè)公差為d,

貝!1￡2—S5=7%+56d=21,即a1+84=3,

貝1|用=17%+136d=17(/+8d)=51,

故選：C

3.【正確答案】D

【詳解】因?yàn)?=所以〃x)關(guān)于x=;+；=1對(duì)稱,

又/(2+x)=-/(x),則/>(4+X)=-/(2+X)=-[-/(^)]=/(^)>

所以〃x)是以4為周期的周期函數(shù)；

對(duì)于A：若/(x)=sin?+胃，則最小正周期？戈=4,

2

又佃=sin[xg+*si吟咚所以〃x)不關(guān)于x=g對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；

2兀

對(duì)于B：若〃%)=3]會(huì)+3，則最小正周期，=萬(wàn)=4，

又/[1)=cos仔xg+5]=cosq=；,所以〃x)不關(guān)于x=9寸稱，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若/(x)=4sin(G+",則最小正周期T=g=2,

則〃x+2)=/(x),又/(x)=-/(x)不恒成立,所以"2+x)=-/(x)不恒成立,故C錯(cuò)

誤；

2兀

T=—=4

對(duì)于D：若〃x）=2c,+yL則最小正周期71

2

又/出=2cos旨，+n=2儂兀=-2,滿足/（X）關(guān)于x=；對(duì)稱，故D正確.

故選：D

4.【正確答案】D

【詳解】由題意可得〃x）的圖象關(guān)于點(diǎn)|^,0）對(duì)稱,

即對(duì)任意xeR,有〃x）+/0-x]=0,

取x=0,得/⑼+/0=*m=0,解得°=一6

經(jīng)檢驗(yàn)，.=滿足題意，

故/(%)=sin2x—Gcos2%=2sin2x——

57ikit

令2x.=>加，可得x=---1---后￡Z,

122

5兀

當(dāng)左二0時(shí),x=一

12

故/（尤）的對(duì)稱軸可以為》=三，

故選：D.

5.【正確答案】D

【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較a，。的大小，結(jié)合基本不等式及

對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較的大小，可得結(jié)論.

【詳解】c=lnV4e=—>—=lnJTb=a,

22

2

而/=麗丫=[竽j=（ln2+ln5）>41n2-ln5=〃，且〃>0*>0.

所以a>b,故6<a<c.

故選D.

6.【正確答案】D

【詳解】由題意可以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為了軸，建立平面直角坐

標(biāo)系，如圖所示：

結(jié)合已知得/（o,2若），B（—2,0）,C（2,o）,

半圓弧病的方程為：/+/=4（”0）,

設(shè)尸（加,〃），貝I］后=（優(yōu),〃一26），Z8=（-2,-2A/3）,就=（2,-26）,

m=-2A+2//

由萬(wàn)=4萬(wàn)+〃就得：＜

"2庠-2&-26〃'

412

解得：，

1@1

—m----n-\——

因?yàn)槭?〃）在前?上，所以冽2+*=4（〃40）,

又（2cosof+（2sin6）2-4,

則可設(shè)加=2cos6,n=2sin0,兀兀，

將m=2cos。,幾=2sin。代入（*）整理得：

.11QCQ3

%+—〃=——cos"----sinu-\—=——sin”4—

>八_/口77r八7T13兀

由兀W6W2兀得一<0+-<——,

666

LL…1.（八兀11.（八兀）35

所以一lWsm6+—W—,—<——sm0+—+—<—,

{6J2226j44

故彳+;〃的取值范圍是g:.

故選：D.

7.【正確答案】D

【詳解】三棱柱48C-481G中，而=宙，點(diǎn)。在棱上，如圖,

BCC[B]=ABC-9

4432

貝U「A-BCCiD=?■匕48C-451G=g、/用歐百=/修”向，

21DB}2

于是S梯形BCG。=y5g邊形8CGB'貝USAC'B'D=5s四邊形33與，即言"二工

DDXJ

設(shè)三棱柱/8C-48]G的側(cè)棱長(zhǎng)為6,則。耳=4,DB=2,

又M為4G的中點(diǎn)，取//的中點(diǎn)￡，連接ME，則MEHCXA,CMu平面ADCX,

ME.平面/DC-于是ME//平面4DG，過(guò)E作ENUAD,且ENCBB、=N,連接

MN,

NDu平面4DC1,EN<Z平面4DG，于是EN〃平面4DG，又MEcEN=E,

ME,ENu平面MNE,因此平面AGVEV/平面/￡>G,又MNu平面AGVE,

則AGV//平面ADC],在0/LWE中，DN=EA=3,NB1=DBl-DN=4-3=1,BN=5,

-NBv

所以------5

771/NB1

故選：D

8.【正確答案】A

【詳解】設(shè)V/BC的外接圓半徑為「，因?yàn)锳B=BC=2血,AC=2道,

A

由余弦定理得cosZACB=U+BC2-AB-=￡,乙4cBe（0,兀），

2AC-AB272

所以sinZACB=Jl-cos24cB=智-,

2V2

ABQ4

由正弦定理得2=./"n=F，所以廠=刀=,

smZACB,56

記V48c的外心為Q,連接O/,O{B,0,C,則。/=。d=。]。=

取8C的中點(diǎn)分別為￡,F,則。也，43,OtFlBC,

又因?yàn)槭?=P8=PC,可得PEL4B,PFVBC,

因?yàn)槭昕?。]￡=￡,PF^OXF=F,

因?yàn)镻E,O1￡u平面尸EQ,尸RQ尸u平面尸尸

所以/3_L平面尸3c_1平面尸尸Q,

又因?yàn)槭琎u平面尸EQ,尸Qu平面PFQ,

所以PQJ",POX1BC,

因?yàn)?8八8。=8,N8,8Cu平面48C,

24

所以尸J，平面48C,可得PQ=

由題意可得外接球的球心在尸。1上，或在尸a的延長(zhǎng)線上，設(shè)外接球的半徑為R,

則球心到a的距離為,

旌，解得T

則有

240

所以球。的表面積5=4位?~TK,

9.【正確答案】AC

【分析】利用線面平行判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合直線平行的傳遞性可判斷A；由

線面垂直判定定理可判斷B；由面面平行的判定定理可判斷C；根據(jù)面面垂直性質(zhì)定

理可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)??！ǔ餫ua,所以b〃a,又bu13,a^/3=c,所以6〃c,所

以a,A正確;

對(duì)于B,當(dāng)b//c時(shí)，直線”不一定垂直于a,B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由面面平行的判定定理可知，C正確;

對(duì)于D,由面面垂直性質(zhì)定理可知，若直線時(shí)，直線。不一定垂直于尸，D錯(cuò)

誤.

故選AC.

10.【正確答案】ACD

【詳解】對(duì)于A,三棱錐。的體積等于三棱錐尸的體積,

1112

嚏棱錐p-或￡>=個(gè).QCDx44==§是定值,A正確;

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，4名，4A，441分別為x,%z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則。(2,1,-2),設(shè)尸(無(wú),y,0)(0<x<2,0<y<2),則存=(x—2,y-1,2)

對(duì)于B,麴=(0。2),使得P。與44所成的角0滿足：

|西可2x2

cosa=；_I_=I=—,

I。尸J(X-2)2+(y-1)2+4x2

因?yàn)?〈x<2,0<><2,0<(x-2)2+(y-l)2<5,故cosaef|-,l

12

而cos60。=5w(§,1),B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,平面44D。的法向量3=(1,0,0),

|x-2|

所以直線與平面所成角，的正弦值為：如尸二?

V(x-2)2+(y-l)2+4

因?yàn)?<x<2,0<y<2,故-2<x-2<0

故卜-2]<_______卜-2|_______<*-2]

叉"21+5J(X-2)2+"-1y+4-*2)2鈉'

『-2|1.0,3H1(0]

而J(X-2)2+5Ju52I’3，"2)2+4小421’2人

lx-2ly/2(5/2^

故。<I?,<〒即sin?的取值范圍為0,亭，C正確；

7(x-2)2+(y-l)2+4212)

對(duì)于D,Dl(0,2,0),~D^=(x,y-2,0),由尸乙=「。，

可得x2+3-2)2=(x-2)2+3-1)2+4,化簡(jiǎn)可得4—=0,

35

在四平面內(nèi)，令戶。，得y=T令…，得:，則尸的軌跡的長(zhǎng)度為

D正確;

故選：ACD.

11.【正確答案】ACD

【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)中心對(duì)稱為。,2),得至lJ〃4-x)+〃x-2)=4,

則〃4T)+/(X2)=],故A正確；

4

B選項(xiàng)，由A知，/(4-x)+/(x-2)=4,則/(4—x)=4—/(x—2),

則J'/八----即八,八--------------------L—=2-x,

44

則〃x)+〃x-2)=12-4x,令x=4,貝1]/(4)+/(2)=12-4*4=-4,故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，根據(jù)中心對(duì)稱為。,2),得到〃l-x)+/(x+l)=4,

則"1一x)-2=-[/?+1)-2],

令g(x)=/(尤+1)-2,則g(-x)=-g(x),所以y=/(x+l)-2為奇函數(shù),故C正確;

D選項(xiàng)，因?yàn)?(x)_/(j)=2_x,所以/(X+2卜/(2_X)=2_X_2_T,

44

即/(x+2)-/(2-x)=-4x,^f(x+2)+2x=f(2-x)-2x,

令=〃2+x)+2x,貝!J=,

故y=〃2+x)+2尤為偶函數(shù)，故D正確.

故選：ACD.

12.【正確答案】-；/-0.5

【詳解】由cose+cosS=，^平方得：cos2a+2cosacos/?+cos2/?=^-,

1010

由sina+sin/?='叵平方得：sin2a+2sinasin+sin2[3=—,

1010

兩式相加得：1+2cosacos￡+2sinasin〃+1=1,

所以2cos(a-￡)=-l,所以cos(a-￡)=-；,

故答案為.-彳

13.【正確答案】交

4

【詳解】取/C的中點(diǎn)。，連接。尸，OB,因?yàn)椤?PC,所以/CLOP.

又平面P4C_L平面48C,平面尸/CPI平面48C=/C,。尸u平面P/C,

所以O(shè)P_L平面N8C.又AB=BC,所以/C_L08,

可得CM,OB,。尸兩兩垂直，所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn),

OA，OB，礪的方向分別為x,V,z軸的正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)尸4=4,則/（2啦,0,0）,C（-272,0,0）,Z）（V2,V6,0）,

尸（0,0,2行），所以衣=（T血,0,0）,而=（友,指,-2血），

~nr\4c-PD—8s/2

所以COS[AC,PD）=1——zrr=F==---

以以、/困儼回4A/2X44，

又異面直線所成角的取值范圍為，弓,

所以異面直線NC與尸。所成角的余弦值為變.

14.【正確答案】8+4直

【詳解】設(shè)正四面體48C。棱長(zhǎng)為。，M是正△BCD的中心，延長(zhǎng)線交CD于N,

連接

則/M_L平面BCD,BN1CD,BN=BCsin60。=陛,BM=-BN^―,

233

因此正四面體的高NAfuJ/S2-BM°=—,令正四面體/BCD內(nèi)切球半徑為「,

3

由PABCD=~,4sA8s‘r=WSABCD,AM,得AM=4r,

10個(gè)直徑為4的小球放進(jìn)棱長(zhǎng)為。的正四面體/BCD中，成三棱錐形狀，有3層,

則從上到下每層的小球個(gè)數(shù)依次為：1,(1+2),(1+2+3)個(gè)，

當(dāng)。取最小值時(shí)，從上到下每層放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)切，底層的6個(gè)

球

還都與正四面體底切，任意相鄰的兩個(gè)小球都外切，位于底層正三角狀頂點(diǎn)的小球

球

心連線與位于每層正三角狀頂點(diǎn)的所有上下相鄰小球的球心連線構(gòu)成正四面體

E-FGH,

則正四面體EFG"的棱長(zhǎng)為2+4+2=8,其高為EP=8x^=迅

33

當(dāng)以點(diǎn)￡為球心的最上方小球是以A為頂點(diǎn)的某個(gè)正四面體的內(nèi)切球時(shí),

/E+2=4x2,即/E=6,

因此正四面體ABCD的高為=AE+EP+PM=6+—+2=8-4^,

33

所以正四面體棱長(zhǎng)a的最小值為(8+?)?+=8+4指.

故8+4旗

兀

15.【正確答案】(1)個(gè)2

⑵I

【分析】(1)利用特殊角的三角函數(shù)值求角；

(2)法一，根據(jù)兩角和差公式和正弦定理化簡(jiǎn)已知，可得c+a=26,再結(jié)合余弦定

理求解；法二：利用余弦定理化簡(jiǎn)已知得c+a=2b,再結(jié)合余弦定理求解.

/兀兀,2兀

/.A—=—,A.——；

333

(2)sinC(l+cosB)=sin3(2-cosC),

法一：sinC+sinCcos5+sin5cosC=2sin,

/.sinC+sin(5+C)=2sin5,

sinC+sinA=2sin5,

根據(jù)正弦定理得C+Q=2Z?,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+be①

將。=26-c代入①式，得3/-56c=0,

/

、+r,a2+c2-b2a2+b2-c2>

法二：小+F—=b2

2ab)

a2+c2-b2,,a2+b2-c2

1.c+-------------=2b----------------,

2a2a

:.c+a=2b,

由余弦定理得/=〃+02-26CCOS/=b2+c2+be①

將〃=26-c代入①式，得3/-5bc=0,

c3

/.3b=5c,:

b5

16.【正確答案】（1）〃〃=〃，S

n2

/、40

(2)—

-21

【詳解】（1）設(shè)已知數(shù)列的公差為d,貝+—l）d,

由（%-1）、%（出一1）,得（2』=d（l+3d）,即屋々=0,

所以"=1或d=o,顯然d不為0,所以4=1,

「廣…n（n+\\

所以%=〃，S〃=<；'2，

（2）由（I）知邑二△——又勿,=1,

2

=2（磊），

所以品=2（140

21

17.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）國(guó)

3

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面PDC,利用線面平行的判定

定理以及性質(zhì)定理，證得N。///,從而得到/，平面PDC；

（2）方法一：根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)

e（m,0,l）,之后求得平面QCD的法向量以及向量麗的坐標(biāo)，求得卜os<",而>|的最大

值，即為直線尸8與平面所成角的正弦值的最大值.

【詳解】（1）證明:

在正方形/3CD中，ADIIBC,因?yàn)?DZ平面PSC,BCu平面PBC,

所以/?！ㄆ矫媸?C,又因?yàn)?Ou平面尸平面尸4DC平面尸8C=/,

所以/￡>〃/,因?yàn)樵谒睦忮F尸-/3CO中，底面N8C。是正方形，所以

AD1DC,所以/1DC,且尸。，平面ABCD,所以，尸D,

因?yàn)閏on尸。=。，所以平面尸DC.

（2）因?yàn)閮蓛纱怪?，建立空間直角坐標(biāo)系。-刈z,如圖所示:

因?yàn)槭?gt;==1,設(shè)。(0,0,0),C(0,l,0),A(l,0,0),尸(0,0,1),5(1,1,0),

設(shè)Q(m,0,1),則有友=(0,1,0),麗=(見(jiàn)0,1),麗=(1,1,-1),

設(shè)平面QCD的法向量為〃=（x,y,z）,

?n=0y=0

則_,即an

-n=0mx+z=0'

令x=l,貝ljz=-加，所以平面0cD的一個(gè)法向量為〃=（1,0,一加），則

__n-PB1+0+加

cos<n,PB>=p-

川PB\省?yjm2+1

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角

的正弦值，所以直線PB與平面QC。所成角的正弦值等于

|cos<nE,P照B>、\」=

A/3-Vm2+1

V亙且.行=當(dāng)且僅當(dāng)加=1時(shí)取等號(hào)，所以直線

PB與平面所成角的正弦值的最大值為逅

3

【方法總結(jié)】（2）方法一：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，直線網(wǎng)與平面。O）所成角的正

弦值即為平面的法向量;;與向量麗的夾角的余弦值的絕對(duì)值，即卜os<[方>],再根

據(jù)基本不等式即可求出，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；

方法二：利用直線與平面所成角的定義，作出直線尸3與平面0CD所成角，再利用解三角形

以及基本不等式即可求出；

方法三：巧妙利用尸B//QG,將線轉(zhuǎn)移，再利用等體積法求得點(diǎn)面距，利用直線尸3與平面

0CD所成角的正弦值即為點(diǎn)面距與線段長(zhǎng)度的比值的方法，即可求出.

【一題多解】如圖2,因?yàn)?u平面尸5C,Q&1,所以。e平面PBC.

在平面尸。C中，設(shè)P3nQC=E.

在平面中，過(guò)尸點(diǎn)作尸尸,。。，交QD于F,連接￡尸.

因?yàn)镻Z）_L平面48CD,OCu平面48CD,所以。C_LPD.

又由。。_140,40。尸。=。,尸￡>匚平面尸4。，/Du平面尸所以。C_L平面尸/￡>.又

PFu平面尸所以。C_LPF.又由P尸■1。。,。。1"1。。=。,。。（=平面。。。,。。（=平面

QDC,所以內(nèi)，平面QDC,從而NFEP即為P3與平面。8所成角.

由VPQE與V3EC相似，得名=矍=￡,可得尸￡=必.

EBBC

，邛，當(dāng)且僅當(dāng)I時(shí)等號(hào)成立.

所以sin/FEF=

【一題多解】如圖3,延長(zhǎng)C5至G,使得3G=P0,連接G。，GD,貝！JP3//0G,過(guò)G點(diǎn)

作GM，平面。DC,交平面QDC于M連接加，則NGQM即為所求.

P

設(shè)尸0=x,在三棱錐Q-DCG中，VQ_DCG=\PD-CD.(C5+5G)=^(1+x).

326

2

在三棱錐G—QQC中，VGODC=-GM-CD-QD=-GM--^l+x.

03232

由%-DCG=‘G-QDC得：(1+%)=；GM?—V1+X2,

632

向，0c、/1+x1+2x+x2,2x,不

解得GM=/=J1——=J1+---<V2,

Vl+x2V1+x2V1+x2

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立.

在七△PDB中，易求PB=』QG,所以直線必與平面。CD所成角的正弦值的最大值為

?,五屈

sinZ.MQG=~^=—.

18.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)|;

4

【詳解】(1)在三棱臺(tái)NBC-44cl中，連接兒W,由分別為中點(diǎn)，

得MN//AC,MN=—AC,而4G///C,4G=—AC,

22

則4G〃跖V且AG=MN,四邊形MNAG是平行四邊形，

于是4N//GM,又4NO平面GMu平面C\M4,

所以4N//平面

(2)由4/，平面/BC,AB1AC