數(shù)據(jù)波動(dòng)易錯(cuò)點(diǎn)剖析

統(tǒng)計(jì)中的常見錯(cuò)解示例一、概念理解不透造成錯(cuò)解例1．下表是某學(xué)習(xí)小組一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成績統(tǒng)計(jì)表，分?jǐn)?shù)708090100人數(shù)13x1已知該小組本次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均分是85分，則測(cè)驗(yàn)成績的眾數(shù)是（）A.80分B.85分C.90分D.80分或90分錯(cuò)解：選B.根據(jù)該小組本次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均分是85分，得70×1+80×3+90×x+100×1=85×（1+3+x+1），解得x=3.由于80分出現(xiàn)了3次，90分也出現(xiàn)了3次，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（80+90）=85（分）.故本題答案選B.錯(cuò)解分析：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).若一組數(shù)據(jù)中，若干個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這若干個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).由此可見，一組數(shù)據(jù)中可以有不止一個(gè)眾數(shù).所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是80分或90分，故應(yīng)選D.造成這一錯(cuò)解的原因是：對(duì)眾數(shù)的概念理解不透，并誤用求平均數(shù)的方法來求眾數(shù).正解：選D.根據(jù)題意，如同前面所解，得x=3，所以在這組數(shù)據(jù)中80分出現(xiàn)了3次，90分出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，所以該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是80分或90分.故答案應(yīng)選D.例2.一組數(shù)據(jù)的方差為s2,將這組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都除以3，所得新數(shù)據(jù)的方差是（）A.s2B.2s2C.s2D.4s2錯(cuò)解：選A.錯(cuò)解分析：錯(cuò)誤的原因是由于對(duì)方差的概念沒有深刻理解，誤認(rèn)為只要把原數(shù)據(jù)的方差也除以3就可得到新數(shù)據(jù)的方差.事實(shí)上，樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)差的平方的平均數(shù)才叫方差.通過相關(guān)計(jì)算可得，新數(shù)據(jù)的方差應(yīng)是s2.正解：選C.設(shè)原數(shù)據(jù)為x1,x2,…,xn,其平均數(shù)為，方差為s2.根據(jù)題意，則新數(shù)據(jù)為x1,x2,…,xn,其平均數(shù)為.根據(jù)方差的定義可知，新數(shù)據(jù)的方差為：s′2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=×[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=s2.所以，本題答案應(yīng)選C.例3.在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，某班２５名男生的平均成績是86分，23名女生的平均成績是82分．求這些學(xué)生的平均成績（結(jié)果精確到0.01分）．錯(cuò)解：平均成績?yōu)椋剑?4（分）．錯(cuò)解分析：錯(cuò)解在求平均數(shù)時(shí)，混淆了算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式．當(dāng)數(shù)據(jù)中有些數(shù)據(jù)是重復(fù)的，要使用加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算．正解：平均成績?yōu)?≈84.08（分）．例4.若一組數(shù)據(jù)ｘ１，ｘ２,ｘ３，ｘ４，ｘ５的平均數(shù)為２，則３ｘ１－２，３ｘ２－２，３ｘ３－２，３ｘ４－２，3ｘ５－２的平均數(shù)為________.錯(cuò)解：數(shù)據(jù)３ｘ１－２，３ｘ２－２，３ｘ３－２，３ｘ４－２，事實(shí)上,x的大小可分三種情況:①x≤5;②5<x≤7;③x>7.從而可知本題的中位數(shù)是不確定的,要分類討論.正解：①當(dāng)x≤5時(shí),中位數(shù)為6,此時(shí)=6,解得x=5;②當(dāng)5<x≤7時(shí),中位數(shù)為,此時(shí)=,解得x=5,不符合題意,舍去；③當(dāng)x>7時(shí),中位數(shù)為7,此時(shí)=7,解得x=9.綜上可知,x=5或x=9.例8.一組數(shù)據(jù)-1,0,3,5，x的極差是7，那么x的值可能有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.4個(gè)D.6個(gè)錯(cuò)解：選A.根據(jù)題意，由x-（-1）=7，解得x=6，所以x的值有1個(gè)，故答案選A.錯(cuò)解分析：根據(jù)極差的定義知，數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫做極差.因?yàn)?1,0,3,5四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)為-1，最大數(shù)為5，它們的差是6.而題目中的極差為7，所以x可能是這組數(shù)據(jù)的最大數(shù)，或是最小數(shù).錯(cuò)解中丟失了解.本題必須進(jìn)行分類討論才能求得正確答案.正解：選B.根據(jù)極差的定義，對(duì)數(shù)據(jù)中的x的大小必須分兩種情況來討論：①當(dāng)x為這組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)時(shí)，-1就為其最小數(shù)，則有x-(-1)=7,解得x=6.②當(dāng)x為這組數(shù)據(jù)中的最小數(shù)時(shí)，5就為其最大數(shù)，則有5-x=7,解得x=-2.綜上所述，x可取兩個(gè)值：-2或6.故答案應(yīng)選B.三、因?qū)忣}不仔細(xì)、考慮問題不周全造成錯(cuò)解例9.有m個(gè)數(shù)的平均數(shù)為x，n個(gè)數(shù)的平均數(shù)為y，則（m+n）個(gè)數(shù)的平均數(shù)是（）A.B.C.D.錯(cuò)解一：選A．由題意可知，這是求x與y的平均數(shù)，所以它們的平均數(shù)是．故答案選A．錯(cuò)解二：選B．由題意可知，所求（m+n）個(gè)數(shù)的總和為（x+y），所以，其平均數(shù)為．故答案選B．錯(cuò)解分析：以上兩個(gè)錯(cuò)解都是由于審題不仔細(xì)、考慮問題不周全所造成的．錯(cuò)解一是誤認(rèn)為求x,y的平均數(shù)，由此把樣本容量當(dāng)作2，把（x+y）當(dāng)作了樣本總量．錯(cuò)解二雖然確定樣本容量為（m+n），判斷正確，但誤將（x+y）當(dāng)作樣本總量，而此時(shí)的樣本總量應(yīng)為（mx+ny），所以，它們的平均數(shù)是．正解：選C例10.甲、乙兩工人生產(chǎn)直徑為40mm的同一種零件．現(xiàn)各抽取兩人加工的5個(gè)零件，量得尺寸如下（單位：mm）：甲：42,41,40,39,38乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5．問哪位工人生產(chǎn)的零件質(zhì)量較好？錯(cuò)解：甲、乙兩工人生產(chǎn)的零件尺寸的平均數(shù)分別為：=×（42+41+40+39+38）=40，=×（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40.所以，兩工人生產(chǎn)的零件質(zhì)量一樣好.錯(cuò)解分析：錯(cuò)解是由于掌握知識(shí)不全面，考慮問題不周全造成的.分析數(shù)據(jù)不應(yīng)該只從平均數(shù)上分析，還應(yīng)該知道利用方差、極差來解決問題.極差、方差都可以反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，由計(jì)算可知工人乙的極差、方差都比工人甲的小，所以工人乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量較好.正解：=×（42+41+40+39+38）=40，甲的極差是42-38=4.s甲2=×[（42-40）2+（41-40）2+（40-40）2+（39-40）2+（38-40）2]=2.=×（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40，乙的極差是40.5-39.5=1.