高三一輪大題16-導(dǎo)數(shù)（數(shù)列不等式的證明2）

一輪大題專練16—導(dǎo)數(shù)(數(shù)列不等式的證明2)

1.已知函數(shù)f(x)=ax-1，戌.

(1)若/(x)..O在(0,”)上恒成立，求實數(shù)。的取值范闈.

(2)證明：V〃wN*,*”刈>(〃!產(chǎn).

解：(1),/x>0?/./(%)..0等價于a..——?

x

令g(x)=^則g，a)q

X

令g，(x)>0,解得：0<x<e,令g<x)v0,解得：x>e,

故g(x)在(0,e)遞增,在(e,+00)遞減,

故g(xL?=g")=->

e

故實數(shù)〃的取值范圍是?，+O0).

(2)證明:由⑴可知、-配工.0在(0,+?))上恒成立,

則x..elnx=Inx：即e\.xf,當(dāng)且僅當(dāng)x=e時”=”成立，

2ene

取x=l,2,3,…〃，則廿>1"e>2,/>3"?…，e>nt

將上述不等式相乘可得*2+3++”>(IX2X3X…〃)。=(〃!)"

n(/r41)

即e2>(〃!)"故/向)>(〃!產(chǎn).

2.已知函數(shù)f(x)=2/nr-a(x-l).

(1)若/(x)?0,求實數(shù)a的值；

(2)求證：[1+(〃+圖0+(〃+]白??…[〃+(〃+4]<&-“).

(〃+1產(chǎn)

解：(1)f(x)=2lnx-a(x-\),則尸(幻=2一〃=3_,

xx

①當(dāng)4,0時，/V)>0,/"?)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增，

?/f(1)=0,.?.當(dāng)”>1時，(1)=0,不符合題意，舍去；

②當(dāng)0<av2時，->1,由得，0<%<—，由/'(幻<0得，x>-

aaa

：.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,y)上單調(diào)遞減，

aa

(1)=0,.?.當(dāng)XG(1,-)時，/(.￥)>/(1)=0,不符合題意，舍去；

③當(dāng)a=2時，一=1,由f'(x)>0得，Ovxvl；由尸。)<0得，x>l,

/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+oo)上單調(diào)遞減，

又丁f(1)=o,.?./(x)”0成立：

④當(dāng)a>2時,-<1,由r(x)>0得，0<jr<-,由廣(x)<0得,x>-,

aaa

.-./(X)在(0,-)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，

aa

vf(1)=0,.?.當(dāng)xe(2,l)時，f(x)>f(1)=0,不符合題意，舍去；

a

綜上得，a=2.

(2)證明：由(1)知，當(dāng)〃=2時，/*)<。在(1,+00)上成立，即/nrvx-l,

令X=1+^^(%=12…,〃)，則/川i+^277T

(77+1)-5+1)-(〃+1)-

nK19n

Y/?[l+-J]=[1+——Hl+----]……[1+-

￡(〃+1)2[(〃+1)2(〃+1)72(〃+1)2

12nn(n+1)n11

<--------F-------F???4---------=---------=--------=--------<一,

5+1)2(〃+])2(〃+1)22(〃+1)22(〃+1)1、2

4+一)

[1+5+1)2H2+Q7+1)2]…[〃+(〃+1)2]

即/小<—

(〃+1-2

.[1+5+1)2*2+(〃+1)2]...[〃+(“+1)2]

4e(neTV*).

一

3.設(shè)/(x)=sinx-x+gx).

(1)當(dāng)x.O時，求證：/(x)..O；

(2)證明：對一切正整數(shù)〃，都有sinl+sin-!7+sin!+sin3+…+sin二〉」----!——

2*23242n222(〃+1)

證明：(1),.,/(%)=sinx-x+^x2

/./r(x)-cosx-l+x,7G)_-sinx+1..0,/(人)單調(diào)潴增,

x.O時，/(1)../(0)=0,f(x)在(0,+oo)遞增,

A/U)..O；

(2)x.O時，/(x)..O,/.sinx-x+gxLO,

sinx.A--x2,令x=《，k=\,2,3,...n,

2K

1

)，

k2k22/2p2k'2〃(4+l)2kITT

)=；一2(〃I+1)

,,sinl+sin±+sinl+sin±+...+sin±>l(1_l+l_l+l__L

223242H22223，i〃+

故原命題成立.

y-

4.已知函數(shù)/(x)=x-萬一sinx.

(1)證明：x>0時，/(x)<0；

(2)證明：〃..2時，sin-+sin—+...+sin—+

I2〃23

證明：(1)設(shè)g(X)=r(X)=l-X-COSX,

則g，(x)=-l+sinx,O,

故函數(shù)g(x)為減函數(shù),

可得g*)vg(O)=O,即/'。)<0，

故/")為減函數(shù)，

所以/。)</(0).

(2)由(1)知：x>0時，/(x)<0,

可得/(1)+/d)+/d)+...+/(-)<o,

23n

所以(1+W...+，)-,d+二+-!?+..?+-V)-(sin-+sin-+...+sin—)<0?

23n2I22232n212n

.1.1.?八11k1J111

}rjr\i以qsin一+sin-+.??+sin—>(1+—+—+...+—)—(―+――+—r+???+~r)，

12"23〃2I22232n2

11I1

因為幾.2時,—-v---------=------------,

rT(〃一1)〃〃一1n

1lllllI1,1,

所以

3-n~1223n-\nn

所以，?+-!?+...+4r<2,

2-3-n~

的I”?1?1.1111、1c111

//T以sin—Fsin—F...+sin—>(14----1----F...H—)—x2=—I----F...4—?

12n23"223n

5.已知函數(shù)/(_￥)=§］2+//吠(。￡凡〃工0).

(1)求函數(shù)/(幻在［1,r］上的最大值;

(2)當(dāng)4=1時，求證：一/'(父)..2"-2(〃￡乂).

解：(1)f\x)=ax+—=+

XX

①當(dāng)a>0時，r(x)>0,/⑴在［1,e］上單調(diào)遞增，則/⑴…=/(?)4/+1；

②當(dāng)〃<。時，令ra)=()，解得x,易知當(dāng)0<x<時，/v)>o,/。)單增，

當(dāng)"時，/'(x)v0,/(x)單減,

⑴當(dāng)1,即%-1時，/0)在［1，。］上單減，則f(x)"K“=f⑴

(”)當(dāng)舊..《，即J,,”。時，/⑺在口，8單增，則/C%=/(e)="+i；

(Hi)當(dāng)1〈舊ve,即—1<4<一5時，f(x)在(1，舊)單增，在(8,e)單減,

則

f(x)…="E)=一；一;比"G；

(2)證明：當(dāng)〃=1時，不等式顯然成立;

當(dāng)〃..2時，有ir(x)r-f\xn)=a+-r-(z+占)

XX

=3,+。,產(chǎn)二+……+%.3

xx>X

=C『2+cX+……+c：W，

.X

設(shè)5=。**-2+｛尸+……+C」,

XT

S=C丁工+……+c；z-4+C'x"-2,

2s=C(廣2+_L)+c；3T+白)+……+C：-'(4T+x”-2)..2(C：+C：+……+Qi)=2(2"-2)

X.V.1

.\S..2"-2,即一(。")..2"-2(〃€*).

2

6.己知函數(shù)/(x)=a/內(nèi)—x+—.

x

(1)當(dāng)a-3時，求/(x)的單調(diào)區(qū)問；

(2)①若/(n,2?1恒成立，求。的值；

x

(其中為自然對

②求證:對任意正整數(shù)，?(九.2),都有(1++">-(1+5)<6C

數(shù)的底數(shù))

解：(1)/(幻的定義域為(0,內(nèi))八幻=3_］=」y+2=_(1),2)。分)

Xx~x~x~

令/，(x)=0得x=l或x=2xe(0,l)時，/(x)<0；xe(l,2)時，/'(x)>0；xe(2,y)時,

尸")<。

所以，/(x)的單調(diào)增區(qū)間是(1,2),單調(diào)減區(qū)間是(0,1),(2,也)，…(3分)

2

(2)①解：由/(戲，—1,得。/九丫一%+1,，。對X￡(O,+oo)恒成立.

X

記/i(x)=Hnr-x+ia>0)其中力(I)=0,

/f(x)=--l=—,

XX

當(dāng)4,0時，/?幻<0恒成立，在(0,+03)上單調(diào)遞減，xc(0」)時，h(x)>h(1)=0,

不符合題意；…(4分)

當(dāng)a>0時、令h\x)=0,得x=a,

xe(0,a)時，h\x)>0,xe(a,+oo)時，h\x)<0,

所以Mx)在(OM)上單調(diào)遞增，在(a,一)上單調(diào)遞減，

/.h(x)/nu=h(a)=abia-a+1?0...(6分)

記8(a)=abui-?+1(?>0)?(p'(a)=lna.

令"(a)=0得〃=1,

.,.aw(O,l)時”(a)<0：awqy)時，(p'(a)>0?

(P(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(I,+oo)上單調(diào)遞增.

(P(a)=alna—a(I)=0,RPh(a)..0,:.h(a)=0.

又h(I)=0,故。=1…(8分)

②證明：由①可知：仇4%-1,(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立).

令X=1+—7?則/〃(14---7)<~<----------=------------?(〃,?2).

n~ITn~n(n-\)n-\n

,八、，八、，八、，

ln[\H17)+ln(\H-1-)+......+Zw(lH——1)<1----1--1---1-----1--F......H-----1--------1=1—,1<1,=,IItC9

2~3~，廣223n-\nn

??.(I+?)(I+5)(1+5)…(1+，)<“.

7.已知g(x)=px-9-2/(x),其中/(x)=/nx,且g(e)=qe---2.

xe

(1)求〃與夕的關(guān)系；

(2)若g(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求〃的取值范圍；

(3)證明：①+

@ln2ln3Inn2n2-n-\,八

—+—+.+^-<-------------(〃eN,九.2).

2232M僅"])

解：(1)由題意g(x)=px-g-2//zr,又g(e)=pe-幺-2,

xe

pc———2=cjc———2,；.(p—q)e+(p—q)—=0?(p-c—|=0.而eH—工0,

eee\eJe

所以〃=q;

(2)由(1)知：^(x)=px-——2lnx>=/74-=———〃，

XXXX

令〃(x)=〃d-2x+〃.要使g(x)在(0,”)為單調(diào)函數(shù)，只需〃(x)在(0,+co)滿足,H0..O或

h(x\,0恒成立.

①〃=0時，h(x)=-2x,x>0>/.h(x)<0?/.g'(x)=一一y<0?

g(x)在(0,+oo)單調(diào)遞減，.??〃=0適合題意.

②當(dāng)〃>0時，力(幻=pd-2*+〃圖象為開口向上拋物線，對稱軸為x=,e(0,+co).

P

h(x)ntin=p——,只需p—~-..0,即p..1時h{x)..0,4(x)..0，

PP

g(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，/.p..l適合題意.

③當(dāng)〃v0時，/i(x)=px2-2x+p圖象為開口向下的拋物線，其對稱軸為x=~!~任(0,+x),

P

只需力(0),,0,即p,,0時網(wǎng)0),,(0