2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破訓(xùn)練：幾何最值（復(fù)習(xí)講義）學(xué)生版

題型六幾何最值（復(fù)習(xí)講義）

【考點(diǎn)總結(jié)I典例分析】

解決幾何最值問題的理論依據(jù)有：①兩點(diǎn)之間線段最短；②垂線段最短；③三角形兩邊

之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）；④定圓中的所有弦中，直

徑最長(zhǎng)；⑤圓外一點(diǎn)與圓心的連線上，該點(diǎn)和此直線與圓的近交點(diǎn)距離最短、遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最

長(zhǎng).根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化從而減少變量是解決最值問題的關(guān)鍵，直接套用基本模型是解決幾何

最值問題的高效手段.

動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)階段的難點(diǎn)，它貫穿于整個(gè)初中數(shù)自數(shù)軸起始，至幾何圖形的存在

性、幾何圖形的長(zhǎng)度及面積的最值，函數(shù)的綜合類題目，無不包含其中.

其中尤以幾何圖形的長(zhǎng)度及面積的最值、最短路徑問題的求解最為繁瑣且靈活多變，而

其中又有一些技巧性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想（轉(zhuǎn)化思想），本專題以幾個(gè)基本的知識(shí)點(diǎn)為經(jīng)，以歷

年來中考真題為緯，由淺入深探討此類題目的求解技巧及方法.

舊要點(diǎn)也納

考點(diǎn)01胡不歸

胡不歸模型問題解題步驟如下；

1、將所求線段和改寫為“PA+2PB”的形式若2〉1,提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決。

aaa

2、在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個(gè)角度a,使得sina=2

a

3、最后利用兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題

【模型展示】

如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為VI,在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2,且V1〈V2,A、

B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使生+生的值最小.

%K

即求BC+kAC的最小值.

構(gòu)造射線AD使得sin/DAN=k,CH/AC=k,CH=kAC.

將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BHLAD交MN于點(diǎn)C,交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH

取到最小值，即BC+kAC最小.

在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型

問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型.

考點(diǎn)02阿氏圓

“阿氏圓”模型核心知識(shí)點(diǎn)是構(gòu)造母子型相似，構(gòu)造△PABs^CAP推出PA2=PB-PC,即：半徑的平

方=原有線段x構(gòu)造線段。

【模型展示】

如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k(kWl),則滿足條件的所有的點(diǎn)P構(gòu)成的圖

形為圓.

(1)角平分線定理：如圖，在AABC中，AD是/BAC的角平分線，則四=".

ACDC

A

BDC

43ABDB

證明.SABD_BDSXDE_J——,n即n——=——

7

■5ACD-CDS_ACD~ACxDF^.4cACDC

(2)外角平分線定理：如圖，在AABC中,外角CAE的角平分線AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,

則看嘿?

證明：在BA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E使得AE=AC,連接BD,則△ACDgZkAED(SAS),CD=ED

且AD平分NBDE,則=歿，即理=必.

DEAEACDC

接下來開始證明步驟:

如圖，PA：PB=k,作/APB的角平分線交AB于M點(diǎn)，根據(jù)角平分線定理，—=—=fc,

MBPB

故M點(diǎn)為定點(diǎn)，即NAPB的角平分線交AB于定點(diǎn)；

作NAPB外角平分線交直線AB于N點(diǎn)，根據(jù)外角平分線定理，—=^,故N點(diǎn)為定

NBPB

點(diǎn)，即/APB外角平分線交直線AB于定點(diǎn)；

又NMPN=90°,定邊對(duì)定角，故P點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓.

考點(diǎn)03費(fèi)馬點(diǎn)

費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距高之和最短的點(diǎn)。

主要分為兩種情況：

(1)當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于120。的三角形，通常將某三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60度，從而將“不等三爪圖”中

三條線段轉(zhuǎn)化在同一條直線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題。

(2)當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)就是此內(nèi)角的頂點(diǎn).

費(fèi)馬點(diǎn)問題解題的核心技巧：

旋轉(zhuǎn)60。f構(gòu)造等邊三角形今將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化至同一直線上)利用兩點(diǎn)之間線段

最短求解問題

【模型展示】

問題：在AABC內(nèi)找一點(diǎn)P,使得PA+PB+PC最小.

【分析】在之前的最值問題中，我們解決的依據(jù)有：兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)到直線

的連線中垂線段最短、作對(duì)稱化折線段為直線段、確定動(dòng)點(diǎn)軌跡求最值等.

(1)如圖，分別以AABC中的AB、AC為邊，作等邊AABD、等邊4ACE.

(2)連接CD、BE,即有一組手拉手全等：4ADC絲Z\ABE.

(3)記CD、BE交點(diǎn)為P,點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn).(到這一步其實(shí)就可以了)

(4)以BC為邊作等邊aBCF,連接AF,必過點(diǎn)P,有NPAB=/BPC=/CPA=120°.

在圖三的模型里有結(jié)論：(1)ZBPD=60°；(2)連接AP,AP平分/DPE.

有這兩個(gè)結(jié)論便足以說明NPAB=NBPC=NCPA=120。.原來在“手拉手全等”就已

經(jīng)見過了呀，只是相逢何必曾相識(shí)！

考點(diǎn)04瓜豆原理

動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：”一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值

為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。

確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓或者圓弧型的方法：

(1)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變，則點(diǎn)的軌跡是圓或者圓弧。

(2)當(dāng)某條邊與該邊所對(duì)的角是定值時(shí)，該角的頂點(diǎn)的軌跡是圓，具體運(yùn)用如下；

①見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形

②見定角，找對(duì)邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形

【知識(shí)精講】

如圖，P是圓0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn).

考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓0有什么關(guān)系？

考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接A0,取A0中點(diǎn)M,則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ

是0P一半，任意時(shí)刻，均有△AMQS/XAOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.

【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑,

由A、Q、P始終共線可得：A、M、0三點(diǎn)共線，

由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AO.

Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放.

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.

如圖，P是圓0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,作AQ_LAP且AQ=AP.

考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ,故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)

軌跡都是圓.接下來確定圓心與半徑.

考慮APLAQ,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AMLA0；

考慮AP=AQ,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO,且可得半徑MQ=PO.

即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO0ZkAQM.

如圖，4APQ是直角三角形，ZPAQ=90°且AP=2AQ,當(dāng)P在圓0運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】考慮APLAQ,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AMLA0；

考慮AP:AQ=2:1,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1.

即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APOS^AQM,且相似比為2.

【模型總結(jié)】

為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q,可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”.

此類問題的必要條件：兩個(gè)定量

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（NPAQ是定值）；

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.

【結(jié)論】（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：

ZPAQ=ZOAM；

（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：

AP:AQ=AO:AM,也等于兩圓半徑之比.

按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮.

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.

考點(diǎn)05將軍飲馬

1.兩定（異側(cè)），一動(dòng)

BB

2.兩定（同側(cè)），一動(dòng)

知識(shí)提煉：

折線問題―（利用軸對(duì)稱的性質(zhì)）-兩點(diǎn)間線段最短問題

一典例解析

1.如圖，aABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于點(diǎn)E,D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

CD+—BD的最小值是（）

5

2.如圖，在AA5c中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD,則2AD+3BD的最小值是.

3.如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD--PC

2

的最大值為.

4.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）如圖，E,尸是正方形ABCD的邊A3的三等分點(diǎn)，P是

對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸E+P廠取得最小值時(shí)，器AP的值是

5.如圖，將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AADE,。石與交于點(diǎn)P,可推出結(jié)論:

PA+PC=PE

rE

A

D

問題解決：如圖，在AMNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4，5.點(diǎn)。是AMNG內(nèi)

一點(diǎn)，則點(diǎn)。到AMNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是

6.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=布,動(dòng)點(diǎn)P在矩形的

邊上沿3fCf。今4運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)尸不與點(diǎn)A3重合時(shí)，將一項(xiàng)P沿AP對(duì)折，得到AB'P,

連接C9,則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段C夕的最小值為.

7.（2023?廣西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形A3CD中，E,歹分別是3C,CD

上的動(dòng)點(diǎn)，M,N分別是EF,A尸的中點(diǎn)，則MN的最大值為.

8.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，

NABC=NBAZ）=90o,AB=5,AD=4,AZ）＜BC,點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸在線段AE上,

NADF=/BAE,則線段3F的最小值為.

9.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線＞=-9+2與x軸，y軸分別交于A,8兩

點(diǎn)，點(diǎn)。是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)”是直線＞=-gx+2上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E（m,0）,F（m+3,0）,

連接BEDF,HD.當(dāng)3E+OF取最小值時(shí)，33"+5?！钡淖钚≈凳?

10.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將AEBF

沿EF所在直線折疊得到AEB'F,連接B'D,則B'D的最小值是.

11.如圖，在矩形A8CD中，AB=10,AD=6,動(dòng)點(diǎn)尸滿足以網(wǎng)=工5矩形A5C0，則點(diǎn)P到A,

3

B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為.

12.如圖，等邊4ABC的邊長(zhǎng)為4,AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上

一點(diǎn)，若AE=2,當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，則/ECF的度數(shù)為多少？

13.(1)如圖1,在力和6兩地之間有一條河，現(xiàn)要在這條河上建一座橋切，橋建在何處才

能使從4到8的路徑最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直)

A.

'B

圖1

(2)如圖2,在/和6兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在這兩條河上各建一座橋，分