2025高考數(shù)學考過關檢測 數(shù)列 專項訓練【含答案】

2025高考數(shù)學考二輪專題過關檢測3數(shù)列專項訓練

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分洪40分在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.（2024?九省聯(lián)考）記等差數(shù)列｛斯｝的前n項和為S.,①+劭=602=17,則Si6=（）

A.120B.140C.160D.180

2.已知等比數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，且“3=9,則

10g3。1+10g3?2+10g3Q3+10g3G4+log3?5=（）

A.|B.|C.10D.15

3.（2024?遼寧沈陽統(tǒng)考一模）已知有100個半徑互不相等的同心圓,其中最小圓的半徑為

1,在每相鄰的兩個圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長都為2,則這100個圓中最大圓的

半徑是（）

A.8B.9C.10D.100

4.我國明代著名樂律學家明宗室王子朱載埴在《律學新說》中提出十二平均律,即是現(xiàn)

代在鋼琴的鍵盤上,一個八度音程從一個c鍵到下一個5鍵的8個白鍵與5個黑鍵（如

圖），從左至右依次為:5#m#。,蟀,&#斷#咕4的音頻恰成一個公比為1短的等比數(shù)列的

原理，也即高音ci的頻率正好是中音c的2倍.已知標準音a的頻率為440Hz,則頻率為

220或Hz的音名是（）

A.dB.f

C.eD.#d

5.已知數(shù)列｛an｝的前n項和S"",設數(shù)列｛高力的前n項和為則辦的值為（

A19-38「20-40

6.一百零八塔位于寧夏吳忠青銅峽市，它因塔群的塔數(shù)而得名,塔群隨山勢鑿石分階而建,

由下而上逐層增高,依山勢自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7,…，該數(shù)列從第5項開

始成等差數(shù)列，則該塔群最下面三層的塔數(shù)之和為（）

A.39B.45C.48D.51

7.在1到100的整數(shù)中,除去所有可以表示為2"（〃CN*）的整數(shù)，則其余整數(shù)的和是（）

A.3928B.4024C.4920D.4924

8.已知函數(shù)次"）=『廣勺且則。1+放+。3+…+。100等于（）

（-71。,n為偶數(shù)，

A.OB.100

C.-100D.10200

二'選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知等差數(shù)列｛詼｝的前n項和為S",公差d=l.若ai+3%=S7,則下列結(jié)論一定正確的是

（）

A.%=1的最小值為邑

CS=S6D&存在最大值

10.已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列淇前30項和為390Ml=5力"=2也對于數(shù)列｛劣｝,｛6“｝,下列選

項正確的是（）

A.bio=8b5B.｛b“｝是等比數(shù)列

D。3+。5+。7_209

C.6ZlZ?30=105

。2+。4+。6193

11.對于數(shù)列｛斯｝，若存在正數(shù)M使得對一切正整數(shù)”，都有則稱數(shù)列｛為｝是有界

的.若這樣的正數(shù)”不存在，則稱數(shù)列｛念｝是無界的.記數(shù)列｛斯｝的前n項和為下列結(jié)

論正確的是（）

A.若斯=；,則數(shù)列｛斯｝是無界的

B.若斯=（?"sin〃,則數(shù)列｛S"｝是有界的

C若（=（/）",則數(shù)列｛S”｝是有界的

D.若?！?2+，則數(shù)列｛*｝是有界的

三、填空題:本題共3小題,每小題5分洪15分

12.記S?為等差數(shù)列｛a?｝的前n項和.若2s3=3S2+6,則公差d=.

13.已知數(shù)列｛斯｝滿足m=1,即+1。”=2"(〃CN*),若S,,為數(shù)列｛a?｝的前"項和，則S2

024=-

14.某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格

為20dmxl2dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格

的圖形，它們的面積之和Si=240dn?,對折?次共可以得到5dmxl2dm,10dm><6dm,20

dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和$2=180dn?,以此類推.則對折4次共可以得

n

到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對折"次，那么XSk=dm2

k=l

四、解答題:本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

15.(13分)記S,為數(shù)列｛%｝的前n項和.已知等+"=2飆+1.

(1)證明:｛斯｝是等差數(shù)列；

⑵若。4,。7,。9成等比數(shù)列，求Sn的最小值.

16.(15分)已知數(shù)列｛飆｝是正項等比數(shù)歹U,滿足俏是2口3a2的等差中項皿=16.

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項公式；

(2)若兒=(-l)"log2a2”+1,求數(shù)列出｝的前n項和Tn.

17.（15分）已知數(shù)列｛處｝的首項。1=1,且滿足4〃+0=2〃+\記兒=歐沱i+d/^N*.

（1）證明:｛兒｝是等比數(shù)列；

⑵記Cn=-7~黑廠3，證明:數(shù)列｛，”｝的前〃項和S懸

3n+1-3）（。7rJ）乙

18.（17分）某市為加強環(huán)保建設，提高社會效益和經(jīng)濟效益，計劃用若干年更換1萬輛燃油

型公交車，每更換一輛新車,淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動力型車.今年

年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛，計劃以后電力型車每年的投

入量比上一年增加50%,混合動力型車每年比上一年多投入a輛.

（1）求經(jīng)過n年，該市被更換的公交車總數(shù)網(wǎng)〃）；

（2）若該市計劃用7年的時間完成全部更換，求。的最小值.

19.（17分）（2024?湖南岳陽二模）已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是2°,

接下來的兩項是2。,再接下來的三項是2。,2122,依此類推.設該數(shù)列的前n項和為規(guī)

定:若三加?N*,使得S“=2P（pCN）,則稱m為該數(shù)列的“佳幕數(shù)

⑴將該數(shù)列的“佳幕數(shù)”從小到大排列，直接寫出前4個“佳基數(shù)”;

⑵試判斷50是不是“佳幕數(shù)”，并說明理由;

⑶①求滿足心1000的最小的“佳幕數(shù)”如

②證明:該數(shù)列的“佳幕數(shù)”有無數(shù)個.

專題過關檢測三數(shù)列答案

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分洪40分在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.C解析因為。3+劭=2。5=6,所以。5=3,所以。5+。12=3+17=20,

所以516=迫號*=8(。5+。12)=160.

故選C.

2.C解析因為等比數(shù)列｛斯｝的各項均為正數(shù)，且的=9,所以

Iog3ai+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5=log3(ai?2a3a4a5)=log3(a3)=1°g3(95)=log3(310)=10.

3.C解析設這100個圓的半徑從小到大依次為n/2,…，loo,則由題知，療=1,每相鄰的兩

個圓中,小圓的切線被大圓截得的弦長都為2,有瑞+i—瑤=1(”=1,2,…,99),則｛瑞｝是首項

為1,公差為1的等差數(shù)列,〃=1,2,…,100,所以啜)0=10(),得.0=10.故選C.

4.D解析因為a的音頻是數(shù)列的第10項,440=220魚X25=220^x(2五)，所以頻

率為220應Hz是該數(shù)列的第4項，其音名是#d.

22

5.C解析當n=l時,ai=Si=l;當”22,an=Sn-Sn-i=n-(n-l)=2n-l.Wai=l也符合

a”=24_l,所以斯=2〃_].所以—--=---------=-(―-----^―),所以7^,=-(1--+-—

5v,V

anan+1(2n-l)(2n+l)22n-l2n+Y233

-+???+------上尸」一,所以720=^^=

52n-l2n+l72V2n+l72n+l‘2x20+141

6.D解析設該數(shù)列為｛斯｝，依題意，可知。5,。6,…成等差數(shù)列，且公差為2,05=5.設塔群共

有〃層，則1+3+3+5+5(〃-4)+竺等2x2=108,解得”=12.故最下面三層的塔數(shù)之和為

QIO+QII+QI2=3QII=3X(5+2X6)=51.

7.D解析由2"6[1,100],”6^1*,可得〃=123,4,5,6,所以

21+22+23+24+25+26=^^=126.X1+2+3+…+100=出過曾=5050,所以在1至U100的

1-22

整數(shù)中，除去所有可以表示為2"(“6N*)的整數(shù)，其余整數(shù)的和為5050-126=4924.

8.B解析由已知得當n為奇數(shù)時，斯當n為偶數(shù)時,即=-

H2+(n+l)2=2n+l.

所以幻+念+/+…+aioo=-3+5-7+…+201=(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)=2x50=100.

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分

9.AC解析由已知得ai+3(〃i+4xl)=7ai+g^xl,解得兇=-3.

對于選項A/?5=-3+4xl=l,故A正確.

對于選項B,Q〃=-3+1=〃-4,因為。1=-3<0,。2=-2<0,。3=-1<0,。4=0,。5=1>0,所以S〃的最小

值為S3或故B錯誤.

對于選項C,S6-Sl=〃2+〃3+〃4+〃5+〃6=5〃4,又因為〃4=0,所以S6-Sl=0,即S1=S6,故C正確.

對于選項D,因為￡=-3〃+竽=?，所以義無最大值，故D錯誤.

10.BD解析設｛斯｝的公差為d,

由已知得30'5+江箸=390,

解得喈

.”,16n+129

??Q“=Ql+(〃-l)d=-------.

a

2n+lad

：5=2n+l-^n=2y

.:記2an

故數(shù)列｛兒｝是等比數(shù)列,B選項正確.

???5〃=5嚕=出3,

.:等=(2")5=2*23,.沏()邦區(qū),A選項錯誤.

21

:7/30=41+29d=5+16=21,?:。也0=5x2>105,C選項錯誤.

:'i+3"5+3x募=梟5-+4"5+4嚕=209.。3+。5+。73a5黑，D選項

29。2+。4+。63a4。4

正確.

11.BC解析對于Aj“|=|汨<1恒成立,

.:存在正數(shù)X=l,使得|編WX恒成立,

?:數(shù)列｛劭｝是有界的,A錯誤.

對于B,二iWsin后鏟sin"<(1)",

.：S=m+a2+…+斯<1+(1)2+…+(]”=2口：?

2

S?=ai+a2+-+a?>-[|+(|)+-+(i)"]=-l+(i)">-l,

.:存在正數(shù)M=l,使得|S“|WM恒成立，

.：數(shù)列｛S.｝是有界的,B正確.

對于C,:%“=(/)",.：當〃為偶數(shù)時,S,=0;當n為奇數(shù)時$=-L

.：國氏1,.：存在正數(shù)加=1,使得|5"區(qū)屈恒成立,.：數(shù)列｛5〃｝是有界的。正確.

對于=吃<--—-=2(------—),

'九24n2(2n-l)(2n+l)v2n-l2n+l/?

?：￡=2/1+蠢+/+?.?+^W2〃+2(l-+$亳-熹)=2〃+2(1-

上=2〃+篇=2(〃—+l).

易知缶在[1,+8)上單調(diào)遞增，

?：〃」一￡[2,+OO).

2n+lL3?7

.：不存在正數(shù)M使得5|WM恒成立，.：數(shù)列｛S"｝是無界的,D錯誤.故選BC.

三'填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.2解析由2^3=352+6可得2(〃1+〃2+。3)=3(41+42)+6,所以243=41+42+6,

即2(Qi+24=2〃i+d+6,解得d=2.

13.3X21012-3解析因為ai=l,即+1斯=2〃,所以當〃=1時，有a2al=2,解得z=2,且

?！?2斯+1=2〃+1,所以久攔'=2.

所以當〃為奇數(shù)時,斯=1義2三=2~;

n-2n

當n為偶數(shù)時，斯=2x24=22.

所以1〃。)。?！?

SzoZdUQl+QZ_----Hz024=(1+3^----023+(2+4^---------^2024=--1---Z----F

^^2=30。￡3?

1-2

14.5240(3-為圣)解析對折3次共可以得到dmxl2dm,5dmx6dm,10dmx3dm,20

dmx|dm四種規(guī)格的圖形，面積之和S3=4x30=120dm2;

江m

對折4次共可以得到mdmx12dm2x6dm,5dm><3dm,10dmx-dm,20dmx-dm五種規(guī)

4

格的圖形S=5xl5=75dm2;

可以歸納對折n次可得〃+1種規(guī)格的圖形5=("1)皆dnR

則1S產(chǎn)S+S2+…+*=240(套+襄+,+…+*).

k二l

記7ln=2+3+2+…+山①

忙21十22十232n，

2,3,,n,n+1

則/=齊+/+…+亓+麗?②

①與②式相減，得*7“=翔技+蠢+套+…+聯(lián)一露=|一景1.

故北=3-穿

n

故￡S左=2403=240

k=lG芳)

四、解答題:本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

15.(1)證明由也+〃=2斯+1,

得2S〃+〃2=2。儲+〃①，

所以2*+I+(〃+1)2=2Q“+I(〃+1)+(〃+1)②，

②-①，得2?！?1+2〃+1=2恁+i(〃+1)-2?！ā?1,

化簡得an+\-an=l.

所以數(shù)列｛斯｝是公差為1的等差數(shù)列.

(2)解由(1)知數(shù)列｛斯｝的公差為1.

由=44。％得(〃1+6)2=(m+3)3+8),解得a\—12.

所以S.=-12"+史羅=Q箸=1(?-y)2-^,

所以當?=12或13時5取得最小值，且最小值為-78.

16.解⑴設正項等比數(shù)列｛以｝的公比為狗>0).

2

因為。3是2a1,3。2的等差中項，所以2a3=2。1+3色即20d=24]+3°1%因為小刈,所以2q-

3q-2=0,解得q=2或《=t(舍去).

所以°4=。"=841=16,解得<71=2.

所以a“=2x2""=2".

(2)由(1)可知儂+1=22"+1,

所以兒=(-1)"log2a23+1=(-1)"log222*+i=(-1)”(2〃+1),

所以T?=(-1)1X3+(-1)2X5+(-1)3X7+-+(-1)"(2?+1),

-r?=(-l)2x3+(-l)3x5+(-l)4x7+-+(-l)n+1-(2H+l),

所以27；,=-3+2[(-l)2+(-l)3+-+(-l)n]-(-l),,+1(27j+l)=-3+2xi±|^+(-l)n(2H+l)=-3+l-(-l)n-

1+(-l)"(2/i+l)=-2+(2〃+2)(-1)",

所以7k=(n+l)(-l)H-l.

17.證明⑴因為所以。2"+2。2"+1=2"'+為2"+1。2"=2"'+1,所以的"+2=2.

a2n

2n+12

因為a2n+iain=2,amain-1=2",

所以％±1=2.

a2n-l

因為bn=a2n-l+a2n,

因為匕x+l_、21+1+/21+2_2a271-1+2。2._2

如a2n-i~^a2na2n-i^'a2n

又因為當n=l時,〃2。1=4/1=1,所以。2=4,所以仇=。1+。2=5,

所以｛兒｝是以5為首項,2為公比的等比數(shù)列.

b_5乂2-口_1

⑵由⑴可得d=5x2爐因為n

儂九-n

(bn+1-3)(Zjn-3)-(5*2H-3)(5'21-3)-5*21-35x2-3‘

所以&=?一$)+(.

淅)-淅)=5一B<W

18.解(1)設廄,兒分別為第〃年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量，依題意,

數(shù)列｛斯｝是首項為128,公比為1+50%=|的等比數(shù)歹[,數(shù)列?“｝是首項為400,公差為。的

等差數(shù)列.

128X[M|)：

所以數(shù)列｛源｝