2025高考數(shù)學突破練：空間位置關(guān)系、空間角的向量方法【含答案】

2025高考數(shù)學考二輪專題突破練15空間位置關(guān)系、空間角的向量方法-專項訓練

1.如圖，直三棱柱ABC-AiBiCi的體積為4,AJiSC的面積為2a.

(1)求/到平面48c的距離;

(2)設(shè)。為4c的中點〃4=48,平面43C，平面求二面角A-BD-C的正弦值.

2.(2024?九省聯(lián)考)如圖，平行六面體ABCD-4BCD中，底面ABCD是邊長為2的正方

形,。為AC與BD的交點,/4=2,NGC3=NGCD,NGCO=45°.

(1)證明:GO_L平面ABCD;

(2)求二面角B-AA.-D的正弦值.

3.如圖,已知斜三棱柱ABC-AxBxCx的底面是邊長為2的正三角形,。為AABC所在平面內(nèi)

一點，且四邊形ABCD是菱形四邊形ACC\A\為正方形，平面/QC」平面

AiBiCi.

(1)求證:3iO_L平面ABCD;

(2)求二面角C-DCx-Ax的正弦值.

4.(2024?廣東韶關(guān)高三模擬)如圖，圓柱內(nèi)有一個直三棱柱/3C4SG,三棱柱的底面

三角形內(nèi)接于圓柱底面，已知圓柱001的軸截面是邊長為6的正方形48=/。=府，點尸

在線段(9(91上運動.

(1)證明我1；

(2)當PA,=PB時，求BC與平面AiPB所成角的正弦值.

5.如圖，在三棱柱ABC-AiBiCx中刀為/C的中點/B=BC=2,N/48i=N3i8C.

(1)證明

⑵若38J3C,且滿足:,(,造條件).

從下面給出的①②③中選擇可個填入待造條件，求二面角B-BDG的正弦值.

①三棱柱ABC-ABCi的體積為3V3;

②直線ABi與平面BCCiBi所成的角的正弦值為等；

③二面角4A81-C的大小為60°.

6.如圖，在三棱錐/-BCD中,N8C0=9O°,BC=CD=l,ZACB=ZACD=d.

(1)求證:“。_13。.

(2)有三個條件:①6=60°;②直線AC與平面BCD所成的角為45°;③二面角A-CD-B的

余弦值為苧.請你從中選擇一個作為已知條件，求直線3c與平面/CD所成角的正弦值.

專題突破練15空間位置關(guān)系、空間角的向量方法答案

1.解⑴由題意可得/4BC=%「ABC=a”必4=產(chǎn)直三棱柱4804出(；1.、4=.

設(shè)點A到平面A1BC的距離為"，則”“通(;4=92/03."=魚.

(2)連接ABi交45于點E,如圖.

VAAi=AB,.".ABxVA\B.

又平面48CL平面/協(xié)/1,平面4BCn平面48囪出=/山,.：/8」平面A\BC.

又3Cu平面AiBC,.：BCLABi,又5C_L58sBi，班小平面4BB14,且ABQBBi=Bi,

.：3C_L平面4BBiAi,.：BCL4B,BCLAB

.：4B,8C,A8i兩兩垂直.以8為坐標原點，以近，瓦5,西的方向分別為x軸、y軸、z軸的

正方向建立空間直角坐標系.

設(shè)AAi=AB=h,

BChj.

-----h=4,

{事=2奩，

解得/z=BC=2.

.:點^(0,2,0),5(0,0,0),2)(1,1,1),￡(0,1,1).

設(shè)ni=(xi,yi,zi)為平面ABD的一個法向量.

=(0,2,0),50=(1,1,1),

加?函=2yl=0,

[n-^BD=/+%+Zi=0.

令為=1,則zi=-l,Zm=(l,0,-l).

由平面43C,得荏為平面瓦兀的一個法向量，而荏=(0,-1,1),

.4二Mi'AE1

??COS<IliyiC>="—-=r=—,

?%|陰2

.：二面角A-BD-C的正弦值為

2.(1)證明如圖，連接8C1QG,

AB

因為底面48co是邊長為2的正方形，所以3c三DC,

又因為ZCiC5=ZCiCD,CCt=CCi,

所以△GC8多△CiCO,所以BCLOG,點0為線段5。的中點，所以CXOLBD.

在△CC0中,CG=2,CO=14C=VXNCCO=45°,

222

所以cosZCiCO=—=cC+ocZ-c102nao=e,則CiC=OC+CiO^CiO±OC,

22xC]CxOC

又OCn3D=O,OCu平面ABCD,BDu平面4BCD,所以GO_L平面ABCD.

(2)解由題知，在正方形4BCD中〃C，AD,GCa平面48CO,所以以。為坐標原

點,/C,3Z),0Ci所在直線分別為x軸、了軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖所示,

則5(0,V2,0)A0,-V2,0)^(V2,0,0),C(-V2,0,0),Ci(0,0,V2),

則初=CQ=(V2,0,V2),^B=(-V2,V2,0),^D=(-V2,-V2,0).

設(shè)平面BAAi的法向量為m=(xi,yi,zi),平面DAAi的法向量為n=(x2,y2,Z2),

則因m=。=[叼+嚕=0=m=(l,l「l),

VAB'm-0+72yl—0

S=。,+V2Z=0,11、

0一向22=02，-W

n=0

設(shè)二面角B-AAi-D的大小為

則cos3蒜=恐"

所以sin(9=Vl-cos20=

所以二面角B-AA^-D的正弦值為言.

3.(1)證明如圖，取AiCi的中點M連接MD,MBi,MO.

由題意可知ByM//BD,BYM=BO=OD,

所以四邊形BiMDO是平行四邊形.

因為43i=3Ci,所以BxMLAxCx.

因為四邊形/CCMi為正方形，所以4G.

又QWCI51M=M所以4cl_L平面BiMDO.

又MOu平面31MoO,所以4G"LDM

又平面4DG，平面451cl，平面4DC1A平面481cl平面AXDCX,

所以DM,平面48cl.

又平面48co〃平面43C1,

所以。ALL平面/BCD

因為四邊形BxMDO是平行四邊形，

所以3。〃。以所以SOJ_平面ABCD.

(2)解以。為坐標原點0C,。。,031所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐

標系如圖所示，則C(1,0,0),D(0,V5,0),G(11)4(-11),

所以而=(-1,71,0),西=(1,0,1),而=(2,0,0),而=(0,V3,0).

設(shè)平面CDCi的法向量為m=(x,y,z),

m?而=0,即產(chǎn)+何=0,

nvDC]=0,(%+z=0,

令尸1,則X=g,z=-V5,所以m=(g』,-VI)為平面CDCi的一個法向量.

因為南?不豆包.?西=0,所以加=(0,百,0)為平面4DG的一個法向量.

設(shè)二面角C-DCi-Ai的大小為優(yōu)則|cos6>|=|cos<m,OD>|=|m'^1=』丁=g,

77iC/uY/xy3/

所以sin(9=Vl-cos20=

所以二面角C-DM的正弦值為苧.

4.(1)證明如圖，連接AO并延長，交BC于M交圓柱側(cè)面于N,

因為4O」BC,OOi為圓柱的高，

所以4。1乃1。1,。。1兩兩垂直，以。1為坐標原點，過點01作SiCi的平行線為x軸，以401

所在直線為y軸，以。10所在直線為z軸，建立空間直角坐標

系,001=441=AN=6)B=AC=同.

在“BC中,由射影定理得/C2=NM%N=30,所以//=5,。河=/環(huán)/。=2,從而

CM=BM=(VW$=V5,

所以4(0,-3,0),8(%26)4(-遮,2,6),阮=(-2遮,0,0).

設(shè)P(0,0,/l),所以不=(0,31),不?玩=0,所以3C_L刃i.

(2)解由(1)可得，前=(-逐,-2,16卜

所以|用1=1而I,故、9+存=J5+4+(4-6)2,解得2=3,即點P是線段Q。的中點,

所以審=(0,3,3),麗=(-7^,-2,-3).

設(shè)平面A\PB的一個法向量為n=(x,y,z),

(口

則}{3y+3z-=0,0取尸1，得n=(v"sl),

在/—

設(shè)BC的一個方向向量為m=(l,0,0),于是得|cosvn,m>|=|?

j咯2+m

設(shè)BC與平面A\PB所成角為仇貝?。輘in0=|cos<n,m>|=^,

所以3C與平面小尸3所成角的正弦值為手.

5.(1)證明在三棱柱/3C-431C1中，由題意可得441=3/,乙4/山1=/8山。么山1=3。,

.：AAA1B1學ABiBC,

.".AB\=CB\,

又4D=DC,.1BiDLAC,

同時在A/BC中，:.AB=BC4D=DC,

.'.BDLAC,

：/1。仆3。=。,3。,區(qū)0<=平面BDBi,

.：/C_L平面BDBi,

又平面BDBi,.：ACLBBi.

(2)解由(1)知BBdAC,又BBi±BC且ACC\BC=C,

.：38」平面/8。，

.：平面48CL平面BCCiBi.

方案一:選擇①③.

:方8」平面/8C,

.：/ABC為二面角/-A81-C的平面角，即ZABC=60。，

/.AC=2,/.BD=43,

,:S"Bc=；x2x2xsin60°=g.又三棱柱48c-4BG的體積為3電;.BB\=3.

(方法一)取4cl的中點為￡,連接EBi,ED,過E作EF±BXD于點￡連接CiF,

：NCJ_平面3D5i,.：ECi_L平面BDEBi,

又EFLBQ,.：CiF工BQ,

.：NEFCi為二面角E-B^D-Ci的平面角，

其中GE=1/=|,。/=手，則sinNE尸G=譽.

;二面角B-BiD-Ci的平面角與二面角E-B^D-Ci的平面角互補，

故二面角B-BDG的正弦值為誓.

(方法二)如圖所示，建立空間直角坐標系，

則5(0,1,0),51(3,l,0),Ci(3,-l,0),Z>(0,-1,爭.

設(shè)平面BDBi的一個法向量為m=(xi,g,zi),且西=(3,0,0),麗=(0,-|,y),

則［需］-n明(3為%i=+0,%=。,令，□，則iY—故mW，島—

設(shè)平面BQCi的一個法向量為n=(X2,.Z2),且函=(0,2,0),幣=(-3，￥),

rrQBi=0,即'2丫2=0,

則

-3x2+|y2+yz2=0,

wCrD—0,

令工2=-1,則^2=0/2=-2百,故n=(-l,0,-2V3).

mn3V13

cos<m,n>=——

\m\\n\13'

故二面角B-BiDC的正弦值為誓.

方案二:選擇①②.

過點/作/0,3c于點0.

;平面ABC，平面8CC181/。，8cHOu平面ABC,

.：/。，平面3CC1B1,.：直線ABi與平面BCCB所成角為N4B。,且sinZABiO—.

設(shè)AO=x,BBi=y,

(^ABC-A1B1C1=Xy=3V3,

則｛./IDCxV39

解得2=產(chǎn)即/。=低陽=3.

(y=3,

余下解法參考方案一.

方案三:選擇②③.

過點/作ZOLBC于點O,

:方田，平面N3C,

/.BBX±AB,BB\LBC,

.：N/3C為二面角/-381-C的平面角，即N/3C=60。，

.：AC=2,「.AO=回

;平面48CL平面BCCB且交線為平面ABC,

.：/OJ_平面BCCiBi,

.：直線481與平面BCCiBi所成角為N/囪。,且sinZABiO~.

設(shè)381=弘則sinXABiO=-^-=./W

，八八網(wǎng)y[y1+4135

解得了=3,即BBi=3.

余下解法參考方案一.

6.(1)證明如圖，取50的中點0,連接CUQC,則OCVBD.

因為BC=DC,ZACB=ZACD=O.AC=AC,

所以A/BC且A/DC,

所以/3=40,所以0A±BD.

又OAHOC=O,

所以50,平面/0C

又/Cu平面/0C,所以NCL3D

(2)解在直線/C上取點尸，使得/尸OC=90°，連接

由(1)知平面/0C,尸Ou平面AOC,

所以BDLPO.

又OCQBQ=。,所以尸0,平面BCD.

由(1)知OCLAD,所以O(shè)C,OD,OP兩兩互相垂直.

以。為原點。C。。,。尸所在直線分別為x軸、了軸、Z軸，建立空間直角坐標系.如圖所

示.

因為/BCD=90°,8C=C￡）=1,所以O(shè)C=OB=OD=^-.

又POJ_平面BCD,

所以PB=PC=PD.

選①，由6=60。，可知△PCD是等邊三角形，所以尸。=。。=1,0尸=亨.

所以尸（0,0,專）,C（苧,0,0）,D（0,y,0）3（0,-y,0）,

所以近=（今字，。）灰=停手。）"=（。，當?

設(shè)平面PCD的法向量為n=（x,y,z）,

{n-DC=—x--y=0,

[n-DP=-yy+yz=0,

取x=l,則y=z=l,所以n=（l,l,l）為平面PCD的一個法向量.

設(shè)直線3c與平面PCD所成的角為a,

則sina=|cos＜前,心上舒V2V6

1x733.

因為平面ACD與平面PCD為同一個平面，所以直線BC與平面ACD所成角的正弦值為

V6

3.

選②，由尸。，平面3co，可知/尸CO為直線4C與平面BCD所成的角，所以N

PCO=45。，所以。尸=。。=當所以尸（O,O，￥）C（今0,0）0（0,冬0）,3（0,岑0）,

所以阮=（亨,號,0）,反=（冬-冬0）,麗=（0,當當）.

設(shè)平面PCD的法向量為n=（x,y/）,

{n-DC