2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第七周 專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

第七周

［周一］

U，則|Z|等于（）

1.（2023?淮北模擬）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z

A.2B.小C.y/2D.y/5

答案C

1—3i(1—3i)(2—i)—1—7i\7.

解析Z=2+i=(2+i)(2-i)=-55苧'

則|z|=+

2.（2023??？谀M）瓊中蜂蜜是海南省瓊中黎族苗族自治縣特產(chǎn).人們贊美蜜蜂是自然界的建

筑師，是因?yàn)槊鄯浣ㄔ斓姆浞渴且哉庵鶠閱挝坏膸缀误w.18世紀(jì)初，法國(guó)天文學(xué)家通過觀

測(cè)發(fā)現(xiàn)蜜蜂蜂房的每個(gè)單位并非六棱柱.如圖1,正六棱柱ABCDEF-A/iGAEiB的底面

邊長(zhǎng)為m高為。.蜜蜂的蜂房實(shí)際形狀是一個(gè)十面體，如圖2,它的頂部是邊長(zhǎng)為〃的正六邊

形，底部由三個(gè)全等的菱形AGC3，,CGED'和EG4P構(gòu)成，其余側(cè)面由6個(gè)全等的直角

f,

梯形構(gòu)成，AA、=CCi=EEi=b,BiB=DiD'=FiF=c,蜜蜂的高明之處在于圖2的構(gòu)

造在容積上與圖1相等，但所用的材料最省.則圖2中，b—c等于（）

旦

尸i

E】

儲(chǔ)G

FH,A

ABG

圖1圖2

也aC.fD號(hào)

A:B

2-2

答案D

解析設(shè)b-cx,則由題意知蜂房的表面積為#x）=6ab—6X呼zx+3

=6ab—,

3小a8x6事ax

求導(dǎo)得fW=—3a~[3〃,

22)4/+〃224/+層

人#，、Max,^2a

令/（x尸g]—3o“=n。，侍0x=4'

當(dāng)0＜xQ^時(shí)，f'（x）＜0,/（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x＞乎時(shí)，f（%）＞o,y（x）單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=與時(shí)，＜x）取得極小值，也是最小值，即此時(shí)蜂房最省料.

3.（多選）（2023?衡陽模擬）已知拋物線C：尸加的頂點(diǎn)為。，準(zhǔn)線為尸得，焦點(diǎn)為F,過

尸作直線/交拋物線于M,N兩點(diǎn)（M,N順序從左向右），則（）

A.

B.若直線/經(jīng)過點(diǎn)（-1,0）,則|MN|=|

C.|OMH。川的最小值為1

D.若的=3加，則直線/的斜率為當(dāng)

答案ABD

解析拋物線方程化為/=g，準(zhǔn)線為y=一1，所以a＞0,20=；,今=與，

準(zhǔn)線為y=—專=—￡;=—所以〃=],故A正確;

又m，g,過/作直線/交拋物線于M,N兩點(diǎn)，顯然/的斜率存在，

設(shè)I的方程為y=kx+^,與尸%2聯(lián)立消去丁整理得X2—2fcx—1=0,/=叱+4。恒成立.

設(shè)M（xi,yi）,Ng,y2）,則％I+X2=2Z,XIX2=-1,\MN\=y11+（xi+%2）2~4%I%2—^/1+

、4+4如=2（1+於）.

直線/經(jīng)過點(diǎn)（一1,0）,則％=/,|AW|=|,故B正確;

\OM\-\ON\=q看+卷+管

君+町（君+町

="jlq]6+—*+4（G+4）

=區(qū)『2勺17+4[（即+%2）2-2為X2]

當(dāng)左=0時(shí)，IOM1OW取得最小值，為點(diǎn)故c錯(cuò)誤；

由尸N=3Mb得-3%I=%2,又％1必=—1,xi<0,X2>0,

解得X1=—坐，&=小，所以由24=為十及=羋，得上=半，故D正確.

4.（2023?運(yùn)城模擬）2023年9月第19屆亞運(yùn)會(huì)于杭州舉辦，在杭州亞運(yùn)會(huì)三館（杭州奧體中心

的體育館、游泳館和綜合訓(xùn)練館）對(duì)外免費(fèi)開放，預(yù)約期間將含甲、乙在內(nèi)的5位志愿者分配

到這三館負(fù)責(zé)接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館，則甲

分配到游泳館的概率為.

宏安—

口水3

解析甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館有以下兩種情況：

（1）當(dāng)場(chǎng)館分組人數(shù)為1,1,3時(shí)，甲、乙必在3人組，則方法數(shù)有C』A?=18（種）；

（2）當(dāng)場(chǎng)館分組人數(shù)為2,2,1時(shí),其中甲、乙在一組，則方法數(shù)有C』C以3=18（種），

即甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館的方法數(shù)有〃=18+18=36（種）.

若甲分配到游泳館，則乙必然也在游泳館，此時(shí)的方法數(shù)有AH=C3A3+C3A3=12（種），

I71

故所求的概率為尸=7m=而=予

5.（2023?泰安模擬）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,a=2,b=3,cosB

」

=~y

⑴求sinC；

（2）若點(diǎn)。在△ABC的外接圓上，且NABZ）=NC3。，求AZ）的長(zhǎng).

解（1）方法一在△ABC中，由余弦定理得，

9=4+.—4"（一；）,即c2+%=o,

解得c=-3（舍）或c=|.

VcosB=-y且8￡（0,7i）,

..2P

??sinD-3.

5X2^2

由正弦定理得，sinC=J^—=喈.

方法二在△ABC中，COSJ5=-1<0,

..D2^/27t.7t

..sin<兀,??Aq,

2^2

2X

34^2

由正弦定理得，sinA=

39，

AcosA=j.

4\/7iy72V2_10V2

AsinC=sin(A+8)=-^-X-

3,十§327,

(2)連接AZ),(圖略)，?:/ABD=NCBD,

AD=CD,：.AD=CD.

又ZABC+NADC=兀，cosNAZ)C=g.

設(shè)AD=CD=m(m>0),

在△ACD中，由余弦定理得，9=m2+m2—2m2x1-=^m2,

.3s.m3s

??YYI—2，,?A0-2?

［周二］

1.(2023.遼東南協(xié)作校模擬)已知雙曲線C：條一力=1(°>0,b>0)的一條漸近線與直線2x—y

+1=0垂直，則該雙曲線C的離心率為()

A坐B.小C.2D.小

答案A

解析依題意知，雙曲線C的漸近線方程為尸士》依題意，一號(hào)X2=—1,于是6=2°,

雙曲線。的實(shí)半軸長(zhǎng)為Z?,虛半軸長(zhǎng)為。，半焦距。=封/?2+〃2=小〃,

所以雙曲線C的離心率e=A坐

2.(2023?南通模擬)函數(shù)若方程(x+sin%如)一加=0只有三個(gè)根陽，血，％3，

且為<%2<%3，貝！Jsin尬+2023XIX3的取值范圍是()

A.(0,+8)B.(2023,+8)

C.(—8,-2023)D.(—8,0)

答案D

解析由(x+sinx)/(x)一加=0,Xx)=^023|x|,

所以(x+sin023|x|—ax2=0,

①當(dāng)x=0時(shí)方程成立.

②當(dāng)xWO時(shí)，(x+sinx)%2023\x\—ax1—0化為(無+sin尤)一°21|刃一a=O0(x+sin尤)/°2i-|x|=a,

令尸⑴=(x+sin02i|x|,

由定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且尸(一龍)=[—尤+sin(一尤)](-02i|一刃=(尤+sinx'fx2021|x|=F(x),

所以尸(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以F(x)與y=a的兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)關(guān)于y軸對(duì)稱，

即方程(x+sinx)f°2i|x|=a的另外兩根一定一正一負(fù)，

又X1<X2<X3,

所以Xl<0,尤2=0,%3>0,且尤1=—%3=0,

所以sinxz+2023XLX3=-2023xi<0.

3.(多選)(2023?曲靖質(zhì)檢)正方體ABC。-AiSCiP的棱長(zhǎng)為1,E,P分別為BC,CG的中

點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)H在線段4G上，則下列結(jié)論中正確的是()

A.直線A尸與直線。1E異面

0

B.平面AE/截正方體所得的截面面積為著

C.存在點(diǎn)使得平面AEH〃平面CODC1

D.三棱錐A—ECH的體積為定值

答案BD

解析依題意作圖，連接AA,則有Ad〃EF,即EF與AOi共面，構(gòu)成平面AEF。.

對(duì)于A,因?yàn)锳,E,F,A都在平面4EED1內(nèi)，所以直線AF與。宙共面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,平面AEF截正方體的截面就是四邊形AEEDi,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖，

貝4(1,0,0),帽，1,0),m，1,；),01(0,0,1),春=(-1,1,；),5ZE=(J,1,-1

一__O

AF-5TE=O,即AFLAE,由空間兩點(diǎn)距離公式得

19

四邊形AEEDi的面積=5XAFXDI￡=3，故B正確；

zo

對(duì)于C,若出勺41且8WC1,則A//C平面A821A1=A,且平面ABBAi,

即平面與平面A8B1A1有交點(diǎn)，平面〃平面CDD^Ci,

并且項(xiàng)平面CDDiCi,故平面AEH與平面CDDiCi相交；

若H=Ai,則EC平面ABBrAr,平面AEH與平面ABBiAi相交，

平面ABBiAi〃平面CDDiCi,并且E4平面CDDiCi,

故平面與平面CDDiCi相交；

若H=G,同理可證得平面A即與平面CDAG相交，

故不存在點(diǎn)“，使得平面AEW與平面CD。。平行，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由直線4cl〃平面ABCD,

所以H點(diǎn)到平面ABC。的距離就是正方體的棱長(zhǎng)1,

也是底面為△AEC的三棱錐A—ECH的高，又的面積是定值，所以三棱錐A—ECH

的體積為定值，故D正確.

4.(2023?湛江模擬)若函數(shù)y(無)二^一混一。存在兩個(gè)極值點(diǎn)xi,無2,且及=2尤i,則a—.

答案看

解析fix)=e>c—ax1—a,定義域?yàn)镽,所以/(%)=e“一2"，

故e*—2QXI=0.。出一2辦2=0.又檢=2%1,所以e?”】一4〃陽=0,

即e%(e*i-2)=0.

ea1

又e*>0,故e*i=2,所以xi=ln2,所以〃=萬二=匯

5.(2023?武漢調(diào)研)記數(shù)列｛詼｝的前”項(xiàng)和為S,對(duì)任意“GN*,有(即+〃-1).

(1)證明：｛詼｝是等差數(shù)歹U;

⑵若當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時(shí)，S”取得最大值，求內(nèi)的取值范圍.

(1)證明因?yàn)镾〃=〃a“+w(〃-1),①

所以當(dāng)2時(shí)，

S“-1=("—I)?！?1+("—1)("-2),②

①一②可得("—l)a”-i+2"-2

<=>(1—ri)an~—(n-1)斯-1+2(〃-1)

12,

故｛斯｝為等差數(shù)列.

(2)解若當(dāng)且僅當(dāng)兒=7時(shí)，S”取得最大值，

則有得

S^>Ss，〔。8<0,

a\—12>0,

則所以12<ai<14,

a\—14<0,

故〃1的取值范圍為(12,14).

［周三］

1.（2023?漳州質(zhì)檢）已知sin（a+§=坐，貝Isin（2a+引等于（）

A.B.1C.一坐D坐

答案B

解析sin（2a+,）=sin2a+1+,=cos（2a+§=l—2sin2（a+\=l—2X

2.（2023?安徽A10聯(lián)盟模擬）19世紀(jì)美國(guó)天文學(xué)家西蒙?紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中

以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高.約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)

際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本福特定律，

Yl~\~1

即在大量6進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以〃開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為B（"）=log廠方，如斐波那契數(shù)、

階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律.后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選

舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性.若三尸io5）=號(hào)號(hào)詈（比N*,收20）,則％的值為（）

A.2B.3C.4D.5

答案B

20%+1Z+2?1

解析依題意，得Z^io(n)=Pio(fe)+Pio(^+1)H---HPio(2O)=lg—^+lg----Mg加

n~k'

i21

log221—log23_log27_

--lg/9故吊=3.

入l+log25log210

3.（多選）（2023?昆明模擬）已知橢圓C：=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸2,直線y=相與

C交于A,8兩點(diǎn)（A在y軸右側(cè)），。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.\AFi\+\BFi\=2-^5

B.當(dāng)廣羋時(shí),四邊形48尸止2為矩形

4

C.右4/1_1_8尸1，貝U

D.存在實(shí)數(shù)機(jī)使得四邊形A3E。為平行四邊形

答案ABD

解析如圖1,由橢圓與關(guān)于y軸對(duì)稱，可得|河1|+|86|=|,1|+|4尸2|=2小，故A正

確;

如圖2,當(dāng)根=羋時(shí)，可得A(l,

,又尸(1—1,0),凡(1,0),

則尸2,\AB\=\FiF^,又AB〃尸1B,則四邊形ABRB為矩形，故B正確;

設(shè)A(〃，m)(n>0),B(—n,m),則AFi=(—l—〃，—m),BF\=(—1+n,—m),

--?--?c/加2

若AF[±BFi,貝ijA尸「8/1=1一/+蘇=0,又彳_+彳=1,

4

聯(lián)立消元得9療—16=0,解得片土點(diǎn)故C錯(cuò)誤;

如圖3,若四邊形ABQ。為平行四邊形，則四|=|QO|=c=l,即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為;,

代入橢圓方程可得機(jī)故當(dāng)m,四邊形ABRO為平行四邊形，故D正確.

4.(2023?安慶模擬)在棱長(zhǎng)為4的正方體ABC。-中，點(diǎn)E是棱AAi上一點(diǎn)，且AE

1.過E,Bi，G三點(diǎn)的平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面圓的面積為.

答案W

解析由條件知正方體的內(nèi)切球的半徑為2,設(shè)球心到平面的距離為d,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E(4,0』)，8i(4,4,4),Ci(0,4,4)，

疝

4

E

A

B

設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為。，則。(2,2,2),

則瓦西=(—4,0,0),國(guó)=(0,4,3),￡0=(-2,2,1),

設(shè)平面EB1G的法向量為"=(x,y,z),

ft，i51cli=0,—4x=0,

則《/I。c令y=-3,則z=4,x=0,

4y+3z=0,

n-EBi=0

所以"=(o,—3,4),所以鏟=匕4組|，

于是截面圓的半徑大小為y22—電2=半,

故截面圓的面積為兀

5.(2023?南通聯(lián)考)2022年10月1日，女籃世界杯落幕，時(shí)隔28年，中國(guó)隊(duì)再次獲得亞軍，

追平歷史最佳成績(jī).統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)隊(duì)主力隊(duì)員A能夠勝任小前鋒(SF)、大前鋒(PF)和

得分后衛(wèi)(SG)三個(gè)位置，且出任三個(gè)位置的概率分別為由同時(shí)，當(dāng)隊(duì)員A出任這三

個(gè)位置時(shí)，球隊(duì)贏球的概率分別為小|(隊(duì)員A參加所有比賽均分出勝負(fù)).

(1)當(dāng)隊(duì)員A參加比賽時(shí)，求該球隊(duì)某場(chǎng)比賽獲勝的概率；

(2)在賽前的友誼賽中，第一輪積分規(guī)則為：勝一場(chǎng)積3分，負(fù)一場(chǎng)積一1分.本輪比賽球隊(duì)

一共進(jìn)行5場(chǎng)，且至少獲勝3場(chǎng)才可晉級(jí)第二輪，已知隊(duì)員A每場(chǎng)比賽均上場(chǎng)且球隊(duì)順利晉

級(jí)第二輪，記球隊(duì)第一輪比賽最終積分為X,求X的均值.

141Q1O7

解⑴根據(jù)題意，當(dāng)隊(duì)員A參加比賽時(shí)，比賽獲勝的概率”今湍+今義方+方義，］.

(2)根據(jù)題意，可得A贏3場(chǎng)負(fù)兩場(chǎng)，積7分；A贏4場(chǎng)負(fù)一場(chǎng)，積11分；A贏5場(chǎng)，積15

分，所以隨機(jī)變量X的所有可能取值為7,11,15,記G表示“第一輪比賽最終積分為G(i=

7,11,15)”，。表示“A所在的球隊(duì)順利晉級(jí)第二輪”，

可得尸(C7O)=C4|)X(；)2=墨，

P(CHD)=C5(J^4X|='|J,

P(C15，)=停下=孽，則P(￡>)=辱，

所以P(X=7)=P(Ci\D)=^)(、、)=工,

r\Lyj

P(X=ll)=P(Gi|￡))="，*=

p(Cir>)i

產(chǎn)(X=15)=P(G5M=5

P(D61

所以隨機(jī)變量x的分布列為

X7H15

551

p

12126

E(X)=7X^+11X^+15X^=10.

［周四］

1.（2023?蚌埠質(zhì)檢）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z滿足Z（l—i）2=2,則z2023等于（）

A.-1B.1C.-iD.i

答案C

解析由Z(l—i)2=2,

221i

可得z==i,

(1-i)2-l-2i+i2--i--i2

所以z2023=i2023=（i2）1011.i=—i.

“27,2R?

2.（2023?鹽城模擬淀義曲線為一?=1為雙曲線a一方=1的“伴隨曲線”.在雙曲線Ci：%2

—V=1的伴隨曲線。2上任取一點(diǎn)P過尸分別作無軸、y軸的垂線，垂足分別為M,N,則

直線與雙曲線Ci的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.與點(diǎn)P的位置有關(guān)系

答案B

解析雙曲線Ci：V—y=i的伴隨曲線為

1

「2—1，

設(shè)P（m,w）為/一肯=1上一點(diǎn),

則十T=i，

過P分別作無軸、y軸的垂線，垂足分別為M,N,則M（租,0）,N（0,n）,

所以直線MN：y=——x+n,

聯(lián)立《〃I

產(chǎn)-帚+%

得（1—營(yíng)卜2+等—1=°，

所以/=（第—4X。一等卜（一〃2—1）

=4］（l+S—4x［l—/（1+削X（一層―i）=o,

則直線MN與雙曲線Ci的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.

3.（多選）（2023?鞍山質(zhì)檢）已知函數(shù)加）=］sinx+，5cos勺，則（）

A.八%）的圖象向右平移不個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=~cosx的圖象

B.7U）的圖象與g（x）=sin|［+要）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

Jr77r

C.八X）的單調(diào)遞減區(qū)間為［2配+亨2^+yJ^ez）

D.若兀0在［0,句上有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是［竽，半

答案ABC

解析/（x）=gsin尤+于cos^—^n/sinx+小義】十廣「一半二點(diǎn)皿x+坐cosx=sin（x+^,

對(duì)于A,?的圖象向右平移,個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=sinQ—知+§=5皿。-舒=—cosx

的圖象，A正確；

對(duì)于B,八一尤）=sin（—x+1）=sin兀一（一尤+?］=sin（x+芟j=g（x）,B正確；

兀71371

對(duì)于C,由左￡Z,

TT/IT

解得d+2E,kRZ,

所以函數(shù)1X）的單調(diào)遞減區(qū)間為［2E+不兀2防r+飛7兀［-1（左GZ）,C正確;

因?yàn)檎?,a\,所以x+黑1+a,

因?yàn)槲溆龋┰冢?,上有3個(gè)零點(diǎn)，所以3兀W，+a<4兀,

解得籌D錯(cuò)誤.

4.（2023?齊齊哈爾模擬）已知拋物線C：y2=8x,點(diǎn)P為拋物線C上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，過

點(diǎn)P向圓。：r+丁一16x+48=0作切線，切點(diǎn)分別為A,B,則四邊形B4D2面積的最小值

為,此時(shí)直線A3的方程為.

答案16^2x—也y—4=0

解析如圖所示，由題意知，圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程(x—8)2+y2=i6,則圓心為。(8,0),半徑為r

=|D4|=4,

設(shè)尸K,y)(y>°)，則1尸。1=[&-8)+產(chǎn)寸品2—32)2+48,

所以當(dāng)產(chǎn)=32,即y=4限時(shí)，|尸。|取得最小值，即|P￡>|min=d加=45,

又因?yàn)閨出|='|尸。|2一戶,

所以IB41mhi=、48—16=4十,

又因?yàn)樗倪呅蜳ADB的面積S=2S^D=2X^\PA\Xr,

所以四邊形PADB面積的最小值Smin=2X3解1mhiXr=16也，此時(shí)P(4,4業(yè),

則以PD為直徑的圓M的方程為。一4)。-8)+,。-4陋)=0,

圓M方程與圓。方程相減可得直線AB的方程為x—y[2y—4=0.

5.(2023?湛江模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB4B是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCD

為平行四邊形，且4￡>=立，PB±BC,ZADC=45°.

(1)證明：點(diǎn)尸在平面42。內(nèi)的射影在直線A。上；

(2)求平面PBC與平面PDC夾角的余弦值.

(1)證明如圖，過點(diǎn)B在平面A2C￡>內(nèi)作2。垂直于AD,交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。,

連接OP.

因?yàn)镻B±BC,AD//BC,

所以PBLDO.

又BOLDO,PB,BOc.平面POB,

且BOCPB=B,

所以。0_L平面POB.

又POu平面POB,

所以。O_LPO,KPAOLPO.

因?yàn)?ADC=45。，AB//DC,

所以/。48=45。，

又因?yàn)镺A_LOB,

所以/。區(qū)4=45。=/。12,故。4=0A

因?yàn)椤鞅?為等邊三角形，所以R1=PA

又PO=PO,

所以△PQ4絲△POB.

又尸O_LOA,

所以P0_L08

又OA,O8u平面ABC。，且OACO8=O,

所以PO_L平面ABCD,

所以點(diǎn)。為點(diǎn)尸在平面ABC。內(nèi)的射影，

又點(diǎn)。在直線A。上，

所以點(diǎn)尸在平面ABCD內(nèi)的射影在直線上.

（2）解由（1）得尸。，OB,0A兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,0A,0P所在直線為x,y,

z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題意可得

PO=OB=OA=yf2.

又AD=\f2,

所以B（小,0,0）,P（0,0,V2）,C（啦，啦，0）,

。（0,2啦，0）,

所以病=（0,也，0）,PC=（y[2,巾,一㈣,

5C=（V2,一也，0）.

設(shè)”=（尤1,yi,Z1）為平面P8C的法向量，

BC=O,

所以1

、〃?尸c=o,

f也yi=O,

即《

〔立xi+也yi—也zi=0,

令％i=l,可得〃=（1,0,1）.

設(shè)機(jī)=。2,>2,Z2）為平面尸。。的法向量,

fnDC=0,

所以1

m-PC=0,

即［爽檢一也"2=0,

［y12x2+也”一也Z2—0,

令％2=1,可得加=（1,1,2）,

所以|cos（n,m）|=\得=坐，

所以平面PBC與平面POC夾角的余弦值為坐.

［周五］

JT

1.（2023?福州質(zhì)檢）已知△ABC的外接圓半徑為1,A=§,貝UACcosC+AHcos8等于（）

A.；B.1C.坐D.y/3

答案D

解析由正弦定理可得黑=蓋=懸=2,

所以AB=2sinC,AC=2sinB,

則AC-cosC+AB-cosB=2sinBcosC+2sinCeosB=2sin（B+C）=2sinA=3.

2.（2023.白山模擬）在直三棱柱ABC-AiBiCi中，AABC為等邊三角形,若三棱柱ABC-A^Cx

的體積為34,則該三棱柱外接球表面積的最小值為（）

A.12KB.6兀

C.16兀D.8兀

答案A

127r

解析設(shè)直三棱柱的高為包外接球的半徑為R,AABC外接圓的半徑為r,則3義方日由11胃％

.—/j2入24刀24tiA人3—8

=34，所以由7=4,又氏2=彳+，=4+方令五〃）=彳+方，貝IJ/（份=］一在=方-,易知

大〃）的最小值為八2）=3,此時(shí)R2=3,所以該三棱柱外接球表面積的最小值為12兀

3.（多選）（2023?石家莊質(zhì)檢）下列說法正確的是（）

A.一組數(shù)據(jù)6,7,7,8,10,12,14,16,20,22的第80百分位數(shù)為16

B.若隨機(jī)變量N（2,『），且P（J25）=0.22,則P（-k?5）=0.56

C.若隨機(jī)變量。?8（9,|）,則方差。（2J=8

D.若將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都加上一個(gè)相同的正數(shù)無，則平均數(shù)和方差都會(huì)發(fā)生變化

答案BC

解析對(duì)于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)共10個(gè)數(shù)，且10X0.8=8,

因此，該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為筆0=18,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，若隨機(jī)變量1f?N（2,『），且P（＜f》5）=0.22,

則尸（一1＜。＜5）=1—2尸（&5）=1-2X0.22=0.56,B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，若隨機(jī)變量、8（9,|）,則。（2。=4。?=4義9乂,義上=8,C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，在隨機(jī)變量X的每個(gè)樣本數(shù)據(jù)上都加個(gè)正數(shù)x,

則得到的新數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量為X+x,

由期望和方差的性質(zhì)可得E（X+x）=E（X）+x,O（X+x）=D（X）,

因此，若將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都加上一個(gè)相同的正數(shù)x,則平均數(shù)會(huì)改變，但方差不變，D

錯(cuò)誤.

4.（2023?衢州模擬）已知數(shù)列1,1,3,135,1,3,5,7,1,3,5,7,9,…，其中第一項(xiàng)是1,接下來的兩項(xiàng)

是1,3,再接下來的三項(xiàng)是1,3,5,依此類推.將該數(shù)列的前見項(xiàng)和記為S.,則使得S.＞400成

立的最小正整數(shù)n的值是.

答案59

解析將已知數(shù)列分組，每組的第一項(xiàng)均為1,即第一組：1；第二組：1,3；第三組：1,3,5；

依此類推；

將該數(shù)列記為數(shù)列｛斯｝,將各組數(shù)據(jù)之和記為數(shù)列｛d｝,則+D=層,

記數(shù)列｛6〃｝的前力項(xiàng)和為T,,,則〃=12+22+…+/=迎上鏟土I；

10X11X2111X12X23

???Tio==385<400,=506>400；

6口1=6

?「bi+Z?2H-----Fbio對(duì)應(yīng)｛〃”｝中的項(xiàng)數(shù)為1+2+3H------H0==55,即S55=TIO,

???S58=385+l+3+5=394<400,S59=385+l+3+5+7=401>400,

則使得S?>400成立的最小正整數(shù)n的值是59.

5.(2023?十堰調(diào)研)已知尸(2,0)是橢圓C：5+%=1(。>6>0)的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)。(1,0)且斜率為

炊M0)的直線/與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在x軸的上方)，直線PA,PB分別與直線x

=1相交于N兩點(diǎn).當(dāng)A為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，k=~\.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若|ND|—。尸九[1,3],求％的取值范圍.

解(1)由題可知，a=2.

當(dāng)A為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，-U=T,解得6=1,故橢圓C的方程為于+V=L

(2)依題意可設(shè)直線/的方程為x=(y+l,r<0,A(xi,yi),8(x2,yi).

x=(y+l,

聯(lián)立方程組F,,

彳+9=1，

消去X整理得(產(chǎn)+4)產(chǎn)+2小一3=0,

2t3

則》+”=一不，yu2=一干.

直線AP的方程為y=3o(x—2),

'xi~2

令1，得—Xy—^

同理可得刈=一士，

則\ND\-\MD\^^:+-^

X2—2Xi—2

_"+yi

92-]。1一]

2^42—。1+丁2)

勺1/一?]+)2)+1

-3-2/一.

23+4—產(chǎn)+4—+4

=T-It=^~=—'

廣干―干+1?+4

因?yàn)閨ND|一眼。=」且丸G[l,3],

所以1W—fW3,—3W/W—1,又左=:,

故—1WZW-g.

[周六]

1.(2023?濱州模擬)已知復(fù)數(shù)z=罟(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

工方*4l+2i(l+2i)(l+i)-l+3i

解析由越思知z=~1=5=5，

1—122

故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(得，!)在第二象限.

2.已知/(x)是定義在R上的函數(shù)，且/(x)—1為奇函數(shù)，式x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xd[0,2]時(shí)，大尤)

=X2+L若b=?log211),c=/QU),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.b<a<c

C.a>c>bD.a>b>c

答案D

解析由人功一1為奇函數(shù)，得八一無)一i=—[/u)—1],即五一元)=2-A元)，

又由五工+2)為偶函數(shù)，得八一尤+2)=黃尤+2),即五一無)=黃%+4),

于是7(x+4)=2—/U),即y(x+8)=2—/(x+4)=2—[2—六尤)]=犬尤)，因此於)是以8為周期的

函數(shù)，

又當(dāng)xd[0,2]時(shí)，?=^+1,則五x)在。2]上單調(diào)遞增，

由八一元+2)=/(x+2),得力>)的圖象關(guān)于直線尤=2對(duì)稱，

a=/UD=A3)=/U),3<log2ll<4,&=Xlog2ll)=/(4-log2ll)=/^log21f),

c=/(211)=X0),顯然0<log21|<l,即有人。)勺'0og2簾勺(1),即a>b>c.

3.(多選)(2023?浙江金麗衢十二校聯(lián)考)已知遞增數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且其前w項(xiàng)和

為S”,則()

A.存在公差為1的等差數(shù)列｛斯｝,使得514=2023

B.存在公比為2的等比數(shù)列｛%｝,使得邑=2023

C.若Sio=2023,則O4W285

D.若Sio=2O23,則aio>2O8

答案ABC

解析對(duì)于A,設(shè)數(shù)