第三章圓拓展-內(nèi)外兼修：認識三角形的外接圓和內(nèi)切圓 教學設(shè)計 2023-2024學年北師大版數(shù)學九年級下冊

第三章圓拓展-內(nèi)外兼修：認識三角形的外接圓和內(nèi)切圓教學設(shè)計2023-2024學年北師大版數(shù)學九年級下冊課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學內(nèi)容本節(jié)課選自2023-2024學年北師大版數(shù)學九年級下冊第三章“圓拓展”，主要內(nèi)容包括三角形的外接圓和內(nèi)切圓的定義、性質(zhì)以及應(yīng)用。通過本節(jié)課的學習，學生將能夠理解三角形外接圓和內(nèi)切圓的概念，掌握其性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)解決實際問題。二、核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。通過探索三角形外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)，學生將提升空間想象能力，學會運用幾何圖形進行數(shù)學建模，增強邏輯推理能力，并在解決問題的過程中鍛煉數(shù)學運算的精確性和靈活性。三、重點難點及解決辦法重點：

1.三角形外接圓和內(nèi)切圓的定義和性質(zhì)。

2.運用這些性質(zhì)解決實際問題。

難點：

1.理解三角形外接圓和內(nèi)切圓的定義，以及它們與三角形各邊各角的關(guān)系。

2.將外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)應(yīng)用于解決具體的幾何問題。

解決辦法與突破策略：

1.通過實際操作和圖形演示，幫助學生直觀理解外接圓和內(nèi)切圓的定義。

2.引導(dǎo)學生通過畫圖、計算和舉例，逐步掌握外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)。

3.設(shè)計一系列由淺入深的練習題，讓學生在解決問題的過程中鞏固和應(yīng)用所學知識。

4.鼓勵學生合作探究，通過小組討論和交流，共同克服難點，提升解題能力。四、教學方法與手段教學方法：

1.講授法：結(jié)合直觀圖形和關(guān)鍵公式，清晰講解三角形外接圓和內(nèi)切圓的基本概念和性質(zhì)。

2.討論法：引導(dǎo)學生參與課堂討論，激發(fā)思維，通過合作學習解決問題。

3.案例分析法：通過具體案例，幫助學生理解和應(yīng)用外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)。

教學手段：

1.多媒體輔助：使用PPT展示關(guān)鍵圖形和公式，增強視覺效果。

2.動畫演示：通過動態(tài)演示三角形與圓的關(guān)系，幫助學生理解抽象概念。

3.教學軟件：利用幾何軟件進行交互式教學，讓學生通過操作軟件加深對知識的理解。五、教學過程一、導(dǎo)入新課

（教師）同學們，我們之前學習了圓的相關(guān)知識，今天我們將繼續(xù)探索圓的拓展內(nèi)容——三角形的外接圓和內(nèi)切圓。請大家回顧一下圓的定義和性質(zhì)，為今天的學習做好準備。

（學生）回顧圓的定義和性質(zhì)，如圓心、半徑、直徑、周長、面積等。

二、探究新知

1.外接圓的定義

（教師）首先，我們來探究三角形的外接圓。請大家拿出一張紙和一支筆，嘗試畫出任意三角形，并找出它的外接圓。

（學生）動手畫圖，嘗試找出三角形的外接圓。

（教師）很好，大家已經(jīng)畫出了三角形的外接圓。那么，什么是三角形的外接圓呢？

（學生）三角形的外接圓是指經(jīng)過三角形三個頂點的圓。

（教師）非常好，三角形的外接圓具有哪些性質(zhì)呢？

（學生）外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，半徑等于三角形外接圓半徑。

（教師）說得對。接下來，我們通過一個例子來驗證一下這個性質(zhì)。

（學生）通過畫圖或計算，驗證外接圓的性質(zhì)。

2.內(nèi)切圓的定義

（教師）接下來，我們來探究三角形內(nèi)切圓。請大家再次拿出一張紙和一支筆，嘗試畫出任意三角形，并找出它的內(nèi)切圓。

（學生）動手畫圖，嘗試找出三角形內(nèi)切圓。

（教師）很好，大家已經(jīng)畫出了三角形內(nèi)切圓。那么，什么是三角形內(nèi)切圓呢？

（學生）三角形內(nèi)切圓是指與三角形三邊都相切的圓。

（教師）非常好，三角形內(nèi)切圓具有哪些性質(zhì)呢？

（學生）內(nèi)切圓的圓心是三角形三內(nèi)角平分線的交點，半徑等于三角形內(nèi)切圓半徑。

（教師）說得對。接下來，我們通過一個例子來驗證一下這個性質(zhì)。

（學生）通過畫圖或計算，驗證內(nèi)切圓的性質(zhì)。

3.外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)比較

（教師）現(xiàn)在我們已經(jīng)了解了三角形外接圓和內(nèi)切圓的定義和性質(zhì)，接下來我們來比較一下它們之間的區(qū)別。

（學生）比較外接圓和內(nèi)切圓的定義、性質(zhì)和在實際問題中的應(yīng)用。

（教師）很好，大家已經(jīng)找到了外接圓和內(nèi)切圓之間的區(qū)別。在實際問題中，我們?nèi)绾芜\用這些性質(zhì)呢？

（學生）舉例說明外接圓和內(nèi)切圓在實際問題中的應(yīng)用。

三、鞏固練習

1.基礎(chǔ)練習

（教師）請大家完成以下練習題，鞏固今天所學知識。

（學生）認真完成練習題，鞏固所學知識。

2.應(yīng)用練習

（教師）請大家嘗試解決以下實際問題，運用所學知識。

（學生）運用所學知識解決實際問題。

四、課堂小結(jié)

（教師）同學們，今天我們學習了三角形的外接圓和內(nèi)切圓的定義、性質(zhì)以及在實際問題中的應(yīng)用。希望大家能夠熟練掌握這些知識，并在今后的學習中靈活運用。

（學生）總結(jié)今天所學知識，并表達自己的收獲。

五、布置作業(yè)

1.完成課后練習題，鞏固所學知識。

2.查閱資料，了解三角形外接圓和內(nèi)切圓在實際生活中的應(yīng)用。

（學生）認真完成作業(yè)，為今后的學習做好準備。六、學生學習效果學生學習效果主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.知識掌握：

學生在學習三角形的外接圓和內(nèi)切圓后，能夠準確理解并掌握外接圓和內(nèi)切圓的定義、性質(zhì)以及它們與三角形各邊各角的關(guān)系。具體表現(xiàn)在：

-學生能夠識別并畫出任意三角形的外接圓和內(nèi)切圓。

-學生能夠計算外接圓和內(nèi)切圓的半徑。

-學生能夠證明外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)，如圓心位置、半徑長度等。

2.能力提升：

-空間想象能力：學生通過直觀圖形和實際操作，提高了對空間幾何圖形的想象能力。

-邏輯推理能力：學生在探究和證明外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)時，鍛煉了邏輯推理能力。

-解決問題的能力：學生能夠運用所學知識解決實際問題，如計算三角形的外接圓半徑、確定圓心位置等。

3.學習興趣：

本節(jié)課的教學方法激發(fā)了學生的學習興趣，具體表現(xiàn)在：

-學生在動手畫圖和實際操作中，對幾何圖形產(chǎn)生了濃厚的興趣。

-學生在小組討論和合作探究中，積極參與，表現(xiàn)出對數(shù)學學習的熱情。

-學生在解決實際問題時，體會到數(shù)學的實用性和價值，增強了學習動力。

4.綜合應(yīng)用：

學生在學習三角形的外接圓和內(nèi)切圓后，能夠?qū)⑺鶎W知識綜合應(yīng)用于以下方面：

-在幾何證明中，運用外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)進行輔助證明。

-在解決實際問題中，如測量、建筑等領(lǐng)域，運用外接圓和內(nèi)切圓的知識進行計算和設(shè)計。

-在拓展學習過程中，如學習圓的切割、圓的面積和體積等知識時，能夠更好地理解和應(yīng)用。

5.學習習慣：

本節(jié)課的教學過程有助于培養(yǎng)學生良好的學習習慣，包括：

-注重觀察和思考：學生在學習過程中，能夠注重觀察圖形特征，思考問題本質(zhì)。

-勤于動手實踐：學生通過動手畫圖和實際操作，加深對知識的理解。

-主動探究問題：學生在遇到問題時，能夠主動尋求解決方法，培養(yǎng)解決問題的能力。七、課后作業(yè)1.計算題

題目：已知三角形ABC中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，求三角形ABC的外接圓半徑。

答案：首先，根據(jù)勾股定理，判斷三角形ABC為直角三角形，其中∠ABC為直角。直角三角形的外接圓半徑等于斜邊的一半，即AC的一半。因此，外接圓半徑R=AC/2=10cm/2=5cm。

2.應(yīng)用題

題目：在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，AB=10cm，求三角形ABC的內(nèi)切圓半徑。

答案：首先，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)：∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°。然后，利用正弦定理求出AC和BC的長度：AC=AB*sin(∠B)/sin(∠C)≈10*0.866/0.2588≈33.2cm，BC=AB*sin(∠A)/sin(∠C)≈10*0.707/0.2588≈27.7cm。最后，利用內(nèi)切圓半徑公式：r=(a+b-c)/2，其中a、b、c分別為三角形的三邊長度，求出內(nèi)切圓半徑r=(10+27.7-33.2)/2≈2.85cm。

3.探究題

題目：探究等邊三角形的外接圓和內(nèi)切圓半徑之間的關(guān)系。

答案：在等邊三角形中，三邊相等，因此外接圓半徑R等于邊長a的一半，內(nèi)切圓半徑r等于邊長a的一半減去高h與邊長a的比值的一半。由于等邊三角形的高h等于邊長a乘以根號3除以2，所以r=(a-a*√3/2)/2=a*(1-√3/4)。因此，外接圓半徑R是內(nèi)切圓半徑r的(2+√3)倍。

4.綜合題

題目：已知三角形ABC中，AB=8cm，BC=15cm，AC=17cm，求三角形ABC的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑。

答案：首先，判斷三角形ABC為直角三角形，其中∠ABC為直角。因此，外接圓半徑R=AC/2=17cm/2=8.5cm。然后，利用海倫公式求出三角形ABC的面積S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s為半周長，s=(a+b+c)/2=(8+15+17)/2=20cm。代入公式得S=√[20(20-8)(20-15)(20-17)]=√[20*12*5*3]=60cm2。最后，利用內(nèi)切圓半徑公式r=S/s，得內(nèi)切圓半徑r=60cm2/20cm=3cm。

5.創(chuàng)新題

題目：設(shè)計一個實驗，驗證三角形外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)。

答案：實驗步驟如下：

1.準備材料：一張白紙、一支筆、一把直尺、一把圓規(guī)。

2.畫一個任意三角形ABC。

3.用圓規(guī)分別畫出三角形ABC的外接圓和內(nèi)切圓。

4.測量并記錄外接圓的半徑R和內(nèi)切圓的半徑r。

5.通過計算和比較，驗證外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)。

實驗結(jié)果可能因三角形形狀的不同而有所差異，但總體上應(yīng)與所學知識相符。通過實驗，學生可以更直觀地理解三角形外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)。八、課堂小結(jié)，當堂檢測課堂小結(jié)：

1.本節(jié)課我們學習了三角形的外接圓和內(nèi)切圓的定義、性質(zhì)以及它們在實際問題中的應(yīng)用。

2.學生們通過觀察、畫圖、計算和討論等方式，掌握了外接圓和內(nèi)切圓的基本概念。

3.我們強調(diào)了三角形外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)，如圓心位置、半徑長度等，并通過實際例子加深了理解。

4.在解決實際問題時，學生們學會了如何運用這些性質(zhì)來計算圓的半徑、確定圓心位置等。

當堂檢測：

1.選擇題

（1）下列說法正確的是（）

A.所有三角形都有外接圓

B.所有三角形都有內(nèi)切圓

C.只有直角三角形有外接圓

D.只有等邊三角形有內(nèi)切圓

答案：A

（2）三角形ABC的三個頂點A、B、C分別在圓O的圓周上，則（）

A.∠A、∠B、∠C是圓O的內(nèi)角

B.∠A、∠B、∠C是圓O的外角

C.∠A、∠B、∠C分別是∠AOB、∠BOC、∠AOC的外角

D.∠A、∠B、∠C分別是∠AOB、∠BOC、∠AOC的內(nèi)角

答案：C

2.判斷題

（1）三角形的外接圓半徑等于內(nèi)切圓半徑。()

答案：×

解釋：三角形的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑通常是不相等的，除非是特殊的等邊三角形。

（2）任意三角形都可以畫出內(nèi)切圓。()

答案：√

解釋：根據(jù)內(nèi)切圓的定義，任意三角形都可以畫出內(nèi)切圓，只要它與三角形的三邊都相切。

3.計算題

題目：在直角三角形ABC中，∠ABC為直角，AB=3cm，BC=4cm，求三角形ABC的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑。

答案：外接圓半徑R=AC/2，其中AC是斜邊，AC=√(AB2+BC2)=√(32+42)=√(9+16)=√25=5cm，所以R=5cm/2=2.5cm。

內(nèi)切圓半徑r=(a+b-c)/2，其中a、b、c是三角形的三邊長度，a=3cm，b=4cm，c=AB=3cm，所以r=(3+4-3)/2=1.5cm。教學反思與改進教學反思與改進

今天這節(jié)課，我們學習了三角形的外接圓和內(nèi)切圓。我覺得整體上，同學們的表現(xiàn)還是不錯的，大家都能積極參與到課堂討論中來，對新的知識點也有一定的理解和掌握。但是，在教學中，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題，以下是我的一些反思和改進措施。

1.教學反思

首先，我覺得在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我可能沒有做到足夠吸引學生的興趣。雖然我嘗試通過提問和展示一些有趣的幾何圖形來引起學生的注意，但似乎效果并不理想。有些學生看起來還是有些迷茫，沒有完全投入到課堂中來。

其次，我在講解外接圓和內(nèi)切圓的定義和性質(zhì)時，可能過于依賴理論講解，而沒有足夠的時間讓學生通過實踐來加深理解。我發(fā)現(xiàn)有些學生在理解這些性質(zhì)時有些吃力，這可能是因為我沒有提供足夠的例子或者讓學生自己動手操作的機會。

再者，我在布置作業(yè)時，可能沒有考慮到學生的個體差異。有些學生能夠迅速掌握新知識，而有些學生則需要更多的練習和指導(dǎo)。我注意到在作業(yè)環(huán)節(jié)，有些學生完成得很好，但也有一些學生顯得有些困難。

2.改進措施

針對以上問題，我計劃在未來的教學中實施以下改進措施：

首先，我會更加注重課堂的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，嘗試使用更多樣化的教學方法來吸引學生的注意力。比如，我可以使用一些互動游戲或者實際生活中的例子來引入今天的學習內(nèi)容。

其次，我會減少理論講解的時間，增加實踐環(huán)節(jié)。比如，我可以讓